Podstawy Fizyki

Podstawy Fizyki

Część II

Fizyka Klasyczna cd.

Fizyka Kwantowa

(na prawach rękopisu)

Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gdańska 2001

Drgania i fale

elektromagnetyczne

1.1 Drgania elektryczne

1.1.1 Obwód LC — drgania nietłumione

W obwodach, zawierających elementy o określonej indukcyjności, pojem- ności i oporze omowym mogą w pewnych warunkach powstawać drgania elektryczne. Rozpatrzymy najpierw tzw. obwód LC, to znaczy obwód złożo- ny z solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C (rys. 1.1).

Będziemy zakładać, że opór elektryczny solenoidu i przewodów łączących go z kondensatorem jest zaniedbywalnie mały.

Przyjmijmy, że w chwili początkowej bezwględna wartość ładunków elek- trycznych, zgromadzonych na okładkach kondensatora, wynosi q0(rys. 1.1a).

q = +q_o

o

C L C

L

q = 0

C L

q = +q_o o

I

a) b) c)

Rysunek 1.1:

1

Po zamknięciu wyłącznika na skutek różnicy potencjałów okładek konden- satora w obwodzie popłynie prąd elektryczny. Gdyby w obwodzie nie było solenoidu, natężenie prądu powinno stopniowo maleć aż do zera, ponieważ zmniejsza się różnica potencjałów okładek. Indukowana w solenoidzie siła elektromotoryczna dąży jednak, zgodnie z regułą Lenza, do podtrzymania przepływu prądu. W rezultacie natężenie prądu wzrasta do momentu wy- równania się potencjałów okładek (rys. 1.1b) a następnie zaczyna maleć.

Prąd będzie płynąć w tym samym kierunku do chwili, gdy na okładkach kondensatora zgromadzą się ładunki równe co do bezwzględnej wartości po- czątkowemu ładunkowi q0, ale o przeciwnych znakach (rys. 1.1c). Następnie opisany proces będzie się powtarzać. W obwodzie LC będą więc zachodzić nietłumione drgania elektryczne.

Określimy teraz zależność ładunku na okładkach kondensatora i natę- żenia prądu od czasu. W dowolnym momencie siła elektromotoryczna EL, indukowana w solenoidzie, jest równa napięciu UC między okładkami kon- densatora,

E^L= UC, (1.1)

gdzie

EL= −LdI

dt, (1.2)

UC = q

C. (1.3)

Otrzymujemy stąd równanie LdI

dt + q

C = 0, (1.4)

które, uwzględniając definicję natężenia prądu, I = dq

dt, (1.5)

można przepisać jako

Ld²q dt² + q

C = 0. (1.6)

Dzieląc to równanie przez L i wprowadzając oznaczenie ω²0 = 1

LC (1.7)

([ω0] = s⁻¹), otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:

d²q

dt² + ω0²q = 0. (1.8)

Ma ono postać identyczną z równaniem, opisującym nietłumione drgania oscylatora harmonicznego (część I, podrozdział 2.5.1). Rozwiązaniem tego równania jest więc funkcja

q = q0cos (ω0t + ϕ) , (1.9) określająca ładunek na okładkach kondensatora. Można to sprawdzić w ana- logiczny sposób, jak w przypadku drgań harmonicznych, obliczając drugą pochodną ładunku q i podstawiając d²q/dt² i q do równania (1.8). Korzy- stając ze wzoru (1.5) otrzymujemy następujący wzór, określający natężenie prądu w obwodzie

I = dq

dt = −ω⁰q0sin (ω0t + ϕ) . (1.10) Wprowadzając oznaczenie I0 = ω0q0 ostatni wzór można przepisać jako

I = −I⁰sin (ω0t + ϕ) . (1.11) Zgodnie z wzorami (1.9) i (1.11) zarówno ładunki na okładkach kondensatora jak i natężenie prądu w obwodzie zmieniają się sinusoidalnie z czasem (rys.

1.2). W obwodzie LC zachodzą więc elektryczne drgania nietłumione. q0

i I0 są odpowiednio maksymalnymi bezwzględnymi wartościami ładunków na okładkach i natężenia prądu a faza początkowa ϕ określa wartości q i I

+q_o

o

q

t

T/2

T

+ I_o

o

I

t

T/2 T

3/2 T

3/2 T

Rysunek 1.2:

w chwili początkowej. Jeżeli np. w chwili t = 0 ładunek q = q0, to ϕ = 0.

Natomiast ω0jest pulsacją (częstotliwością kątową) drgań elektrycznych. Jak wynika ze wzoru (1.7), jest ona równa

ω0= 1

√LC . (1.12)

Okres drgań w obwodzie wyraża się natomiast wzorem T = 2π

ω0

, (1.13)

czyli

T = 2π√

LC . (1.14)

Ostatni wzór nosi nazwę wzoru Thomsona (Kelvina). Zgodnie z nim, okres drgań elektrycznych jest wprost proporcjonalny do pierwiastka kwadratowe- go z indukcyjności solenoidu i pojemności kondensatora.

Rozpatrzymy jeszcze przemiany energii, zachodzące podczas drgań elek- trycznych w obowodzie LC (por. rys. 1.1). Przypomnijmy, że zarówno nała- dowany kondensator jak i solenoid z prądem posiadają określoną energię. W chwili początkowej, gdy prąd nie płynie, cała energia obwodu jest zgroma- dzona w polu elektrycznym kondensatora. Energia ta zamienia się stopniowo w energię pola magnetycznego solenoidu. W momencie rozładowania kon- densatora cała energia obwodu jest zmagazynowana w polu magnetycznym wewnątrz solenoidu. Następnie jest ona z powrotem zamieniana w energię pola elektrycznego w kondensatorze, itd. Opisany proces jest analogiczny do kolejnych przemian energii potencjalnej drgającego ciała w jego energię kinetyczną i na odwrót (por. część I, podrozdział 2.5.1).

