Matematyka nansowa - 10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures
I. Instrumenty pochodne: wst¦p
De nicja 1. Instrument pochodny (derywat) jest to umowa o przeprowadzeniu w przy- szªo±ci pewnej transakcji, najcz¦±ciej typu kupno-sprzeda» (cho¢ mo»e te» to by¢ wymiana lub po»yczka).
Umowa taka jest zawierana obecnie, ale dotyczy przeprowadzenia danej transakcji w przyszªo±ci. Warto±¢ instrumentu pochodnego zale»y od obecnej i przyszªej ceny innego dobra takiego jak inny papier warto±ciowy, waluta, czy towar, na którego zakup ta umowa zostaªa zawarta. Wynik nansowy instrumentu pochodnego nie jest znany z góry, bo zale»y od przyszªych cen.
W szczególno±ci, warto pami¦ta¢, »e sam instrument pochodny nie jest papierem war- to±ciowym (cho¢ mo»na nim handlowa¢). Do transakcji dochodzi w okre±lonym umow¡
terminie wykonania.
De nicja 2. Instrument bazowy jest to przedmiot transakcji, o której przeprowadze- niu w przyszªo±ci mówi instrument pochodny (np. papier warto±ciowy, indeks gieªdowy, towar, waluta, inny instrument pochodny)
Zawarcie kontraktu b¦d¡cego instrumentem pochodnym nazywa si¦ czasem otwarciem pozycji, przy czym:
De nicja 3. Pozycj¦ dªug¡ w instrumencie pochodnym ma posiadacz prawa lub obo- wi¡zku nabycia instrumentu bazowego, a pozycj¦ krótk¡ - posiadacz prawa lub obowi¡zku sprzeda»y tego instrumentu.
Generalnie, dla dowolnych instrumentów nansowych mówi si¦, »e pozycj¦ krótk¡ ma ten, kto osi¡ga zysk w przypadku spadku ceny danego instrumentu nansowego, a pozycj¦
dªug¡ ten, kto osi¡ga zysk w przypadku wzrostu takiej ceny, co si¦ zgadza z nazwami pozycji dla instrumentów pochodnych.
Ka»dy instrument pochodny musi mie¢ zde niowane nast¦puj¡ce wªasno±ci:
• rodzaj transakcji;
• instrument bazowy;
• termin wyga±ni¦cia umowy;
• obowi¡zki i prawa stron umowy;
• sposób rozliczenia i realizacji kontraktu.
De nicja pozycji zajmowanych w instrumentach pochodnych wymaga ich podziaªu na dwa typy, zale»ne od praw i obowi¡zków stron umowy:
• Instrumenty symetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla obu stron obowi¡zek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie (np.
kontrakty terminowe);
• Instrumenty niesymetryczne - otwarcie pozycji w takim instrumencie rodzi dla jednej ze stron obowi¡zek zawarcia takiej transakcji w wyznaczonym terminie, a drugiej stronie daje prawo jej wykonania (np. opcje).
Po rozliczeniu instrumentu pochodnego (zazwyczaj w terminie jego wyga±ni¦cia) mo»emy obliczy¢ ko«cowy wynik nansowy ka»dej ze stron. Wynik ten zale»y od ceny lub innych wªasno±ci instrumentu bazowego. Jak zauwa»yli±my na przykªadzie, zysk jednej strony instrumentu pochodnego jest równy stracie drugiej strony, wi¦c caªo±¢ mo»na analizowa¢
jako gr¦ dwuosobow¡ o sumie zerowej. Ko«cowy wynik ka»dej ze stron to jej wypªata lub funkcja wypªaty (je±li jest dana jako zale»no±¢ od ceny instrumentu bazowego).
