Podstawy kosmologii
##########################################################################################
Autor : R. Waligóra
Data powstania dokumentu : 2010-02-10 ostatnie poprawki z dnia: 2012-02-01
##########################################################################################
I. Wstęp – czym zajmuje się kosmologia?
Niniejszy tekst można traktować ( w pewnym sensie) jako kontynuacje tekstu pt. „ Podstawy Ogólnej Teorii Względności (OTW)”.
Często mówi się, że kosmologia to nauka o Wszechświecie, a pod pojęciem „Wszechświat” rozumie się „wszystko to, co istnieje” [13, 15, 30, 31]. Oczywiście z punktu widzenia fizyki taka definicja jest trudna do przyjęcia. ( jak bowiem fizycznie zdefiniować „wszystko co istnieje” ). Trudno również, aby jako domenę kosmologii przyjmować dosłownie wszystko – całe spektrum możliwości aktualnych bądź potencjalnych, wszelkie procesy, zjawiska możliwe do zaobserwowania lub dopiero mogące być zaobserwowane. Ogólnie ustalmy, że : kosmologia bada własności
wielkoskalowe obserwowalnego ( lub obserwowanego. Obszar „obserwowalny” to obszar, który możemy potencjalnie obserwować ; obszar „obserwowany” to oczywiście obszar, który obserwujemy aktualnie. Rozróżnienie takie wydaje się być celowe ze względu na występowanie horyzontów w modelach kosmologicznych ) Wszechświata. Do takich własności możemy w szczególności zaliczyć : ruchy ( tj. dynamikę przepływu cieczy kosmicznej ) i rozkład galaktyk lub gromad galaktyk, możliwe topologie obserwowanego Wszechświata ( tj. odpowiedź na pytanie w jakim
Wszechświecie żyjemy, jaka jest jego przyszłość i przeszłość ), wielkoskalową gęstość materii kosmicznej.
W takich analizach właściwie nie rozróżnia się kosmologii od kosmogonii Wszechświata tj. badamy również pochodzenie i wczesne stadia ewolucji Wszechświata ( kosmologia wczesnego Wszechświata - kosmologia cząstek elementarnych ). Kosmologia bazuje na obserwacjach astronomicznych i astrofizycznych a jej teoretycznymi
podstawami rządzi OTW ( relatywistyczna teoria grawitacji Einsteina ) – mówimy oczywiście o kosmologii klasycznej ( nie kwantowej ). Należy jednakże pamiętać, że ze względu na nierelatywistyczne ( w większości przypadków ) prędkości cieczy kosmicznej oraz stosunkowo małe potencjały grawitacyjne ( w większości przypadków ), możemy z powodzeniem w wielu zagadnieniach stosować przybliżenie newtonowskie.
Od innych gałęzi fizyki kosmologia odróżnia się metodologią – Wszechświat jest dany w jednym egzemplarzu, trudno zatem o jakieś statystyczne, jego testowanie lub porównywanie, oprócz tego praktycznie nie mamy możliwości eksperymentalnej weryfikacji budowanych modeli kosmologicznych ( ze względów zasadniczych – póki co nie mamy możliwości eksperymentalnych aby osiągnąć wymagane wielkości energii, lub penetracji aparaturowej dalekich obszarów kosmosu – najdalsza wysłana sonda kosmiczna znajduje się zaledwie na granicy układu Słonecznego, czy też kształtowania czasoprzestrzeni ). W ostatnich latach jednakże podstawa empiryczna kosmologii znacznie się powiększyła dzięki bardzo szybkiemu rozwojowi astronomicznych metod obserwacyjnych
( sondy kosmiczne, orbitalny teleskop Hubble’a, nowe techniki obrazowania CCD, komputerowe techniki gromadzenia i obróbki danych, radioteleskopy o poszerzonej bazie, możliwość prowadzenia eksperymentów orbitalnych np. gravity probe B, misje satelitów badawczych np. COBE, WMAP, Hipparcos ), dlatego w chwili obecnej właściwie nikt już nie kwestionuje „naukowego” charakteru kosmologii ( głosy takiego typu były
wypowiadane jeszcze kilkanaście lat temu ). Kosmologia jest w chwili obecnej nauką, która z powodzeniem wyjaśniła kilka istotnych kwestii dotyczących pochodzenia i rozkładu pierwiastków chemicznych, własności promieniowania tła, kosmogonii struktur galaktycznych. Wyjaśnienie tych ( i innych problemów ) zawarte jest w zbiorze zasad i praw zwanych „standardowym modelem kosmologicznym” ( jest to model inflacyjny ).
Istnieje oczywiście wiele nie wyjaśnionych zagadnień m.in. :
problem płaskości Wszechświata ( ogólnie problem topologii Wszechświata ), natura ciemnej energii i ciemnej materii, kosmogonia wielkoskalowych struktur kosmicznych ( kosmiczne pustki, ściany i atraktory ), najwcześniejsze etapy rozwoju wszechświata – modele inflacyjne, budowa kosmologii kwantowej ( obszar wielkości Plancka ).
II. Definicja Wszechświata i jego obserwowane własności.
W kosmologii często posługujemy się pojęciem „Wszechświat” warto zatem omówić co rozumiemy pod tym
pojęciem. Jedna z możliwych definicji : Wszechświat jest zbiorem wszystkich istniejących obiektów materialnych oraz pól fizycznych (niosących pewien rodzaj energii), mogących oddziaływać między sobą tj. w szczególności mogących być zaobserwowanymi.
Do „standardowych” obiektów obserwowanych metodami astronomicznymi ( obserwacje w całym dostępnym obszarze widma promieniowania E-M : mikrofale, fale radiowe, podczerwień promieniowanie rentgenowskie, obserwacje strumienia cząstek kosmicznych w tym neutrin a w przyszłości może i fal grawitacyjnych ) zalicza się m.in. :
gwiazdy, planety, komety, asteroidy, obłoki gazu, pyłu, galaktyki, grupy galaktyk – super gromady, układy planetarne gwiazdy - na praktycznie każdym etapie ich rozwoju, w tym gwiazdy neutronowe, supernowe, układy podwójne w tym układy czarna dziura + towarzysz.
Z obserwacji wiadomo, że istnieje pewna hierarchia grupowania się obiektów kosmicznych.
Możemy wyróżnić następujące hierarchiczne składowe Wszechświata :
- układy planetarne ( gwiazda + układ planet + ciała towarzyszące np. asteroidy, księżyce )
- galaktyki ( różnego rodzaju ) jako zbiór setek milionów gwiazd ( układów planetarnych ) + materia nie świecąca - mgławice ( obłoki gazu i pyłu między gwiezdnego lub bardzo rozległe otoczki gwiazd )
- gromady gwiazd ( kuliste , otwarte )
- gromady lub supergromady galaktyk ( zbiór kilku tysięcy galaktyk ) - skupiska supergromad - włókna, ściany
- pustki kosmiczne
Wymienione składniki możemy uważać za obiekty których własnościami zainteresowana jest kosmologia ( „budują”
one bowiem Wszechświat ).
Rys. 2.1 Różne typy galaktyk a) nieregularne ; b, c, d spiralne ; e, f, g spiralne z poprzeczką ; h, i soczewkowate j, k, l eliptyczne.
Badania statystyczne rozmieszczenia galaktyk we Wszechświecie doprowadziły do wniosku, że galaktyki nie są rozrzucone w przestrzeni kosmicznej przypadkowo, lecz wykazują tendencje do skupiania się w grupy i gromady ( skupiska ). Nasza Galaktyka, galaktyka M31 w Andromedzie, Wielki i Mały Obłok Magellana oraz ok. 30 innych niewielkich galaktyk tworzy zespół zwany Grupą Lokalną. Jak się wydaje wszystkie galaktyki Grupy Lokalnej poruszają się wokół wspólnego środka masy znajdującego się pośrodku między układem Drogi Mlecznej i galaktyką M31. Tabela 2.1 pokazuje pewne dane o kilku galaktykach wchodzących w skład Grupy Lokalnej.
Najbliższa sąsiednia grupa galaktyk znajduje się w gwiazdozbiorze Rzeźbiarza w odległości ok. 2,5 [Mpc]. Do tej grupy należy m.in. 6 galaktyk spiralnych. Inną bliską grupę galaktyk, obserwuje się w gwiazdozbiorze Wielkiej Niedźwiedzicy. Hierarchicznie większym tworem kosmicznym są gromady galaktyk (skupiska ). W ich skład wchodzi od kilkuset do kilku tysięcy obiektów. Jedną z największych gromad galaktyk obserwujemy w gwiazdozbiorze Warkocza Bereniki (Coma). Gromada ta, zawiera aż 40 tyś. galaktyk, znajduje się ona w odległości 70 [Mpc].
