Teoria wyboru społecznego

(1)

Teoria wyboru społecznego

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

(2)

1 Funkcja wyboru społecznego

2 Wybory między dwiema opcjami

3 Paradoksy więcej niż dwu opcji Twierdzenie Arrowa

Rozwinięcia Twierdzenia Arrowa

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)Teoria wyboru społecznego 2 / 32

(3)

Demokracja - czy to oczywiste?

Czasami wiele rzeczy uznajemy za oczywiste. Przykład: demokracja opiera się na głosowaniu większościowym, a jej kolebką są starożytne Ateny.

Za cechę demokratyczną uchodzi, że się urzędy obsadza przez losowanie, za oligarchiczną zaś, gdy dzieje się to przez wybór. - Arystoteles, Polityka. (IV w. p.n.e.)

Najlepszym sposobem zrozumienia zagadnienia, jest zdefiniowanie go w sposób nie budzący wątpliwości np. za pomocą języka matematyki. Skutki jednak mogą być zaskakujące...

(4)

Demokracja - czy to oczywiste?

Czasami wiele rzeczy uznajemy za oczywiste. Przykład:

demokracja opiera się na głosowaniu większościowym, a jej kolebką są starożytne Ateny.

(5)

Demokracja - czy to oczywiste?

(6)

Demokracja - czy to oczywiste?

(7)

Funkcja wyboru społecznego

Problem 1: Stworzenie metody głosowania tj. funkcji, która preferencjom wszystkich członków jakiejś grupy przypisze w sensowny sposób optymalne rozwiązanie danej kwestii dla całej grupy. Nie może być sytuacji, gdy zdajemy się na los lub gdy uznamy, że „decyzji nie osiągnięto”.

Problem 2: Stworzenie algorytmu podejmowania decyzji dla jednej osoby tj. funkcji, która różne wartościowania decyzji wedle rozmaitych kryteriów przekształci w ustawienie decyzji w

sensownej kolejności, uwzględniającej wszystkie kryteria. Matematycznie, są to dokładnie te same sytuacje.

(8)

Funkcja wyboru społecznego

sensownej kolejności, uwzględniającej wszystkie kryteria. Matematycznie, są to dokładnie te same sytuacje.

(9)

Funkcja wyboru społecznego

sensownej kolejności, uwzględniającej wszystkie kryteria.

Matematycznie, są to dokładnie te same sytuacje.

(10)

Funkcja wyboru społecznego

sensownej kolejności, uwzględniającej wszystkie kryteria.

Matematycznie, są to dokładnie te same sytuacje.

(11)

Przykład I - prosty

Zagadnienie

Student w semestrze pisze 3 sprawdziany z algebry liniowej - z każdego otrzymuje jakąś ocenę „procentową”. Jaką ocenę

„procentową” należy dać mu na koniec na podstawie tych kolokwiów?

Rozwiązanie

Oceną może być np. średnia arytmetyczna wyników ze sprawdzianów.

(12)

Przykład I - prosty

Zagadnienie

Student w semestrze pisze 3 sprawdziany z algebry liniowej - z każdego otrzymuje jakąś ocenę „procentową”. Jaką ocenę

„procentową” należy dać mu na koniec na podstawie tych kolokwiów?

Rozwiązanie

Oceną może być np. średnia arytmetyczna wyników ze sprawdzianów.

(13)

Przykład II - wybory prezydenckie

Wybory I

Obywatele państwa głosują w wyborach prezydenckich. Każdy oddaje 1 głos na kandydata, który wydaje mu się najlepszy. Jak ”sumie” tych indywidualnych wyborów przypisać jeden wybór ”zbiorowy”?

Wybory II

Obywatele państwa głosują. Każdy oddaje 1 głos na kandydata, w którym porządkuje wszystkich kandydatów od najlepszego do najgorszego. Jak ”sumie” tych indywidualnych wyborów przypisać jeden wybór ”zbiorowy”?

(14)

Przykład III - konkurs z notami sędziowskimi

Zawody w łyżwiarstwie figurowym.

Każdy z kilku sędziów przypisuje każdemu z zawodników, zawodniczek lub par notę za wartość techniczną i notę za wartość estetyczną.

