10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures

(1)

10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Matematyka finansowa

(2)

1 Instrumenty pochodne: wstęp

2 Założenia wyceny instrumentów pochodnych

3 Kontrakty terminowe forward/ futures

4 Wycena kontraktów terminowych forward/futures

(3)

Instrumenty pochodne - definicja

Instrument pochodny

Instrument pochodny (derywat) jest to umowa o przeprowadzeniu w przyszłości pewnej transakcji, najczęściej typu kupno-sprzedaż (choć może też to być wymiana lub pożyczka).

Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości. Wartość instrumentu pochodnego zależy od obecnej i przyszłej ceny innego dobra takiego jak inny papier wartościowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa została zawarta. Wynik finansowy instrumentu pochodnego nie jest znany z góry, bo zależy od przyszłych cen. Dlatego wycena tych inwestycji wymaga innych niż dotychczas narzędzi.

(4)

Instrumenty pochodne - definicja

Instrument pochodny

Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości.

Wartość instrumentu pochodnego zależy od obecnej i przyszłej ceny innego dobra takiego jak inny papier wartościowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa została zawarta. Wynik finansowy instrumentu pochodnego nie jest znany z góry, bo zależy od przyszłych cen. Dlatego wycena tych inwestycji wymaga innych niż dotychczas narzędzi.

(5)

Instrumenty pochodne - definicja

Instrument pochodny

Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości. Wartość instrumentu pochodnego zależy od obecnej i przyszłej ceny innego dobra takiego jak inny papier wartościowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa została zawarta.

Wynik finansowy instrumentu pochodnego nie jest znany z góry, bo zależy od przyszłych cen. Dlatego wycena tych inwestycji wymaga innych niż dotychczas narzędzi.

(6)

Instrumenty pochodne - definicja

Instrument pochodny

Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości. Wartość instrumentu pochodnego zależy od obecnej i przyszłej ceny innego dobra takiego jak inny papier wartościowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa została zawarta. Wynik finansowy instrumentu pochodnego nie jest znany z góry, bo zależy od przyszłych cen.

Dlatego wycena tych inwestycji wymaga innych niż dotychczas narzędzi.

(7)

Instrumenty pochodne - definicja

Instrument pochodny

Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszłości. Wartość instrumentu pochodnego zależy od obecnej i przyszłej ceny innego dobra takiego jak inny papier wartościowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa została zawarta. Wynik finansowy instrumentu pochodnego nie jest znany z góry, bo zależy od przyszłych cen. Dlatego wycena tych

(8)

Instrumenty pochodne - definicja

W szczególności, warto pamiętać, że sam instrument pochodny nie jest papierem wartościowym (choć można nim handlować).

Do transakcji dochodzi w określonym umową terminie wykonania. Ciekawostką jest, że wartość instrumentu pochodnego może być zależna od zmiennej „nieekonomicznej” takiej jak np. liczba dni słonecznych w roku (tzw. derywaty pogodowe) - jednak takimi instrumentami nie będziemy się tu zajmować.

(9)

Instrumenty pochodne - definicja

W szczególności, warto pamiętać, że sam instrument pochodny nie jest papierem wartościowym (choć można nim handlować). Do transakcji dochodzi w określonym umową terminie wykonania.

Ciekawostką jest, że wartość instrumentu pochodnego może być zależna od zmiennej „nieekonomicznej” takiej jak np. liczba dni słonecznych w roku (tzw. derywaty pogodowe) - jednak takimi instrumentami nie będziemy się tu zajmować.

(10)

Instrumenty pochodne - definicja

W szczególności, warto pamiętać, że sam instrument pochodny nie jest papierem wartościowym (choć można nim handlować). Do transakcji dochodzi w określonym umową terminie wykonania.

Ciekawostką jest, że wartość instrumentu pochodnego może być zależna od zmiennej „nieekonomicznej” takiej jak np. liczba dni słonecznych w roku (tzw. derywaty pogodowe) - jednak takimi instrumentami nie będziemy się tu zajmować.

(11)

Inne podstawowe pojęcia

Instrument bazowy

Instrument bazowy jest to przedmiot transakcji, o której

przeprowadzeniu w przyszłości mówi instrument pochodny (np. papier wartościowy, indeks giełdowy, towar, waluta, inny instrument

pochodny)

Zawarcie kontraktu będącego instrumentem pochodnym nazywa się czasem otwarciem pozycji, przy czym:

Pozycje w instrumencie pochodnym

Pozycję długą w instrumencie pochodnym ma posiadacz prawa lub obowiązku nabycia instrumentu bazowego, a pozycję krótką - posiadacz prawa lub obowiązku sprzedaży tego instrumentu.

(12)

Inne podstawowe pojęcia

Instrument bazowy

pochodny)

Pozycje w instrumencie pochodnym

Pozycję długą w instrumencie pochodnym ma posiadacz prawa lub obowiązku nabycia instrumentu bazowego, a pozycję krótką - posiadacz prawa lub obowiązku sprzedaży tego instrumentu.