Najbliższą gromadą galaktyk jest gromada w Pannie (Virgo), której centrum leży w odległości 12 [Mpc]
Tabela 2.1 Niektóre własności Grupy Lokalnej.
Rys. 2.2 Ściana Rzeźbiarza – skupisko galaktyk eliptycznych i spiralnych, pełnym gorącego gazy między galaktycznego ( WHIM – Warm-Hot Inttergalactic Medium ) [39, str. 11 ]
Widoczna materia ( materia świecąca ) znajduje się głównie w galaktykach. Typowa galaktyka składa się z ok. 1011 Gwiazd, a jej całkowita masa wynosi 1012 mas Słońca. W części Wszechświata którą możemy obserwować, znajduje się ok. 1011 galaktyk. Gdyby materia w widocznych galaktykach została rozprowadzona w jednorodny sposób w całej przestrzeni, średnia gęstość widocznej materii była by równa : ρwid ( t0 ) ~ 10-31 [ g/m3 ] [ 29, str. 391 ]
Gęstość ta pokazuje ogrom Wszechświata i nikłość zawartej w niej materii świecącej.
Rys. 2.3 Schematyczne przedstawienie typowej galaktyki spiralnej ( przekrój pionowy ) wraz z typowymi wymiarami
Rys. 2.4 Klasyczny schemat klasyfikacji galaktyk zaproponowany przez Hubble’a.
( Dokładniej o galaktykach i ich własnościach można poczytać w [ 12 , 25 ] )
Rys. 2.5 Wielkoskalowe struktury we Wszechświecie ( punkciki symbolizują galaktyki ) [ 27 str. 17 ]
Gromady gwiazd – są to skupiska gwiazd połączonych siłą grawitacji i wspólnym pochodzeniem ( miejscem i czasem powstania z tej samej materii między gwiazdowej ).
Gromady dzieli się na kuliste ( grupy starych gwiazd o kulistym kształcie, silnie związane grawitacyjnie. ) i otwarte ( młode gwiazdy słabo powiązane grawitacyjnie ). Typowa wielkość gromad otwartych wynosi ok. 10 lat świetlnych.
Do najbardziej znanych zalicza się Plejady w byku, Żłóbek w Raku
Rys. 2.6 Płatek śniegu – gromada gwiazd ( różowe i czerwone plamki to młode gwiazdy )
Rys. 2.7 Poglądowe przedstawienie struktury obiektów kosmicznych w otoczeniu Grupy Lokalnej [39]
Dla potrzeb kosmologii stosujemy następujące idealizacje (mającą oczywiście podstawy obserwacyjne ) : Zasada kosmologiczna ( zasada kopernikańska ) – wszechświat w dostatecznie dużej skali ( setki megaparseków) wygląda tak samo niezależnie od miejsca i kierunku jego obserwacji tj. jest jednorodny i izotropowy.
Dane astronomiczne pokazują, że ilość gwiazd przypadających na jednostkę objętości ( zatem gęstość materii we wszechświecie ) wydaje się jednakowa w dużych obszarach przestrzennych, nadto ich ilość przypadająca na jednostkowy kąt bryłowy jest dla wszystkich kierunków jednakowa.
( W teorii stanu stacjonarnego przyjmowano „doskonałą zasadę kosmologiczną” dodającą do „zwykłej” zasady kosmologicznej izotropowość czasową – wszechświat wygląda tak samo dla wszystkich obserwatorów w dowolnej chwili czasu – wcześniejszej lub późniejszej. Teoria stanu stacjonarnego została jednak odrzucona )
W dostatecznie dużej skali galaktyki ( lub nawet gromady galaktyk ) traktujemy jako obiekty punktowe, a dla potrzeb OTW Wszechświat możemy modelować jako układ materialny o tensorze pyłowym :
Tij = ρ ui uj ; ρ – gęstość pyłu
lub cieczowym – ciecz kosmiczna idealna ( cosmic fluid ):
Tij = ( ρ + p) ui uj - p gij ; ρ – gęstość cieczy , p – ciśnienie cieczy
Można oczywiście wprowadzić inny model Wszechświata np. z uwzględnieniem lepkości.
Jak każda gałąź fizyki kosmologia bazuje na pewnym zgromadzonym materiale empirycznym. Po tym względem kosmologia nie różni się od takich działów fizyki jak np. elektrodynamiki czy STW. W pierwszej kolejności gromadzimy dane empiryczne, grupujemy je stosując ustalone kryteria i na podstawie tych danych próbujemy budować teorię (model matematyczny ) opisujący te dane. Tak też jest w przypadku kosmologii. Na podstawie dostępnych informacji obserwacyjnych próbujemy do nich dopasować konkretny model matematyczny.
Oprócz potwierdzonej obserwacyjnie jednorodności i izotropowości Wszechświata przekonaliśmy się, że Wszechświat ekspanduje tj. wszystkie galaktyki, średnio biorąc, oddalają się od nas z prędkością proporcjonalna do ich odległości od nas. Zależność ta opisuje prawo Hubble’a :
v = Hd ; H – stała Hubble’a , H = 75 ± 25 [ km /s Mpc = 1/s ] , d - odległość jasnościowa [km]
1 [pc] ( parsek ) = 3.261 [ lat świetlnych ]
( dokładniej problem ekspansji omówiono w punkcie III )
W kosmologii mamy do czynienia z olbrzymimi odległościami przestrzennymi ( a ze względu na skończoną prędkość rozchodzenia się światła, również z olbrzymimi interwałami czasowymi ). Nasze obecne obserwacje obejmują obszar, który czasowo styka się z wczesnymi etapami rozwoju Wszechświata. Spotykamy się zatem z pojęciem „horyzontu cząstek”. Horyzont cząstek dzieli Wszechświat na dwa obszary ( i jest związany ze stożkową strukturą
czasoprzestrzeni ). Obserwator zbierający informacje o zdarzeniach zachodzących we wszechświecie w ustalonej chwili może dostrzegać tylko te zdarzenia, które znajdują się na jego stożku przeszłości. Stożek przeszłości tworzą promienie świetlne spełniające równanie :
t0 r1
∫ c dt / R(t) = ∫ dr / sqrt( 1 – kr2 ) ( objaśnienie zastosowanych symboli można znaleźć w dalszej części tekstu ) t1 0
Gdy dla t1 → 0 całka jest zbieżna, wówczas pole widzenia obserwatora jest ograniczone przez „horyzont cząstek”.
W pewnych modelach kosmologicznych gdybyśmy nawet czekali dowolnie długo, nie będziemy w stanie zobaczyć wszystkich zdarzeń. Jest to możliwe tylko wówczas tylko wówczas gdy w/w całka jest rozbieżna. W tym przypadku mówimy, że istnieje „horyzont zdarzeń”. ( dokładnie zobacz [11 str. 313 ] )
Rys. 2.8 Schematyczny diagram czasoprzestrzenny pokazujący przeszłą historię Wszechświata.