Można łatwo wykazać, że w przypadku drgań elektrycznych w obwo- dzie LC spełniona jest zasada zachowania energii. Energia naładowanego kondensatora jest dana wzorem

EpC = q²

2C (1.15)

(część I, wzór (4.80)). Korzystając ze wzoru (1.9), otrzymujemy EpC = q0²

2C cos²(ω0t + ϕ) . (1.16) Natomiast energia solenoidu, przez który płynie prąd, wynosi

E_pL = LI²

2 (1.17)

(część I, wzór (6.24)). Biorąc pod uwagę wzór (1.11), dostajemy EpL= LI0²

2 sin²(ω0t + ϕ) . (1.18) Uwzględniając związek I0 = ω0q0 i wzór (1.7) łatwo stwierdzić, że stałe czynniki przed funkcjami trygonometrycznymi we wzorach (1.16) i (1.18) są sobie równe:

LI0² = Lω0²q0²= q²0/C. (1.19) Jest teraz widoczne, że suma energii zgromadzonej w kondensatorze i w solenoidzie nie zależy od czasu:

EpC + EpL = q0²

2C = LI0²

2 . (1.20)

W otrzymanym wzorze wyrażenia zawierające q0 i I0 przedstawiają odpo- wiednio maksymalną energię kondensatora i solenoidu.

1.1.2 Obwód RLC — drgania tłumione

Opisany w poprzednim podrozdziale przypadek drgań elektrycznych nietłu- mionych w rzeczywistości praktycznie nie występuje. W normalnych wa- runkach każdy obwód posiada bowiem skończony opór elektryczny i zgro- madzona w obwodzie energia rozprasza się stopniowo na oporze w postaci ciepła. Drgania elektryczne w obwodzie będą wówczas zanikać — nazywamy je drganiami tłumionymi. Inną przyczyną utraty energii w obwodzie drgają- cym jest emisja fal elektromagnetycznych. Zjawisko to rozpatrzymy póżniej.

Rozważając drgania nietłumione obwodu elektrycznego mamy więc na myśli sytuację, gdy straty energii obwodu w danym przedziale czasu są do pomi- nięcia.

Zbadamy teraz elektryczne drgania w obwodzie RLC, to znaczy w ob- wodzie, składającym się z elementu o oporze R, solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C (rys. 1.3). Po zamknięciu przełącznika w obwodzie takim powstaną stopniowo zanikające drgania. Siła elektromoto- ryczna EL, indukowana w solenoidzie, musi być równa sumie napięcia URna oporze i napięcia UC na kondensatorze,

EL= UR+ UC. (1.21)

Poszczególne wielkości wyrażają się wzorami:

EL= −LdI

dt, (1.22)

q = +q_o

o

C L

R

Rysunek 1.3:

U_R= RI, (1.23)

UC = q

C (1.24)

(wzór (1.23) wynika z prawa Ohma). Po podstawieniu tych wyrażeń do rów- nania (1.21) otrzymujemy równanie

LdI

dt + RI + q

C = 0, (1.25)

z którego, po uwzględnieniu związku I = dq

dt, (1.26)

wynika równanie różniczkowe

Ld²q

dt² + Rdq dt + q

C = 0. (1.27)

Dzieląc ostatnie równanie przez L i wprowadzając oznaczenia ω²0 = 1

LC, (1.28)

β = R

2L (1.29)

([β0] = s⁻¹), otrzymujemy w rezultacie następujące równanie różniczkowe d²q

dt² + 2βdq

dt + ω²0q = 0. (1.30)

Jest ono identyczne z równaniem tłumionych drgań harmonicznych (patrz część I, podrozdział 2.5.2). Zależność ładunku na okładce kondensatora od czasu określa więc wzór

q = q0e^−βtcos (ωt + ϕ) , (1.31) gdzie pulsacja (częstotliwość kątowa) tłumionych drgań ładunku jest dana wzorem

ω =^qω₀²− β². (1.32)

Można to bezpośrednio sprawdzić, obliczając pierwszą i drugą pochodną ładunku q i podstawiając wielkości d²q/dt², dq/dt i q do równania (1.30).

Czasową zależność natężenia prądu w obwodzie można teraz obliczyć, ko- rzystając ze wzoru (1.26). Dla uproszczenia rozpatrzymy przypadek drgań słabo tłumionych, gdy β  ω, ω⁰. Wówczas, jak łatwo pokazać, wystarczy zróżniczkować tylko funkcję cosinus we wzorze (1.31), co daje wzór

I ≈ −ωq⁰e^−βtsin (ωt + ϕ) . (1.33) Wprowadzając oznaczenie I0 = ωq0 ≈ ω⁰q0 wzrór ten możemy przepisać jako

I ≈ −I⁰e^−βtsin (ωt + ϕ) . (1.34) Podobnie, jak w przypadku drgań nietłumionych, początkowa faza ϕ we wzo- rach (1.31) i (1.34) określa wartości q i I w chwili t = 0. Wykresy czasowego przebiegu ładunku q i natężenia prądu I pokazuje rysunek 1.4. Ze względu na występowanie w wymienionych wzorach czynnika e^−βt, drgania elektrycz- ne stopniowo zanikają z czasem. Zanik drgań jest tym szybszy, im większa jest wartość współczynnika β, zwanego współczynnikiem tłumienia, tj. im większa jest wartość stosunku R/L (patrz wzór (1.29)).

Uwzględniając wzory (1.28) i (1.29), wyrażenie (1.32) określające pulsa- cję elektrycznych drgań tłumionych możemy zapisać jako

ω = s 1

LC −

R 2L

²

. (1.35)

Natomiast okres drgań tłumionych wyraża się wzorem T = 2π

ω , (1.36)

+q_o

o

q

t

T/2

T

+ I_o

o

I

3/2 T

t

T/2

T

3/2 T q e_o ^{- tb}

q e_o ^{- tb}

I e_o ^{- tb}

I e_o ^{- tb}

Rysunek 1.4:

czyli

T = 2π

r

1

LC −^_2L^R2

. (1.37)

Porównując ostatni wzór ze wzorem (1.14) można stwierdzić, że okres drgań tłumionych jest dłuższy od okresu drgań nietłumionych, podobnie jak w przypadku drgań mechanicznych.

Zauważymy jeszcze, że wyrażenie (1.31) stanowi rozwiązanie równania (1.30) tylko w przypadku, gdy β < ω0, tj. gdy R < 2^pL/C. Inaczej pod pierwiastkiem we wzorze (1.32) występuje zero lub liczba ujemna. Można wykazać, że dla wartości β ­ ω⁰ ładunek na okładkach i natężenie prądu stopniowo zanikają bez oscylacji.