(13)

Inne podstawowe pojęcia

Instrument bazowy

pochodny)

Pozycje w instrumencie pochodnym

Pozycję długą w instrumencie pochodnym ma posiadacz prawa lub

(14)

Pozycje - uogólnienie

Generalnie, dla dowolnych instrumentów finansowych mówi się, że pozycję krótką ma ten, kto osiąga zysk w przypadku spadku ceny danego instrumentu finansowego, a pozycję długą ten, kto osiąga zysk w przypadku wzrostu takiej ceny.

Łatwo zauważyć, że ta definicja jest zgodna ze szczególnym jej zastosowaniem na poprzednim slajdzie.

(15)

Charakterystyki instrumentu pochodnego

Każdy instrument pochodny musi mieć zdefiniowane następujące własności:

rodzaj transakcji; instrument bazowy;

termin wygaśnięcia umowy; obowiązki i prawa stron umowy;

sposób rozliczenia i realizacji kontraktu.

(16)

Charakterystyki instrumentu pochodnego

rodzaj transakcji;

instrument bazowy;

(17)

Charakterystyki instrumentu pochodnego

rodzaj transakcji;

instrument bazowy;

(18)

Charakterystyki instrumentu pochodnego

rodzaj transakcji;

instrument bazowy;

termin wygaśnięcia umowy;

obowiązki i prawa stron umowy;

(19)

Charakterystyki instrumentu pochodnego

rodzaj transakcji;

instrument bazowy;

(20)

Charakterystyki instrumentu pochodnego

rodzaj transakcji;

instrument bazowy;

(21)

Podział instrumentów pochodnych

Definicja pozycji zajmowanych w instrumentach pochodnych wymaga ich podziału na dwa typy, zależne od praw i obowiązków stron

umowy:

Instrumenty symetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla obu stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie (np. kontrakty terminowe); Instrumenty niesymetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla jednej ze stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie, a drugiej stronie daje prawo jej wykonania (np. opcje).

(22)

Podział instrumentów pochodnych

umowy:

Instrumenty symetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla obu stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie (np. kontrakty terminowe);

Instrumenty niesymetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla jednej ze stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie, a drugiej stronie daje prawo jej wykonania (np. opcje).

(23)

Podział instrumentów pochodnych

umowy:

Instrumenty symetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla obu stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie (np. kontrakty terminowe);

Instrumenty niesymetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla jednej ze stron obowiązek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie, a drugiej stronie daje prawo jej wykonania (np. opcje).

(24)

Podział instrumentów pochodnych - przykład

Np. umowa z gospodarstwem rolnym na dostawę w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton żyta za cenę 1100 PLN może być instrumentem pochodnym dwojakiego typu: jeśli obie strony umowy muszą zawrzeć tę transakcję, to jest to instrument symetryczny, a jeśli kupujący może zdecydować o tym, czy wykona tę transakcję i może z niej zrezygnować - jest to instrument niesymetryczny.

Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący straci 200 PLN, a sprzedający tyle samo zyska, zaś w przypadku asymetrycznym umowa będzie mieć wartość zerową, bo kupujący ze swojego prawa zakupu nie skorzysta.

(25)

Podział instrumentów pochodnych - przykład

Instrumentem bazowym jest tu

żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący straci 200 PLN, a sprzedający tyle samo zyska, zaś w przypadku asymetrycznym umowa będzie mieć wartość zerową, bo kupujący ze swojego prawa zakupu nie skorzysta.

(26)

Podział instrumentów pochodnych - przykład

Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący

osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący straci 200 PLN, a sprzedający tyle samo zyska, zaś w przypadku asymetrycznym umowa będzie mieć wartość zerową, bo kupujący ze swojego prawa zakupu nie skorzysta.

(27)

Podział instrumentów pochodnych - przykład

Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający

stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący straci 200 PLN, a sprzedający tyle samo zyska, zaś w przypadku asymetrycznym umowa będzie mieć wartość zerową, bo kupujący ze swojego prawa zakupu nie skorzysta.

(28)

Podział instrumentów pochodnych - przykład

Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący

straci 200 PLN, a sprzedający tyle samo zyska, zaś w przypadku asymetrycznym umowa będzie mieć wartość zerową, bo kupujący ze swojego prawa zakupu nie skorzysta.

(29)

Podział instrumentów pochodnych - przykład

Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący straci 200 PLN, a sprzedający

umowa będzie mieć wartość zerową, bo kupujący ze swojego prawa zakupu nie skorzysta.

(30)

Podział instrumentów pochodnych - przykład

Instrumentem bazowym jest tu żyto, a wartość tej umowy jest zależna od ceny tony żyta. Jeśli 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupujący osiągnie zysk w kwocie 100 PLN, a sprzedający stratę tej samej wysokości. Natomiast jeśli wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupujący straci 200 PLN, a sprzedający tyle samo zyska, zaś w przypadku asymetrycznym umowa będzie mieć wartość zerową, bo kupujący ze swojego prawa zakupu nie skorzysta.