Jak „sumie” tych indywidualnych ocen i rankingów przypisać jeden wybór „zbiorowy”?

(15)

Przykłady wyborów między dwiema opcjami

Aby zrozumieć, do czego zmierzamy, rozważmy co jest pożądane w najprostszej sytuacji - wyborów między dwiema opcjami.

Druga tura wyborów prezydenckich w Polsce.

Referenda typu: wprowadzamy jakieś prawo, czy nie?

Naturalna jest dla nas zasada kierowania się głosem większości. Ale właściwie dlaczego? I czy to jedyna „rozsądna” w jakimś sensie opcja?

(16)

Przykłady wyborów między dwiema opcjami

(17)

Przykłady wyborów między dwiema opcjami

(18)

Przykłady wyborów między dwiema opcjami

(19)

Dwie opcje - funkcje wyboru społecznego

Jakie mogłyby być inne funkcje wyboru społecznego - czyli zasady przekształcania głosów indywidualnych w wynik końcowy?

Dyktatura - głos jednej z osób staje się wyborem całej zbiorowości.

Narzucony wybór - wynik głosowania jest ustalony z góry, niezależnie od głosów wyborców.

Władza mniejszości - wchodzi w życie opcja, za którą było mniej osób.

To są intuicyjnie niepożądane funkcje wyboru społecznego. Ale dlaczego? Jakie własności odróżniają funkcje „dobre” od „złych”?

(20)

Dwie opcje - funkcje wyboru społecznego

(21)

Dwie opcje - funkcje wyboru społecznego

(22)

Dwie opcje - funkcje wyboru społecznego

(23)

Dwie opcje - funkcje wyboru społecznego

(24)

Dwie opcje - postulaty funkcji wyboru społecznego

Jaka powinna być funkcja wyboru społecznego?

Anonimowa (egalitarna, symetryczna) - wszyscy głosujący powinni być traktowani jednakowo tj. jeśli dwóch z nich

zamieniłoby się ze sobą głosami, to decyzja całości pozostałaby taka sama.

Neutralna - obie opcje do wyboru są jednakowo traktowane: gdyby grupa podjęła jakąś decyzję, po czym wszyscy zmienili głos na przeciwny, to decyzja zbiorowości powinna ulec zmianie. Monotoniczna (pozytywnie reagująca na zmiany) - Załóżmy, że grupa wybrała opcję A. Jeśli jeden z głosujących na opcję B zmieniłby swój głos na opcję A, to decyzja grupy nie powinna się zmienić.

(25)

Dwie opcje - postulaty funkcji wyboru społecznego

Neutralna - obie opcje do wyboru są jednakowo traktowane: gdyby grupa podjęła jakąś decyzję, po czym wszyscy zmienili głos na przeciwny, to decyzja zbiorowości powinna ulec zmianie. Monotoniczna (pozytywnie reagująca na zmiany) - Załóżmy, że grupa wybrała opcję A. Jeśli jeden z głosujących na opcję B zmieniłby swój głos na opcję A, to decyzja grupy nie powinna się zmienić.

(26)

Dwie opcje - postulaty funkcji wyboru społecznego

Neutralna - obie opcje do wyboru są jednakowo traktowane:

gdyby grupa podjęła jakąś decyzję, po czym wszyscy zmienili głos na przeciwny, to decyzja zbiorowości powinna ulec zmianie.

Monotoniczna (pozytywnie reagująca na zmiany) - Załóżmy, że grupa wybrała opcję A. Jeśli jeden z głosujących na opcję B zmieniłby swój głos na opcję A, to decyzja grupy nie powinna się zmienić.

(27)

Dwie opcje - postulaty funkcji wyboru społecznego

Neutralna - obie opcje do wyboru są jednakowo traktowane:

gdyby grupa podjęła jakąś decyzję, po czym wszyscy zmienili głos na przeciwny, to decyzja zbiorowości powinna ulec zmianie.

Monotoniczna (pozytywnie reagująca na zmiany) - Załóżmy, że grupa wybrała opcję A. Jeśli jeden z głosujących na opcję B zmieniłby swój głos na opcję A, to decyzja grupy nie powinna się zmienić.

