Ćwiczenia laboratoryjne z przedmiotu:
„Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”.
Ćwiczenie 5:
Modulacja sygnału falą nośną.
Filtry cyfrowe o skończonej odpowiedzi impulsowej.
Niezbędne wiadomości:
1. Modulacja sygnału falą nośną.
W praktyce często stosuje się modulację amplitudową sygnału sinusoidalnego. Umożliwia to wytworzenie sygnału, którego widmo częstotliwościowe mieści się w określonym paśmie, wymaganym np. dla
określonego sposobu transmisji, równoczesnego przesłania jednym kanałem transmisyjnym kilku sygnałów z tzw. podziałem w dziedzinie częstotliwości itp. Sygnał wyjściowy y(t) jest równy:
y(t)=[1-m⋅u(t)]⋅cos(ωnt)
gdzie u(t) jest sygnałem modulującym, ωn – pulsacją fali nośnej, 0<m<1 współczynnikiem zwanym głębokością modulacji.
Analiza matematyczna sygnału zmodulowanego pokazuje, że widmo sygnału modulującego przesuwa się o wartość ωn.
W zmodulowanym sygnale pojawia się dodatkowa składowa, zwana falą nośną. Odtworzenie sygnału u(t) następuje w urządzeniu zwanym demodulatorem amplitudowym. Najprostszym przykładem demodulatora jest detektor szczytowy.
Jeśli sygnał wyjściowy z modulatora jest określony zależnością:
y(t)=u(t)⋅cos(ωnt)
to okazuje się, że jego widmo nie zawiera fali nośnej.
Najprostszym sposobem odtworzenia sygnału u(t) z y(t) jest ponowne zmodulowanie sygnału, tym razem y(t):
yr(t)=y(t)⋅cos(ωnt)
Widma: sygnału oryginalnego U(ω), zmodulowanego Y(ω) i ponownie zmodulowanego Yr(ω) przedstawiono na rysunku.
W celu odtworzenia u(t) wystarczy odfiltrować zbędne składowe sygnału yr(t).
2. Filtry cyfrowe o skończonej odpowiedzi impulsowej.
Wśród układów dyskretnych wyróżnia się klasę układów zwanych filtrami cyfrowymi. Wykorzystywane są one do zmiany charakterystyk częstotliwościowych sygnałów dyskretnych. Ze względu na rodzaj transmisji filtry cyfrowe dzielą się nz dwie grupy: filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (Finite Impulse
Responde – FIR, niekiedy używana polska nazwa SOI) i filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (Infinite Impulse Responde – IIR, polska nazwa NOI).
Rysunek poniżej przedstawia strukturę filtro FIR.
Bloki oznaczone jedynką symbolizują opóźnienie sygnału o jeden okres próbkowania. Filtr FIR realizuje następujący algorytm:
∑
=
−
⋅
=
ni
i
u k i
h k
y
0
) ( )
(
W przestrzeni zmiennej zespolonej z powyższy wzór przyjmuje postać:
∑
=
⋅
−=
ni i i
z h z U z Y
0
) ( ) (
Transmitancja filtru FIR:
to filtr ma liniową charakterystykę fazową.
Struktura filtru FIR.
3. Projektowanie filtru FIR metodą okna.
W projektowaniu filtru FIR korzysta się z faktu, że:
- kolejne próbki odpowiedzi impulsowej filtru FIR mają wartość współczynników filtru h(0), h(1)...h(n), - dla filtru idealnego, o prostokątnej charakterystyce częstotliwościowej odpowiedź impulsowa ma postać:
[ ]
) (
) ( ) sin
( π α
ω α
−
⋅
= −
n n n
h
g gdzies g
g f
π
fω
=2
,2
− 1
= N
α
,n = 0 , 1 , 2 ... N
fs – częstotliwość próbkowania; fg – częstotliwość graniczna filtru, N – rząd filtru.
Wartości h(n) są równocześnie współczynnikami N-ogniwowego filtru FIR.
Rząd filtru powinien być nieparzysty, aby zachować liniowość charakterystyki fazowej.