Warto przytoczyć jeszcze inną definicję w/w horyzontów ( wiążącą się z metodami asymptotycznymi badania
własności Wszechświata ). ”Horyzont zdarzeń przyszłości obserwatora γ jest „granicą” tych wszystkich zdarzeń, które kiedykolwiek ( tzn. w dowolnej chwili t < ∞ mogą wpływać ( za pośrednictwem sygnałów świetlnych lub innych sygnałów fizycznych ) na obserwatora γ. Horyzont zdarzeń przeszłości jest „granicą” tych wszystkich zdarzeń, które obserwator kiedykolwiek ( tzn. w dowolnej chwili t < ∞ ) będzie w stanie zaobserwować”
„Horyzont cząstek obserwatora γ w chwili t0 nazywamy brzeg zbioru historii cząstek lub obserwatorów ( a więc krzywych czasopodobnych ), które przecinają stożek świetlny cząstki ( obserwatora ) γ w jakiejkolwiek chwili t wcześniejszej od t0 ( t ≤ t0 )” „Osobliwy Wszechświat” M. Heller PWN1991 str. 126
( Zobacz również „Dynamika pól w ogólnej teorii względności” - N. W. Mickjewicz, A. P. Jefremow, A. I. Nesterow rozdział 7 – tekst dostępny w tłumaczeniu własnym )
Rys. 2.9 Horyzont cząstek. Stożek przeszłości cząstki A przecinając się z powierzchnią t = 0 ( osobliwością początkową ) tworzy horyzont zwiększający się w miarę upływu czasu. ( analogiczne dla cząstki B). W chwili 1 obszary obserwowane przez obserwatorów związanych z cząstkami A i B są rozłączne, w chwili 2 mają już wspólną część ale dopiero w chwili 3 obserwator dowiaduje się o istnieniu cząstki B, a dopiero od chwili 4 obserwator B może dostrzec obserwatora A i dopiero od tej chwili cząstki A, B mogą być powiązane związkiem przyczynowym. [32]
W związku z występowaniem horyzontów powstaje pytanie czy ekstrapolacja praw fizycznych które obowiązują w obserwowanym Wszechświecie jest uprawniona na Wszechświat obserwowalny lub rozciągający się poza granicę horyzontu zdarzeń. Bazując na dotychczasowej praktyce empirycznej jak i teoretycznej zakładamy, że ustalone prawa fizyki ( obowiązujące we Wszechświecie obserwowanym ) mają uniwersalną ważność dla całego Wszechświata ( stosują się dla dowolnych skupisk materii oraz dla dowolnych odległości kosmicznych ), w szczególności zakładamy, że nie ma potrzeby wprowadzania praw fizycznych nowego typu. [14 str. 27]. Założenie to bywa obecnie krytykowane w związku z problemami wyjaśnienia krzywych rotacji galaktyk, tj. przyjmuje się ewentualną możliwość korekty OTW dla dużych odległości ( zobacz przykładowo УФН август 2008 tom 178 „Модификация гравитации на больших растояниях и масивный гравитон” В.А. Рубаков П.Г. Тиняков )
Jedną z najważniejszych obserwacyjnych własności wszechświata jest stwierdzenie, że jest on wypełniony promieniowaniem zwanym „kosmicznym (mikrofalowym) promieniowaniem tła” – promieniowaniem reliktowym ( Cosmic Microwave Background - CMB ). Szerzej problem CMB omówiono w punkcie V.
Z obserwacji astronomicznych wynika również, że w kosmosie istnieje znaczna ilość materii nie świecącej tzw.
ciemnej materii. Jej składnikiem mogły by być wygasłe gwiazdy, niewielkie czarne dziury, drobne ciała kosmiczne – asteroidy, obłoki pozostałości po nie uformowanych planetach czy też układach planetarnych.
Obserwacje wskazują też na fakt, że ekspansja Wszechświata jest coraz szybsza ( ekspansja Wszechświata przyspiesza tj. istnieje niezerowy parametr hamowania ).
Szerzej problem ciemnej materii i ciemnej energii omówiono w punkcie VI.
Tabelka ujmująca w sposób syntetyczny podstawowe (współcześnie przyjmowane [ 13 lit. ang. ] ) parametry kosmologiczne.
Jak widać członem dominującym w parametrze gęstości Ω jest człon ΩΛ - reprezentujący ciemna energię oraz człon ΩCDM – reprezentujący zimna ciemną materie ( ang. CDM )
Z tabelki powyższej widać również, że jednym z zadań kosmologii obserwacyjnej jest wyznaczenie wartości podstawowych parametrów : H0, ρ lub Ω.
ρ – gęstość (średnia ) materii we Wszechświecie ; ρc – gęstość krytyczna ; Ω = ρ /ρc – bezwymiarowy parametr gęstości
III. Element liniowy Robertsona-Walkera ( Friedmanna-Robertsona-Walkera ) FRW ( lub Friedmana-Lemaitre’a-Robertsona-Walkera FLRW )
Geometrycznie treść zasady kosmologicznej sprowadza się do następujących stwierdzeń :
a) można wybrać taki układ odniesienia, względem którego materia wypełniająca Wszechświat (po uśrednieniu ) spoczywa. Taki układ odniesienia nazywamy „układem współporuszającym się” ( comoving coordinate ) b) We współporuszającym się układzie odniesienia czasoprzestrzeń daje się rozłożyć ( w każdym jej punkcie) na
„uniwersalny czas kosmiczny” t i prostopadłą do niego 3-wymiarową przestrzeń zdarzeń równoczesnych t = const.
Przestrzenie równoczesności są przestrzeniami o stałej krzywiźnie.
Obserwator związany z (globalnym) układem współporuszającym się nazywany jest „obserwatorem fundamentalnym”.
Odnośnie czasu kosmicznego warto zacytować odpowiedni fragment klasycznej książki Bondiego [7]
( książki, która oczywiście jest już zdezaktualizowana w wielu fragmentach ale w wielu pozostaje bardzo cenna )
„Czas kosmiczny. Newtonowska koncepcja jednostajnego, wszędzie obowiązującego i zawsze płynącego czasu została pozbawiona znaczenia fizycznego przez szczególną teorię względności. Jednak w roku 1923 H. Weyl zasugerował, że obserwowane ruchy mgławic wskazują pewna regularność , którą można zinterpretować jako regularność narzucająca pewne własności geometryczne na substrat. To z kolei powoduje, że można wprowadzić obowiązujący wszędzie czas kosmiczny, który ma tę własność, że mierzy czas własny każdego obserwatora poruszającego się razem z substratem.
Innymi słowy obserwatorzy substratu poruszają się w taki szczególny sposób, że taki wspólny albo kosmiczny czas dla nich istnieje. Nie przeczy to szczególnej teorii względności, która wskazuje jedynie, że zbiór dowolnie poruszających się obserwatorów nie może znaleźć wspólnego czasu. Istnienie takiej koncepcji czasu zdaje się sprzeciwiać ogólności, która jest podstawa ogólnej teorii względności, niemniej jednak rozwinięcie kosmologii relatywistycznej jest
niemożliwe bez tego założenia. W każdym przypadku, gdy zakładamy zwykłą a nie idealną zasadę kosmologiczną, niezbędne jest wprowadzenie czasu kosmicznego. Jeżeli bowiem zakładamy, że każdy obserwator fundamentalny widzi zmieniający się wszechświat i w dodatku, że każdy widzi to samo, wówczas obserwator A musi móc znaleźć na swoim zegarku chwilę tA, w której widzi on wszechświat w tym samym stanie co obserwator B w chwili tB, na swoim zegarku. Zatem sam wszechświat działa jak instrument synchronizacyjny pozwalający obserwatorom A i B ( a więc wszystkim obserwatorom )zsynchronizować zegary. Jeżeli zegar jednego z tych obserwatorów mierzy czas własny, to zgodnie z zasada kosmologiczną wszystkie zegary będą mierzyły czas własny swoich właścicieli. W ten sposób można wprowadzić czas uniwersalny albo kosmiczny” [ 7, str. 90 ]
Zatem możliwość wprowadzenia czasu własnego wynika z przyjętego modelu wszechświat i nie jest oczywiste, można wprowadzić modele w których wprowadzenie czasu kosmicznego nie było by możliwe. ( np. wszechświat Goedela ) Jeżeli mówimy, że wszechświat ma ileś tam lat to mamy na myśli właśnie czas kosmiczny.
Ogólny element liniowy odpowiadający izotropowemu i jednorodnemu Wszechświatowi ( metryka o maksymalnej symetrii ) został (niezależnie) odkryty przez H. P. Robertsona i A. G. Walkera :
dτ2 = dt2 – R2(t) [ ( 1 – kr2 )-1 dr2 + dr2dθ2 + r2 sin2θ dφ2 ] (3.1) gdzie : t – współrzędna czasowa ; r, θ , φ – współrzędne przestrzenne , R(t) – bezwymiarowy czynnik skali
k = 0 - wszechświat płaski
+1 - wszechświat o stałej dodatniej krzywiźnie -1 - wszechświat o stałej ujemnej krzywiźnie
Zapis metryki Robertsona-Walkera we współrzędnych ( t, x, y, z)
ds2 = c2dt2 – R2(t) { (dx2 + dy2+ dz2 ) / [ 1 + ¼ k ( x2 + y2 + z2 )] } (3.2) --- element metryki, przestrzeni jednorodnej ---
Klasyczne rozwiązania kosmologiczne.