(31)

Podział instrumentów pochodnych - przykład

Kupujący w tym kontrakcie zajmuje pozycję długą, gdyż dla niego korzystny jest wzrost cen żyta, zaś gospodarstwo zajmuje pozycję krótką, gdyż zyskuje na tej umowie, gdy cena żyta będzie spadać.

(32)

Wypłata/funkcja wypłaty

Po rozliczeniu instrumentu pochodnego (zazwyczaj w terminie jego wygaśnięcia) możemy obliczyć końcowy wynik finansowy każdej ze stron. Wynik ten zależy od ceny lub innych własności instrumentu bazowego.

Jak zauważyliśmy na przykładzie, zysk jednej strony instrumentu pochodnego jest równy stracie drugiej strony, więc całość można analizować jako grę dwuosobową o sumie zerowej. Końcowy wynik każdej ze stron to jej wypłata lub funkcja wypłaty (jeśli jest dana jako zależność od ceny instrumentu bazowego).

(33)

Wypłata/funkcja wypłaty

Po rozliczeniu instrumentu pochodnego (zazwyczaj w terminie jego wygaśnięcia) możemy obliczyć końcowy wynik finansowy każdej ze stron. Wynik ten zależy od ceny lub innych własności instrumentu bazowego.

Jak zauważyliśmy na przykładzie, zysk jednej strony instrumentu pochodnego jest równy stracie drugiej strony, więc całość można analizować jako grę dwuosobową o sumie zerowej. Końcowy wynik każdej ze stron to jej wypłata lub funkcja wypłaty (jeśli jest dana jako zależność od ceny instrumentu bazowego).

(34)

Wycena instrumentów pochodnych

Przez wycenę instrumentu pochodnego rozumiemy obliczenie jego wartości w momencie otwarcia pozycji.

Sprawiedliwa wycena jest to ustalenie takich warunków instrumentu pochodnego, żeby żadna ze stron nie była uprzywilejowana. Wynikiem takiej wyceny jest sprawiedliwa cena.

Obliczanie ceny sprawiedliwej opiera się na znajomości podstawowych danych rynkowych obowiązujących na moment wyceny. Zmiany tych danych w przyszłości nie są brane pod uwagę.

(35)

Wycena instrumentów pochodnych

Przez wycenę instrumentu pochodnego rozumiemy obliczenie jego wartości w momencie otwarcia pozycji. Sprawiedliwa wycena jest to ustalenie takich warunków instrumentu pochodnego, żeby żadna ze stron nie była uprzywilejowana. Wynikiem takiej wyceny jest sprawiedliwa cena.

(36)

Wycena instrumentów pochodnych

Przez wycenę instrumentu pochodnego rozumiemy obliczenie jego wartości w momencie otwarcia pozycji. Sprawiedliwa wycena jest to ustalenie takich warunków instrumentu pochodnego, żeby żadna ze stron nie była uprzywilejowana. Wynikiem takiej wyceny jest sprawiedliwa cena.

(37)

Założenia wyceny instrumentów pochodnych

Dla wszystkich omawianych odtąd instrumentów pochodnych będziemy zakładać spełnienie pewnych założeń dotyczących rynku, które teraz pokrótce omówimy:

brak możliwości arbitrażu;

możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów; istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej ˜r ;

równe oprocentowanie depozytów i kredytów; równy dostęp obu stron umowy do rynku;

brak kosztów transakcyjnych, w tym opodatkowania. doskonała podzielność wszystkich instrumentów.

(38)

Założenia wyceny instrumentów pochodnych

możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów; istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej ˜r ;

(39)

Założenia wyceny instrumentów pochodnych

możliwość krótkiej sprzedaży bez dodatkowych kosztów;

istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej ˜r ; równe oprocentowanie depozytów i kredytów; równy dostęp obu stron umowy do rynku;

(40)

Założenia wyceny instrumentów pochodnych

istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej ˜r ;

(41)

Założenia wyceny instrumentów pochodnych

istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej ˜r ; równe oprocentowanie depozytów i kredytów;

równy dostęp obu stron umowy do rynku;

(42)

Założenia wyceny instrumentów pochodnych

(43)

Założenia wyceny instrumentów pochodnych

brak kosztów transakcyjnych, w tym opodatkowania.

doskonała podzielność wszystkich instrumentów.

(44)

Założenia wyceny instrumentów pochodnych

brak kosztów transakcyjnych, w tym opodatkowania.

doskonała podzielność wszystkich instrumentów.

(45)

Założenie braku arbitrażu

Arbitraż to możliwość osiągnięcia pewnego zysku bez ponoszenia ryzyka.

Np. jeśli możemy pożyczyć pieniądze na r₁% rocznie i złożyć je na lokacie o oprocentowaniu r₂% rocznie (OK=rok) i r₁ < r₂ to bez inwestowania jakichkolwiek własnych pieniędzy możemy w ten sposób zarobić, korzystając z arbitrażu.

Założenie braku arbitrażu zazwyczaj nie jest spełnione

krótkoterminowo, ale może być spełnione długoterminowo, dzięki działaniom praw popytu i podaży na instrumenty o źle oszacowanych cenach (np. duży popyt na kredyt i lokatę z przykładu spowoduje wzrost ceny kredytu i spadek stopy na lokacie).

