Filtry cyfrowe o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (rekurencyjne).

Opracował: Marek Cabaj

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Centrum Laserowych Technologii Metali

1

Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu:

„Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”.

Ćwiczenie 6:

Filtry cyfrowe o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (rekurencyjne).

Niezbędne wiadomości:

1. Filtry cyfrowe o nieskończonej odpowiedzi impulsowej.

Dwie równoważne struktury filtrów z nieskończoną odpowiedzią impulsową (IIR Infinite Impulse Responde) przedstawia poniższy rysunek:

Relacja między sygnałem wyjściowym y(k), a wejściowym u(k) jest dla filtru IIR opisana równaniem różnicowym:

y ( k )

+

a

₁

y ( k

−

1 )

+

a

₂

y ( k

−

2 )

+

...

+

a

_n

y ( k

−

n )

=

b

₀

u ( k )

+

b

₁

u ( k

−

1 )

+

...

+

b

_n

u ( k

−

n )

lub krócej:

∑ ∑

= =

− +

−

=

ⁿ

i

n

i i

i

u k i a y k i

b k

y

0 1

) ( )

( )

(

Aktualna wartość próbki sygnału na wyjściu może być obliczona na podstawie aktualnej i przeszłych wartości sygnału wymuszającego oraz przeszłych wartości sygnału wyjściowego.

Transmitancję operatorową dla filtru IIR można określić następująco:

∑

∑

=

−

=

−

−

= _n

i i i n

i i i

z a

z b z

H

1 0

1

)

(

Opracował: Marek Cabaj

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Centrum Laserowych Technologii Metali

2 2. Zalety i wady filtrów IIR

Zalety:

- możliwość uzyskania podobnych efektów filtracji przy znacznie mniej rozbudowanej strukturze w porównaniu z filtrem FIR,

- mała liczba wymaganych mnożeń, - małe wymagania sprzętowe dla pamięci, - możliwość symulowania analogowego.

Wady:

- zwiększony stopień trudności przy projektowaniu filtru, - filtr może okazać się niestabilny,

- nieliniowa charakterystyka fazowa,

. - wrażliwość na zmianę wartości współczynników filtru.

3. Projektowanie filtru IIR.

Zadanie zaprojektowania filtru IIR sprowadza się do następujących czynności:

- znalezienia transmitancji H(s) dla filtru analogowego, który chcemy aproksymować filtrem cyfrowym, - przekształcenia transmitancji H(s) w odpowiadającą jej transmitancję dyskretną H(z) przy zastosowaniu jednej z metod (Eulera, Tustina, rozkładu na ułamki proste),

- przekształcenia znalezionej transmitancji H(z) do postaci iloczynu:

∑

∑

=

−

=

−

−

= _k

i i i l

i i i

z a

z b z

H

1 0

1 ) (

Współczynniki ai i bi w powyższym wzorze są poszukiwanymi współczynnikami filtru IIR.

Należy pamiętać, że metoda ta daje dobre wyniki tylko przy częstotliwości granicznej filtru znacznie mniejszej od częstotliwości próbkowania.

4. Własności niektórych filtrów znanych z techniki analogowej.

Idealny filtr, tzn. taki, którego charakterystyka w paśmie przepustowym jest stała i równa jeden, zaś poza tym pasmem jest równa zero, jest w praktyce nierealizowalny. Stosuje się więc różne aproksymacje charakterystyki amplitudowej filtru idealnego, dające w efekcie konstrukcje filtrów o specyficznych cechach. Do najczęściej wykorzystywanych należą:

Filtr Butterwortha.

Filtr Buttewortha w stosunku do innych filtrów ma najbardziej płaski przebieg charakterystyki amplitudowej w paśmie przepustowym. Odbywa się to kosztem załamania charakterystyki pod koniec pasma

przepustowego oraz niekorzystnym kształtem charakterystyki fazowej.

Transmitancja dolnoprzepustowego filtru Butterwortha rzędu N o częstotliwości granicznej ω0 wyrażona jest wzorem:

∏

∏

−

=

−

=

−

−

= ₁

0 1

0

) (

) ( )

(

_N

k

k N

k k

s s

s s

H

gdzie sk są biegunami transmitancji, określonymi wzorem:



 



 +

= ^N

k j n

k

j e

s

π π

ω

0 ² k=0,1,2...N-1

Filtr Czebyszewa.

Filtr Czebyszewa jest filtrem o równomiernie falistej charakterystyce amplitudowej w paśmie

przepustowym i płaskiej charakterystyce w paśmie zaporowym. Szybkość opadania charakterystyki poza pasmem przepustowym jest większa niż dla filtru Butterwortha.

Transmitancja dolnoprzepustowego filtru Czebyszewa rzędu N o częstotliwości granicznej ω0 wyrażona jest wzorem:

Opracował: Marek Cabaj

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach Centrum Laserowych Technologii Metali

3

∏

∏

−

=

−

=

−

−

= ₁

0 1

0 0

) (

) ( )

(

_N

k

k N

k k

s s

s H

s H

gdzie sk są biegunami transmitancji, określonymi wzorem:





 





 



 

 



 



 +

−

 +





 

 



 



 +

−

=

^{− −}

N N

j k N

N

s

_k

k sinh ( 1 / )

2 cosh cos 2

) / 1 ( sinh sinh

2 sin 2

1 1

0

ε π

π ε

π ω π

k=0,1,2...N-1







 + =

+

=

=

k N dla

k N dla

H

2 1

1

1 2 1

2 0

ε

ε - stopień zafalowania charakterystyki amplitudowej w paśmie przepustowym.

Filtr Bessela.

Filtry Butterwortha i Czebyszewa charakteryzują się znacznymi oscylacjami odpowiedzi impulsowej.

Idealne właściwości przy przenoszeniu impulsów prostokątnych mają filtry, w których opóźnienie nie zależy od częstotliwości, tzn. w których przesunięcie fazowe jest proporcjonalne do częstotliwości. Takie właściwości najlepiej aproksymują filtry Bessela.

Transmitancja takich filtrów jest określona wzorem:

_N

N

s c s c s s c

H 1 ...

) 1

(

₂

1

1

+ +

= +

gdzie:

c

₁=

1

₁

) 1 2

(

) 1 (

2

+ −

− +

= − _i

i

c

i N i

i c N

Zadanie 1.

Zaprojektować dolnoprzepustowy filtr Butterwortha 3-go rzędu o częstotliwości granicznej fg=2Hz przy częstotliwości próbkowania 50Hz.

a) wyznaczyć transmitancję H(s) dla analogowego filtru Butterwortha,

b) stosując przekształcenie biliniowe znaleźć transmitancję dyskretną H(z) filtru,

c) przekształcić wzór na transmitancję H(z) do postaci umożliwiającej określenie współczynników ai i bi filtru, d) określić charakterystykę amplitudową i fazową filtru,

e) napisać równanie różnicowe dla filtru,

f) zbadać działanie zaprojektowanego filtru przepuszczając przez niego sygnał:





 

 + 

 

 



= 

N n N

n n

x π ¹¹⁰ π

sin 7 . 60 0

sin )

(

N=2¹⁰

Pytania sprawdzające:

1. Jaka jest struktura filtru cyfrowego IIR.

2. Jakie są etapy projektowania filtru IIR metodą niezmienności odpowiedzi impulsowej?

3. Wady i zalety filtru IIR.