POLITECHNIKA GDA‹SKA

POLITECHNIKA GDA‹SKA Gda«sk, 2.07.1991 r.

Tematy I cz¦±ci egzaminu z matematyki

dla kandydatów ubiegaj¡cych si¦ o przyj¦cie na I rok studiów dziennych.

Kandydat wybieraª 3 dowolne zadania. Rozwi¡zania wybranych zada« oceniane byªy w skali 010 punktów. Egzamin trwaª 120 minut.

1. Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji

y = 4x + 5 x²− 1

i na tej podstawie ustali¢ liczb¦ pierwiastków równania 4x + 5

x²− 1 = m w zale»no±ci od parametru m.

2. W trójk¡cie ABC dany jest wierzchoªek A(1, 3) oraz równanie ±rodkowej y = 7 i równanie wysoko±ci x + 4y − 51 = 0. Wiedz¡c, »e ±rodkowa i wysoko±¢ wy- chodz¡ z ró»nych wierzchoªków trójk¡ta poda¢ równania boków tego trójk¡ta.

3. Dla jakich warto±ci parametru m ∈ R równanie log₂(x + 3) − 2 log₄x = m posiada rozwi¡zanie nale»¡ce do przedziaªu h3; 4)?

4. W urnie znajduj¡ si¦ trzy kule biaªe o numerach 1, 2 i 3 oraz pi¦¢ kul czarnych o numerach 1, 2, 3, 4 i 5. Losujemy bez zwracania dwukrotnie po jednej kuli.

Jakie jest prawdopodobie«stwo tego, »e pierwsza z wylosowanych kul b¦dzie biaªa, a druga b¦dzie kul¡ o numerze 1?

5. Na trójk¡cie prostok¡tnym o k¡cie ostrym x opisano okr¡g. Okr¡g ten i trójk¡t obracaj¡ si¦ dookoªa przeciwprostok¡tnej. Przy jakim x stosunek obj¦to±ci kuli powstaªej z obrotu okr¦gu do obj¦to±ci bryªy powstaªej z obrotu trójk¡ta b¦dzie najmniejszy?

POLITECHNIKA GDA‹SKA Gda«sk, 2.07.1991 r.

Tematy II cz¦±ci egzaminu z matematyki

dla kandydatów ubiegaj¡cych si¦ o przyj¦cie na I rok studiów dziennych.

Wszystkie zadania byªy oceniane w skali 02 punkty. Egzamin trwaª 120 minut.

1. Dana jest funkcja f(x) = sin²4x. Rozwi¡za¢ równanie f⁰(x) = −2. 2. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ logx5 < 1.

3. Dany jest trójk¡t prostok¡tny o przyprostok¡tnych dªugo±ci 3 i 4. Obliczy¢

wysoko±¢ trójk¡ta poprowadzon¡ z wierzchoªka k¡ta prostego.

4. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ 1

x > 2 − x. 5. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ tg (2x) ­ 1.

6. W pªaszczy¹nie 0xy zaznaczy¢ punkty nale»¡ce do zbioru

A = {(x, y): |x| < y}.

7. Obliczy¢ lim

x→1

sin 2(x − 1) 3(x²− 1) .

8. Poda¢ reszt¦ z dzielenia wielomianu W (x) = 5x⁴ + 2x² + 1 przez dwumian x + 1.

9. W trójk¡cie o wierzchoªkach A(3, 1, 1), B(2, 2, 1) i C(2, 1, 2) wyznaczy¢ k¡t wewn¦trzny przy wierzchoªku A.

10. Poda¢ liczby naturalne speªniaj¡ce nierówno±¢ ^n₂^− n ¬ 14.

11. Dla jakich warto±ci parametru k funkcja f(x) = ¹₃x³ + ³₂x² + kx + 1 b¦dzie rosn¡ca w caªej swojej dziedzinie?

12. Obliczyc lim_n→∞

√n²+ 1

√3

8n³+ 2n + 1.

13. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo wyrzucenia w pi¦ciu rzutach kostk¡ co naj- mniej raz liczby oczek nie wi¦kszej od 3.

14. Napisa¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkt P (1, 3) i prostopadªej do prostej y = 2x + 5.

15. Suma wyrazów niesko«czonego ci¡gu geometrycznego o pierwszym wyrazie a₁ = 3 wynosi 5. Poda¢ iloraz tego ci¡gu.