Tak się składa, że naturalna ciekawość człowieka połączona z miarę dobrym jego zmysłem obserwacyjnym, właściwie już od niepamiętnych czasów prowadziły nas do budowania różnorakich modeli ( całych systemów opartych na przesłankach filozoficznych, religijnych, pseudo naukowych, a dzisiaj naukowych ) budowy i pochodzenia
Wszechświata. ( Z historycznego punktu widzenia możemy wyróżnić m.in. kosmologie : babilońską, egipską, grecką, hinduską, aztecką ). Historyczny zarys rozwoju koncepcji kosmologicznych prezentują np. pozycje [1,2].
W raz z rozwojem technik obserwacyjnych i postępem w rozumieniu zasad funkcjonowania świata ( dla kosmologii najistotniejszymi były tu oczywiście metody obserwacji astronomicznych i rozumienia zasad mechaniki ciał niebieskich ) ewoluowało pojęcie „Wszechświata” jak również mechanizmy jego pochodzenia i rozwoju.
Historycznie pierwszą kosmologią mającą „naukowy charakter” była kosmologia oparta na mechanice newtonowskiej.
( można oczywiście dopatrywać się pewnych „naukowych” cech w takich systemach kosmologicznych jak system ptolemejski czy kopernikowski, a może nawet arystotelejski ?. Pojęcie „kosmologii” w tych przypadkach należy traktować jednak w bardzo wąski – z dzisiejszej perspektywy – sposób, są to bowiem systemy tłumaczące jedynie ruchy widocznych ciał niebieskich i bardzo spekulatywne hipotezy ich powstania )
W kosmologii opartej na mechanice newtonowskiej zakładano model nieskończonego statycznego Wszechświata ( trójwymiarowa przestrzeń płaska, czas upływający jednostajnie i jednakowo w całym Wszechświecie rozciąga się od minus do plus nieskończoności – nie ma zatem problemu z początkiem ani końcem Wszechświata )
Wszechświat jest w sposób równomierny wypełniony materią ( pyłową ) Podstawowym równaniem kosmologii newtonowskiej jest równanie Poissona :
∆φ = 4πGρ
Jak wiadomo jest to rrc i jego rozwiązanie wymaga postawienia pewnych warunków granicznych ( brzegowych i początkowych ). Zazwyczaj zakłada się, że potencjał φ w przestrzennej nieskończoności dąży do pewnej ustalonej granicy. Warunki te jednak prowadzą do wniosku, że gęstość materii w nieskończoności staje się równa zeru.
( nie jest to oczywiście jedyny problem kosmologii opartej na równaniu Poissona – występuje jeszcze problem równowagi takiego układu, problem Seelingera, problem statyczności )
Aby zaradzić problemowi wartości potencjału grawitacyjnego w nieskończoności rozważano wprowadzenie modyfikacji do równania Poissona :
∆φ - λφ = 4πGρ ; λ – pewna stała
rozwiązaniem tego równania jest stała : φ = - 4πGρ0 / λ ; ρ0 – stała gęstość rozkładu mas we Wszechświecie.
Rozwiązanie to odpowiada nieskończonemu przestrzennie Wszechświatowi, równomiernie ( średnio ) wypełnionego materią.
Początek kosmologii relatywistycznej wiąże się z pracą Alberta Einsteina przedstawioną w 1917 pt. : „Kosmologiczne rozważania nad ogólną teorią względności” [ 1, str. 16 ; 38 , str. 199 ]. Przedstawiony przez Einsteina model
kosmologiczny opiera się na równaniach pola z członem kosmologicznym, które zapewniają statyczność
Wszechświata. Wszechświat Einsteina jest zatem Wszechświatem statycznym ( tj. w którym materia pozbawiona jest wielkoskalowych ruchów ), równomiernie wypełnionym gwiazdami (materią), w którym możliwe jest rozczepienie czasoprzestrzeni na czas i przestrzeń ( w układzie spoczynkowym równomiernie rozłożonej materii ), zamkniętym ale nieograniczonym. Struktura czasoprzestrzeni modelu Einsteina jest bardzo prosta : czas ( kosmiczny ) rozciąga się od minus do plus nieskończoności ( reprezentowany jest przez prostą ). W czasoprzestrzeni modelu Einsteina możemy dokonać jej rozkładu na przestrzenie chwilowe – są to kule o stałym promieniu.
Rys. 3.1 Cylindryczny model Einsteina. a) czasoprzestrzeń modelu Einsteina jako powierzchnia hiperwalca, b) przestrzenie chwilowe – prostopadłe cięcia walca - możemy przedstawi w postaci kuli. [ 1 str. 24 ]
W modelu Einsteina obecność materii powoduje zakrzywienie przestrzeni, ale nie powoduje zakrzywienia czasu ( poprzez pojęcie „zakrzywienie czasu” rozumie się zmianę tempa jego upływu np. zwolnienie jako funkcje położenia) Ku wielkiemu zdziwieniu Einsteina, okazało się, że istnieje wiele rozwiązań niestatycznych ( tj. z niezerowym
członem kosmologicznym ). Jedno z takich rozwiązań znalazł w 1917 roku holenderski astronom i matematyk Wilhelm de Sitter. Rozwiązanie de Sittera przedstawia Wszechświat pusty ( tj. modelują go równania Einsteina z zerowym tensorem energii-pędu ).
„był to silny cios wymierzony ideom Einsteina : istnieje czasoprzestrzeń bez materii, masy wypełniające świat nie determinują jednoznacznie geometrii, zasada Macha nie jest spełniona, a czasoprzestrzeń posiada cechy absolutności”
[ 1 str. 27 ]. Czasoprzestrzeń rozwiązania de Sittera możemy przedstawi jako czterowymiarową powierzchnię pięciowymiarowej kuli o stałym urojonym promieniu. Jest to model stacjonarny ( model Einsteina był stacjonarny i statyczny ) tj. wygląda tak samo przez cały czas ( metryka jest niezmiennicza względem przesunięcia pomiaru czasu t → t + t0 i równoczesnej odpowiedniej zmiany skali współrzędnych przestrzennych ) [ 15 str. 130 ]
Możemy dokonać ciecia czasoprzestrzeni de Sittera – przestrzenie chwilowe są przestrzeniami o stałej dodatniej krzywiźnie ( podobnie jak w modelu Einsteina ), ale czas nie może być przedstawiony w postaci linii prostych lecz w postaci linii zakrzywionych. Oczywiście de Sitter jako astronom z zawodu wiedział, że jego rozwiązanie nie może opisywać Wszechświata ( bowiem nie jest on pusty ), przyjmował jednak, że opisuje go w sposób asymptotyczny –
jest granicznym przypadkiem do którego zmierzają wszystkie modele kosmologiczne ( z niezerowym członem kosmologicznym ) przy t → +∞.
Rys. 3.2 Sferyczny model rozwiązania de Sittera. Czasoprzestrzeń tego modelu ( dwa wymiary przestrzenne pominięto na rysunku ) jest powierzchnią kuli o promieniu urojonym. Odległość między dwoma cząstkami próbnymi a, b zmienia się w czasie.
„W świecie de Sittera zakrzywiona jest nie przestrzeń, lecz czas. Czasoprzestrzeń tego modelu można przedstawić jako czterowymiarową powierzchnię bryły, którą najsłuszniej byłoby nazwać pseudokulą. Pseudokulą – ponieważ równanie opisujące tę bryłę jest identyczne z równaniem kuli pod warunkiem, że pewne wyrazy pomnoży się przez jednostkę urojoną ( tzn. przez pierwiastek z minus jeden ). Linie jakie na tym obrazie wyobrażają „historie” poszczególnych galaktyk oddalają się od siebie. Oznacza to, że gdyby w świecie de Sittera pojawiły się dwie galaktyki, natychmiast zaczęłyby od siebie uciekać.” [ 31 str. 132 ]
Wszechświat de Sittera jest zatem pusty lecz rozszerza się. ( Można powiedzieć, że model Einsteina przedstawia materię bez ruchu, a model de Sittera – ruch bez materii )
Jak pokazał rosyjski matematyk Aleksander Friedman ( można spotkać również pisownie - Friedmann ) rozwiązania Einsteina i de Sittera są przypadkami szczególnymi rozwiązania zwanego „rozwiązaniem Friedmana” (1922).