Przykªad Umowa z gospodarstwem rolnym na dostaw¦ w dniu 15 sierpnia tego roku 2 ton
»yta za cen¦ 1100 PLN mo»e by¢ instrumentem pochodnym dwojakiego typu: je±li obie strony umowy musz¡ zawrze¢ t¦ transakcj¦, to jest to instrument symetryczny, a je±li kupuj¡cy mo»e zdecydowa¢ o tym, czy wykona t¦ transakcj¦ i mo»e z niej zrezygnowa¢
1
2
- jest to instrument niesymetryczny. Instrumentem bazowym jest tu »yto, a warto±¢ tej umowy jest zale»na od ceny tony »yta. Je±li 15 sierpnia wyniesie ona np. 600 PLN, to kupuj¡cy osi¡gnie zysk (wypªat¦) w kwocie 100 PLN, a sprzedaj¡cy strat¦ tej samej wysoko±ci (wypªat¦ -100 PLN). Natomiast je±li wyniesie np. 450 PLN, to w przypadku symetrycznym, kupuj¡cy straci 200 PLN, a sprzedaj¡cy tyle samo zyska, za± w przypadku asymetrycznym umowa b¦dzie mie¢ warto±¢ zerow¡, bo kupuj¡cy ze swojego prawa za- kupu nie skorzysta. Kupuj¡cy w tym kontrakcie zajmuje pozycj¦ dªug¡, gdy» dla niego korzystny jest wzrost cen »yta, za± gospodarstwo zajmuje pozycj¦ krótk¡, gdy» zyskuje na tej umowie, gdy cena »yta b¦dzie spada¢.
II. Zaªo»enia wyceny instrumentów pochodnych
Przez wycen¦ instrumentu pochodnego rozumiemy obliczenie jego warto±ci w mo- mencie otwarcia pozycji. Sprawiedliwa wycena jest to ustalenie takich warunków in- strumentu pochodnego, »eby »adna ze stron nie byªa uprzywilejowana. Wynikiem takiej wyceny jest sprawiedliwa cena. Obliczanie ceny sprawiedliwej opiera si¦ na znajomo-
±ci podstawowych danych rynkowych obowi¡zuj¡cych na moment wyceny. Zmiany tych danych w przyszªo±ci nie s¡ brane pod uwag¦.
Dla wszystkich omawianych odt¡d instrumentów pochodnych b¦dziemy zakªada¢ speª- nienie pewnych zaªo»e« dotycz¡cych rynku, które teraz pokrótce omówimy:
• brak mo»liwo±ci arbitra»u;
• mo»liwo±¢ krótkiej sprzeda»y bez dodatkowych kosztów;
• istnienie wolnej od ryzyka stopy procentowej ˜r;
• równe oprocentowanie depozytów i kredytów;
• równy dost¦p obu stron umowy do rynku;
• brak kosztów transakcyjnych, w tym opodatkowania.
• doskonaªa podzielno±¢ wszystkich instrumentów.
Arbitra» to mo»liwo±¢ osi¡gni¦cia pewnego zysku bez ponoszenia ryzyka. Np. je±li mo»emy po»yczy¢ pieni¡dze na r1% rocznie i zªo»y¢ je na lokacie o oprocentowaniu r2% rocznie (OK=rok) i r1 < r2 to bez inwestowania jakichkolwiek wªasnych pieni¦dzy mo-
»emy w ten sposób zarobi¢, korzystaj¡c z arbitra»u. Zaªo»enie braku arbitra»u zazwyczaj nie jest speªnione krótkoterminowo, ale mo»e by¢ speªnione dªugoterminowo, dzi¦ki dzia- ªaniom praw popytu i poda»y na instrumenty o ¹le oszacowanych cenach (np. du»y popyt na kredyt i lokat¦ z przykªadu spowoduje wzrost ceny kredytu i spadek stopy na lokacie).
Krótka sprzeda» to szczególny przypadek zajmowania krótkiej pozycji. Chodzi o sprze- da» papierów warto±ciowych, które nie s¡ wªasno±ci¡ sprzedaj¡cego. Papiery takie mo»na po»yczy¢ od maklera, zobowi¡zuj¡c si¦ do ich zwrotu, sprzeda¢ je i odkupi¢ tu» przed ter- minem zwrotu. Je±li ich cena w momencie odkupienia jest mniejsza ni» cena w momencie sprzeda»y, to w ten sposób zyskujemy. Oczywi±cie, w praktyce te zyski s¡ pomniejszone o koszt tej po»yczki, jednak dla uproszczenia modelu zakªadamy, »e takich kosztów nie ma.Wolna od ryzyka stopa procentowa to stopa zwrotu z inwestycji bezpiecznej, czyli niezagro»onej mo»liwo±ci¡ niewywi¡zania si¦ drugiej strony transakcji z warunków umowy.