1.1.3 Obwód RLC — drgania wymuszone

Jak pokazano w poprzednim podrozdziale, energia zgromadzona w obwodzie RLC zamienia się na ciepło wydzielane na oporze. W rezultacie swobodne drgania elektryczne stopniowo zanikają. Aby wytworzyć w dowolnym ob- wodzie niegasnące drgania elektryczne, należy doprowadzać do niego z ze- wnątrz energię, równoważącą jej straty. Można to osiągnąć przez włączenie w obwód źródła sinusoidalnie zmiennej siły elektromotorycznej — prądnicy

C L

R

~

e

I

Rysunek 1.5:

prądu zmiennego (por. część I, podrozdział 6.2.1). Występujące wówczas w obwodzie drgania elektryczne nazywamy drganiami wymuszonymi.

Rozpatrzymy teraz drgania wymuszone obwodu RLC, do którego zosta- ło włączone szeregowo źródło zmiennej siły elektromotorycznej (rys. 1.5).

Przypadek ten ma duże znaczenie w elektrotechnice i radiotechnice. Założy- my, że zależność zewnętrznej siły elektromotorycznej od czasu ma postać

E = E⁰sin (ωt) , (1.38)

gdzie E⁰ jest amplitudą a ω pulsacją (częstotliwością kątową). Suma siły elektromotorycznej E i siły elektromotorycznej samoindukcji w solenoidzie E^L jest równa sumie napięć URna oporze i UC na kondensatorze,

E + E^L= UR+ UC. (1.39)

Ponieważ, jak poprzednio,

E^L= −LdI

dt, (1.40)

UR= RI, (1.41)

U_C = q

C, (1.42)

ze wzoru (1.39) otrzymujemy równanie LdI

dt + RI + q

C = E⁰sin (ωt) . (1.43) Różniczkując obie strony tego równania względem czasu i korzystając ze związku między ładunkiem na okładkach kondensatora i natężeniem prądu w obwodzie,

I = dq

dt, (1.44)

dostajemy następujące równanie różniczkowe, określające natężenie prądu:

Ld²I

dt² + RdI dt + I

C = E⁰ω cos (ωt) . (1.45) Będziemy szukać rozwiązania powyższego równania w postaci

I = I0sin (ωt − ϕ) . (1.46) Przyjmujemy więc, że pulsacja natężenia prądu jest równa pulsacji zewnętrz- nej siły elektromotorycznej oraz, że w ogólnym przypadku występuje przesu- nięcie fazowe ϕ między prądem i siłą elektromotoryczną (rys. 1.6). Przesu- nięcie fazowe i amplitudę natężenia prądu I0 należy tak dobrać, aby funkcja (1.46) była rozwiązaniem równania różniczkowego (1.45). W tym celu obli- czymy pierwszą i drugą pochodną natężenia prądu:

dI

dt = I0ω cos (ωt − ϕ) , (1.47) d²I

dt² = −I⁰ω²sin (ωt − ϕ) . (1.48) Podstawiając natężenie prądu I i jego pochodne do równania (1.45), otrzy- mujemy po prostych przekształceniach następujące równanie

I0

 1

ωC − ωL



sin (ωt − ϕ) + I⁰R cos (ωt − ϕ) = E⁰cos (ωt) . (1.49) Wprowadzając oznaczenie α = ωt − ϕ, z którego wynika, że ωt = ϕ + α i korzystając ze wzoru określającego cosinus sumy kątów ostatnie równanie można zapisać w postaci

I0

 1

ωC − ωL



sin α + I0R cos α = E⁰cos ϕ cos α − E⁰sin ϕ sin α. (1.50)

e

t

0

Rysunek 1.6:

Aby było ono spełnione dla dowolnej chwili czasu, muszą być sobie równe wyrazy po obu stronach równania, zawierające sin α oraz cos α. Otrzymuje- my stąd wzory

I0R = E⁰cos ϕ, (1.51)

I0



ωL − 1 ωC



= E⁰sin ϕ. (1.52)

Podnosząc teraz do kwadratu obie strony równań (1.51) i (1.52) i dodając je do siebie otrzymujemy

I0²

"

R²+^ωL − 1 ωC

²#

= E0², (1.53)

skąd wynika wzór, określający amplitudę natężenia prądu:

I0 = E⁰

r

R²+^ωL −_ωC^{1 2}

. (1.54)

Natomiast dzieląc stronami równania (1.52) i (1.51) dostajemy wzór, okre- ślający przesunięcie fazowe między prądem i zewnętrzną siłą elektromoto- ryczną:

tg ϕ = ωL −_ωC¹

R . (1.55)

Występującą we wzorze (1.54) wielkość

Z = s

R²+^ωL − 1 ωC

²

(1.56) nazywa się zawadą (oporem pozornym, impedancją) obwodu prądu zmienne- go. Wzór (1.54) można więc zapisać jako

I0 = E⁰

Z . (1.57)

Jest on odpowiednikiem prawa Ohma, które dotyczy obwodu prądu stałe- go, przy czym zawada stanowi odpowiednik oporu omowego R. Natomiast wielkości

X_L= ωL, (1.58)

X_C = 1

ωC, (1.59)

R Z wL

wC 1 wL wC

1

j

Rysunek 1.7:

które pojawiają się we wzorach (1.54) - (1.56), nazywamy odpowiednio opo- rem indukcyjnym(induktancją) oraz oporem pojemnościowym (kapacitacją).

Wzory (1.55) - (1.56) mają prostą interpretację geometryczną. Narysuj- my w dodatnim kierunku osi odciętych wektor o długości R, w dodatnim kierunku osi rzędnych wektor o długości XL = ωL a w ujemnym kierunku tej osi wektor o długości XC = 1/ωC (rys. 1.7). Wtedy, jak łatwo stwierdzić, długość wypadkowego wektora jest równa zawadzie Z obwodu a kąt między tym wektorem i osią odciętych jest równy przesunięciu fazowemu ϕ. Roz- ważymy teraz napięcia na poszczególnych elementach obwodu. Amplituda napięcia na oporze, zgodnie z prawem Ohma, wynosi

U0R= I0R. (1.60)

Można wykazać, że amplitudy napięć na solenoidzie i kondensatorze są równe U0L = I0XL= I0ωL, (1.61)

U0C = I0XC = I0

ωC. (1.62)

Ponadto, zgodnie ze wzorem (1.57), amplituda zewnętrznej siły elektromo- torycznej

E⁰ = I0Z. (1.63)

Powyższe cztery wielkości są odpowiednio proporcjonalne do oporu omowego R, indukcyjnego XL, pojemnościowego XC i oporu pozornego Z. Amplitudy napięć na poszczególnych elementach obwodu prądu zmiennego sumują się więc geometrycznie w ten sam sposób, jak ich opory (rys. 1.7), przy czym

długość wypadkowego wektora jest równa amplitudzie E⁰ siły elektromoto- rycznej.

