METODYKA BUDOWANIA MODELI OBLICZENIOWYCH MES
ŁOŻYSK WIEŃCOWYCH DOTYCZĄCA DYSKRETYZACJI PIERŚCIENI ŁOŻYSKA
Marek Krynke
1a, Stanisław Borkowski
1b1Instytut Inżynierii Produkcji, Politechnika Częstochowska
akrynke@zim.pcz.pl, bbork@zim.pcz.pl
Streszczenie
W artykule przedstawiono metodykę budowy modeli MES łożysk wieńcowych ze szczególnym uwzględnieniem za- gadnień związanych z odpowiednim podziałem pierścieni łożyska na elementy skończone. Dyskretyzacja tych pier- ścieni jest uwarunkowana przez zastępcze elementy jednowymiarowe modelujące części toczne. W celu zachowania pewnych cech sprężystych w przestrzeniach ich styku z elementami zastępczymi konieczna jest znajomość rozmia- ru siatki elementów skończonych, która jest porównywalna z przeciętnymi rozmiarami strefy kontaktu między elementami tocznymi a bieżnią.
Słowa kluczowe: łożysko wieńcowe, metoda elementów skończonych, nośność statyczna
METHODOLOGY OF CREATING FEM MODELS FOR DISCRETIZATION BEARINGS RINGS
Summary
The article presents the methodology of building FEM models of slewing bearings with particular emphasis on issues related to the appropriate division of bearing rings on finite elements. Discretization of these rings is determined by the replaced by one-dimensional finite elements (linear elements) of modelling the rolling elements.
In order to preserve certain characteristics of elastic in the areas of contact with elements of their replacements, it is necessary to know the size of the finite element mesh, which is comparable with the average size of the contact zone between the rolling elements and raceway.
Keywords: slewing bearing, finite element methods, bearing carrying capacity
1. WSTĘP
Budowa modeli obliczeniowych łożysk tocznych wieńco- wych przy wykorzystaniu metody elementów skończo- nych nastręcza wiele trudności. Można tu wyróżnić m.in.
problemy związane z modelowaniem części tocznych, połączeń śrubowych czy dyskretyzacją pierścieni łoży- skowych, które posiadają złożona konstrukcję. W celu zmniejszenia złożoności modelu MES, części toczne w łożyskach wieńcowych modeluje się za pomocą spe- cjalnych elementów zastępczych [1]. Pozwala to uniknąć wielokrotnego modelowania zagadnienia kontaktowego, natomiast wprowadza wymóg odpowiedniego określenia nieliniowych charakterystyk takiego elementu a także
odpowiedni podział pierścieni łożyska na elementy skończone [2]. Wyodrębnienie elementów w obszarze, w którym poszukuje się rozwiązania zadania, jest bardzo ważnym etapem w tworzeniu modelu obliczeniowego MES. Sposób dyskretyzacji zależy od geometrii obszaru, własności a także oczekiwanej efektywności obliczeń [3, 4]. W zależności od rodzaju łożyska jego pierścienie mogą być modelowane za pomocą różnych elementów skończonych. Przykładowo, gdy model podzespołu wsporczego składa się z elementów jednowymiarowych (belki i cięgna), wtedy pierścienie łożyska dyskretyzowa- ne są elementami belkowymi. Natomiast w przypadku
podziału podzespołu wsporczego elementami objętościo- wymi również i pierścienie łożyska wymagają takiego odwzorowania [5]. W artykule przedstawiono metodykę budowy modeli MES łożysk wieńcowych ze szczególnym uwzględnieniem zagadnień związanych z odpowiednim podziałem pierścieni łożyska na elementy skończone (objętościowe) w celu zachowania pewnych cech sprężys- tych w przestrzeniach ich styku z elementami zastęp- czymi.
2. DYSKRETYZACJA OBSZARU W MES
Sposób dyskretyzacji obszaru warunkuje liczbę nie- wiadomych, wielkość i kształt elementów, a to wpływa na dokładność rozwiązania zadania. W celu uzyskania wymaganej dokładności poszukiwanego rozwiązania wykorzystywane elementy powinny być na tyle małe, aby aproksymowane wewnątrz nich funkcje mogły być przybliżone za pomocą wielomianów. Jednakże zmniej- szanie elementów prowadzi do zwiększania liczby poszu- kiwanych wartości węzłowych, a to powoduje jednocze- śnie wydłużenie czasu obliczeń. Stosuje się więc najczę- ściej nierównomierny podział na elementy. Jeżeli można przewidzieć, gdzie poszukiwana funkcja zmienia się gwałtownie, to tam zagęszcza się siatkę elementów, a tam gdzie funkcja zmienia się łagodnie, siatkę elemen- tów rozrzedza się [4].
