2 Warstwy, Twierdzenie Lagrange’a, homomorfizmy, grupa ilorazowa

(tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I

2019

http://duch.mimuw.edu.pl/%7Eaweber v.13.11.2019

Notatki zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow [BB] A. Bia lynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987 [BT] A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I (skrypt)

http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaboj/algebra/algfinv1.pdf, http://dydmat.mimuw.edu.pl/algebra-i [Br] J. Browkin, Teoria cia l, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977

[KM] M. Kargapolov, J. Merzljakov, Podstawy teorii grup, PWN, Warszawa 1976.

1 Grupy

[Br], [BT], [KM]

1.1 Aksjomaty grupy (G, · , e):

• ( la_,czno´s´c) ∀a, b, c ∈ G (a · b) · c = a · (b · c),

• (w lasno´s´c elementu neutralnego) ∀a ∈ G (a · e) = e · a = a,

• (istnienie elementu odwrotnego) ∀a ∈ G ∃a⁰∈ G a · a⁰ = a⁰· a = e

Dowodzimy jednoznaczno´s´c jedynki, jednoznaczno´s´c elementu odwrotnego. Element odwrotny jest oznaczany przez a⁻¹. Element neutralny cze_,sto oznaczany jest przez 1.

1.2 ´Cwiczenie: jesli w grupie ab = 1 to ba = 1.

1.3 Zbi´or H ⊂ G jest pod grupa_,gdy:

• H 6= ∅,

• a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H

• a ∈ H ⇒ a⁻¹∈ H 1.4 Przyk lady:

• Liczb ca lkowite_Z,

• Grupa addytywna cia la (_K, +, 0).

• Grupa multiplikatywna_K^∗= (K\ {0}, · , 1), gdzie_K jest cia lem.

• Grupa cykliczna_Zn= ({0, 1, 2, . . . , n−1}, +_{mod n}, 0) jest izomorficzna z grupa_,pierwiastk´ow z jedynki stopnia n

Zn' {z ∈_C| zⁿ= 1}

z dzia laniem mno˙zenia.

• grupy permutacji S_n= Σn, grupa permutacji parzystych An

• grupy liniowe GL_n(K), SLn(K), macierze odwracalne g´ornotr´ojka_,tne, macierze odwracalne g´ornotr´oj- ka_,tne z jedynkami na przeka_,tnej

• Grupa SL_n(_Z) ⊂ SL_n(_R) sk ladaja_,ca sie_,z macierzy o calkowitoliczbowych wyrazach.

• Grupa wolna F (A), gdzie A jest dowolnym zbiorem, np F ({a, b}) grupa wolna o dw´och generatorach.

1.5 Grupy przekszta lce´n: automorfizmy zbioru zachowuja_,ce jaka_,´s strukture_,np. izometrieRⁿ, izome- trieR² zachowuja_,ce dany n-ka_,t formeny (grupy dihedralne D2n), izometrieR³ zachowuja_,ce dana_,bry le_, plato´nska_,.

1.6 Grupy dihedralne izometrii n-ka_,ta formenego D_2n. Jest generowana przez deie symetrie s₁, s₂ wzgle_,dem osi przecinaja_,cymi sie_, pod ka_,tem π/n. Z lo˙zenie R = s₂s₁ jest obrotem o ka_,t 2π/n, zatem Rⁿ= (s2s1)ⁿ= id. Grupe_,dihedralna_,mo˙zna przedstawi´c za pomoca_,generator´ow i relacji definiuja_,cych

D2n= hs, R | s² = 1, sRs = R⁻¹i .

1.7 Grupa izometrii o´smio´scianu/sze´scianu zachowuja_,cych orientacje_, ma 24 elementy i jest izomor- ficzna z grupa_,Σ₄. (Izometrie permutuja_,przeka_,tne.)

1.8 Zadanie: Grupa izometrii 20-´scianu/12-´scianu zachowuja_,cych orientacje_,ma 60 element´ow i jest izomorficzna z grupa_,A₅.