Im wyższy rząd N, tym lepiej jest odwzorowany filtr idealny. Zbyt niski rząd filtru powoduje pojawienie się niepożądanych zafalowań i listków bocznych w charakterystyce amplitudowej filtru. Z kolei zbytnie rozbudowanie filtru zwiększa wprowadzane przez niego opóźnienie oraz zwiększa ilość koniecznych do wykonania operacji arytmetycznych. Rozwiązaniem kompromisowym jest zachowanie rozsądnej długości filtru przy modyfikacji jego współczynników przez przemnożenie przez współczynniki wagowe, określane przez tzw. okna. Najczęściej stosowane, to okna: Hanninga, Bartletta, Hamminga, Blackmana (patrz ćwiczenie2, p.4).
4. Zalety i wady filtru FIR.
Zalety:
- łatwość projektowania, - zagwarantowana stabilność,
- mała wrażliwość na zmianę współczynników h(i) filtru, - możliwość uzyskania liniowej charakterystyki fazowej, - prosta realizacja sprzętowa filtru.
Wady:
-. duża liczba wymaganych mnożeń liczb zespolonych, - duże wymagania sprzętowe dla pamięci.
Zadanie 1.
Wyznaczyć DTF sygnału sinusoidalnego, opisanego wzorem (1):
= n
n N
x 2 π
sin )
1
(
a następnie sygnału opisanego wzorem(2):
⋅
= n
n N n N
x π 20 π
2 sin sin )
2
(
a) wygenerować sygnały (1) i (2). Przyjąć N=25, b) obliczyć DTF dla obu sygnałów,
c) wygenerować wykresy widm amplitudowych sygnałow, d) porównać widma sygnałów (1) i (2).
Zadanie 2.
Powtórzyć czynności z zadania 1 dla sygnału(1) zdefiniowanego jak niżej:
+
+
+
= n
n N n N
n N n N
x
π π π 8 π
sin 2 . 6 0
sin 4 . 4 0
sin 8 . 2 0
sin )
1
(
i sygnału (2) opisanego wzorem:
) 20 (
sin )
(
12
n x n
n N
x ⋅
= π
a) sporządzić wykresy widm amplitudowych sygnałow x1 i x2, b) wygenerować sygnał:
20 ( )
sin )
(
23
n x n
n N
x ⋅
= π
c) sporządzić wykres widma amplitudowego sygnału x3, d) usunąć z widma sygnału x3 zbędne harmoniczne,
e) stosując odwrotną dyskretną transformatę Fouriera odtworzyć z widma sygnał i porównać go z sygnałem x1. Zadanie 3.
Metoda średniej ruchomej (patrz ćwicz.1 p.2) jest w istocie filtrem cyfrowym FIR o stałych współczynnikach h(0)=h(1)=...=h(N), gdzie N jest rzędem filtru. Wyznaczyć przebieg charakterystyki amplitudowej i fazowej dla takiego filtru przy N=20:
a) napisać równanie różnicowe dla filtru, b) wyznaczyć odpowiedź impulsową filtru,
Zadanie 4.
Zaprojektować filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości granicznej ωg =0.1ωs ( ωs – częstotliwość próbkowania) z oknem prostokątnym.
a) określić współczynniki dla filtru 201-ogniwowego, b) wyznaczyć charakterystykę amplitudową i fazową filtru, c) zbadać działanie filtru przepuszczając przez niego sygnał:
+
=
N n N
n n
x π 45 π
20 sin sin )
(
N=1000;Zadanie 5.
Powtórzyć polecenia z poprzedniego zadania dla filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości granicznej ωg
=0.1ωs ( ωs – częstotliwość próbkowania) z oknem von Hanna.
okno Hanninga (von Hanna, podniesionego kosinusa):
M k
M k dla dla M
k wk
>
≤
+ +
=
0 cos 1 5 . 0 5 .
0 π
Pytania sprawdzające:
1. Na czym polega modulacja sygnału falą nośną?
2. Jakie skutki powoduje modulacja sygnału falą nośną?
3. Jaka jest struktura filtru cyfrowego FIR.
4. W jaki sposób wyznacza się współczynniki dla filtru FIR.
5. Wady i zalety filtru FIR.