Zbadamy teraz zależność amplitudy natężenia prądu (1.54) i przesunięcia fazowego (1.55) od pulsacji ω zewnętrznej siły elektromotorycznej. Można łatwo stwierdzić, że dla wartości pulsacji ωr, określonej równaniem

ωrL − 1

ω_rC = 0, (1.64)

czyli dla wartości

ω_r= 1

√LC (1.65)

amplituda natężenia prądu ma maksymalną wartość, I0 = E⁰/R, natomiast prąd pokrywa się w fazie z zewnętrzną siłą elektromotoryczną, ϕ = 0.

Należy zauważyć, że pulsacja ωr jest równa pulsacji nietłumionych drgań obwodu LC (wzór (1.12)). Gdy ω → ωr, amplituda I0 natężenia prądu wy- raźnie wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu elektrycznego a pulsację ω_r nazywa się pulsacją rezonansową. Jeżeli ω → 0, to opór pojemnościowy XC = 1/ωC → ∞. Wówczas I⁰ → 0 i ϕ → −π/2. Jeżeli natomiast ω → ∞, to opór indukcyjny X_L= ωL → ∞. W tym przypadku I⁰ → 0 i ϕ → π/2.

Wykresy zależności amplitudy natężenia prądu I0 i przesunięcia fazowego ϕ od pulsacji ω siły elektromotorycznej są przedstawione na rys. 1.8a, b.

w

I

w w

0

R >

R

p

w

2

p

0

R >

R

j

a) b)

Rysunek 1.8:

Jak wynika z wykresów, przy zmniejszaniu się wartości oporu omowego R zmiany wielkości I0 i ϕ dla pulsacji ω ≈ ωr są coraz bardziej gwałtowne.

Obliczymy jeszcze moc, wydzielaną w obwodzie prądu zmiennego. Zagad- nienie to było już rozpatrywane w części I (podrozdział 6.2.1) przy założeniu, że przesunięcie fazowe między prądem a zewnętrzną siłą elektromotoryczną jest równe zeru. Obecnie rozważymy ogólny przypadek. Korzystając ze wzo- rów (1.38) i (1.46) dostajemy następujące wyrażenie, określające moc prądu zmiennego w danej chwili czasu

P = EI = E⁰I0sin (ωt) sin (ωt − ϕ) . (1.66) Średnia moc prądu zmiennego w ciągu jednego okresu wyraża się wzorem

Pśr= 1 T

Z T 0

P dt. (1.67)

Z ostatnich dwóch wzorów otrzymujemy P_śr= E⁰I0

T Z T

0 sin (ωt) sin (ωt − ϕ) dt. (1.68) Powyższą całkę można łatwo obliczyć, korzystając ze wzoru

sin α sin β = 1

2[cos (α − β) − cos (α + β)] . W rezultacie otrzymujemy

Z T

0 sin (ωt) sin (ωt − ϕ) dt

= 1

2cos ϕ^{Z T}

0 dt − 1 2

Z T

0 cos (2ωt − ϕ) dt

= T

2 cos ϕ (1.69)

(ostatnia całka we wzorze jest, jak łatwo sprawdzić, równa zeru). Na średnią moc prądu zmiennego dostajemy więc wzór

Pśr = E⁰I0

2 cos ϕ , (1.70)

który, uwzględniając definicje skutecznych wartości siły elektromotorycznej i natężenia prądu, Esk= E⁰/√

2, I_sk= I0/√

2, możemy przepisać w postaci Pśr= EskI_skcos ϕ . (1.71)

Wzory te różnią się od wyprowadzonych poprzednio (część I, wzory (6.47) i (6.50)) dodatkowym czynnikiem cos ϕ, zwanym współczynnikiem mocy. Je- żeli przesunięcie fazowe między natężeniem prądu i siłą elektromotoryczną jest równe zeru, ϕ = 0 (np. w przypadku, gdy w obwodzie znajduje się jedynie opór omowy), to cos ϕ = 1 i powyższe wzory sprowadzają się do otrzymanych w części I. Jeżeli natomiast przesunięcie fazowe ϕ = π/2 lub ϕ = −π/2 (gdy w obwodzie znajduje się tylko opór pojemnościowy lub opór indukcyjny, patrz wzór (1.55)), to cos ϕ = 0 i w obwodzie nie jest w ogóle wydzielana moc, Pśr = 0.

1.2 Fale elektromagnetyczne

1.2.1 Prąd przesunięcia. Układ równań Maxwella

W I części wykładu zostały omówione podstawowe prawa opisujące zjawiska elektromagnetyczne: prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday’a (pod- rozdział 6.1.1), prawo Amp`ere’a, dot. pola magnetycznego przewodników z prądem (podrozdział 5.2.3), oraz prawo Gaussa dla pola elektrycznego (podrozdział 4.1.1) i pola magnetycznego (podrozdział 5.1.2). W roku 1864 J.C. Maxwell zauważył, że w przypadku, gdy w przestrzeni istnieje zmien- ne w czasie pole elektryczne, prawo Amp`ere’a powinno być uzupełnione o dodatkowy wyraz. Otrzymany w ten sposób układ równań opisuje w za- sadzie całość zjawisk elektromagnetycznych i nosi obecnie nazwę równań Maxwella. Na podstawie tych równań Maxwell m.in. przewidział istnienie fal elektromagnetycznych i obliczył ich prędkość. Okazała się ona równa prędkości światła, co wskazywało, że światło jest falą elektromagnetyczną.

Istnienie fal elektromagnetycznych wykazał doświadczalnie H. Hertz w 1888 r., a więc ok. 20 lat później. Dalej będziemy rozważać wyłącznie równania Maxwella w próżni.