(46)

Założenie braku arbitrażu

Arbitraż to możliwość osiągnięcia pewnego zysku bez ponoszenia ryzyka. Np. jeśli możemy pożyczyć pieniądze na r₁% rocznie i złożyć je na lokacie o oprocentowaniu r₂% rocznie (OK=rok) i r₁ < r₂ to bez inwestowania jakichkolwiek własnych pieniędzy możemy w ten sposób zarobić, korzystając z arbitrażu.

(47)

Założenie braku arbitrażu

Arbitraż to możliwość osiągnięcia pewnego zysku bez ponoszenia ryzyka. Np. jeśli możemy pożyczyć pieniądze na r₁% rocznie i złożyć je na lokacie o oprocentowaniu r₂% rocznie (OK=rok) i r₁ < r₂ to bez inwestowania jakichkolwiek własnych pieniędzy możemy w ten sposób zarobić, korzystając z arbitrażu.

(48)

Krótka sprzedaż

Krótka sprzedaż to szczególny przypadek zajmowania krótkiej pozycji. Chodzi o sprzedaż papierów wartościowych, które nie są własnością sprzedającego.

Papiery takie można pożyczyć od maklera, zobowiązując się do ich zwrotu, sprzedać je i odkupić tuż przed terminem zwrotu. Jeśli ich cena w momencie odkupienia jest mniejsza niż cena w momencie sprzedaży, to w ten sposób zyskujemy.

Oczywiście, w praktyce te zyski są pomniejszone o koszt tej pożyczki, jednak dla uproszczenia modelu zakładamy, że takich kosztów nie ma.

(49)

Krótka sprzedaż

Krótka sprzedaż to szczególny przypadek zajmowania krótkiej pozycji. Chodzi o sprzedaż papierów wartościowych, które nie są własnością sprzedającego. Papiery takie można pożyczyć od maklera, zobowiązując się do ich zwrotu, sprzedać je i odkupić tuż przed terminem zwrotu. Jeśli ich cena w momencie odkupienia jest mniejsza niż cena w momencie sprzedaży, to w ten sposób zyskujemy.

(50)

Krótka sprzedaż

Krótka sprzedaż to szczególny przypadek zajmowania krótkiej pozycji. Chodzi o sprzedaż papierów wartościowych, które nie są własnością sprzedającego. Papiery takie można pożyczyć od maklera, zobowiązując się do ich zwrotu, sprzedać je i odkupić tuż przed terminem zwrotu. Jeśli ich cena w momencie odkupienia jest mniejsza niż cena w momencie sprzedaży, to w ten sposób zyskujemy.

(51)

Wolna od ryzyka stopa procentowa

Wolna od ryzyka stopa procentowa to stopa zwrotu z inwestycji bezpiecznej, czyli niezagrożonej możliwością niewywiązania się drugiej strony transakcji z warunków umowy. Często za taką inwestycję uznaje się zakup renomowanych obligacji zerokuponowych lub bonów skarbowych.

Zakładamy ponadto, ze ta stopa jest stała w czasie trwania instrumentu pochodnego.

(52)

Równe oprocentowanie depozytów i kredytów

Założenie o równym oprocentowaniu depozytów i kredytów jest sporym uproszczeniem ogólnie, ale w przypadku wiarygodnych inwestorów nie odbiega za bardzo od rzeczywistości.

(53)

Równe szanse stron instrumentu pochodnego

Założenie o równych możliwościach stron instrumentu pochodnego jest dość naturalne, gdy nic o nich nie wiemy z góry.

Pozostałe założenia są czysto techniczne i wpływają tylko na matematyczną ścisłość obliczeń, a nie na końcowe rezultaty.

(54)

Wycena instrumentów pochodnych - konwencje

Dodatkowo przyjmujemy następujące konwencje:

Stopa ˜r wolna od ryzyka jest roczną stopą zwrotu. Jednostką czasu jest rok.

Jednocześnie, naturalnym modelem dla wyceny instrumentów pochodnych jest model oprocentowania ciągłego. Zatem używamy r = ln(1 + ˜r ), jako stopy rocznej w modelu oprocentowania ciągłego równoważnej stopie zwrotu ˜r . Wzory dotyczą jednostek instrumentu bazowego.

(55)

Wycena instrumentów pochodnych - konwencje

(56)

Wycena instrumentów pochodnych - konwencje

Jednocześnie, naturalnym modelem dla wyceny instrumentów pochodnych jest model oprocentowania ciągłego. Zatem używamy r = ln(1 + ˜r ), jako stopy rocznej w modelu oprocentowania ciągłego równoważnej stopie zwrotu ˜r .

Wzory dotyczą jednostek instrumentu bazowego.

(57)

Wycena instrumentów pochodnych - konwencje

(58)

Kontrakt terminowy forward - definicja

Kontrakt terminowy forward

Kontrakt terminowy forward jest to utworzony jednorazowo instrument pochodny zobowiązujący obie strony do dokonania

transakcji typu kupno-sprzedaż instrumentu bazowego. Jedna ze stron umowy dostarcza przedmiot transakcji drugiej w terminie

wykonania transakcji, w zamian za ustaloną cenę rozliczenia (dostawy).