(28)

Dwie opcje - postulaty funkcji wyboru społecznego

Anonimowa (egalitarna, symetryczna) Neutralna

Monotoniczna (pozytywnie reagująca na zmiany)

Dyktatura nie spełnia zasady anonimowości, wybór narzucony - neutralności, władza mniejszości - monotoniczności.

(29)

Dwie opcje - postulaty funkcji wyboru społecznego

Anonimowa (egalitarna, symetryczna) Neutralna

Monotoniczna (pozytywnie reagująca na zmiany)

Dyktatura nie spełnia zasady anonimowości, wybór narzucony - neutralności, władza mniejszości - monotoniczności.

(30)

Twierdzenia Kennetha Maya

I twierdzenie Maya (1952)

Gdy rozstrzygamy pomiędzy dwiema możliwościami, a liczba wybierających jest nieparzysta, to jedyną neutralną, anonimową i monotoniczną regułą wyboru jest system bezwzględnej większości.

II twierdzenie Maya (1952)

Gdy rozstrzygamy pomiędzy dwiema możliwościami, to jedynymi neutralnymi, anonimowymi i monotonicznymi regułami wyboru, które przynajmniej czasami prowadzą do podjęcia decyzji są systemy bezwzględnej większości kwalifikowanej (tj. do podjęcia decyzji potrzebne jest przekroczenie określonego progu powyżej 50%). Np.

konklawe papieskie.

(31)

Uwagi do zasad

Nie wszystkie reguły wyborcze prawdziwego świata spełniają te reguły:

Rada bezpieczeństwa ONZ, licząca 15 członków podejmuje decyzje większością kwalifikowaną 60%, ale pięcioro z nich ma dodatkow prawo weta. Waga głosu różnych państw w Radzie Unii Europejskiej też nie jest taka sama. Różne spółki akcyjne emitują specjalne akcje (np. „złote akcje”) dające szczególne uprawnienia posiadaczom w głosowaniach akcjonariuszy. Naruszona jest tu zasada anonimowości.

Neutralność bywała naruszona w referendach dotyczących traktatów unijnych (casus Irlandii).

(32)

Uwagi do zasad

Rada bezpieczeństwa ONZ, licząca 15 członków podejmuje decyzje większością kwalifikowaną 60%, ale pięcioro z nich ma dodatkow prawo weta. Waga głosu różnych państw w Radzie Unii Europejskiej też nie jest taka sama. Różne spółki akcyjne emitują specjalne akcje (np. „złote akcje”) dające szczególne uprawnienia posiadaczom w głosowaniach akcjonariuszy.

Naruszona jest tu zasada anonimowości.

(33)

Uwagi do zasad

Rada bezpieczeństwa ONZ, licząca 15 członków podejmuje decyzje większością kwalifikowaną 60%, ale pięcioro z nich ma dodatkow prawo weta. Waga głosu różnych państw w Radzie Unii Europejskiej też nie jest taka sama. Różne spółki akcyjne emitują specjalne akcje (np. „złote akcje”) dające szczególne uprawnienia posiadaczom w głosowaniach akcjonariuszy.

Naruszona jest tu zasada anonimowości.

(34)

Uwagi do zasad

W 2013 roku odbyło się referendum w sprawie odwołania prezydent Warszawy. Wyniki pokazały, że gdyby część osób, które zostały w domu zagłosowały PRZECIW odwołaniu, to prezydent mogłaby zostać odwołana, mimo, że w rzeczywistości tak się nie stało. Pozornie naruszona była monotoniczność - ale tu de facto wyborcy mieli trzy opcje.

(35)

Uwagi do zasad

W 2013 roku odbyło się referendum w sprawie odwołania prezydent Warszawy. Wyniki pokazały, że gdyby część osób, które zostały w domu zagłosowały PRZECIW odwołaniu, to prezydent mogłaby zostać odwołana, mimo, że w rzeczywistości tak się nie stało. Pozornie naruszona była monotoniczność - ale tu de facto wyborcy mieli trzy opcje.

