POLITECHNIKA GDA‹SKA

POLITECHNIKA GDA‹SKA Gda«sk, 30.06.1992 r.

Tematy I cz¦±ci egzaminu z matematyki

dla kandydatów ubiegaj¡cych si¦ o przyj¦cie na I rok studiów dziennych.

Kandydat wybieraª 3 dowolne zadania. Rozwi¡zania wybranych zada« oceniane byªy w skali 010 punktów. Egzamin trwaª 120 minut.

1. Rozwi¡za¢ ukªad nierówno±ci

(√

x + 6 > x

2 + log_0,5(−x) > 0 . 2. Dla jakich a równanie

cos⁴x + (a + 2) sin²x − (2a + 5) = 0 ma rozwi¡zanie?

3. Wykaza¢, »e pole trójk¡ta ograniczonego osiami ukªadu wspóªrz¦dnych i do- woln¡ styczn¡ do hiperboli y = a²

x jest równe 2a².

4. Wysoko±¢ sto»ka jest x razy wi¦ksza od promienia jego podstawy. Wyrazi¢

stosunek promieni kul opisanej i wpisanej w ten sto»ek jako funkcj¦ f(x) oraz obliczy¢ granic¦ lim

x→+∞

f (x) x . 5. Dane s¡ zbiory

A = {1, 2, 3, . . . , 222} i B = {1, 2, 3, . . . , 444}.

Losowo wybieramy zbiór, a z niego liczb¦ x. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e liczba x² + 1 dzieli si¦ przez 10.

POLITECHNIKA GDA‹SKA Gda«sk, 30.06.1992 r.

Tematy II cz¦±ci egzaminu z matematyki

dla kandydatów ubiegaj¡cych si¦ o przyj¦cie na I rok studiów dziennych.

Wszystkie zadania byªy oceniane w skali 02 punkty. Egzamin trwaª 120 minut.

1. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji f(x) =

s 5

x + 2 − 1. 2. Rozwi¡za¢ równanie cos x

1 − sin x = 1 + sin x. 3. Narysowa¢ wykres funkcji f(x) = x√

x²+ x

|x|.

4. Na paraboli y = 48 − x² znale¹¢ wszystkie punkty (x, y) takie, »e liczby 3, x, y tworz¡ ci¡g geometryczny.

5. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji f(x) = log (3^x− 5^x).

6. Ró»niczkuj¡c to»samo±¢ sin 2x = 2 sin x cos x wykaza¢ to»samo±¢ cos 2x = cos²x−

sin²x.

7. Obliczy¢ lim

x→0

x² 1 − cos 2x.

8. W trójk¡cie ostrok¡tnym ABC z wierzchoªków A i C opuszczono wysoko±ci AD i CE na boki BC i AB. Wykaza¢, »e trójk¡ty ABC i BDE s¡ podobne.

9. Suma pierwiastków trójmianu y = ax² + bx + c jest równa loga²c · log_c2a. Znale¹¢ odci¦t¡ wierzchoªka paraboli.

10. Dane s¡ wektory −→

AB = [1, 2, 3] i −→

AC = [3, 2, 1]. Obliczy¢ pole trójk¡ta ABC.

11. Proste `1, `2 i `3 s¡ równolegªe i le»¡ w jednej pªaszczy¹nie. Na prostej `1

wybrano 3 punkty, na `2 wybrano 4 punkty, a na `3 wybrano 5 punktów. Ile co najwy»ej istnieje trójk¡tów o wierzchoªkach w tych punktach?

12. Obliczy¢ lim_n→∞1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) 2n²+ 3n + 4 . 13. Wykaza¢, »e nkcja f(x) = √

1 + x + x² −√

1 − x + x² jest nieparzysta w swojej dziedzinie.

14. Dany jest trójk¡t o wierzchoªkach A(1, −1), B(3, 3) i C(−5, 1). Napisa¢ rów- nanie symetralnej boku BC.

15. Zbada¢ monotoniczno±¢ funkcji f(x) = x⁴− ¹_x + 5 w przedziale (0; +∞).