W praktyce, strony mogą rozliczyć się bez fizycznej dostawy

instrumentu bazowego, za pomocą gotówki. To jest czasem konieczne w wypadku instrumentów bazowych takich jak np. indeks giełdowy.

(59)

Kontrakt terminowy forward - definicja

Kontrakt terminowy forward

Kontrakt terminowy forward jest to utworzony jednorazowo instrument pochodny zobowiązujący obie strony do dokonania

transakcji typu kupno-sprzedaż instrumentu bazowego. Jedna ze stron umowy dostarcza przedmiot transakcji drugiej w terminie

wykonania transakcji, w zamian za ustaloną cenę rozliczenia (dostawy).

W praktyce, strony mogą rozliczyć się bez fizycznej dostawy

instrumentu bazowego, za pomocą gotówki. To jest czasem konieczne

(60)

Kontrakt terminowy futures - definicja

Kontrakt terminowy futures

Kontrakt terminowy futures jest to umowa o takim samym działaniu jak kontrakt terminowy forward, będąca przedmiotem obrotu giełdowego i podlegająca tzw. standaryzacji.

Z matematycznego punktu widzenia te dwa typy kontraktów terminowym są dokładnie takie same, więc w części dotyczącej wyceny będę mówił o kontraktach forward, mając na myśli obydwa typy kontraktów, o ile wyraźnie nie zaznaczę, że jest inaczej.

(61)

Kontrakt terminowy futures - definicja

Kontrakt terminowy futures

Kontrakt terminowy futures jest to umowa o takim samym działaniu jak kontrakt terminowy forward, będąca przedmiotem obrotu giełdowego i podlegająca tzw. standaryzacji.

Z matematycznego punktu widzenia te dwa typy kontraktów terminowym są dokładnie takie same, więc w części dotyczącej wyceny będę mówił o kontraktach forward, mając na myśli obydwa typy kontraktów, o ile wyraźnie nie zaznaczę, że jest inaczej.

(62)

Różnice pomiędzy futures i forward

Pomiędzy kontraktami terminowymi futures i forward występują następujące różnice instytucjonalne:

Kontrakty futures występują w obrocie giełdowym, a kontrakty forward w obrocie pozagiełdowym.

Kontrakt futures jest kontraktem standaryzowanym: dana giełda decyduje o możliwej ilości instrumentu bazowego przypadającego na kontrakt oraz o terminie dostawy. Kontrakt forward jest konstruowany za każdym razem na zamówienie obu stron tego kontraktu, które decydują o terminie i wielkości dostawy. Kontrakty futures określają termin dostawy na konkretny miesiąc, ale nie wskazują dokładnego dnia dostawy. W kontraktach forward terminem dostawy jest konkretny dzień.

(63)

Różnice pomiędzy futures i forward

Kontrakt futures jest kontraktem standaryzowanym: dana giełda decyduje o możliwej ilości instrumentu bazowego przypadającego na kontrakt oraz o terminie dostawy. Kontrakt forward jest konstruowany za każdym razem na zamówienie obu stron tego kontraktu, które decydują o terminie i wielkości dostawy. Kontrakty futures określają termin dostawy na konkretny miesiąc, ale nie wskazują dokładnego dnia dostawy. W kontraktach forward terminem dostawy jest konkretny dzień.

(64)

Różnice pomiędzy futures i forward

Kontrakt futures jest kontraktem standaryzowanym: dana giełda decyduje o możliwej ilości instrumentu bazowego przypadającego na kontrakt oraz o terminie dostawy. Kontrakt forward jest konstruowany za każdym razem na zamówienie obu stron tego kontraktu, które decydują o terminie i wielkości dostawy.

Kontrakty futures określają termin dostawy na konkretny miesiąc, ale nie wskazują dokładnego dnia dostawy. W kontraktach forward terminem dostawy jest konkretny dzień.

(65)

Różnice pomiędzy futures i forward

Kontrakt futures jest kontraktem standaryzowanym: dana giełda decyduje o możliwej ilości instrumentu bazowego przypadającego na kontrakt oraz o terminie dostawy. Kontrakt forward jest konstruowany za każdym razem na zamówienie obu stron tego kontraktu, które decydują o terminie i wielkości dostawy.

Kontrakty futures określają termin dostawy na konkretny miesiąc, ale nie wskazują dokładnego dnia dostawy. W

(66)

Różnice pomiędzy futures i forward

Obie strony kontraktu futures muszą jako zabezpieczenie wnieść depozyt (margin) oraz posiadać na rachunku giełdowym

ustaloną sumę (maintanance margin level). Strony kontraktu forward nie mają takich obowiązków.

W kontrakcie forward płatność następuje po dostawie. Kontrakt futures jest rozliczany codziennie na zasadzie marking to market - stan rachunków obu stron jest codziennie korygowany o zmianę ceny rynkowej tego kontraktu.