(36)

Paradoks Condorceta

Nicolas de Caritat, markiz de Condorcet

Paradoks Condorceta

Jeśli grupa głosujących ma do wyboru przynajmniej 3 opcje, to wynik

głosowania na najlepszą opcję,

prowadzonego na zasadzie porównania kolejnych par opcji regułą zwykłej większości i eliminacji opcji przegrywającej, zależy od wyboru kolejności porównań.

(37)

Paradoks Condorceta - przykład

Mamy głosujących: x,y,z i 3 opcje: A,B,C. Załóżmy, że preferencje x to A > B > C , preferencje y to B > C > A, a preferencje z to C > A > B. Wtedy jeśli najpierw porównamy A z B, a potem C ze zwycięzcą przy pomocy zwykłej większości, to wygra opcja C, która przegrałaby, gdyby wybory zacząć od porównania C z B.

(38)

Paradoks Bordy

Jean-Charles de Borda

Paradoks Bordy

Paradoksy podobne do paradoksu Condorceta są typowe dla różnych systemów głosowań i różnych liczb głosujących, o ile do wyboru są tylko 3 opcje. Wynik głosowania zależy od wyboru systemu.

(39)

Paradoks Bordy - przykład

Mamy 21 głosujących i 3 opcje: A,B,C. 1 osoba ma preferencje A > B > C , 7 osób: A > C > B, 7 osób: B > C > A, 6 osób:

C > B > A. Wyniki głosowania będą różne, jeśli przeprowadzimy je metodą względnej większości, w dwóch turach lub przez

porównywanie kandydatów parami.

Metoda względnej większości (czyli zliczenie kto jest najlepszym kandydatem dla największej liczby głosujących, nawet jeśli to nie jest większość) daje zwycięstwo opcji A. Metoda drugiej tury spowoduje zwycięstwo opcji B. Natomiast jeśli porównamy kandydatów parami, to okaże się, że większość woli opcję C od A i opcję C od B, więc wybór C wydaje się najbardziej logiczny.

(40)

Paradoks Bordy - przykład

Metoda względnej większości (czyli zliczenie kto jest najlepszym kandydatem dla największej liczby głosujących, nawet jeśli to nie jest większość) daje zwycięstwo opcji

A. Metoda drugiej tury spowoduje zwycięstwo opcji B. Natomiast jeśli porównamy kandydatów parami, to okaże się, że większość woli opcję C od A i opcję C od B, więc wybór C wydaje się najbardziej logiczny.

(41)

Paradoks Bordy - przykład

Metoda względnej większości (czyli zliczenie kto jest najlepszym kandydatem dla największej liczby głosujących, nawet jeśli to nie jest większość) daje zwycięstwo opcji A. Metoda drugiej tury spowoduje zwycięstwo opcji

B. Natomiast jeśli porównamy kandydatów parami, to okaże się, że większość woli opcję C od A i opcję C od B, więc wybór C wydaje się najbardziej logiczny.

(42)

Paradoks Bordy - przykład

Metoda względnej większości (czyli zliczenie kto jest najlepszym kandydatem dla największej liczby głosujących, nawet jeśli to nie jest większość) daje zwycięstwo opcji A. Metoda drugiej tury spowoduje zwycięstwo opcji B. Natomiast jeśli porównamy kandydatów parami, to okaże się, że

większość woli opcję C od A i opcję C od B, więc wybór C wydaje się najbardziej logiczny.

(43)

Paradoks Bordy - przykład

Metoda względnej większości (czyli zliczenie kto jest najlepszym kandydatem dla największej liczby głosujących, nawet jeśli to nie jest większość) daje zwycięstwo opcji A. Metoda drugiej tury spowoduje zwycięstwo opcji B. Natomiast jeśli porównamy kandydatów parami, to okaże się, że większość woli opcję C od A i opcję C od B, więc

(44)

Paradoksy Condorceta i Bordy w rzeczywistości

Takie paradoksy nie przytrafiają się tylko w teoretycznych rozważaniach:

Wybory prezydenckie we Francji w 2002 roku: Lionel Jospin, Jacques Chirac i Jean-Marie Le Pen.