Cz¦sto za tak¡ inwestycj¦ uznaje si¦ zakup renomowanych obligacji zerokuponowych lub bonów skarbowych.
Zakªadamy ponadto, ze ta stopa jest staªa w czasie trwania instrumentu pochodnego.
Zaªo»enie o równym oprocentowaniu depozytów i kredytów jest sporym uprosz- czeniem ogólnie, ale w przypadku wiarygodnych inwestorów nie odbiega za bardzo od rzeczywisto±ci.
Zaªo»enie o równych mo»liwo±ciach stron instrumentu pochodnego jest do±¢
naturalne, gdy nic o nich nie wiemy z góry.
Pozostaªe zaªo»enia s¡ czysto techniczne i wpªywaj¡ tylko na matematyczn¡ ±cisªo±¢ ob- licze«, a nie na ko«cowe rezultaty.
• Stopa ˜r wolna od ryzyka jest roczn¡ stop¡ zwrotu. Jednostk¡ czasu jest rok.
3
• Jednocze±nie, naturalnym modelem dla wyceny instrumentów pochodnych jest model oprocentowania ci¡gªego. Zatem u»ywamy r = ln(1+ ˜r), jako stopy rocznej w modelu oprocentowania ci¡gªego równowa»nej stopie zwrotu ˜r.
• Wzory dotycz¡ jednostek instrumentu bazowego.
III. Kontrakty terminowe forward/ futures
De nicja 4. Kontrakt terminowy forward jest to utworzony jednorazowo instru- ment pochodny zobowi¡zuj¡cy obie strony do dokonania transakcji typu kupno-sprzeda»
instrumentu bazowego. Jedna ze stron umowy dostarcza przedmiot transakcji drugiej w terminie wykonania transakcji, w zamian za ustalon¡ cen¦ rozliczenia (dostawy).
W praktyce, strony mog¡ rozliczy¢ si¦ bez zycznej dostawy instrumentu bazowego, za pomoc¡ gotówki. To jest czasem konieczne w wypadku instrumentów bazowych takich jak np. indeks gieªdowy.
De nicja 5. Kontrakt terminowy futures jest to umowa o takim samym dziaªaniu jak kontrakt terminowy forward, b¦d¡ca przedmiotem obrotu gieªdowego i podlegaj¡ca tzw.
standaryzacji.
Z matematycznego punktu widzenia te dwa typy kontraktów terminowym s¡ dokªadnie takie same, wi¦c w cz¦±ci dotycz¡cej wyceny b¦d¦ mówiª o kontraktach forward, maj¡c na my±li obydwa typy kontraktów, o ile wyra¹nie nie zaznacz¦, »e jest inaczej. Pomi¦dzy kontraktami terminowymi futures i forward wyst¦puj¡ nast¦puj¡ce ró»nice instytucjo- nalne:
• Kontrakty futures wyst¦puj¡ w obrocie gieªdowym, a kontrakty forward w obrocie pozagieªdowym.
• Kontrakt futures jest kontraktem standaryzowanym: dana gieªda decyduje o mo»- liwej ilo±ci instrumentu bazowego przypadaj¡cego na kontrakt oraz o terminie do- stawy. Kontrakt forward jest konstruowany za ka»dym razem na zamówienie obu stron tego kontraktu, które decyduj¡ o terminie i wielko±ci dostawy.
• Kontrakty futures okre±laj¡ termin dostawy na konkretny miesi¡c, ale nie wska- zuj¡ dokªadnego dnia dostawy. W kontraktach forward terminem dostawy jest konkretny dzie«.
• Obie strony kontraktu futures musz¡ jako zabezpieczenie wnie±¢ depozyt (margin) oraz posiada¢ na rachunku gieªdowym ustalon¡ sum¦ (maintanance margin level).
Strony kontraktu forward nie maj¡ takich obowi¡zków.