Dokładność rozwiązania zależy przede wszystkim od dokładności aproksymacji wielkości fizycznych wewnątrz elementu za pomocą funkcji interpolacyjnych nazywa- nych dalej funkcjami kształtu. Przy właściwym odwzo- rowaniu wielkości fizycznych elementu zmniejszenie obszarów elementów (zwiększenie ich liczby) powoduje, że wartości węzłowe funkcji poszukiwanej, stanowiące przybliżone rozwiązanie zadania, zbliżają się do rozwią- zania dokładnego[3].
Elementy skończone powinny być dobrze proporcjo- nalne. Idealne elementy powierzchniowe to trójkąty równoboczne i kwadraty. Idealne elementy objętościowe to regularny czworościan i sześcian. Elementy do pewne- go stopnia mogą być deformowane. Wykonanie dobrej siatki dla złożonych kształtów jest zadaniem trudnym i zazwyczaj wymaga wielu prób z wykorzystaniem róż- nych narzędzi generowania siatki.
Ostatecznie do dyskretyzacji pierścieni łożysk wień- cowych, a także dźwigarów pierścieniowych, do których mocowane jest łożysko wieńcowe, użyto 8-węzłowych elementów objętościowych.
3. DYSKRETYZACJA PIERŚCIENI ŁOŻYSK WIEŃCOWYCH
JEDNORZĘDOWYCH
Do grupy łożysk wieńcowych jednorzędowych zalicza się łożyska kulkowe czteropunktowe oraz łożyska wa- łeczkowe krzyżowe. Łożyska te charakteryzują się jedno-
litymi pierścieniami, z których każdy posiada dwie bieżnie. Podział pierścieni na elementy skończone w przekroju poprzecznym narzucony jest przez ich kształty, natomiast wzdłuż obwodu łożyska jest zdeter- minowany rozmieszczeniem części tocznych. Współpraca pierścieni łożyska między sobą realizowana jest przez zastępcze elementy jednowymiarowe (elementy prętowe lub superelementy) pośredniczące w przenoszeniu obcią- żeń z pierścienia związanego z nadwoziem na pierścień pozostający w kontakcie z siedziskiem podwozia maszy- ny roboczej. W celu połączenia elementów liniowych modelujących części toczne z elementami bryłowymi pierścieni łożyska konieczna jest wówczas znajomość rozmiaru siatki elementów skończonych. Podatność modelu pierścienia dla obciążenia siłą punktową wynika z jego kształtu, gęstości siatki elementów skończonych oraz ich rodzaju. Zatem w celu zachowania cech sprężys- tych bieżni łożyska w przestrzeniach styku z elementami zastępczymi, pierścienie muszą być podzielone wzdłuż obwodu zgodnie z podziałką rozmieszczenia elementów tocznych. Należy również zachować regularność elemen- tów skończonych w poszczególnych segmentach po obwodzie dyskretyzowanych pierścieni.
Aby wyeliminować różne zagęszczenie siatki po ob- wodzie pierścieni łożyska, wykorzystano generator siatki tworzonej z wyciągnięciem. Generator tworzy siatkę objętościową w warstwach domeny utworzonej przez wyciągnięcie. Elementy objętościowe są graniastosłupami lub sześciościanami w zależności od kształtu elementu powierzchniowego (trójkąty lub prostokąty) na po- wierzchni bazowej. Przykładowe numeryczne modele obliczeniowe dla łożyska wałeczkowego krzyżowego i łożyska kulkowego czteropunktowego przedstawiono na rys. 1 i 2.
Rys. 1. Siatka modelu MES łożyska wałeczkowego krzyżowego
Rys. 2. Siatka modelu MES łożyska kulkowego jednorzędowego Pierścienie łożysk w obu przypadkach są mocowane do ustroju maszyny zespołem śrub mocujących. Przyjęto zgodnie z zaleceniami producenta łożysk wieńcowych, firmę KAYDON® (rys. 3), że ostoje łożysk wieńcowych mają postać grubościennych dźwigarów pierścieniowych otwartych [6].