Potencjalny zwycięzca drugiej tury się do niej nie dostał. Strategiczne zachowanie wyborców.

Wybory prezydenckie w Chile 1970 roku: metoda względnej większości. Salvador Allende wygrał z Jorge Alessandrim i Radomiro Tomicem mimo braku poparcia większości. Skutek: konflikt społeczny, chaos, wojskowy pucz Augusto Pinocheta.

(45)

Paradoksy Condorceta i Bordy w rzeczywistości

Potencjalny zwycięzca drugiej tury się do niej nie dostał.

Strategiczne zachowanie wyborców.

Wybory prezydenckie w Chile 1970 roku: metoda względnej większości. Salvador Allende wygrał z Jorge Alessandrim i Radomiro Tomicem mimo braku poparcia większości. Skutek: konflikt społeczny, chaos, wojskowy pucz Augusto Pinocheta.

(46)

Paradoksy Condorceta i Bordy w rzeczywistości

Potencjalny zwycięzca drugiej tury się do niej nie dostał.

Strategiczne zachowanie wyborców.

Wybory prezydenckie w Chile 1970 roku: metoda względnej większości. Salvador Allende wygrał z Jorge Alessandrim i Radomiro Tomicem mimo braku poparcia większości. Skutek:

konflikt społeczny, chaos, wojskowy pucz Augusto Pinocheta.

(47)

Postawienie problemu

Kenneth Arrow

Matematyzacja problemu

X – skończony zbiór opcji, n – liczba głosujących.

Preferencja – uporządkowanie zbioru X od najlepszej do najgorszej opcji (ew.

dopuszczający równości). System

głosowania: funkcja F , która dowolnemu układowi preferencji głosujących

przyporządkowuje jedną „preferencję grupy” i spełnia pewne „rozsądne”

założenia.

(48)

Przykład - wybory prezydenckie

Pozornie tak proste wybory jak głosowanie na prezydenta nie wymaga podawania pełnych preferencji...

ale tak naprawdę podaje się preferencje: jeden kandydat (na którego się głosuje) jest na

pierwszym miejscu, a pozostali - poniżej. W systemie dwuturowym dodatkowo wskazuje się silną preferencję między kandydatami, którzy weszli do drugiej tury.

(49)

Przykład - wybory prezydenckie

Pozornie tak proste wybory jak głosowanie na prezydenta nie wymaga podawania pełnych preferencji...ale tak naprawdę podaje się

preferencje: jeden kandydat (na którego się głosuje) jest na pierwszym miejscu, a pozostali - poniżej.

W systemie dwuturowym dodatkowo wskazuje się silną preferencję między kandydatami, którzy weszli do drugiej tury.

(50)

Przykład - wybory prezydenckie

Pozornie tak proste wybory jak głosowanie na prezydenta nie wymaga podawania pełnych preferencji...ale tak naprawdę podaje się

preferencje: jeden kandydat (na którego się głosuje) jest na

pierwszym miejscu, a pozostali - poniżej. W systemie dwuturowym dodatkowo wskazuje się silną preferencję między kandydatami, którzy weszli do drugiej tury.

(51)

Model Arrowa

(Poszanowanie jednomyślności - postulat Pareto) Jeśli każdy głosujący woli opcję A od B, to grupa jako całość również. (Niezależność od opcji nieistotnych) Jeśli ograniczymy zakres opcji do dowolnego podzbioru, względna kolejność opcji w wyniku musi pozostać taka sama jak w pełnym zbiorze. Np. jeśli grupa ma wybierać pomiędzy opcjami A i B, dla wyniku nie jest istotne, czy któryś z głosujących stawia opcję C powyżej dwu pierwszych, czy nie.

Z jednomyślności wynikają monotoniczność i suwerenność, czyli to, że każdy wynik powinien być możliwy do osiągnięcia przez pewną kombinację głosów. Wykluczamy więc procedury, w których pewne rozstrzygnięcia są niemożliwe niezależnie od woli wyborców (uogólniamy neutralność).

(52)

Model Arrowa

(Poszanowanie jednomyślności - postulat Pareto) Jeśli każdy głosujący woli opcję A od B, to grupa jako całość również.