Dla kontraktu forward niemal zawsze dochodzi do dostawy przedmiotu kontraktu lub jego równoważności. Ze względu na ciągłą wycenę kontraktu futures, prawie nigdy dostawa

instrumentu bazowego nie występuje. Pozycje przyjmowane w kontrakcie przez inwestorów najczęściej są likwidowane przed terminem wykonania.

(67)

Różnice pomiędzy futures i forward

(68)

Różnice pomiędzy futures i forward

(69)

Parametry kontraktu forward/futures

We wszystkich zadaniach związanych z kontraktami terminowymi forward istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

T - termin wygaśnięcia kontraktu, jednocześnie termin rozliczenia.

K - cena rozliczenia.

S_t - cena instrumentu bazowego w momencie t ∈ [0, T ]. U - zaktualizowane na moment 0 zyski (ze znakiem plus) lub straty (ze znakiem minus) zajmującego pozycję krótką (sprzedającego) wynikające z posiadania przez czas T instrumentu bazowego (dywidendy z akcji, koszty przechowywania towaru itp.).

Wycena kontraktu forward polega na obliczeniu jego sprawiedliwej ceny rozliczenia.

(70)

Parametry kontraktu forward/futures

(71)

Parametry kontraktu forward/futures

(72)

Parametry kontraktu forward/futures

S_t - cena instrumentu bazowego w momencie t ∈ [0, T ].

U - zaktualizowane na moment 0 zyski (ze znakiem plus) lub straty (ze znakiem minus) zajmującego pozycję krótką (sprzedającego) wynikające z posiadania przez czas T instrumentu bazowego (dywidendy z akcji, koszty przechowywania towaru itp.).

(73)

Parametry kontraktu forward/futures

(74)

Parametry kontraktu forward/futures

(75)

Baza, backwardation, contango

Różnicę pomiędzy ceną instrumentu bazowego w danym momencie a ceną rozliczenia S_t − K nazywa się bazą.

Sytuację, w której baza jest dodatnia nazywa się backwardation, a gdy jest ujemna - contango.

(76)

Baza, backwardation, contango

Różnicę pomiędzy ceną instrumentu bazowego w danym momencie a ceną rozliczenia S_t − K nazywa się bazą. Sytuację, w której baza jest dodatnia nazywa się backwardation, a gdy jest ujemna - contango.

(77)

Cena forward

Ponadto istotne jest jeszcze jedno pojęcie:

Cena forward

Dla kontraktu forward, ceną forward (lub futures) K_t w momencie t ∈ [0, T ] nazywamy wielkość która byłaby sprawiedliwą ceną

rozliczenia, gdyby kontrakt zawierano w momencie t z terminem dostawy w T .

Cena rozliczenia w kontrakcie forward po ustaleniu w momencie zawarcia umowy jest stała, ale cena forward się zmienia w czasie. Różnica między tymi cenami K_t− K jest sprawiedliwą ceną rezygnacji przez inwestora w pozycji długiej z praw do tego kontraktu.

(78)

Cena forward

Ponadto istotne jest jeszcze jedno pojęcie:

Cena forward

Dla kontraktu forward, ceną forward (lub futures) K_t w momencie t ∈ [0, T ] nazywamy wielkość która byłaby sprawiedliwą ceną

rozliczenia, gdyby kontrakt zawierano w momencie t z terminem dostawy w T .

Cena rozliczenia w kontrakcie forward po ustaleniu w momencie zawarcia umowy jest stała, ale cena forward się zmienia w czasie.

Różnica między tymi cenami K_t− K jest sprawiedliwą ceną rezygnacji przez inwestora w pozycji długiej z praw do tego kontraktu.

(79)

Cena rynkowa futures

Kontrakty terminowe futures są notowane na giełdzie, więc w szczególności poza ceną wynikającą z wyceny istnieje też cena rynkowa, kształtowana przez popyt i podaż, po której taki kontrakt jest aktualnie sprzedawany.

Da się wykazać, że przy przyjętych przez nas założeniach (w

szczególności braku arbitrażu i istnienia oraz stałości wolnej od ryzyka stopy procentowej) w całym okresie [0, T ] cena rynkowa futures nie różni się od ceny futures zdefiniowanej na poprzednim slajdzie.

(80)

Cena rynkowa futures

Kontrakty terminowe futures są notowane na giełdzie, więc w szczególności poza ceną wynikającą z wyceny istnieje też cena rynkowa, kształtowana przez popyt i podaż, po której taki kontrakt jest aktualnie sprzedawany.

Da się wykazać, że przy przyjętych przez nas założeniach (w

szczególności braku arbitrażu i istnienia oraz stałości wolnej od ryzyka stopy procentowej) w całym okresie [0, T ] cena rynkowa futures nie różni się od ceny futures zdefiniowanej na poprzednim slajdzie.

(81)

Metoda portfela replikującego

Instrumenty pochodne najczęściej wycenia się tzw. metodą portfela replikującego.