( Oryginalne prace Friedmana można znaleźć w książce pt. „А. А. ФРИДМАН - ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ” - Под редакцией проф. Л. С. ПОЛАКА , ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА». Москва 1966. Oprócz prac kosmologicznych znaleźć tam możemy również prace o tematach hydromechanicznych i meteorologicznych )
Friedman założył, że :
1) rozważać będzie równania Einsteina z członem kosmologicznym 2) prędkość materii jest dużo mniejsza od prędkości światła 3) przestrzeń świata w każdej chwili jest prostopadła do osi czasu
4) przestrzeń w każdym punkcie ma jednakową krzywiznę, ale co najważniejsze krzywizna ta może zmieniać się w czasie. Założenie możliwości zmiany krzywizny przestrzeni chwilowych było przełomowe, oznaczało to odejście od statycznego modelu Wszechświata. Wszechświat może się kurczyć lub rozszerzać. Friedman rozważa Wszechświat z dodatnią zmienną w czasie krzywizną ( Wszechświat zamknięty ) oraz z ujemną zmienną w czasie krzywizną (Wszechświat otwarty ), jak wiemy możliwy jest jeszcze trzeci przypadek – Wszechświat o zerowej krzywiźnie.
Ponieważ w okresie w którym opublikowano prace Friedmana koncepcja Wszechświata dynamicznego była nowością niezbyt dobrze potwierdzoną obserwacyjnie, rozwiązania podane przez niego zostały przyjęte bardzo sceptycznie.
Dalsze obserwacje wskazały jednak, że właśnie takie rozwiązania opisują Wszechświat tj. stwierdzono iż Wszechświat ekspanduje. Prace Friedmana zostały zapomniane. Ponowne ich „odkrycie” ( ale również ważne ich interpretacje ) związane jest z pracami Lemaitre’a i Eddington’a. Następnie Robertosn’a i Walker’a, którzy poddali dokładnej analizie modele jednorodne i izotropowe Wszechświata. W kolejnym krokach rozwoju kosmologii relatywistycznej pojawiły się m.in. koncepcje Milne’a, Tolmana ( modelu oscylującego Wszechświata), Bondi’ego
[ dokładnie zobacz 1 ].
Interwał Wszechświata jednorodnego – statyczne rozwiązanie Einsteina i stacjonarne rozwiązanie de Sittera.
Przyjmijmy ogólną postać interwału ( we współrzędnych sferycznych (r, φ, θ, t ) ) : ds2 = eνdt2 - eλ dr2 - r2dθ2 - r2 sin2θ
gdzie : v = ν(r) , λ = λ(r).
Przyjmijmy niezerowe składowe tensora energii-pędu idealnej cieczy : T11 = T2 2 = T3
3 = -p0 ; T4 4 = ρ0 p –ciśnienie, ρ – gęstość
Rozwiązując równania Einsteina z członem kosmologicznym ( obliczenia są analogiczne do obliczeń przy wyprowadzaniu metryki FLRW, zainteresowanego szczegółami akurat tych obliczeń odsyłam do
[ 22-lit. ang. str. 340] ), otrzymujemy :
8π p0 = e-λ [ (ν’/ r) + (1/ r2 )] – (1/r2 ) + Λ 8π ρ0 = e-λ [ (λ’/ r) - (1/ r2 )] + (1/r2 ) - Λ
p’0 = - ½ ( p0 + ρ0 ) ν’ ; apostrofem oznaczono pochodną względem r
Z równań tych możemy wyprowadzić wszystkie możliwe warianty statycznego i jednorodnego Wszechświata, przyjmując trzy następujące założenia :
a) ciśnienie p0 mierzone przez lokalnego obserwatora powinno być jednakowe we wszystkich punktach przestrzeni, b) gęstość materii ρ0 powinna być wszędzie jednakowa.
c) interwał ds2 przy małych r powinien dążyć do interwału czasoprzestrzeni płaskiej tj. λ = ν = 0.
Warunek a) sprowadza równanie p’0 = - ½ ( p0 + ρ0 ) ν’ do postaci ( p0 + ρ0 ) ν’ = 0 które będzie spełnione jeśli : albo ν’ = 0, albo p0 = - ρ0 albo ν’ = 0 i p0 = - ρ0
Jeżeli przyjmiemy, że ν’ = 0 to ν =const. ale z warunku c) ν = 0, podstawiając ta wartość do równania 8π p0 = e-λ [ (ν’/ r) + (1/ r2 )] – (1/r2 ) + Λ otrzymamy e-λ = 1 – ( Λ - 8π p0 ) r2
Wprowadźmy nową stałą : Λ - 8π p0 = 1/R2 , interwał możemy teraz zapisać następująco : ds2 = dt2 - r2 sin2θ - r2dθ2 – dr2 / [ 1- ( r/R)2 ] - interwał dla rozwiązania Einsteina.
Przyjmijmy teraz ,że p0 = - ρ0 , dodając równania :
8π p0 = e-λ [ (ν’/ r) + (1/ r2 )] – (1/r2 ) + Λ i 8π ρ0 = e-λ [ (λ’/ r) - (1/ r2 )] + (1/r2 ) - Λ, a następnie przyrównując ich sumę do zera : 8π ( ρ0 + p0 ) = e-λ [ (λ’/ r) + (ν’/ r )] = 0 otrzymamy : λ’ = - ν’ , na mocy warunku c) prowadzi to do zależności : λ = - ν .
Z drugiej strony, ponieważ ρ0 = const. równanie 8π ρ0 = e-λ [ (λ’/ r) - (1/ r2 )] + (1/r2 ) - Λ, możemy łatwo scałkować e-λ = 1 – 1/3 ( Λ + 8π ρ0 ) r2 + (A/r ) ; A – stała całkowania.
I w tym przypadku korzystamy z warunku c) , który prowadzi do zależności : A = 0, co dalej prowadzi : e-λ = e-ν = 1 – 1/3 ( Λ + 8π ρ0 ) r2
Wprowadzając nową stałą : 1/3 ( Λ + 8π ρ0 ) = 1/ R2 interwał możemy zapisać następująco : ds2 = dt2 [ 1- ( r/R)2 ] - r2 sin2θ - r2dθ2 – dr2 / [ 1- ( r/R)2 ] - interwał dla rozwiązania de Sittera.
Oczywiści dla przypadku ν’ = 0 i p0 = - ρ0 otrzymamy interwał STW : ds2 = dt2 - r2 sin2θ - r2dθ2 – dr2
[na podstawie 22-lit. ang. , str. 340]
Wyprowadzenie metryki Robertsona-Walkera. ( Friedmana-Lemaitre’a-Robertsona-Walkera )
Rys. 3.3 Przedstawienie hiperpowierzchni czasopodobnych obserwatora fundamentalnego. Linie świata obserwatora fundamentalnego są ortogonalne do przedstawionych hiperpowierzchni.
Element liniowy obserwatora fundamentalnego
ds2 = c2dt2 – gij dxi dxj ; i, j = 1, 2 ,3 (3.3)
W ogólnym przypadku współczynniki gij są funkcjami współrzędnych ( t, x, y, z )
Jak wiadomo tensor krzywizny dla przestrzeni maksymalnie symetrycznej ( przestrzeni o stałej krzywiźnie ) tensor krzywizny możemy zapisać następująco :
Rijkm = K (gik gjm - gim gjk ) (3.4)
Dla tego przypadku tensor Ricciego możemy zapisać następująco : Rjk = gij Rijkm = K gij (gik gjm - gim gjk ) = K ( δm
k gjm - δm
m gjk ) = K ( gjk - 3gjk ) = - 2K gjk (3.5) Skalar krzywizny ma, zatem postać : R = Rkk = - 2K δk
k = - 6K (3.6)
We współrzędnych sferycznych ( r, θ , φ), element liniowy będzie miał w tych współrzędnych postać : dσ2 = B(r) dr2 + r2 dθ2 + r2sin2θ dφ2
Niezerowe współczynniki koneksji są równe : Γr
rr = [ 1/ 2B(r) ] [ dB(r)/ dr ] , Γr
θθ = - r /B(r) , Γr
φφ = - r sin2θ / B(r) Γθ
rθ = Γφ
rφ = 1/ r , Γθ
φφ = - sinθ cosθ , Γφ
φθ = cotθ Tensor Ricciego
Rij = ∂j Γk
ik - ∂k Γk ij + Γm
ij Γk mj - Γm
ij Γk mk Niezerowe składowe :
Rrr = (1/rB) ( dB/dr) , Rθθ = (1/B) – 1 - (r/2B2 ) (dB/dr) , Rφφ = Rθθ sin2 θ Korzystając z wyprowadzonego wzoru Rjk = - 2K gjk
(1/rB) (dB/dr) = 2KB(r) (3.7)
1 + (r/2B2 )(dB/dr) – (1/B) = 2Kr2 (3.8)
Całkując (3.7) otrzymujemy :
B(r) = 1/ ( A – Kr2 ) (3.9)
Gdzie : A – stała całkowania
Podstawiając (3.9) do (3.8) otrzymujemy : 1 – A + Kr2 = Kr2 ⇒ A = 1
Zatem element liniowy dla 3-przestrzeni o maksymalnej symetrii ma postać :
dσ2 = [ dr2 / ( 1- Kr2 )] + r2 dθ2 + r2sin2θ dφ2 (3.10)
I ostatecznie dochodzimy do elementu postaci (3.1). [ 1-lit. ang. str. 359 ]
Macierz elementu metrycznego Robertsona-Walkera ( dla jednostek w których c = 1):
Równania pola.