1.9 Grupa warkoczy, relacja warkoczowa sisi+1si = si+1sisi+1.

2 Warstwy, Twierdzenie Lagrange’a, homomorfizmy, grupa ilorazowa

Patrz [Browkin roz.1 §1.1-1.5]

2.1 Grupa cykliczna, rza_,d elementu, rza_,d grupy.

2.2 Przecie_,cie podgrup jest podgrupa_,

2.3 Podgrupa generowana przez zbi´or A to najmniejsza grupa zawieraja_,ca A

2.4 Warstwy grupy wzgle_,dem podgrupy H: lewostronne G/H, i prawostronne H\G 2.5 Indeks podgrupy, tw Lagrangea |G| = (G : H) · |H|

2.6 Tw Lagrangea: rza_,d elementu dzieli rza_,d grupy

2.7 Twierdzenie Lagrange’a i zastosowania: ka˙zda grupa rze_,du pierwszego jest cykliczna, 2.8 Homomorfizm grup, obraz, ja_,dro homomorfizmu

2.9 Podgrupa normalna, r´owno´s´c warstw prawostronnych i lewostronnych 2.10 Automorfizm wewne_,trzny: φ_g : G → G, φ_g(h) = ghg⁻¹.

2.11 Podgrupa N < G jest normalna gdy dla ka˙zdego g ∈ G mamy gN g⁻¹= N . 2.12 Ja_,dro jest podgrupa_,normalna_,

2.13 Twierdzenie o izomorfizmie: G/ker(f ) ' im(f ).

2.14 Przyk lady iloraz´ow:

Z/n_Z'_Zn Σ_n/A_n'_Z2 A₄/K '_Z3

Gdy n = 2m to {id, −id} < D_2n. Opisa´c D_2n/{id, −id}.

3 Dzia lania

3.1 Homomorfizm φ : G → H jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker(φ) = 0.

3.2 W lasno´s´c uniwersalna ilorazu: dla ka˙zdego homomorfizmu φ : G → H takiego, ˙ze N ⊂ ker(φ) istnieje dok ladnie jeden homomorfizm ¯φ : G/N → H taki, ˙ze φ = ¯φ ◦ π.

3.3 Dzia lanie z lewej strony grupy G na zbiorze A, to homomorfizm G → Aut(A).

3.4 Dzia lanie z prawej strony: (g, x) 7→ g(x), g(h(x)) = (hg)(x), piszemy g(x) = xg, wtedy (xh)g) = x(hg).

3.5 Dzia lanie grupy na sobie przez przesunie_,cia:

– h 7→ gh (z lewej strony) – h 7→ hg (z prawej strony)

3.6 Cayleya: ka˙zda podgrupa jest izomorficzna z pewna_, grupa_, przekszta lce´n. Je´sli |G| = n, to G ,→ Σn.

3.7 Niech H < G. Rozwarzamy dzia lanie (z prawej strony) H na G przez przesunie_,cia. Zbi´or warstw G/H jest ilorazem zbioru G przez to dzia lanie.

3.8 Dzia lanie grupy na sobie przez sprze_,ganie. Automorfizmy wewne_,trzne.

3.9 Orbity G · a, stabilizatory Ga, zbi´or punkt´ow sta lych A^G.

3.10 Dla a ∈ A odwzorowania G/Ga→ G · a, gG_a7→ ga jest dobrze okre lone i jest bijekcja_,. Wniosek, je´sli |G| < ∞ to |G · a| = (G : Ga).

3.11 Definicja: Niech p be_,dzie liczba_,pierwsza_,. M´owimy, ˙ze G jest p-grupa_,, gdy |G| = p^kdla pewnego k ∈_N.

3.12 Twierdzenie: Je´sli G jest p-grupa_,, |A| < ∞, to |A^G| ≡ |A| mod p.

3.13 Tw Cauchy’ego: Je´sli p dzieli rza_,d grupy, to istnieje element rze_,du p.

Dow´od: na zbiorze A = {(g1, g2, . . . , gp) ∈ G^p| g₁g2. . . gp= e} ' G^p−1 dzia la grupaZp przez cykliczna_, permutacje_, cia_,g´ow, A^Zp to cia_,gi sta le (g, g, . . . , g), g^p = e. Z poprzedniego twierdzenia p dzieli |A^Zp|, przy czym A^Zp 6= ∅.

3.14 Centrum p-grupy jest nietrywialne.

Dow. G dzia la na sobie przez sprze_,˙zenia, G^G= Z(G). Skoro e ∈ Z(G) 6= ∅, to p dzieli |Z(G)|.

