POLITECHNIKA GDASKA Gda«sk, 28.06.1995 r.
EGZAMIN WSTPNY Z MATEMATYKI
Zestaw skªada si¦ z 30 zada«. Zadania 110 oceniane b¦d¡ w skali 02 punkty, zadania 1130 w skali 04 punkty. Czas trwania egzaminu 240 minut.
Powodzenia!
1. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ |4 + x − |3x − 2|| ¬ 0.
2. Rozwi¡za¢ równanie 22x+1+ 3·4x = 10. 3. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ 1
x − 1 2 x − 2. 4. Obliczy¢ 100013−log√33.
5. Na osi 0y znale¹¢ punkt M równo oddalony od punktów A(2, −1, 5) i B(−3, 2, 4).
6. Wielomian w(x) = x4+ x2+ 1 rozªo»y¢ na czynniki.
7. Wyznaczy¢ n z równania 1 + 5 + 9 + . . . + (4n − 3) = 120.
8. Obliczy¢ granic¦ limn→∞( log (10n2+ 1) − 2 log n). 9. Obliczy¢ y0(π4), je±li y(x) =√
1 + cos 2x.
10. Obliczy¢ stosunek obj¦to±ci kuli opisanej na walcu do obj¦to±ci kuli wpisanej w ten walec.
11. Znale¹¢ skªadnik wymierny rozwini¦cia dwumianu (√3 2 +√4
3)10.
12. Dla jakich parametrów α równanie x2+ 4x sin α + 1 = 0 posiada co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty?
13. Dla jakich warto±ci a i b liczba −1 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu w(x) = x3+ ax2+ bx − 3?
14. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ log2x + logx2 2.
15. Wiadomo, »e zdarzenia losowe A i B s¡ niezale»ne oraz P (A) = p1i P (B) = p2. Obliczy¢ prawdopodobie«stwa P (A|B) oraz P (A − B).
16. Dane s¡ funkcje f(x) = √
x i g(x) = 1 − x. Rozwi¡za¢ równanie f(g(x))
= g(f (x)).
17. Dany jest ci¡g geometryczny (an). Pokaza¢, »e ci¡g (bn), gdzie bn = an+1− an, te» jest ci¡giem geometrycznym.
18. Dwa punkty wyruszaj¡ jednocze±nie z wierzchoªka k¡ta o mierze 120◦ po je- go ramionach z pr¦dko±ciami odpowiednio 5 m/s i 3 m/s. Po jakim czasie odlegªo±¢ mi¦dzy nimi b¦dzie wynosiªa 49 m?
19. Napisa¢ równanie okr¦gu stycznego do obu osi ukªadu wspóªrz¦dnych i prze- chodz¡cego przez punkt P (2, 1).
20. Na podstawie de nicji obliczy¢ pochodn¡ funkcji f(x) = cos 3x.
21. Narysowa¢ wykres funkcji f(x) = 2log12x.
22. Wyznaczy¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f(x) = x + ctg x w prze- dziale h14π;34πi.
23. Z prawdopodobie«stwem 1/2 w urnie znajduje si¦ albo kula biaªa, albo czarna.
Do urny dokªadamy kul¦ biaª¡ i nast¦pnie losujemy jedn¡ kul¦. Jakie jest prawdopodobie«stwo tego, »e wylosujemy kul¦ biaª¡?
24. Udowodni¢, »e wszystkie trójk¡ty prostok¡tne, których boki tworz¡ ci¡g aryt- metyczny, s¡ podobne.
25. Wyznaczy¢ asymptoty funkcji y =
√x2+ x + 1
x .
26. Obliczy¢ tg α, je±li sin α − cos α = √22 i α ∈ (π4;π2).
27. Narysowa¢ na pªaszczy¹nie zbiór punktów, których wspóªrz¦dne speªniaj¡ nie- równo±¢ y2+ xy − 2x2 < 0.
28. Obliczy¢ dªugo±ci przek¡tnych równolegªoboku zbudowanego na wektorach ~a i ~b, je»eli ~a = 2~m − ~n, ~b = 3~n − ~m, gdzie wektory ~m i ~n s¡ ortogonalne i |~m| = |~n| = 1.
29. Wykaza¢, »e funkcja y = √
x3− 1 jest ró»nowarto±ciowa w swojej dziedzinie.
Nast¦pnie wyznaczy¢ funkcj¡ do niej odwrotn¡.
30. Wykaza¢, »e je±li ci¡g (an)jest ograniczony i limn→∞bn= 0, to limn→∞an·bn = 0.