Rys. 3. Minimalne wymiary dźwigarów pierścieniowych do których przykręcone jest łożysko wieńcowe wg zaleceń produ-
centa łożysk wieńcowych firmę KAYDON® [6]
Śruby zastąpiono elementami belkowymi, do których wprowadzono napięcie wstępne w postaci siły odpowia- dającej sile napięcia śrub mocujących łożysko do struk- tur zabudowy. Łby śrub zamodelowano wykorzystując 8-węzłowe elementy bryłowe. Dyskretyzacja pierścieni łożyska jest zdeterminowana podziałką części tocznych.
Aby uniknąć dodatkowego zagęszczania siatki, w miej- scach rozmieszczenia śrub wykorzystano mechanizm sklejania siatki (mesh glueing) na powierzchniach skła- dowych brył modelu geometrycznego, wprowadzony w wersji 8.3 programu ADINA. Umożliwia on generowa- nie siatki o różnej gęstości w poszczególnych segmentach
modelowanej bryły (lub użycie do ich dyskretyzacji elementów o różnej liczbie węzłów) [7]. Zabieg ten upraszcza model, pozwala w łatwy sposób osiągnąć dowolne rozmieszczenie śrub mocujących z uwagi na brak konieczności odpowiedniego rozmieszczenia ich węzłów z węzłami pierścieni zabudowy w celu ich połą- czenia. Pierścienie nie muszą być podzielone zgodnie z kryterium rozmieszczenia śrub mocujących. Szersze omówienie sposobów modelowania połączeń śrubowych w łożyskach wieńcowych można znaleźć w pracach [8, 9, 10].
Na powierzchniach kontaktu pierścieni łożyska z pierścieniami konstrukcji wsporczych zdefiniowano powierzchnie kontaktu z tarciem wynoszącym = 0,15.
W łożysku krzyżowym wałeczki ułożone są naprze- miennie, tj. połowa całkowitej liczby wałeczków współ- pracuje z jedną parą bieżni, pozostałe z drugą. W ten sposób, choć łożysko jest jednorzędowe, mamy do czy- nienia z dwoma rzędami obliczeniowymi. Ten rząd wałeczków, w którym obciążenie wałeczków jest wyni- kiem sumy oddziaływań siły osiowej Q i momentu M, nazwano rzędem nośnym, drugi rząd, gdzie obciążenie jest różnicą oddziaływań siły i momentu – rzędem podtrzymującym [10]. Wymiary i liczby wałeczków w rzędach nośnym i podtrzymującym są takie same.
W łożyskach kulkowych czteropunktowych każda kulka współpracuje z dwiema parami bieżni. Te same części toczne biorą udział w przenoszeniu wszystkich trzech składowych obciążenia zewnętrznego. Zatem mogą przenosić obciążenia wzdłużne, poprzeczne, oraz obciążenia pochodzące od momentu wywrotnego. Po- dobnie jak w łożysku krzyżowym wyróżnia się dwa rzędy obliczeniowe, tj. rząd nośny i podtrzymujący. W każdym rzędzie występuje jednakowa liczba elementów zastęp- czych równa liczbie kulek w łożysku.
W modelach dyskretnych łożysk wałeczkowych krzy- żowych wałeczki zastępowane są poprzez elementy prętowe, natomiast w łożyskach kulkowych kulki zastę- puje się specjalnymi superelementami. Element prętowy ma ściśle określoną długość i wartość przekroju po- przecznego oraz odpowiednio zdefiniowaną charaktery- stykę materiałową ( ) i pełni rolę nieliniowej sprężyny [11]. Wprowadzenie superelementu do modelu nume- rycznego łożyska pozwala uwzględnić [5]:
• podatność podzespołu wsporczego,
• zmienny kąt działania części tocznych,
• luz (zacisk wstępny) w układzie element toczny – bieżnia,
• błędy wykonania podzespołów wsporczych,
• przewyższenie elementu tocznego (pozorna ujemna sztywność).
Superelement stosowany jest przede wszystkim do modelowania kulek w łożysku wieńcowym o zmiennym kącie działania na skutek przenoszonych przez łożysko obciążeń.
W dotychczas stosowanych modelach numerycznych MES łożysk wieńcowych nie uwzględniano otworów w ich pierścieniach pod śruby mocujące. Objętość prze- strzeni otworów dla łożyska kulkowego czteropunktowe- go o średnicy tocznej dt = 1400 mm, którego każdy pierścień mocowany jest 36 śrubami M24, stanowi ok.
8% objętości całych pierścieni łożyska. Zatem w celu sprawdzenia jak mogą wpływać otwory w pierścieniach na ich sztywność, a także na obciążenia śrub mocują- cych, należy zbudować model łożyska kulkowego jedno- rzędowego z uwzględnieniem otworów pod śruby mocu- jące (rys. 4).