3.15 Wniosek. Je´sli |G| = p², to G jest abelowa.

4 Produkty, twierdzenia Sylowa

4.1 Wewne_,trzna charakteryzacja produktu

4.2 Przyka_,d: Z12'_Z4×_Z3 jako produkt podgrup

4.3 Produkt p´olprosty N o H w sytuacji gdy dana grupa N oraz homomorfizm φ : H → Aut(N ).

Definiujemy dzia lanie (a, g)(b, h) = (ag(b), gh) spe lnia aksjomaty grupy. ( ´Cwiczenie).

4.4 Przyk lad D2n'_ZnoZ2. Produkt warkoczowy Gⁿo Σn.

4.5 Definicja: G jest grupa_,prosta_,gdy nie ma w la´sciwej nietrywialnej podgrupy normalnej.

4.6 Przyk lady grup prostych – _Zp,

– A_n= ker(sgn : Σ_n→_Z2) dla n ≥ 5,

– P SL_n(_Fq) = SL_n(_Fq)/Z(SL_n(_Fq)) (poza n = 2 q = 2 lub 3),

– grupa monster |M | = 2⁴⁶· 3²⁰· 5⁹· 7⁶· 11²· 13³· 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 ≈ 8 · 10⁵³

4.7 Grupy Sylowa, twierdzenia Sylowa [BT]. Niech p be_,dzie liczba_, pierwsza_,, pⁿm = |G|, przy czym n jest maksymalne. Wtedy

– istnieje podgrupa S < G rze_,du pⁿ(podgrupa Sylowa), – wszystkie podgrupy o tym rze_,dzie sa_,sprze_,˙zone,

– niech n_p oznacza ilo´s´c podgrup o rze_,dzie pⁿ (podgrup Sylowa). Wtedy

• n_p|m (dok ladniej n_p= (G : N (S)), gdzie N (S) jest normalizatorem P w G,

• n_p= 1 mod p.

4.8 Wniosek: je´sli |G| = pq (p, q pierwsze), to G nie jest prosta.

Dow. za l´o˙zmy, ˙ze p > q = m. Wtedy np mo˙ze przyjmowa´c warto´sci 1, 1 + p, 1 + 2p, . . . . Z drugiej strony np|q oraz q < 1 + p. Zatem n_p = 1, czyli p-grupa Sylowa jest normalna.

5 Twierdzenia Sylowa, abelianizacja, rozwia

zalno´ s´ c

5.1 Lemat 1: je´sli p jest liczba_,pierwsza_,, p 6 |m, to wsp´o lczynnik Newtona^mp

n

pⁿ



≡ m mod p.

5.2 Lemat 2: Niech grupa G dzia la na zbiorze A, |G| = mpⁿ. Niech B = {x ∈ A : p 6 | |Gx|}. Wtedy

|A| ≡ |B| mod p.

Dow´od tw Sylowa — patz [Browkin, Teoria Cia l]. Kroki dowodu:

5.3 W dowodzie twierdzenia Sylowa niech A be_,dzie zbiorem podzbior´ow pⁿ-elementowych w G.

Grupa G dzia la na sobie poprzez przesunie_,cia. Sta_,d G dzia la na zbiorze wszystkich podzbior´ow G, zachowuje liczebno´s´c zbior´ow, wie_,c dzia la na A. Skoro |A| =^mp

n

pⁿ



, z lemat´ow B 6= ∅. Dowodzimy, ˙ze stabilizator S zbioru X ∈ B ma pⁿ element´ow oraz X jest postaci Sx. (Musi by´c |S| = pⁿr, r|m. Z drugiej strony S dzia la na zbiorze X. To dzia lanie jest wolne, wie_,c |S| ≤ |X| = pⁿ.)

5.4 Mamy bijekcje_, pomie_,dzy orbitami w B oraz podgrupami Sylowa. Ka˙zda orbita w B ma m element´ow. Sta_,d npm ≡^mp

n

pⁿ



≡ m mod p, wie_,c np ≡ 1 mod p .