Polega ona na określeniu funkcji wypłaty dla inwestora z pozycją długą i skonstruowaniu w chwili t = 0 portfela

składającego się z A > 0 jednostek instrumentu bazowego oraz B jednostek kapitału pieniężnego (B może być dodatnie lub ujemne - wtedy symbolizuje zaciągnięcie długu). Liczby A i B muszą być dobrane tak, by niezależnie od ceny instrumentu podstawowego w momencie T wartość portfela była równa wartości funkcji wypłaty, zaś w chwili t = 0 wartość portfela jest równa wartości kontraktu (tj. cenie, którą trzeba zapłacić za zawarcie kontraktu).

(82)

Metoda portfela replikującego

Instrumenty pochodne najczęściej wycenia się tzw. metodą portfela replikującego. Polega ona na określeniu funkcji wypłaty dla inwestora z pozycją długą i skonstruowaniu w chwili t = 0 portfela

składającego się z A > 0 jednostek instrumentu bazowego oraz B jednostek kapitału pieniężnego (B może być dodatnie lub ujemne - wtedy symbolizuje zaciągnięcie długu).

Liczby A i B muszą być dobrane tak, by niezależnie od ceny instrumentu podstawowego w momencie T wartość portfela była równa wartości funkcji wypłaty, zaś w chwili t = 0 wartość portfela jest równa wartości kontraktu (tj. cenie, którą trzeba zapłacić za zawarcie kontraktu).

(83)

Metoda portfela replikującego

Instrumenty pochodne najczęściej wycenia się tzw. metodą portfela replikującego. Polega ona na określeniu funkcji wypłaty dla inwestora z pozycją długą i skonstruowaniu w chwili t = 0 portfela

składającego się z A > 0 jednostek instrumentu bazowego oraz B jednostek kapitału pieniężnego (B może być dodatnie lub ujemne - wtedy symbolizuje zaciągnięcie długu). Liczby A i B muszą być dobrane tak, by niezależnie od ceny instrumentu podstawowego w momencie T wartość portfela była równa wartości funkcji wypłaty, zaś w chwili t = 0 wartość portfela jest równa wartości kontraktu (tj.

cenie, którą trzeba zapłacić za zawarcie kontraktu).

(84)

Wypłata i wartość początkowa kontraktu forward

Dla kontraktu forward, wypłata inwestora w pozycji długiej w momencie T wynosi:

ST − K .

Wartość kontraktu forward w chwili zawarcia umowy po sprawiedliwej cenie powinna wynosić 0. Jako, że ten kontrakt jest równie korzystny dla obu stron transakcji, żadna z nich nie musi do niego dopłacać.

(85)

Wypłata i wartość początkowa kontraktu forward

ST − K .

(86)

Wypłata i wartość początkowa kontraktu forward

ST − K .

(87)

Wartość portfela replikującego

Z drugiej strony, wartość portfela replikującego w momencie 0 wynosi:

A(S₀− U) + B,

bo wartość jednostki instrumentu pierwotnego trzeba pomniejszyć o dochody, których inwestor z długą pozycją nie uzyska za jego posiadanie w czasie [0, T ] (lub zwiększyć o straty, których nie poniesie). Wartość portfela replikującego w momencie T wyniesie wtedy:

AS_T + Be^rT.

(88)

Wartość portfela replikującego

A(S₀− U) + B,

bo wartość jednostki instrumentu pierwotnego trzeba pomniejszyć o dochody, których inwestor z długą pozycją nie uzyska za jego posiadanie w czasie [0, T ] (lub zwiększyć o straty, których nie poniesie).

Wartość portfela replikującego w momencie T wyniesie wtedy:

AS_T + Be^rT.

(89)

Wartość portfela replikującego

A(S₀− U) + B,

AS_T + Be^rT.

(90)

Wartość portfela replikującego

A(S₀− U) + B,

AS_T + Be^rT.

(91)

Układ równań portfela replikującego

W ten sposób otrzymujemy układ równań:







A(S₀− U) + B = 0, AS_T + Be^rT = S_T − K .

Skoro parametry A i B nie zależą od wartości S_T, to współczynnik przy S_T po obu stronach drugiego równania musi być taki sam. Zatem A = 1. Wtedy, z pierwszego równania otrzymujemy B = U − S₀, a drugie równanie przyjmuje postać:

(U − S₀)e^rT = −K ⇒ K = (S₀− U)e^rT.

(92)

Układ równań portfela replikującego







A(S₀− U) + B = 0, AS_T + Be^rT = S_T − K .

Skoro parametry A i B nie zależą od wartości S_T, to współczynnik przy S_T po obu stronach drugiego równania musi być taki sam.

Zatem A = 1. Wtedy, z pierwszego równania otrzymujemy B = U − S₀, a drugie równanie przyjmuje postać:

(U − S₀)e^rT = −K ⇒ K = (S₀− U)e^rT.

(93)

Układ równań portfela replikującego







A(S₀− U) + B = 0, AS_T + Be^rT = S_T − K .

Zatem A = 1.

Wtedy, z pierwszego równania otrzymujemy B = U − S₀, a drugie równanie przyjmuje postać:

(U − S₀)e^rT = −K ⇒ K = (S₀− U)e^rT.