(Niezależność od opcji nieistotnych) Jeśli ograniczymy zakres opcji do dowolnego podzbioru, względna kolejność opcji w wyniku musi pozostać taka sama jak w pełnym zbiorze. Np. jeśli grupa ma wybierać pomiędzy opcjami A i B, dla wyniku nie jest istotne, czy któryś z głosujących stawia opcję C powyżej dwu pierwszych, czy nie.

(53)

Model Arrowa

(54)

Model Arrowa

(55)

Twierdzenie Arrowa o niemożności

Twierdzenie Arrowa, 1951

Istnieje dokładnie jeden system głosowania F , spełniający powyższe warunki. Jest to...

dyktatura, czyli funkcja rzutowania na jedną ze współrzędnych.

Przypomnę, że dyktatura polega na tym, że wynik głosowania jest w całości zdeterminowany przez preferencje dokładnie jednego z

uczestników - głosy pozostałych nie mają żadnego znaczenia.

(56)

Twierdzenie Arrowa o niemożności

Twierdzenie Arrowa, 1951

(57)

Twierdzenie Arrowa o niemożności

Twierdzenie Arrowa, 1951

(58)

Twierdzenie Arrowa o niemożności

Twierdzenie Arrowa, 1951

Istnieje dokładnie jeden system głosowania F , spełniający powyższe warunki. Jest to... dyktatura, czyli funkcja rzutowania na jedną ze współrzędnych.

(59)

Twierdzenie Arrowa o niemożności

Twierdzenie Arrowa, 1951

Istnieje dokładnie jeden system głosowania F , spełniający powyższe warunki. Jest to... dyktatura, czyli funkcja rzutowania na jedną ze współrzędnych.

(60)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

Tradycyjny system ocen w łyżwiarstwie figurowym:

9 sędziów przyznaje za każdy przejazd ocenę za wartość techniczną i wrażenie artystyczne.

Najważniejszy był jednak raking preferencji zawodników,

zawodniczek lub par, który tworzyli sędziowie na podstawie not. Te rankingi w dość skomplikowany sposób przekładały się na ostatecznie zajęte miejsca (najważniejsze było wyznaczenie najmniejszej wartości lokaty powyżej której większość sędziów plasowała zawodnika/zawodniczkę/parę).

(61)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

zawodniczek lub par, który tworzyli sędziowie na podstawie not. Te rankingi w dość skomplikowany sposób przekładały się na ostatecznie zajęte miejsca (najważniejsze było wyznaczenie najmniejszej wartości lokaty powyżej której większość sędziów plasowała zawodnika/zawodniczkę/parę).

(62)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

zawodniczek lub par, który tworzyli sędziowie na podstawie not.

Te rankingi w dość skomplikowany sposób przekładały się na ostatecznie zajęte miejsca (najważniejsze było wyznaczenie najmniejszej wartości lokaty powyżej której większość sędziów plasowała zawodnika/zawodniczkę/parę).

(63)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

zawodniczek lub par, który tworzyli sędziowie na podstawie not.

Te rankingi w dość skomplikowany sposób przekładały się na ostatecznie zajęte miejsca (najważniejsze było wyznaczenie najmniejszej wartości lokaty powyżej której większość sędziów plasowała zawodnika/zawodniczkę/parę).

(64)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

Konsekwencje:

Mistrzostwa Świata solistek 1995: przed ostatnią zawodniczką: 1. Lu Chen, 2. Nicole Bobek, 3. Surya Bonyaly.

Ostatnia solistka, Michelle Kwan, nie miała szans na medal. Jej przejazd nie zmienił ocen Nicole Bobek i Suryi Bonyaly.

Końcowe wyniki: 1. Lu Chen, 2. Surya Bonyaly, 3. Nicole Bobek. Komentarz eksperta: Bonyaly ma srebro, Bobek - brąz, a Arrow - Nagrodę Nobla.

Reguły w łyżwiarstwie wielokrotnie zmieniano...ale od twierdzenia Arrowa nie da się uciec!

(65)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

Konsekwencje:

Mistrzostwa Świata solistek 1995: przed ostatnią zawodniczką: 1.