5.5 Aby dowie´s´c, ˙ze podgrupy Sylowa sa_,sprze_,˙zone dowodzimy czego´s og´olniejszego: Niech P < G,

|P | = p^k, wtedy istnieje g ∈ G takie, ˙ze P ⊂ gSg⁻¹. Dow´od: P dzia la na warstwach G/S. Skoro

|G/S| = m, to istnieje punkt sta ly: P gS = gS. Zatem ∀h ∈ P mamy hg ∈ gS. Sta_,d h ∈ gSg⁻¹, czyli P ⊂ gSg⁻¹.

5.6 Aby dowie´s´c, ˙ze np|m rozwa˙zamy inne dzia lanie: G dzia la przechodnio (tzn jest jedna orbita) na grupach Sylowa przez sprze_,˙zenie oraz stabilizator S zawiera S.

? ? ? ? ?

5.7 Przyk lad: je´sli |G| = 196 to G nie jest prosta. Dow´od: sprawdzamy, ˙ze n₇ = 1, zatem 7-podgrupa Sylowa jest normalna.

5.8 Grupa rze_,du 255 jest cykliczna. (Bo 17-podgrupa Sylowa jest normalna oraz nie ma nietrywial- nych dzi la´n Z15 naZ17.)

5.9 Komutant [G, G] to podgrupa generowana przez komutatory [a, b] := aba⁻¹b⁻¹. Inne oznaczenie G⁰. Abelianizacja Ab(G) = G/[G, G].

5.10 Dla grupy abelowej A mamy Hom(G, A) = Hom(Ab(G), A).

5.11 ´Cwiczenie: Ab(GLn(K)) =?

5.12 Rozwa˙zamy cia_,gi podgrup G = G₀> G₁ > · · · > G_n= {1} taki, ˙ze G_i Gi+1. (Nie koniecznie G_i G.)

5.13 M´owimy, ˙ze grupa jest rozwia_,zalna gdy istnieje cia_,g taki, ˙ze Gi/Gi−1 jest grupa_,abelowa_,. 5.14 Gdy G_i/G_i+1 jest abelowa, to [G_i, G_i] < G_i+1. Definiujemy cia_,g minimalnej d lugo´sci: G₁ :=

[G, G] = G⁰,. . . , G⁽ⁱ⁺¹⁾ := [G⁽ⁱ⁾, G⁽ⁱ⁾].

5.15 Stwierdzenie (oczywiste): Grupa jest rozwia_,zalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla i > i0 dla pewnego i0 mamy G⁽ⁱ⁾= {1}.

6 P-grupy, klasyfikacja grup abelowych, sko´ nczenie generowanych

6.1 p-grupy sa_,rozwia_,zalne

6.2 Niech p 6= 2. Udowodnimy, ˙ze Grupa nieabelowa rze_,du p³ jest produktem p´o lprostym (Zp×_Zp) o Zp lubZp²oZp skoro Z(G) 6= G i G/Z(G) nie jest grupa_,cykliczna_,, to Z(G) 'Zp i G/Z(G) 'Zp×_Zp. Niech a, b ∈ G be_,da_,takie, ˙ze π(a) i π(b) generuja_,G/Z(G).

– Mamy [G, G] ⊂ Z(G).

– Grupa H = ha, Z(G)i ma p² element´ow, jest abelowa i normalna (bab⁻¹ = [b, a]a ∈ H). Je´sli b^p = 1, to G = H o hbi. Przypu´s´cmy przeciwnie, o(b) = p² i tak˙ze o(a) = p², a^p jest generatorem Z(G). Wtedy

b^p = a^pkdla pewnego k. Poka˙zemy, ˙ze b⁰= a^−kb jest rze_,du p. Zamieniaja_,c b na b⁰otrzymujemy produkt p´o lprosty.

[– Lemat: je´sli [d, b] ∈ Z(G) to (db)^p= [d, b]

p(p−1) 2 d^pb^p

Dow: mamy bd = bdb⁻¹d⁻¹db = [b, d]db = db[b, d]. Uporza_,dkowanie wyra˙zenia (db)^k wymaga ^p(p−1)₂ przestawie´n.]

– Z lematu dla d = a^−k mamy (b⁰)^p = b^pa^−kp[a^−k, b]^p(p−1)2 = b^pa^−kp = 1, bo [a^−k, b]^p = 1.