(94)

Układ równań portfela replikującego







A(S₀− U) + B = 0, AS_T + Be^rT = S_T − K .

Zatem A = 1. Wtedy, z pierwszego równania otrzymujemy B =

U − S₀, a drugie równanie przyjmuje postać: (U − S₀)e^rT = −K ⇒ K = (S₀− U)e^rT.

(95)

Układ równań portfela replikującego







A(S₀− U) + B = 0, AS_T + Be^rT = S_T − K .

(U − S₀)e^rT = −K ⇒ K = (S₀− U)e^rT.

(96)

Układ równań portfela replikującego







A(S₀− U) + B = 0, AS_T + Be^rT = S_T − K .

(U − S₀)e^rT = −K ⇒ K = (S₀− U)e^rT.

(97)

Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward

K = (S₀− U)e^rT.

Czasem zyski/straty z posiadania instrumentu bazowego przez inwestora z pozycją krótką w czasie [0, T ] są liczone jako odsetki od wartości tego instrumentu obliczane według kapitalizacji ciągłej i stałej stopy u (lub w sposób równoważny np. dywidendy od akcji, kupony od obligacji, opłata za przechowywanie wartościowego depozytu). Wtedy powyższy wzór przyjmuje postać:

Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward

K = S₀e^{(r −u)T}.

(98)

Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward

K = (S₀− U)e^rT.

Czasem zyski/straty z posiadania instrumentu bazowego przez inwestora z pozycją krótką w czasie [0, T ] są liczone jako odsetki od wartości tego instrumentu obliczane według kapitalizacji ciągłej i stałej stopy u (lub w sposób równoważny np. dywidendy od akcji, kupony od obligacji, opłata za przechowywanie wartościowego depozytu). Wtedy powyższy wzór przyjmuje postać:

Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward

K = S₀e^{(r −u)T}.

(99)

Przykład

Zadanie

Załóżmy, że roczna stopa wolna od ryzyka wynosi ˜r = 5%. Obliczyć sprawiedliwą cenę wykonania następujących kontraktów:

a) Zakupu 10 obligacji bezkuponowych 5-letnich, o terminie

rozliczenia za 2 lata i aktualnej cenie rynkowej pojedynczej obligacji równej 100 jp.

b) Zakupu akcji, z dywidendami w wysokości 5 jp płatnymi co pół roku (najbliższa płatność za 3 miesiące), o terminie rozliczenia za rok i aktualnej cenie rynkowej 150 jp.

c) Zakupu kilograma złota o terminie rozliczenia za rok i aktualnej cenie rynkowej 1000 jp za kilogram, przy czym koszt przechowywania

(100)

Przykład

Zadanie

(...)

d) Zakupu za jp 100 dukatów tiutiurlistańskich (TD) o terminie rozliczenia za rok, gdy aktualny kurs jp/TD wynosi 2:1, a wolna od ryzyka stopa zwrotu na rynku instrumentów dłużnych

denominowanych w TD wynosi ˜u = 7% rocznie.

(101)

Przykład

Zadanie

Stopę wolną od ryzyka przeliczamy na równoważną roczną stopę oprocentowania ciągłego: r = ln(1 + ˜r ) = 0, 0488. Ponadto: T = 2, S₀ = 10 · 100 i U = 0 (obligacje bezkuponowe nie generują zysków w międzyczasie).

K = (S₀− U)e^rT = 1000e^0,0976 = 1102, 5217.

(102)

Przykład

Zadanie

Stopę wolną od ryzyka przeliczamy na równoważną roczną stopę oprocentowania ciągłego: r = ln(1 + ˜r ) = 0, 0488.

Ponadto: T = 2, S₀ = 10 · 100 i U = 0 (obligacje bezkuponowe nie generują zysków w międzyczasie).

K = (S₀− U)e^rT = 1000e^0,0976 = 1102, 5217.

(103)

Przykład

Zadanie

K = (S₀− U)e^rT = 1000e^0,0976 = 1102, 5217.

(104)

Przykład

Zadanie

K = (S₀− U)e^rT = 1000e^0,0976 = 1102, 5217.

(105)

Przykład

Zadanie

r = 0, 0488, T = 1, S₀ = 150 i U = 5e⁻¹⁴^r + 5e⁻³⁴^r = 9, 7597 (zaktualizowane na 0 dywidendy w czasie trwania kontraktu).

K = (S₀− U)e^rT = 140, 2403e^0,0488 = 147, 2538.

(106)

Przykład

Zadanie

r = 0, 0488, T = 1, S₀ = 150 i U =

5e⁻¹⁴^r + 5e⁻³⁴^r = 9, 7597 (zaktualizowane na 0 dywidendy w czasie trwania kontraktu).

K = (S₀− U)e^rT = 140, 2403e^0,0488 = 147, 2538.

(107)

Przykład

Zadanie

r = 0, 0488, T = 1, S₀ = 150 i U = 5e⁻¹⁴^r + 5e⁻³⁴^r = 9, 7597 (zaktualizowane na 0 dywidendy w czasie trwania kontraktu).

K = (S₀− U)e^rT = 140, 2403e^0,0488 = 147, 2538.