Równanie Einsteina z członem kosmologicznym :
Rµν – ½gµνR + Λgµν = κ Tµν (3.11)
Rµν = - κ ( Tµν – ½Tgµν ) + Λgµν (3.11a)
Przyjmijmy dla naszego modelu wszechświata następującą postać tensora energii-pędu :
Tµν = [ ρ + (p/c2 ) ] uµ uν - p gµν (3.12)
Przyjmijmy dalej, element metryczny Robertsona-Walkera o niezerowych składowych postaci : g00 = c2 , g11= R2(t) / ( 1 – kr2 ) , g22 = -R2(t) r2 , g33 = - R2(t)r2 sin2θ
Jak można policzyć ze wzoru : Γσµν = ½ gσρ ( gρµ, ν + gρν, µ - gµν, ρ ) niezerowe współczynniki koneksji są następujące :
( kropka oznacza różniczkowanie względem czasu kosmicznego t )
Dalej ze wzoru : Rµν = Γσ
µσ, ν - Γσ
µν, σ + Γρ µσ Γσ
ρν - Γρ µν Γσ
ρσ możemy policzyć niezerowe współczynniki tensora Ricciego :
We współrzędnych współporuszających się (t, r, θ, φ) 4-prędkość cieczy ma składowe : uµ = ( 1, 0, 0, 0 ) = δµ0 , zatem tensor energii-pędu możemy zapisać następująco :
Tµν = ( ρc2 + p) c2 δ0µ δ0ν - pgµν Ślad tego tensora jest równy :
T = Tµµ = [ ρ + (p /c2 )] c2 - pδµµ = ρc2 – 3p Zatem :
Tµν – ½ Tgµν = (ρc2 + p)c2 δ0µ δ0ν – ½ ( ρc2 – p ) gµν Podstawiając te zależności do równania (3.11a) otrzymamy :
Podstawiając wartości składowych elementu metryki otrzymamy tylko dwa niezależne równania :
3R••/R = - ½ κ ( ρc2 – 3p )c2 + Λc2 (3.13)
RR•• + 2R•2 + 2c2k = [ ½ κ ( ρc2 – p ) + Λ ] c2 R2 (3.14)
Eliminując R•• z (3.14) oraz wprowadzając κ = 8πG/ c2 otrzymujemy ostatecznie jedne z najważniejszych równań kosmologicznych :
R•• = - (4πG/3) [ ρ + (3p/c2 )] R + 1/3 Λc2 R (13.15)
R•2 = (8πG/3) ρR2 + 1/3 Λc2 R2 - c2k (13.16) ( k – krzywizna, p – ciśnienie , ρ – gęstość , R – kosmiczny czynnik skali )
Równania te określają ewolucje w czasie kosmicznym t czynnika skali R(t), nazywamy je Friedmanna-Lemaitre’a , dla przypadku Λ = 0 - równaniami Friedmanna.
3R••/R = - ½ κ ( ρc2 – 3p )c2 (13.17)
RR•• + 2R•2 + 2c2k = [ ½ κ ( ρc2 – p ) ] c2 R2 (13.18)
lub :
( R•2 + c2k ) / R2 = 8Gπρ/3
( 2R••/ R ) + [ ( R•2 + c2k ) / R2 ] = 8Gπp/3c2
Eliminując z powyższych równań R otrzymamy ( równanie Friedmanna ):
R•2 + c2k = 8GπρR2/3
Równanie ruchu cieczy kosmicznej.
Jak wiemy zależność ∇µ Tµν = 0 prowadzi do równania ciągłości i równania ruchu cząstek cieczy kosmicznej.
Równania wynikające z kowariantnego prawa zachowania tensora energii-pędu cieczy kosmicznej mają postać :
∇µ ( ρ uµ ) + (p/c2 ) ∇µ ( uµ ) = 0 (13.19) [ ρ + (p/c2 ) ] uµ ∇µ uν = [ gµν - (uµuν /c2 )] ∇µ p (13.20) Równanie (13.20) jest spełnione tożsamościowo –obie strony są równe zeru, równanie (13.19) możemy przepisać do postaci :
( ∂µp ) uµ + [ ρ + (p/c2 )] ( ∂µuµ + Γµ
νµ uν ) = 0 (13.21) dla : uµ = δµ0 sprowadza się ono do :
ρ• + [ ρ + (p/c2 )] ( 3R•/ R) = 0 (13.22) Równanie (13.22) może być wyprowadzone z równań (13.15), (13.16).
Równanie (13.22) możemy przepisać do dogodniejszej postaci :
d( ρR3 )/ dt = - 3pR•R2 /c2 (13.23)
III. Ekspansja Wszechświata i modele wszechświata.
Jak już powiedziano, jednym z najważniejszych astronomicznych wniosków obserwacyjnych uzyskanych i potwierdzonych w latach 30-tych XX wieku było stwierdzenie, że statystycznie rzecz biorąc wszystkie galaktyki oddalają się od siebie. Wniosek taki został wyprowadzony na podstawie analizy przesunięcia ku czerwieni, odległych galaktyk. Pod pojęciem ekspansji Wszechświata należy rozumieć (statystycznie ) oddalanie się od siebie galaktyk ( lub gromad galaktyk ). Rozszerzanie się Wszechświata nie dotyczy struktury cząsteczkowej, atomowej lub nawet struktur typu układów planetarnych. [ 19, str. 32].
Rys. 3.1 Poglądowe przedstawienie rozszerzania się Wszechświata. Taki poglądowy rysunek jest właściwie słuszny zarówno dla modeli otwartych jak i zamkniętych. Model zamknięty przedstawia się często jako „model
nadmuchiwanego balonu” na powierzchni którego wyróżniono pewne punkty, symulujące galaktyki. Dla modeli otwartych np. płaskich - modelu płaskiego ( omówieniu takich modeli będzie poświęcony następny punkt ) takim modelem mogłaby być nieskończona, rozciągliwa płaszczyzna (np. gumowa ), która zostaje rozciągana izotropowo.
Przesunięcie ku czerwieni.
Zmianę długości fotonu przebiegającego kosmiczne odległości opisujemy za pomocą „parametru przesunięcia ku czerwieni” :
z = ( λobserwowana − λemitowana ) / λemitowana = ( femitowana − fobserwowana ) / fobserwowana λemitowana – długość fali światła w punkcie emisji λobserwowana – długość fali światła w punkcie obserwacji ( analogiczny opis dla wielkości f – częstotliwości )
z = ( fe − fo ) − 1
Parametr z jest dodatni, jeżeli długość fali fotonu rośnie z czasem (ekspansja ). Parametr te jest wielkością bezpośrednio mierzalną - częstotliwość fo mierzą detektory przyłączone do teleskopu, częstotliwość fe ustala się identyfikując linie widmowe w świetle dochodzącym do nas od badanej galaktyki. [14 str. 47 ]
Kosmologiczne przesunięcie ku czerwieni jest zjawiskiem, które należy odróżniać od grawitacyjnego przesunięcia ku czerwieni oraz efektami związanymi ze zjawiskiem Dopplera. Na początku przeciwnicy teorii rozszerzającego się wszechświata twierdząc, że przesunięcie linii widmowych jest wynikiem efektu Dopplera.