Lu Chen, 2. Nicole Bobek, 3. Surya Bonyaly.

(66)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

Konsekwencje:

(67)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

Konsekwencje:

Końcowe wyniki: 1. Lu Chen, 2. Surya Bonyaly, 3. Nicole Bobek.

Komentarz eksperta: Bonyaly ma srebro, Bobek - brąz, a Arrow - Nagrodę Nobla.

(68)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

Konsekwencje:

(69)

Niezależność od opcji nieistotnych i łyżwiarstwo figurowe

Konsekwencje:

(70)

Nie-arrowowskie systemy głosowań

Głosowanie punktowe - decyduje suma punktów. Ważna jest nie tylko preferencja, ale i jej siła.

Głosowanie aprobujące - „votum zaufania” dla każdego z kandydatów.

Te systemy mają jednak inne poważne wady: brak spełnienia kryterium większości lub ograniczanie wyrażenia preferencji głosujących.

A może skromniejsze wymagania? Może jeśli tylko mamy wyłonić jedną opcję...

(71)

Nie-arrowowskie systemy głosowań

(72)

Nie-arrowowskie systemy głosowań

(73)

Nie-arrowowskie systemy głosowań

(74)

Nie-arrowowskie systemy głosowań

(75)

Twierdzenie Gibbarda-Satterthwaite’a

Twierdzenie Gibbarda-Satterthwaite’a, 1975

Każdy deterministyczny system głosowania, mający na celu wyłonienie zwycięzcy, spełnia jeden z poniższych warunków:

1. Istnieje dyktator.

2. Istnieje kandydat, który nie może wygrać.

3. System jest wrażliwy na głosowanie strategiczne, tzn. istnieją sytuacje, w której co najmniej jednemu z głosujących, o ile zna sposób głosowania pozostałych opłaca się głosować niezgodnie ze swoimi przekonaniami, by uzyskać lepszy według niego rezultat.

(76)

Głosowanie strategiczne

Wybory prezydenckie we Francji 2002: prawdopodobnie część wyborców Chiraca w pierwszej turze głosowała na Le Pena, by wyeliminować Jospina.

Sprawa Afraniusza Dekstera - 100 n.e.: dlaczego słudzy go zabili? Uniewinnienie, banicja, czy śmierć? Pliniusz Młodszy, sprzyjający uniewinnieniu i przewodniczący obradom zarządził głosowanie większością względną, ale zwolennicy kary śmierci zagłosowali strategicznie i skończyło się wygnaniem oskarżonych.

(77)

Głosowanie strategiczne

(78)

Głosowanie strategiczne

(79)

Twierdzenie Duggana-Schwartza

A może jeśli dopuścimy remisy...

Twierdzenie Duggana-Schwartza, 1993

Każdy system głosowania, mający na celu wyłonienie niepustego zbioru zwycięzców spośród co najmniej 3 kandydatów, spełnia jeden z poniższych warunków:

1. Nie ma równości głosujących (symetrii).

2. Istnieje kandydat, który nie może wygrać.

3. Istnieje manipulator optymistyczny lub pesymistyczny, czyli osoba, której głos może zdecydować o tym, że jakiś kandydat nie będzie lub, że będzie w zbiorze zwycięzców.

(80)

Twierdzenie Amartyi Sena

Paradoks liberalny Sena, 1970

Jeśli w systemie głosowania dla każdego wyborcy istnieją dwie różne opcje, o których pozycji względem siebie w końcowym rankingu decyduje ten pojedynczy wyborca, to system ten nie spełnia aksjomatu jednomyślności Pareto.

(81)

Wniosek

Nie ma idealnego systemu wyborczego - każdy będzie miał jakieś wady.

To nie oznacza, że nie ma systemów lepszych i gorszych, ale sens „lepszości” trzeba przecyzyjnie zdefiniować.

(82)

Wniosek

Nie ma idealnego systemu wyborczego - każdy będzie miał jakieś wady. To nie oznacza, że nie ma systemów lepszych i gorszych, ale sens „lepszości” trzeba przecyzyjnie zdefiniować.

(83)