Rys. 4. Siatka modelu MES sektora elementarnego łożyska kulkowego czteropunktowego
Jednak dyskretyzacja pierścieni łożyska, w którym występują otwory pod śruby mocujące, sprawia pewne trudności w uzyskaniu regularnej siatki MES ze względu na skomplikowaną postać modelu geometrycznego. Aby uprościć model geometryczny, należy wydzielić sektor elementarny pierścienia pomiędzy sąsiednimi śrubami i podzielić go na elementarne objętości składowe, np. tak jak uczyniono to na rys. 5.
a) b)
Rys. 5. Model geometryczny pierścienia łożyska: a) z otworami pod śruby mocujące, b) z pominięciem otworów pod śruby
Następnie można wykorzystać właściwości siatki
„topologicznej”. Mechanizm tworzenia siatek regular- nych wykorzystuje topologiczne właściwości powierzchni bryły. Pozwala on na wykonanie siatki na powierzch- niach prostokątnych elementami prostokątnymi (lub czworokątnymi) oraz w objętościach równoległościen- nych elementami sześciościennymi. W tym algorytmie
kontur powierzchni dzielony jest na cztery linie, z któ- rych linie naprzeciwległe mają taką samą liczbę elemen- tów [7]. Powierzchnia dzielona siatką jest więc topolo- gicznie równoważna prostokątowi. Objętość dzielona taką siatką jest topologicznie równoważna równoległo- ścianowi (rys. 6).
a) b)
Rys. 6. Siatka „topologiczna”: a) na powierzchni prostokątnej, b) w objętości równoległościennej
Optymalnym rozwiązaniem dla uniknięcia błędów jest podział na elementy skończone jednego sektora elementarnego (rys. 4) i stworzenie pierścieniowych wzorców równych liczbie śrub mocujących pierścień łożyska, oraz połączenie pokrywających się węzłów.
4. DYSKRETYZACJA ŁOŻYSK WIEŃCOWYCH Z DZIELONYMI PIERŚCIENIAMI
Najczęściej występującymi łożyskami wieńcowymi z pierścieniami dzielonymi są łożyska wieńcowe wałecz- kowe trzyrzędowe i kulkowe dwurzędowe.
W łożyskach wałeczkowych trzyrzędowych dwa rzę- dy wałeczków usytuowanych promieniowo służą do przenoszenia tylko siły osiowej Q i momentu wywrotne- go M, natomiast trzeci rząd wałeczków z osiami równo- ległymi do osi łożyska przenosi siłę promieniową H.
W łożyskach kulkowych dwurzędowych każdy rząd kulek współpracuje z dwoma bieżniami. Podobnie jak w łożysku kulkowym jednorzędowym występują w nim dwa rzędy obliczeniowe: rząd nośny i rząd podtrzymują- cy.
W łożysku wałeczkowym trzyrzędowym, a także w łożysku kulkowym dwurzędowym, w rzędach nośnym i podtrzymującym zazwyczaj stosuje się różne średnice i liczby elementów tocznych. Jak już zauważono, dyskre- tyzując pierścienie łożysk wieńcowych, dzieli się je wzdłuż obwodu zgodnie z kryterium rozmieszczenia części tocznych. Z uwagi na fakt, że w łożyskach wielo- rzędowych zazwyczaj stosuje się różne liczby części tocznych w poszczególnych rzędach łożyska, sprawia to trudności w podziale pierścieni na elementy skończone i otrzymanie regularnej siatki MES w poszczególnych segmentach pierścieni po obwodzie łożyska. Zapropono- wano dwie metody podziału pierścieni na elementy skończone:
• metoda wykorzystująca krotność występowania części tocznych w obu rzędach i korekcji prze-
kroju zastępczych elementów prętowych (rys. 7),
• metoda polegająca na wydzieleniu z pierścieni bieżni łożyska i połączeniu ich ze sobą za po- mocą tzw. sklejenia siatek MES (rys. 8).