E. A. Milne wyraził przypuszczenie, że przesunięcie ku czerwieni jest uwarunkowane bardzo powolnymi zmianami tempa przebiegów procesów wewnątrzatomowych następującymi w miarę upływu czasu. ( teoria zmęczenia światła ) [30 str. 146 ]
Rys. 3.2 Długość fali fotonu wyemitowanego np. w odległej galaktyce A, w przypadku ekspansji Wszechświata rośnie.
Zatem odebrana długość np. w galaktyce B będzie większa.
Rys. 3.3 Wykres przedstawiający prędkość jako funkcje odległości dla 1355 galaktyk. Z zależności liniowej wynika prawo Hubble’a. [19]
Rys. 3.4 Widma dwóch galaktyk – prążki pokrywają się jeżeli zostaną przesunięte o z = 0,1 – jest to istota kosmologicznego przesunięcia ku czerwieni. [29 str. 395 ]
Prawo Hubble’a stwierdza liniową zależność przesunięcia widm galaktyk w stronę fal długich, od ich odległości jasnościowych : v ≈ H0d ≈ z
( Należy pamiętać, że obowiązuje ono dla galaktyk odległych na tyle, że ich prędkość ekspansji jest wyraźnie większa od prędkości swoistych galaktyk. Jednocześnie odległość musi być na tyle „mała” ( w sensie kosmologicznym ), aby można było pominąć efekty spowodowane krzywizną czasoprzestrzeni i ekspansją Wszechświata w czasie w jakim świtało dociera do Drogi Mlecznej )
Stała Hubble’a określona jest następująco : H(t) = R•(t) / R(t)
dR/dt = H0R + vwłasna
Rys. 3.5 Wyjaśnienie wzoru H(t) = R•(t) / R(t). Jeżeli obserwator w galaktyce 0 widzi ekspansje o czynniku H0, inny obserwator np. w galaktyce1, 2 powinien widzieć to samo.
Należy rozróżniać „stałą” Hubble’a H ( która w istocie jest zmienną zależną od czasu ) od stałej Hubble’a H0 – tj.
obecną wartością H.
Problem pomiaru odległości w skali kosmologicznej.
Podstawowym parametrem istotnym z punktu widzenia kosmologii, który wyznacza się metodami astronomicznymi jest odległość ( mowa oczywiście o odległościach w skali galaktycznej ). Jedyną możliwą i sensowną fizycznie odległością w skalach galaktycznych jest tzw. „odległość jasnościowa”. ( światło docierające do nas w chwili obecnej od odległych obiektów kosmicznych zostało wysłane setki milionów lat temu, w „rzeczywistości” obiekty te mogą już nie istnieć ). Nich dany obiekt emituje promieniowanie o całkowitej i znanej ( np. z obliczeń teoretycznych lub skalowania ) mocy L ( przyjmijmy, że czasoprzestrzeń jest płaska a Wszechświat nie ewoluuje ). Jeżeli obiekt ten jest odległy o d i promieniuje izotropowo, to moc promieniowania przechodzącego przez jednostkę pola powierzchni sfery o promieniu d wynosi :
Lo = L/4πd2 ⇒ d = ( L/ 4πLo )1/2 [14 str. 49]
Warto przypomnieć, że podstawową metodą wyznaczania odległości gwiazd ( czyli znacznie mniejszych niż odległości kosmologiczne ) jest metoda wyznaczania ich paralaksy. Dla ciał niebieskich położonych blisko Ziemi ( Księżyc, planety układu słonecznego ) wyznaczanie ich odległości sprowadza się do pomiaru kąta paralaksy geocentrycznej. Dla gwiazd stosujemy metodę paralaksy heliocentrycznej. Jako bazę stosujemy orbitę Ziemi wokół Słońca, dokonujemy następnie pomiaru kierunku (kąta θ ) do gwiazdy, której odległość wyznaczamy, w odstępie około pół roku.
Rys. 3.6 Paralaksa heliocentryczna
d - odległość do obserwowanej gwiazdy, a – średnia odległość Ziemia-Słońce ( 2AU ) a/d = tg(θ) , ponieważ kąt θ jest bardzo mały możemy przyjąć tg(θ) ≈ θ
Kąt π nazywamy paralaksą gwiazdy, jeżeli kąt paralaksy wyrazimy w sekundach łuku, a odległość (średnią)
Ziemia-Słońce przyjmiemy jako jednostkę astronomiczna (AU), wtedy :
d = 206265 / π’’ [AU] ; 206265 – liczba sekund w radianie , π’’ – kąt paralaksy wyrażony w sekundach łuku.
Parsek [pc] – jest odległością z której jedna jednostka astronomiczna widoczna jest pod kątem jednej sekundy łuku.
1 [pc] = 206265 [AU] = 3.26 [lat świetlnych]
Świece standardowe - cefeidy.
Obserwowane przez na gwiazdy mają różne jasności, wynika to z dwóch przyczyn po pierwsze gwiazdy w rzeczywistości emitują różne ilości energii, po drugie znajdują się one w bardzo różnych odległościach.
Jasność gwiazdy mierzona z powierzchni Ziemi nazywa się „jasnością obserwowaną (widomą )”. Pojęcie to odpowiada w fizyce natężeniu oświetlenia, wyrażanemu w luksach [lx].
W astronomii jasność gwiazd wyraża się w tzw. wielkościach gwiazdowych ( łac. magnitudo ). Skala wielkości gwiazdowych opiera się na klasyfikacji Ptolomeusza, który podzielił gwiazdy widoczne na niebie gołym okiem na 6 grup. Do pierwszej grupy zaliczył gwiazdy najjaśniejsze, do szóstej gwiazdy najsłabsze. W XIX wieku pojęcie to uściślono, wprowadzając następujące zasady :
1) stosunek natężeń oświetleń pochodzących od gwiazd różniących się jasnością o jedną wielkość gwiazdową jest stały Im / Im+1 = a = const.
2) Gdy dwie gwiazdy różnią się jasnością o 5 wielkości gwiazdowych, wtedy natężenie oświetlenia pochodzące od gwiazdy słabszej jest 100 razy mniejsze od natężenia pochodzącego od gwiazdy jaśniejszej :
Im / Im+5 = 100
Z takiej definicji otrzymujemy wartość stałej a = 2,512.... ( wynika ona z zależności log a5 = log 100 ) Tak wiec różnicy jednej wielkości gwiazdowej odpowiada stosunek natężeń oświetlenia wynoszący 2,512.
( skala jasności obserwowanych ma charakter logarytmiczny )
Pomiędzy jasnością gwiazdy m ( w zakresie świtała widzialnego ), wyrażoną w wielkościach gwiazdowych, a wartością natężenia oświetlenia I [lx], istnieje następująca zależność :
m = - 2,5 log I – 13,98
Oczywiście jasność obserwowana gwiazdy zależy od jej odległości do nas. W szczególności może się zdarzyć, ze gwiazda emitująca niewiele światła, lecz znajdując się blisko nas będzie o wiele jaśniejsza od silnego źródła promieniowania znajdującego się w znacznej odległości.
Aby wyeliminować wpływ odległości, wprowadza się pojęcie jasności absolutnej. Pod tym pojęciem rozumiemy jasność gwiazdy, jaką by ona miała gdyby znajdowała się w odległości 10 [pc ].
Pochodzące od gwiazdy natężenie oświetlenia we wszystkich długościach fali nazywa się „jasnością bolometryczną”
gwiazdy. Całkowity strumień energii jaką wypromieniowuje gwiazda we wszystkich kierunkach w jednostce czasu nazywa się „mocą promieniowania” gwiazdy lub światłość gwiazdy ( ang. luminosity )
Moc promieniowania możemy określić w sposób bezpośredni jedynie dla Słońca. Dla innych gwiazd moc promieniowania może być obliczona przez porównanie ich jasności absolutnej z jasnością absolutną Słońca.
Niech L¤ , L* - będą odpowiednio mocami promieniowania Słońca i danej gwiazdy ; M¤ , M* - są odpowiednio jasnościami absolutnymi Słońca i gwiazdy. Możemy zapisać następującą zależność :
log (L* / L¤ ) = 0,4 ( M¤ – M* )
Zazwyczaj przyjmuje się L¤ = 1 , podstawiając otrzymaną dla Słońca bolometryczną jasność absolutną, otrzymujemy : log L* = - 0,4 M* + 1,888
Jednym z najważniejszych z punktu widzenia pomiarów odległości kosmologicznych typów gwiazd są gwiazdy pulsujące. Wspólną cechą gwiazd pulsujących są regularne lub półregularne zmiany jasności związane z kurczeniem i rozszerzaniem się gwiazdy. Pośród gwiazd pulsujących na szczególną uwagę zasługują gwiazdy δ Cephei ( cefeidy ) Zmieniają one jasność w okresach od 1 do 70 dni przy czym u większości cefeid okres ten wynosi ok. 7 dni.