Uogólnimy najpierw prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday’a. Zgo- dnie z nim, indukowana w przewodniku siła elektromotoryczna wyraża się wzorem

E = −d dt

Z

S

B· dS, (1.72)

gdzie całka po prawej stronie jest strumieniem pola magnetycznego, obej- mowanego przez obwód. Jak już wspomniano (I część, podrozdział 6.1.1), zmienne w czasie pole magnetyczne powoduje wytworzenie wirowego po- la elektrycznego, zarówno w przewodniku jak i w ośrodku nieprzewodzącym lub w próżni. Korzystając ze związku między potencjałem i natężeniem pola elektrycznego (część I, wzór(4.34)), indukowaną w zamkniętym przewodniku

siłę elektromotoryczną można wyrazić wzorem E =

I

C

E· ds, (1.73)

gdzie E — natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika, C — do- wolna przebiegająca wewnątrz niego zamknięta krzywa. Otrzymujemy stąd równanie

I

C

E· ds = −d dt

Z

S

B· dS , (1.74)

zwane I równaniem Maxwella. Równanie to, jakkolwiek wyprowadzone dla przypadku przewodnika, stosuje się do wszystkich ośrodków i do próżni, przy czym przez C należy rozumieć dowolną krzywą zamkniętą a przez S

— dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

Rozpatrzymy obecnie prawo Amp`ere’a, określające pole magnetyczne przewodników z prądem. Zgodnie z podanym dotychczas sformułowaniem, zachodzi związek

I

C

B· ds = µ⁰I, (1.75)

gdzie C jest dowolną zamkniętą krzywą a I — całkowitym natężeniem prą- du, przepływającego przez dowolną powierzchnię, rozpiętą na krzywej C.

Łatwo jednak zauważyć, że podane równanie nie jest np. słuszne, gdy ob- wód z prądem nie jest zamknięty. Jako przykład, rozważymy pokazany na

S

R I

+q -q

C S₁ S₂ E

S₂

C

B E

S S S

a) b)

S₁

Rysunek 1.9:

E

B

E

B

dt

>

<

a) b)

Rysunek 1.10:

rysunku 1.9 obwód RC. Po zamknięciu przełącznika w obwodzie popłynie prąd elektryczny, który wytworzy wokół przewodników magnetyczne pole.

Jeżeli chwilowe natężenie prądu w obwodzie wynosi I, to dla krzywej C i roz- piętej na nim powierzchni S1ma miejsce związek (1.75) (przez powierzchnię S1 płynie prąd I) a dla powierzchni S2, rozpiętej na tej samej krzywej C, związek

I

C

B· ds = 0 (1.76)

(przez powierzchnię S2 nie płynie żaden prąd). Otrzymujemy więc, zależnie od wyboru powierzchni, różne wyniki.

Dla wyjaśnienia powyższej sprzeczności Maxwell przyjął, przez analogię ze zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej, że zmienne w czasie pole elek- tryczne powoduje wytworzenie wirowego pola magnetycznego (rys. 1.10).

Należy zauważyć, że w przypadku, gdy pole elektryczne rośnie (dE/dt > 0), zwrot linii sił wytworzonego pola magnetycznego jest zgodny z regułą śru- by prawoskrętnej a w przypadku, gdy pole elektryczne maleje (dE/dt < 0)

— jest przeciwny. Obszar przestrzeni, w którym istnieje zmienne pole elek- tryczne można więc traktować tak, jakby płynął w nim prąd elektryczny, wywołujący pole magnetyczne. Maxwell nazwał ten fikcyjny prąd prądem przesunięcia. Równanie (1.76) powinno więc być zastąpione przez równanie

I

C

B· ds = µ⁰Ip, (1.77)

gdzie Ip oznacza natężenie prądu przesunięcia, „płynącego” między okład- kami kondensatora. Dla zapewnienia niesprzeczności równań (1.75) i (1.77)

powinien zachodzić związek I = Ip, co oznacza, że w każdej części rozważa- nego obwodu „płynie prąd” o jednakowym natężeniu.

W celu wyprowadzenia wzoru, określającego prąd przesunięcia, skorzy- stamy z podanego w I części wzoru (4.82),

q = ε0ES, (1.78)

gdzie q jest ładunkiem na okładce płaskiego próżniowego kondensatora, E

— natężeniem pola w kondensatorze a S — powierzchnią okładki. Ponieważ

ΦE = ES (1.79)

jest strumieniem elektrycznego pola przez powierzchnię S (i przez całą po- wierzchnię S2) na rys. 1.9, więc

q = ε0ΦE. (1.80)

Z definicji natężenia prądu otrzymujemy I = dq

dt = ε0

dΦE

dt . (1.81)

Ponieważ w rozważanym przypadku I = Ip, natężenie prądu przesunięcia wewnątrz kondensatora wyraża się wzorem

Ip = ε0

dΦE

dt . (1.82)

Strumień pola elektrycznego E przez dowolną powierzchnię S jest dany całką ΦE =^Z

S

E· dS. (1.83)

Ogólne wyrażenie na prąd przesunięcia ma więc postać Ip= ε0

d dt

Z

S

E· dS. (1.84)

Po prawej stronie wzoru (1.75) w ogólnym przypadku powinna występować suma natężenia Ip prądu przesunięcia oraz natężenia I prądu przewodzenia:

I

C

B· ds = µ⁰(Ip+ I) . (1.85) Podstawiając wyrażenie (1.84) do ostatniego wzoru otrzymujemy równanie

I

C

B· ds = ε⁰µ0

d dt

Z

S

E· dS + µ⁰I , (1.86)

nazywane II równaniem Maxwella. Tutaj C jest dowolną krzywą a S — dowolną rozpiętą na niej powierzchnią.

Jak wspomnieliśmy, w skład równań Maxwella wchodzi jeszcze prawo Gaussa dla pola elektrycznego,

I

S

E· dS = Q ε0

, (1.87)

oraz prawo Gaussa dla pola magnetycznego, I

S

B· dS = 0 . (1.88)

Powyższe równania nazywa się odpowiednio III i IV równaniem Maxwella.

1.2.2 Fala elektromagnetyczna płaska. Prędkość fal elektro- magnetycznych

Jak wspomniano, równania Maxwella opisują m.in. fale elektromagnetyczne.

Będziemy rozważać jedynie fale elektromagnetyczne w próżni i przyjmiemy, że w danym obszarze nie ma ładunków elektrycznych i przewodników z prą- dem. W równaniach (1.86) i (1.87) należy więc odpowiednio przyjąć I = 0 i Q = 0. Podamy najpierw intuicyjnie wyjaśnienie rozchodzenia się fal elek- tromagnetycznych (rys. 1.11). Jeżeli np. w pewnym obszarze przestrzeni ist-

E(t)

B(t)

E(t) B(t)

Rysunek 1.11:

x y

z

E

B

c

Rysunek 1.12:

nieje zmienne w czasie pole elektryczne, to zgodnie z II równaniem Maxwella (1.86) wytwarza ono zmieniające się z czasem, wirowe pole magnetyczne. Z kolei zmiany pola magnetycznego powodują, na mocy I równania Maxwella (1.74), powstanie zmiennego, wirowego pola elektrycznego, itd. W przestrze- ni przemieszcza się więc fala elektromagnetyczna.