W pierwszej metodzie pierścienie łożyska wzdłuż obwodu dzieli się przez najmniejszą wspólną wielokrot- ność liczb elementów tocznych w rzędzie nośnym i podtrzymującym. Aby ograniczyć liczbę podziałów pierścieni, a tym samym liczbę elementów skończonych, opracowano specjalny program do wyznaczania naj- mniejszej wspólnej wielokrotności. Idea programu polega na korekcji liczby elementów tocznych w określonym zakresie (np. 2%) i wyznaczeniu minimalnej najmniejszej wspólnej wielokrotności. Zatem program tak modyfikuje liczby elementów tocznych w obu rzędach łożyska, by wyznaczyć minimalną najmniejszą wspólną wielokrot- ność ze wszystkich obliczanych par liczb. Dla przykładu podziału pierścieni w łożysku, w którym występuje 126 i 150 elementów tocznych odpowiednio w I i II rzędzie, program po wykonaniu obliczeń zaproponował, by w modelu obliczeniowym zastosować 125 i 150 elemen- tów tocznych i podzielić pierścienie łożyska wzdłuż obwodu na 750 części. Ponieważ zastosowano mniejszą liczbę elementów tocznych, w I rzędzie należy dokonać korekty przekroju zastępczych elementów prętowych.
W tym przypadku należy zwiększyć przekrój elementów prętowych w I rzędzie o 0,794% (1/126). W przypadku, kiedy w modelu obliczeniowym stosuje się większą liczbę elementów tocznych niż w obiekcie rzeczywistym, należy zmniejszyć przekrój zastępczych elementów prętowych proporcjonalnie do występującej różnicy elementów tocznych.
Rys. 7. Siatka modelu MES łożyska wałeczkowego trzyrzędo- wego z dzielonymi pierścieniami
Rys. 8 Siatka modelu MES łożyska kulkowego dwurzędowego z dzielonymi pierścieniami
W metodzie drugiej zaproponowano, by pierścienie łożyska wzdłuż obwodu podzielić zgodnie z podziałką rozmieszczenia części tocznych rzędu nośnego. W celu połączenia elementów zastępczych z pierścieniami łoży- ska w rzędzie podtrzymującym wydzielono z obu pier- ścieni bieżnie o grubości 0,15d2. Bieżnie te wzdłuż obwo- du zostały podzielone zgodnie z kryterium rozmieszcze- nia elementów tocznych w rzędzie podtrzymującym. Na powierzchniach składowych tych brył wykorzystano mechanizm sklejania siatki (mesh glueing) dostępny w zaawansowanych programach MES. Umożliwia on generowanie siatki o różnej gęstości w poszczególnych segmentach modelowanej bryły (lub użycie do ich dys- kretyzacji elementów o różnej liczbie węzłów). Zaletą tej metody jest stosowanie takiej samej liczby elementów tocznych co w modelu rzeczywistym, a także wielokrot- nie mniejszej liczby elementów skończonych, co w przy- padku większych łożysk wieńcowych może mieć duże znaczenie ze względu na czas obliczeń.
W łożyskach wieńcowych z pierścieniami dzielonymi istotne jest zdefiniowanie kontaktu na powierzchniach podziału pierścieni. W efekcie działania momentu wy- wrotnego następuje „rozrywanie” pierścienia dzielonego, czyli oprócz odkształceń kontaktowych w rzędzie pod- trzymującym należy uwzględnić także przemieszczenie będące wynikiem zginania i skręcania pierścieni oraz odkształceń sprężystych podparć w postaci podatnych śrub. Pierścień dzielony wykazuje większe deformacje ze względu na małą sztywność skrętną. Zatem w strefie kontaktu na powierzchni podziału pierścienia rozkład nacisków nie jest stały i jest zintensyfikowany na brzegu pierścienia (rys. 9) [12].
Rys.9. Rozkład nacisków kontaktowych na powierzchni podzia- łu pierścienia wewnętrznego: a) w stanie nominalnym, b) przy obciążeniu rzędu nośnego, c) przy obciążeniu rzędu podtrzymu-
jącego
Należy więc zagęścić w tej strefie siatkę elementów skończonych szczególnie w kierunku promieniowym, tak by naciski na powierzchniach stykowych pierścieni rozkładały się na kilkanaście elementów kontaktowych w kierunku promieniowym (rys. 8). W konsekwencji w wyniku odkształceń elementów łożyska rzeczywiste obciążenia przenoszone przez elementy toczne w rzędzie podtrzymującym będą mniejsze od obciążeń wynikają-
cych z przyjęcia założenia o sztywności pierścieni, wsku- tek bowiem deformacji pierścieni części toczne zostają częściowo odciążone.
5. PODSUMOWANIE
Zastosowanie metody elementów skończonych w nu- merycznych obliczeniach inżynierskich wspomaganych komputerowo pozwala na szybkie i relatywnie dokładne osiągnięcie wyników, których uzyskanie metodą anali- tyczną byłoby bardzo trudne lub wręcz niemożliwe.