Amplituda zmian jasności cefeid mieści się w przedziale od 0,1 do 2, 0 mag
W 1912 roku Henriett Leavitt z obserwatorium Harvard College odkryła bardzo ważną własność cefeid. Leavitt zbadała pewną grupę cefeid położonych blisko siebie cefeidy w Małym Obłoku Magellana (MOM). Ponieważ
odległość do MOM jest znacznie większa od odległości pomiędzy poszczególnymi obserwowanymi cefeidami, można przyjąć, że wszystkie one znajdują się na prawie równej odległości od nas. W takim przypadku możemy porównywać wielkości gwiazdowe takich cefeid. Leavitt odkryła, zależność pomiędzy jasnością obserwowaną cefeid i ich okresami jest równocześnie zależnością pomiędzy ich jasnościami absolutnymi i ich okresami. ( jasność obserwowana różni się tylko o stałą wartość od ich jasności absolutnej )
Kiedy taką zależność wykalibrowano dla pobliskich cefeid ( tj. dla cefeid których odległość jest znana i o zmierzonej jasności ) można ją było wykorzystać do określenia odległości do innych, bardziej odległych cefeid.
Mierząc czas trwania cyklu wybranej cefeidy, wyznaczamy jej jasność absolutną, następnie porównując tę jasność z jasnością obserwowaną ustalamy odległość do danej cefeidy.
Rys. 3.7 Zależność okres –jasność dla cefeid. Górna krzywa pokazuje zmiany jasności typowej cefeidy – od 1000 do 2000 jasności Słońca w okresie ok. 5 dni. Dolna krzywa przedstawia w jaki sposób średnia jasność cefeidy zmienia się w zależności od ich okresu.
W następnym punkcie zostaną wprowadzone klasyczne już równania kosmologiczne zwane równaniami Friedmanna.
Standardowe rozwiązania tych równań określają trzy możliwe modele Wszechświata : a) model płaski ( model o zerowej krzywiźnie )
b) model zamknięty ( model o dodatniej krzywiźnie – zmiennej w czasie ) c) model otwarty ( model o ujemnej krzywiźnie – zmiennej w czasie )
Rys. 3.8 Poglądowa topologia trzech modeli Wszechświata.
IV. Modele Friedmanna.
Równanie Friedmanna opisuje rozszerzanie się Wszechświata jest zatem najważniejszym równaniem w kosmologii.
Dane obserwacyjne wskazują, że Wszechświat jest wypełniony głównie materią (ciemną ), a ciśnienie jest
zaniedbywanie małe w porównaniu z gęstością. Standardowe modele Friedmanna otrzymujemy po przyrównaniu do zera ciśnienia : p = 0.
Równanie (13.22) dla takiego warunku możemy przepisać następująco :
ρ• + 3ρ( R•/ R ) = 0 ⇒ (1/R3) d/dt( ρR3 ) = 0 (4.1) lub korzystając od razu z (13.23)
d( ρR3 )/ dt = 0 ⇒ ρR3 = const. (4.2)
Jeżeli oznaczymy obecne wartości gęstości cieczy kosmicznej I promienia Wszechświata, odpowiednio przez ρ0 , R0 to w chwili „obecnej” t0 , to wielkości : ρ0 = ρ(t0) , R0 = R(t0) są obecnymi wartościami R, ρ.
Równanie Friedmanna możemy teraz przepisać następująco :
( 2R••/ R ) + [ ( R•2 + c2k ) / R2 ] = 0 (4.3) ( R•2 + c2k ) / R2 = ( 8Gπρ0/ 3) ( R03 /R3) (4.4) ( są to równania Friedmanna dla epoki dominacji materii ) ( matter-dominated epoch )
Podstawiając do (4.4) stałą Hubble’a otrzymujemy :
H2 + c2k / R2 = ( 8Gπρ0/ 3) ( R03 /R3) (4.5)
W epoce obecnej ( t = t0 , R = R0, H = H0 ) otrzymujemy :
H02 + c2k / R02 = 8Gπρ0/ 3 (4.6)
lub :
k / R02 = ( 8Gπρ0/3c2 ) – (H02/ c2 ) = ( 8Gπ/3c2) (ρ0 - ρc ) (4.7) ρc = 3H02/ 8Gπ – gęstość krytyczna materii
( obecna wartość gęstości krytycznej materii wynosi : ρc = 2 •10-26 a2 [ kg/m3 ] , ( ½ ≤ a ≤ 1 ) Z zależności (4.7) wynika , że :
k > 0 dla ρ0 > ρc k = 0 dla ρ0 = ρc k < 0 dla ρ0 < ρc
To oznacza, że wartość gęstości krytycznej określa globalną geometrie czasoprzestrzeni.
Element liniowy czterowymiarowej przestrzeni izotropowej i jednorodnej możemy zapisać w innej postaci, wprowadzając nową zmienną χ tak aby dχ = dr / sqrt ( 1 – kr2 ) :
ds2 = c2dt2 – R2(t)[ dχ2 + f2(χ) ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) ] , gdzie : f(χ) = { sin χ dla k = + 1
{ χ dla k = 0
{ sinh χ dla k = - 1
Rys. 4.1 Modele Wszechświata z zerowym ciśnieniem ( epoka dominacji materii ) Wprowadźmy dalej parametr spowolnienia – hamowania ( deceleration parametr ) q(t) :
q(t) = - R••(t) R(t) / R•2(t) = - ( 1/H2)R•• / R (4.8)
Ponieważ z (4.3) , (4.4) wynika, że : R••/ R = - (4πGρ0/3 ) (R03/R3) to :
q(t) = - (4πGρ0/3H2 ) (R03/R3) (4.9)
W obecnym czasie :
q0 = 4πGρ0/3H02 = q0 /2ρ0 (4.10)
Model płaski k = 0
Dla modelu płaskiego (ρ0 = ρc , q0 = ½ ) równanie Friedmanna możemy zapisać następująco : R•2 = 8Gπρ0R03/ 3R = H03 R03/ R
( oczywiście ρc = 3H02/ 8Gπ ⇒ H02 = 8Gπρ0 / 3 ) lub w formie : R•2 = A2 / R ; A = H02 R03/2
i dalej :
R• = dR/dt = A R-1/2 ⇒ ∫ √R dR = A ∫ dt + C ⇒ 2/3 R3/2 = At + C ⇒ R(t) = (3A/2)2/3 t2/3 ( stała C = 0 bo R(0) = 0 )
Rozwiązanie : R(t) = (3A/2)2/3 t2/3
Nazywamy rozwiązaniem Einsteina-deSittera
Model zamknięty k = 1
Dla modelu zamkniętego z k =1 równanie (4.7) daje ρ0 > ρc i ρ0 > ½. Równania Friedmanna przyjmują postać : ( R•2/c2 ) + 1 = 8Gπρ0 R03/ 3c2R = B/R (4.11) B = 8Gπρ0 R03/ 3c2R = 8/3 Gπρ0H02R03 / H02c2 = 2q0H02R03 / c2
Równanie (4.7) możemy zapisać następująco :
1 / R02 = ( H02/ c2 ) [ ( 8/3 Gπρ0/ 3H02) – 1 ] = ( H03/c2 ) ( 2q0 – 1 ) (4.12) lub :
R02 = (c /H0 ) ( 2q0 – 1 )-1/2 (4.13)
Zatem :
B = 2q0c / ( 2q0 – 1)3/2 H0 (4.14)
Równanie (4.11) możemy przepisać do postaci : t R
(1/c) (dR/dt) = (B – R)/ R ⇒ ∫ c dt = ∫ sqrt[ R / (B – R) ] dR (4.15) 0 0
Wprowadźmy nowy parametr kątowy η :
R = B sin2 (η/2) = ½ B [ 1 – cos (η ) ] (4.16)
Zatem : dR = B sin(π/2) cos(π/2) dη
sqrt[ R / (B – R) ] dR = B sin2(π/2) dη = ½ B [ 1- cos(η) ] dη