Najprostszą postacią fali elektromagnetycznej jest płaska fala harmo- niczna, pokazana na rysunku 1.12. W przypadku płaskiej fali elektromagne- tycznej każda płaszczyzna prostopadła do wektora prędkości fali c jest jej powierzchnią falową, na której wektory E i B mają stałą wartość i kierunek.

Jak wynika z rysunku, wektory natężenia pola elektrycznego E, indukcji po- la magnetycznego B oraz prędkości fali c są w danym punkcie przestrzeni wzajemnie prostopadłe i tworzą układ prawoskrętny. Jest to ogólna cecha dowolnej fali elektromagnetycznej. Fale elektromagnetyczne są więc falami poprzecznymi. Na rys. 1.12 układ współrzędnych wybrano w ten sposób, że wektory c, E i B są odpowiednio równoległe do osi x, y i z. Zgodnie z określeniem fali harmonicznej, wielkości E i B zmieniają się sinusoidalnie ze zmianą współrzędnej x i czasu t. Analogicznie jak w przypadku płaskiej fali harmonicznej w ośrodku sprężystym (część I, podrozdział 2.6.2), rozważaną falę elektromagnetyczną powinny opisywać równania

E = Ey = E0cos [ω (t − x/c)] , (1.89) B = Bz = B0cos [ω (t − x/c)] , (1.90) w których E0 i B0 są amplitudami natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego a ω jest pulsacją fali. Dla uproszczenia dalszych wzorów przyjęto, że faza początkowa fali jest równa zeru.

Dx

y E + DE

B DS1

C_{1 Dx}

z B B + DB

DS2

C₂ E

y

1

2 3 4

DS E

a) b) c)

E

E x

-DS

Rysunek 1.13:

Pokażemy teraz, że funkcje (1.89) - (1.90) stanowią istotnie rozwiązanie równań Maxwella i obliczymy prędkość rozchodzenia się fali elektromagne- tycznej. Przekształcimy najpierw I równanie Maxwella,

I

C₁

E· ds = −d dt

Z

∆S₁

B· dS, (1.91)

do postaci różniczkowej. Za kontur całkowania C1 wybierzemy leżącą w płaszczyźnie xy prostokątną ramkę o wysokości y, b. małej szerokości ∆x i powierzchni ∆S1= y · ∆x (rys. 1.13a). Przyjmując, że na całej powierzchni

∆S1 indukcja pola magnetycznego B ma stałą wartość, z ostatniego równa- nia otrzymuje się wzór

(E + ∆E) y − Ey ≈ −∂

∂t(By∆x) , (1.92)

skąd ∆E

∆x ≈ −

∂B

∂t . (1.93)

Przechodząc do granicy ∆E, ∆x → 0 dostajemy równanie

∂E

∂x = −∂B

∂t . (1.94)

W podobny sposób przekształcimy teraz do postaci różniczkowej II równanie Maxwella,

I

C₂

B· ds = ε⁰µ0

d dt

Z

∆S₂

E· dS. (1.95)

Wybierając za kontur całkowania C2 prostokątną ramkę w płaszczyźnie xz, mającą wysokość z, małą szerokość ∆x i powierzchnię ∆S2 = z · ∆x (rys.

1.13b), otrzymujemy kolejno równania

− (B + ∆B) z + Bz ≈ ε⁰µ0

∂

∂t(Ez∆x) , (1.96)

∆B

∆x ≈ −ε0µ0

∂E

∂t, (1.97)

∂B

∂x = −ε⁰µ0

∂E

∂t. (1.98)

Przeciwne znaki w wyrażeniach po lewej stronie równań (1.92) i (1.96) wyni- kają z różnych zwrotów wektorów E i E + ∆E na rys. 1.13a oraz wektorów B i B + ∆B na rys. 1.13b względem kierunku obiegu konturów całkowania.

Obliczając pochodne wielkości E i B, określonych wzorami (1.89) - (1.90) otrzymujemy:

∂E

∂x = ω

cE0sin [ω (t − x/c)] , (1.99)

∂E

∂t = −ωE⁰sin [ω (t − x/c)] , (1.100)

∂B

∂x = ω

cB0sin [ω (t − x/c)] , (1.101)

∂B

∂t = −ωB⁰sin [ω (t − x/c)] , (1.102) co po podstawieniu powyższych wyrażeń do równań (1.94) i (1.98) oraz uproszczeniu wspólnych czynników daje następujące zależności

E0 = cB0, (1.103)

B0= cε0µ0E0. (1.104) Eliminując z otrzymanych równań amplitudy pola elektrycznego i magne- tycznego, np. przez pomnożenie równań stronami, dostajemy wzór określa- jący prędkość fali elektromagnetycznej w próżni

c = 1

√ε0µ0

. (1.105)

Wzór ten był już podany bez wyprowadzenia w części I, w podrozdziale 5.2.2. W celu wyliczenia prędkości c wygodnie jest skorzystać ze związku

k = 1 4πε0

, (1.106)

w którym k jest współczynnikiem, występującym w niektórych wzorach elek- trostatyki (patrz część I, podrozdział 4.2.1). Po prostych przekształceniach wzór (1.105) można zapisać jako

c = s4πk

µ0

. (1.107)

Ponieważ k = 9 · 10⁹N·m²/C², µ0 = 4π · 10⁻⁷N/A², więc

c =

s4π · 9 · 10⁹N · m²/C²

4π · 10⁻⁷N/A² = 3 · 10⁸m/s. (1.108) Otrzymana wartość jest równa prędkości rozchodzenia się światła w próżni.

Rezultat ten doprowadził Maxwella do wniosku, że światło jest falą elektro- magnetyczną.

W podobny sposób można wyprowadzić wzór, określający prędkość v fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym o stałej dielektrycznej εr i względnej przenikalności magnetycznej µ_r:

v = 1

√ε0εrµ0µr

. (1.109)

Biorąc pod uwagę, że dla większości ośrodków, za wyjątkiem ferromagne- tycznych, µr ≈ 1, ze wzorów (1.105) i (1.109) otrzymujemy związek

v ≈ c

√εr

. (1.110)

Ponieważ stała dielektryczna dowolnego ośrodka materialnego εr > 1, pręd- kość fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym jest mniejsza od pręd- kości fali w próżni, v < c. Wynik ten jest zgodny z doświadczeniem.