Wykorzystanie MES do zweryfikowania poprawności funkcjonowania danego wyrobu umożliwia krokową lub dokładną optymalizację jego wybranych cech już od wczesnych etapów rozwoju produktu. Uzyskuje się więc możliwość radykalnego skrócenia czasu trwania urucho- mienia produkcji nowego wyrobu lub modyfikacji wyro- bu już znajdującego się w produkcji.
Należy mieć na uwadze, że wyniki analiz MES opisu- ją zachowanie się układu w sposób przybliżony, są zawsze obarczone pewnym błędem, który w przypadku poprawnego prowadzenia analizy CAE można uznać za pomijalnie mały.
Modele obliczeniowe wieńcowych łożysk tocznych z uwagi na ich złożoność muszą podlegać różnego rodza- ju uproszczeniom. Dotyczy to również obliczania nośno- ści łożysk z wykorzystaniem metody elementów skoń- czonych [13].
Przedstawiona analiza tworzenia modeli MES łożysk wieńcowych dowodzi przydatności stosowania metod numerycznych w praktycznych obliczeniach inżynier- skich. Umożliwia ona dokładne określenie rozkładu sił w poszczególnych rzędach łożyska niemożliwych do wyznaczenia metodami analitycznymi, które ograniczają się do obliczeń łożysk przy założeniu nieodkształcalności jego pierścieni. Takie modelowanie umożliwia szybką weryfikację wszystkich zmian konstrukcyjnych czy technologicznych wprowadzanych do geometrii rzeczywi- stego łożyska, łącznie z uwzględnieniem cech geome- trycznych struktury osadzenia łożyska w maszynie.
Kluczowym etapem w przedstawionej metodyce obliczeń pozostaje również sposób modelowania części tocznych, które zastępuje się elementami specjalnymi (superele- mentami).
Literatura
1. Krynke M., Kania L., Mazanek E.: Modelling the contact between the rolling elements and the raceways of bulky slewing bearings. Key Engineering Materials, Trans Tech Publications, 2012, Vol. 490, p. 166 -178.
2. Kania L.: Modelling of rollers in slewing bearing calculations with the use of finite elements. “Mechanism and Machine Theory” 2006, 41, 11, p. 1359 -1376.
a)
b)
c)
3. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L.: The finite element method. Vol. 1, Vol. 2. KLondon: cGraw-Hill Book Compa- ny, 1991.
4. Rusiński E., Czmochowski J., Smolnicki T.: Zaawansowana metoda elementów skończonych w ustrojach nośnych maszyn. Wrocław: Ofic. Wyd. Po. Wrocławskiej, 2000.
5. Smolnicki T.: Fizykalne aspekty koherencji wielkogabarytowych łożysk tocznych i odkształcalnych konstrukcji wsporczych. Wrocław: Ofic. Wyd. Pol. Wrocławskiej, 2002.
6. Kaydon: Slewing ring turntable bearings. Catalog 390. Muskegon 2008.
7. ADINA: Theory and modeling guide. Vol. 1. Watertown: Adina R&D, 2007.
8. Mazanek E., Krynke M.: Możliwości modelowania śrub mocujących łożysko wieńcowe. „Transport przemysłowy I maszyny robocze” 2010, 2(8), s. 53 -57.
9. Kania L., Reszka P.: Analiza wpływu parametrów mocowania łożysk wieńcowych na ich nośność statyczną.
„Modelowanie Inżynierskie” 2012, nr 45, s. 70 -74.
10. Mazanek E.: Zagadnienia konstrukcyjne i wytrzymałościowe wielkogabarytowych łożyskach tocznych wieńco- wych. Monografie nr 105. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstochowskiej, 2005.
11. Kania L.: Analiza obciążenia wewnętrznego w łożyskach tocznych wieńcowych w aspekcie ich nośności statycz- nej. Monografie nr 111. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstochowskiej, 2005.
12. Krynke M.: Modele obliczeniowe i charakterystyki nośności statycznej łożysk tocznych wieńcowych z uwzględnieniem podatności pierścieni łożyskowych. Praca doktorska. Częstochowa : Pol. Częstochowska, 2010.
13. Kania L., Pytlarz R., Reszka P.: Modelowanie strefy styku kulkowych łożysk wieńcowych oraz analiza nume- ryczna współczynnika twardości. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 41, s. 157 -164.