• W kontrakcie forward pªatno±¢ nast¦puje po dostawie. Kontrakt futures jest roz- liczany codziennie na zasadzie marking to market - stan rachunków obu stron jest codziennie korygowany o zmian¦ ceny rynkowej tego kontraktu.
• Dla kontraktu forward niemal zawsze dochodzi do dostawy przedmiotu kontraktu lub jego równowa»no±ci. Ze wzgl¦du na ci¡gª¡ wycen¦ kontraktu futures, pra- wie nigdy dostawa instrumentu bazowego nie wyst¦puje. Pozycje przyjmowane w kontrakcie przez inwestorów najcz¦±ciej s¡ likwidowane przed terminem wykona- nia.
IV. Wycena kontraktów terminowych forward/futures
We wszystkich zadaniach zwi¡zanych z kontraktami terminowymi forward istotne b¦d¡
nast¦puj¡ce wielko±ci i oznaczenia:
• T - termin wyga±ni¦cia kontraktu, jednocze±nie termin rozliczenia.
• K - cena rozliczenia.
• St - cena instrumentu bazowego w momencie t ∈ [0, T ].
• U - zaktualizowane na moment 0 zyski (ze znakiem plus) lub straty (ze znakiem minus) zajmuj¡cego pozycj¦ krótk¡ (sprzedaj¡cego) wynikaj¡ce z posiadania przez czas T instrumentu bazowego (dywidendy z akcji, koszty przechowywania towaru itp.).
4
Wycena kontraktu forward polega na obliczeniu jego sprawiedliwej ceny rozliczenia.
Ró»nic¦ pomi¦dzy cen¡ instrumentu bazowego w danym momencie a cen¡ rozliczenia St− K nazywa si¦ baz¡. Sytuacj¦, w której baza jest dodatnia nazywa si¦ backwardation, a gdy jest ujemna - contango.
Ponadto istotne jest jeszcze jedno poj¦cie:
De nicja 6. Dla kontraktu forward, cen¡ forward (lub futures) Kt w momencie t ∈ [0, T ] nazywamy wielko±¢ która byªaby sprawiedliw¡ cen¡ rozliczenia, gdyby kontrakt zawierano w momencie t z terminem dostawy w T .
Cena rozliczenia w kontrakcie forward po ustaleniu w momencie zawarcia umowy jest staªa, ale cena forward si¦ zmienia w czasie. Ró»nica mi¦dzy tymi cenami Kt− K jest sprawiedliw¡ cen¡ rezygnacji przez inwestora w pozycji dªugiej z praw do tego kontraktu.
Kontrakty terminowe futures s¡ notowane na gieªdzie, wi¦c w szczególno±ci poza cen¡
wynikaj¡c¡ z wyceny istnieje te» cena rynkowa, ksztaªtowana przez popyt i poda», po której taki kontrakt jest aktualnie sprzedawany.
Da si¦ wykaza¢, »e przy przyj¦tych przez nas zaªo»eniach (w szczególno±ci braku arbitra»u i istnienia oraz staªo±ci wolnej od ryzyka stopy procentowej) w caªym okresie [0, T ] cena rynkowa futures nie ró»ni si¦ od ceny futures z de nicji.
Twierdzenie 1. Sprawiedliwa cena rozliczenia kontraktu forward wynosi:
K = (S0 − U )erT.
Czasem zyski/straty z posiadania instrumentu bazowego przez inwestora z pozycj¡ krótk¡
w czasie [0, T ] s¡ liczone jako odsetki od warto±ci tego instrumentu obliczane wedªug ka- pitalizacji ci¡gªej i staªej stopy u (lub w sposób równowa»ny np. dywidendy od akcji, kupony od obligacji, opªata za przechowywanie warto±ciowego depozytu). Wtedy powy»- szy wzór przyjmuje posta¢:
Twierdzenie 2.
K = S0e(r−u)T.
Oczywi±cie, kontrakty terminowe forward/futures nie s¡ jedynymi na rynku. Przykªadowe inne kontrakty termionowe to:
• Kontrakty FRA na przyszª¡ stop¦ procentow¡;
• swapy, czyli kontrakty wymiany.