Sprawdzimy jeszcze, że przyjęta postać fali elektromagnetycznej jest zgodna z III i IV równaniem Maxwella. Rozpatrzymy prawo Gaussa dla pola elektrycznego,

I

S

E· dS = 0. (1.111)

Będziemy liczyć strumień pola elektrycznego po powierzchni S prostopadło- ścianu, pokazanego na rys. 1.13c. Ponieważ w przeciwległych punktach ścia- nek 1 i 2 natężenie pola E ma jednakową wartość i E k ∆S a przez pozostałe ścianki nie przepływa żaden strumień, z ostatniego równania otrzymujemy

Z

S₁

EdS + Z

S₂E (−dS) = 0 (1.112)

(S1 i S2 — powierzchnie ścianek 1 i 2, S1 = S2). Należy zauważyć, że gdyby wektor natężenia pola E był nachylony do wektora prędkości c fali pod ką- tem różnym od prostego, suma strumieni pola przez ścianki 3 i 4 i całkowity strumień przez powierzchnię S byłyby różne od zera. Dla fali elektromagne- tycznej musi więc zachodzić relacja E ⊥ c. W analogiczny sposób można sprawdzić, że w przypadku rozważanej fali elektromagnetycznej spełnione jest prawo Gaussa dla pola magnetycznego,

I

S

B· dS = 0, (1.113)

czego koniecznym warunkiem jest, aby B ⊥ c. Możemy więc stwierdzić, że III i IV równanie Maxwella stanowią warunki poprzeczności fali elektroma- gnetycznej.

1.2.3 Wektor Poyntinga. Natężenie fali elektromagnetycznej Zarówno pole elektryczne jak i pole magnetyczne posiada określoną energię (por. część I, podrozdziały 4.4.3 i 6.1.2). Rozchodzenie się fal elektromagne- tycznych związane jest więc z przenoszeniem energii pola elektromagnetycz- nego, podobnie jak rozchodzeniu się fal w sprężystym ośrodku towarzyszy przekazywanie energii mechanicznej. Szybkość przepływu energii fali elek- tromagnetycznej przez daną powierzchnię opisuje tzw. wektor Poyntinga S (rys. 1.14). Podamy tutaj jego ogólną definicję, stosującą się do ośrodków materialnych i do próżni. Kierunek wektora Poyntinga jest zgodny z kierun- kiem wektora v prędkości fali, S k v a jego wartość liczbowa jest równa mocy fali, przenoszonej przez jednostkową powierzchnię, prostopadłą do wektora v. Jeżeli więc oznaczyć przez ∆Ep energię fali, przechodzącą w czasie ∆t

S w

DE , DV

vDt

DS

Rysunek 1.14:

przez niewielką powierzchnię ∆S_⊥, to wartość S = ∆Ep

∆S_⊥∆t, (1.114)

przy czym [S] =W/m². Energia ∆Ep odpowiada energii zawartej w b. ma- łym prostopadłościanie o polu podstawy ∆S_⊥ i wysokości v∆t (rys. 1.14).

Ponieważ całkowita gęstość energii w = we+ wm (we i wm — gęstość ener- gii pola elektrycznego i magnetycznego) wewnątrz prostopadłościanu jest w przybliżeniu stała, więc

∆Ep = w∆V = w∆S_⊥v∆t (1.115)

(∆V — objętość prostopadłościanu), skąd otrzymujemy wzór

S = wv. (1.116)

Korzystając ze wyrażeń, określających gęstości energii w_e i w_m (część I, wzory (4.85) i (6.30)), ostatni wzór można przekształcić do postaci

S = E × H (1.117)

(patrz rys. 1.15), gdzie wektor natężenia pola magnetycznego H = B/µrµ0. Ze względu na zależność pola elektrycznego i pola magnetycznego fa- li od czasu wartość wektora Poyntinga również zmienia się w czasie. Dla harmonicznej fali elektromagnetycznej wygodnie jest wprowadzić pojęcie jej

S E

H

v

Rysunek 1.15:

natężenia I, będącego średnią bezwzględną wartością wektora Poyntinga w ciągu jednego okresu T drgań,

I = S_śr = 1 T

Z T 0

EHdt (1.118)

([I] =W/m²). W przypadku płaskiej fali elektromagnetycznej

E = E0cos [ω (t − x/c)] , (1.119) H = H0cos [ω (t − x/c)] , (1.120) co daje wzór

I = E0H0

T Z T

0

cos²[ω (t − x/c)] dt. (1.121) Ostatnią całkę oblicza się w podobny sposób, jak całkę (1.69) w podrozdzia- le 1.1.3. Jest ona równa T/2. Natężenie płaskiej fali elektromagnetycznej określa więc wzór

I = E0H0

2 . (1.122)

Ze wzoru (1.103) wynika, że E⁰ ∼ H⁰. Można zatem stwierdzić, że natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia jej pola elektrycz- nego lub pola magnetycznego,

I ∼ E⁰² ∼ H⁰². (1.123) 1.2.4 Promieniowanie fal elektromagnetycznych

Zgodnie z poprzednimi podrozdziałami, z obszaru przestrzeni, w którym wy- stępuje zmienne w czasie pole elektryczne lub pole magnetyczne, rozchodzi się fala elektromagnetyczna. Wobec tego w zasadzie każdy elektryczny ob- wód drgający, np. obwód LC, jest źródłem fal elektromagnetycznych. Łatwo stwierdzić, że w celu wytworzenia fal elektromagnetycznych np. o długości rzędu metra częstotliwość ν drgań elektrycznych musi być stosunkowo wy- soka. Można obliczyć ją ze wzoru

ν = c

λ. (1.124)

Ponieważ prędkość fali elektromagnetycznej w próżni c = 3 · 10⁸ m/s, więc dla długości λ = 1 m częstotliwość ν = 3 · 10² MHz. Jak wynika ze wzoru Thomsona (1.14), częstotliwość drgań obwodu LC wynosi

ν = 1

T = 1

2π√

LC. (1.125)

L C

a) b)

c) d)

Rysunek 1.16:

Dla osiągnięcia możliwie wysokiej częstotliwości drgań należy więc dążyć do zmniejszenia zarówno indukcyjności L jak i pojemności C obwodu. Ponadto, aby wypromieniowywana przez obwód moc była jak największa, obszar prze- strzeni, w którym obwód wytwarza zmienne pole elektryczne i magnetyczne, powinien być możliwie duży. Oba cele można zrealizować, przekształcając obwód LC w sposób pokazany na rys. 1.16a-d. Obwód redukuje się wówczas do odcinka przewodnika, posiadającego niewielką indukcyjność i pojemność.