6.3 Twiedzenie Jordan-H¨older: Niech G = G0 > G1 > · · · > Gn = {1} taki, ˙ze Gi  Gi+1 oraz Gi/Gi+1jest grupa_,prosta_,(tzn cia_,gu nie mo˙zna rozdrobni´c). Wtedy, zbi´or iloraz´ow wraz z krotno´sciami nie zale˙zy od cia_,gu G_i. (bez dowodu)

Przyk lad: D₁₂>_Z6 >_Z3 i D₁₂> D₄ =_Z2×_Z2 >_Z2.

Twierdzenie strukturalne dla sko´nczenie generowanych grup abelowych — Klasyfikacja

6.4 Ka˙zda grupa abelowa sko´nczenie generowana jest izomorficzna z ilorazem Zⁿ/Λ, gdzie Λ jest podgrupa_,w_Zⁿ.

6.5 Niech Λ be_,dzie podgrupa_,w_Zⁿ. Istnieje baza_Zⁿ: v₁, v₂, . . . v_n∈_Zⁿ, s ≤ n oraz liczby n₁, n₂, . . . n_s∈ N, takie, ˙ze n₁v₁, n₂v₂, . . . , n_sv_s jest baza_,Λ.

Dow: Powy˙zsze stwierdzenie jest r´ownowa˙zne temu, ˙ze macierz ca lkowitoliczbowa_,mo˙zna sprowadzi´c do postaciD 0

0 0



, gdzie D jest kwadratowa_,macierza_,diagonalna, a 0 oznacza prostoka_,tny blok zerowy.

Operacje dozwolone: przestawianie wierszy lub kolumny, transformacje w_i⁰ = wi+ awj, k_i⁰ = ki+ akj

dla i 6= j.

6.6 Wniosek: Podgrupy wZⁿ sa_,izomorficzne zZ^s, s ≤ n.

6.7 Wniosek: A sko´nczenie generowana, to A 'Qs

i=1Zni ×_Z^r.

6.8 Rozk lad sko´nczonej grupy cyklicznej na produkt grup cyklicznych o rze_,dach wzgle_,dnie pierwszych.

6.9 Jednoznaczno´s´c przedstawienia sko´nczenie generowanej grupy abelowej: Je´sli A =Q_s

i=1Zpⁿⁱ

|{a ∈ A : a^pk = 1}| =

s

Y

i=1

p^min(ni,k).

Z tego wzoru mo˙zna wyznaczy´c ni.

7 Koniec grup

Grupy abelowe c.d., nilpotentne, wzrost grupy 7.1 Podpodgrupa element´ow torsyjnych grupy abelowej

T (A) = {a ∈ A | ∃n > 0 aⁿ= 1}, p-torsja

Tp(A) = {a ∈ A | ∃k > 0 a^pk = 1}.

7.2 A/T (A) jest beztorsyjna czyli T (A/T (A)) = 0 Dw: [a]ⁿ= 1 to aⁿ∈ T (A), wie_,c (aⁿ)^m = 1.

7.3 Je´sli grupa jest sko´nczenie generowana, to A/T (A) 'Z^r. Liczba r jest nazywana ranga_,grupy r = rk(A). ( ´Cw: Z^m '_Zⁿ ⇒ m = n.)

7.4 Je´sli A torsyjna (czyli A = T (A) ), to A =L

p pierwszaT_p(A)

(to jest wewne_,trzna suma prosta: tzn (i) T_p(A) generuja_,A, (ii) ∀_p T_p(A) ∩ L

q<pT_q(A)

= 0.) Dw: a^m = 1, m =Q_s

i=1p^k_iⁱ, m_j := Q

i6=jp^k_iⁱ, a_j := a^mj ∈ T_pj(A). Wsp´olny dzielnik (m₁, . . . , m_s) = 1, wie_,c 1 =P c_jmj dla pewnych cj ∈_Z. Zatem a =Q a^c_j^j.