Drgania elektryczne w przewodniku mają charakter zbliżony do drgań dipola elektrycznego, tzn. układu dwóch równych, różnoimiennych ładunków +q i

−q, których odległość zmienia się okresowo w czasie (rys. 1.17). W odróżnie- niu od pola elektrycznego nieruchomych ładunków, linie sił pola elektrycz- nego drgającego dipola „odrywają się” od ładunków i przybierają kształt pętli, przemieszczających się w przestrzeni (na rysunku pokazano linie sił tylko z jednej strony dipola). Linie sił pola magnetycznego (nie pokazane na rysunku) są prostopadłe do linii sił pola elektrycznego. Mają one kształt współosiowych okręgów o rosnących z czasem promieniach, obejmujących drgający dipol.

a) b) c) d)

q q

q q

q

q q

q

Rysunek 1.17:

a) b)

Rysunek 1.18:

W celu podtrzymywania drgań elektrycznych w rozważanym obwodzie należy doprowadzać do niego energię, np. przez połączenie ze źródłem zmien- nej siły elektromotorycznej. W swoich doświadczeniach H. Hertz używał układu złożonego z dwóch przewodzących prętów, rozdzielonych niewielką przerwą, zwanego obecnie oscylatorem Hertza (rys. 1.18a). Drgania w oscy- latorze Hertza były wzbudzane przez połączenie go ze źródłem powtarza- jących się impulsów wysokiego napięcia. W momencie, w którym napięcie osiągnie dostateczną wartość, między prętami przeskakuje iskra elektryczna

„zamykająca” obwód, w którym powstają tłumione drgania elektryczne. Do rejestracji fal elektromagnetycznych Hertz stosował przewodzący pierścień z niewielką przerwą zwany rezonatorem (rys. 1.18b), o częstotliwości drgań własnych identycznej z częstotliwością drgań emitującego falę oscylatora. Na skutek zjawiska rezonansu elektrycznego wymuszone drgania w rezonatorze były na tyle silne, że można je było wykryć obserwując przeskakującą w przerwie iskrę. Współcześnie do wytwarzania i odbioru fal radiowych i tele- wizyjnych stosuje się anteny połączone z generatorami drgań elektrycznych

(nadajniki) i wzmacniaczami drgań elektrycznych (odbiorniki).

Hertz w swoich doświadczeniach udowodnił m.in., że fale elektromagne- tyczne ulegają dyfrakcji, interferencji i załamaniu. Udało mu się też wy- tworzyć stojące fale elektromagnetyczne i zmierzyć ich długość skąd, znając częstotliwość drgań obwodu, mógł wyznaczyć prędkość fali elektromagne- tycznej. Okazała się ona zgodna z wynikiem teorii Maxwella, co stanowiło rozstrzygający dowód jej słuszności.

1.2.5 Widmo fal elektromagnetycznych

Fale elektromagnetyczne, występujące w przyrodzie i wytwarzane sztucznie, obejmują b. szeroki zakres długości oraz, z uwagi na stałą prędkość ich roz- chodzenia się w próżni, równie szeroki zakres częstotliwości, przekraczający 16 rzędów wielkości. Natura fal elektromagnetycznych, niezależnie od ich długości, jest jednakowa. Fale o długościach różniących się co najmniej o kilka rzędów mają jednak odmienne właściwości fizyczne. Podziału fal elek- tromagnetycznych na poszczególne rodzaje dokonuje się głównie ze względu na sposób ich powstawania. Pełne widmo fal elektromagnetycznych pokazuje rys. 1.19. Granice długości fali między poszczególnymi rodzajami promienio- wania elektromagnetycznego, pokazane na rysunku i podane poniżej, mają

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

d³ugie œrednie krótkie promienie podczerwone œwiat³owidzialne

promienie g

promienie ultrafioletowe

promienie rentgenowskie

mikrofale

fale radiowe lgn[Hz]

lgl[m]

Rysunek 1.19:

jedynie orientacyjny charakter.

Fale radiowesą wytwarzane za pomocą przyrządów elektronicznych. Do celów radiofonii i radiokomunikacji stosuje się fale o długości od 10⁴ m do 10 m. Programy telewizyjne przesyłane są na falach ultrakrótkich, o długości od 10 m do 10⁻¹ m. Fale elektromagnetyczne o długości od 10⁻¹ m do 10⁻⁴ m noszą nazwę mikrofal. Są one wykorzystywane głównie w technice radarowej.

Promieniowanie podczerwone, widzialne i nadfioletowepowstaje na sku- tek zmian energetycznych, zachodzących w zewnętrznych powłokach elektro- nowych atomów i cząsteczek. Jest ono m.in. emitowane przez ciała ogrzane do dostatecznie wysokiej temperatury. Fale ze stosunkowo wąskiego prze- działu, od ok. 8·10⁻⁷ m do ok. 4·10⁻⁷ m są bezpośrednio widzialne ludzkim okiem (barwy od czerwonej do fioletowej). Przedział fal o długości od 10⁻³ m do 8 · 10⁻⁷ m należy do podczerwieni a przedział fal o długości od 4 · 10⁻⁷ do 10⁻⁹ m — do nadfioletu. Ogólnie można stwierdzić, że energia promie- niowania elektromagnetycznego rośnie wraz ze zmniejszaniem się długości jego fali, tj. ze wzrostem częstotliwości. Przejawem tego są niektóre wła- sności promieniowania nadfioletowego — zaczernia ono klisze fotograficzne, powoduje fluorescencję (świecenie) niektórych ciał, zapoczątkowuje szereg reakcji chemicznych.

Promienie Roentgena (promienie X) powstają przy hamowaniu wiązki wysokoenergetycznych naładowanych cząstek (głównie elektronów) w cia- łach stałych a także podczas przemian energetycznych, mających miejsce w wewnętrznych powłokach elektronowych atomów i cząsteczek. Długość fal promieni Roentgena leży w zakresie od 10⁻⁸ m do 10⁻¹² m. Są one b. prze- nikliwe; ich własności fizyczne będą dokładniej omówione w dalszej części wykładu.

Promieniowanie γ jest emitowane przez pierwiastki promieniotwórcze przy przemianach energetycznych wewnątrz wzbudzonych jąder atomowych.

Długość fal promieniowania γ jest mniejsza od 10⁻¹⁰ m a ich własności fizyczne są zbliżone do własności promieni Roentgena.