7.5 Beztorsyjne grupy abelowe sko´nczenie generowane sa_,izomorficzne z Zⁿ, czyli maja_,baze_,.

7.6 Niech n ∈ _N. Wolna grupa abelowa F_n^ab = _Zⁿ ma w lasno´s´c: dla grupy abelowej A mamy Hom(_Zⁿ, A) = F unkcje([n], Zbi ˙or A). Mo˙zna te˙z rozwa˙za´c wolne grupy o generatorach w dowolnym zbiorze X. Taka grupa wolna F A_Xjest zdefiniowana przez w lasno´s´c Hom(F_X^ab, A) = F unkcje(X, Zbi ˙or A).

Grupa F_X^ab jest izomorficzna z L

x∈XZi jest w la´sciwa_,podgrupa_,wQ

x∈XZ=Z^X. 7.7 Je´sli F wolna abelowa i A → B epi wtedy Hom(F, A) → Hom(F, B) epi.

7.8 ´Cwiczenie: Grupa beztorsyjna mo˙ze nie mie´c powy˙zszej w lasno´sci

7.9 Definicja. Grupa jest nilpotentna, je´sli istnieje cia_,g podgrup G = G₀ > G₁ > · · · > G_s = 1 taki,

˙ze [G, G_i] < G_i+1. Wtedy mamy G_i
G, bo ggig⁻¹ ∈ [G, G_i]G_i ⊂ G_i+1G_i. Ponadto [G_i, G_i] < G_i+1, sta_,d iloraz Gi/Gi+1 jest abelowy.

7.10 R´ownowa˙znie: Z(G/Gi+1) < Gi/Gi+1.

7.11 Przyk lad: macierze g´ornotr´ojka_,tne z 1 na przeka_,tnej.

7.12 Dla grupy nilpotentnej sa_, dwa wyr´o˙znione cia_,gi: pierwszy, zdefiniowany indukcyjnie Γ0 = G, Γi+1:= [G, Γi] mamy Γi = 1 dla i >> 0. To jest ,,dolny cia_,g centralny”.

7.13 ,,G´orny cia_,g centralny”, hipercentra: Z1 = Z(G), Zi+1 = π⁻¹_i (Z(G/Zi)), gdzie πi : G → G/Zi. Mamy

Z_i+1= {g ∈ G | ∀h ∈ G [g, h] ∈ Z_i} 7.14 Grupa jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy gdy Z_i= G dla i >> 0.

1 < Z1 < Z2 < . . . ≤ Zs−1 ≤ Zs ≤ Zs+1

k ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

1 = Gs+1 < Gs < Gs−1 < . . . < G2 < G1 < G0 = G

∨ ∨ ∨ ∨ ∨ k

Γ_s+1 ≤ Γ_s ≤ Γ_s−1 ≤ . . . < Γ₂ < Γ₁ < Γ₀

7.15 Stopie´n nilpotentno´sci u. Dla dowolnych element´ow g₁, . . . , g_u+1 jest spe lniona formu la:

[g₁[g₂[. . . [g_u, g_u+1] . . . ] = 1 . 7.16 Grupy niesko´nczone, ale sko´nczenie generowane:

- norma |g| = d lugo´s´c najkr´otszego s lowa reprezentuja_,cego g - metryka s l´ow d(g, h) = |gh⁻¹|,

- przestrzenie metryczne G z metryka_,s l´ow,

- wzrost grupy: f (n) = |Kula(1, n)|. R´o˙zne wybory generator´ow prowadza_,do r´ownowa˙znych funkcji wzrostu. Funkcje wzrostu por´ownywane sa_, tak: f ≺ g jes li istnieja_, sta le takie, ˙ze f (n) < C g(dn) dla wszystkich n.

7.17 Grupy abelowe_Z^r× torsja maja_,wzrost wielomianowy n^r. 7.18 Grupa wolna o r generatorach ma wzrost wyk ladniczy (2r − 1)ⁿ.

7.19 Grupy nilpotentne maja wzrost wielomianowy (Tw Bassa) n^r, gdzie r =P

k≥0(k+1)rk(Γ_k/Γ_k+1).

Np grupa Heisenberga





1 ∗ ∗ 0 1 ∗ 0 0 1



⊂ GL₃(Z) ma wzrost ∼ r⁴.

7.20 Twierdzenie Gromowa: je´sli grupa ma wzrost wielomianowy to zawiera podgrupe_,nilpotentna_, sko´nczonego indeksu.

7.21 ´Cwiczenie: SL2(Z) ma wzrost wielomianowy.