POLITECHNIKA GDASKA Gda«sk, 1.07.1996 r.
EGZAMIN WSTPNY Z MATEMATYKI
Zestaw skªada si¦ z 30 zada«. Zadania 110 oceniane b¦d¡ w skali 02 punkty, zadania 1130 w skali 04 punkty. Czas trwania egzaminu 240 minut.
Powodzenia!
1. Funkcj¦ kwadratow¡ y = (x + 3)(1 − x) przedstawi¢ w postaci kanonicznej. Naszki- cowa¢ jej wykres.
2. Rozwi¡za¢ równanie 5x·5x2·5x3 = 15. 3. Rozwi¡za¢ równanie log1
3(|x| − 1) > 2.
4. Dla jakich parametrów a ∈ R równanie cos2x = 2a
a − 2 ma rozwi¡zanie?
5. Naszkicowa¢ wykres funkcji y = x logx2|x|.
6. Wyznaczy¢ te warto±ci x, dla których punkty A(5, 5), B(1, 3) i C(x, 0) s¡ wspóªli- niowe.
7. Wskaza¢ wi¦ksz¡ z liczb 0, 4(9) i sin (1016 π).
8. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) =√
2x − 3 w punkcie o odci¦tej x0 = 6.
9. Dana jest funkcja f(x) = cos2x. Narysowa¢ wykres funkcji y = f0(x) w przedziale h0; πi.
10. Zbada¢ monotoniczno±¢ funkcji f(x) = x + 1 x. 11. Dany jest ci¡g (an), gdzie an = (n!)2
(2n)!. Obliczy¢ limn→∞an+1 an .
12. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ g(f(x)) 1, je±li f(x) = 3x i g(x) = sin x.
13. Wyznaczy¢ wszystkie wielok¡ty wypukªe, w których liczba przek¡tnych jest 3 razy wi¦ksza od liczby wierzchoªków.
14. Rozwi¡za¢ równanie | cos x| = cos x + 2 sin x w przedziale h0; 2πi.
15. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ x3− x + 6 x2 0.
16. Rozwi¡za¢ równanie 1 − 1 x+ 1
x2 − 1
x3 + . . . = x − 1.
17. Dla jakich x ∈ R ci¡g 2 log3x, log3(x − 1), − log34 jest ci¡giem arytmetycznym?
18. Niech g b¦dzie granic¡ ci¡gu (an), gdzie an = 3n + 1
n + 1 . Od jakiego n pocz¡wszy wyrazy ci¡gu (an)speªniaj¡ nierówno±¢ |an− g| < 0, 01?
19. Dla jakich a ∈ R funkcja f(x) =
(cos x + a dla x 0
sin |2x|
x dla x < 0 jest ci¡gªa?
20. Wielomian x2+ px + q ma pierwiastki x1 i x2. Wskaza¢ trójmian x2+ bx + c, którego pierwiastkami s¡ liczby x1 + 1 i x2 + 1.
21. Ze zbioru {1, 2, . . . , 1000} losujemy jedn¡ liczb¦. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo te- go, »e nie b¦dzie to liczba podzielna ani przez 6, ani przez 8.
22. Obliczy¢ pole trapezu o podstawach dªugo±ci a i b, je»eli wiadomo, »e na tym trapezie mo»na opisa¢ okr¡g i mo»na w niego wpisa¢ okr¡g.
23. Znale¹¢ rzut prostok¡tny punktu A(1, −1) na prost¡
(x = 4t y = 3t + 2.
24. Dane s¡ zbiory A = {(x, y): x, y ∈ R i x2+ y2− 2y ¬ 1} i B = {(x, y): x, y
∈ R i |x| + y ¬ 1}. Narysowa¢ na pªaszczy¹nie ukªadu wspóªrz¦dnych zbiór A ∩ B i obliczy¢ jego pole.
25. Wyznaczy¢ asymptoty funkcji f(x) =
√x2− 1 − x
x .
26. Obliczy¢ |~a −~b|, je±li |~a +~b| = 5, |~a| = 3 i |~b| = 2√ 2. 27. Wyznaczy¢ zbiór warto±ci funkcji y = x√
4 − x2.
28. Rzucamy symetryczn¡ monet¡. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e w szó- stym rzucie otrzymamy trzeciego orªa.
29. Uzasadni¢, »e równanie x3+x+7 = 0w zbiorze liczb rzeczywistych posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Wraz z uzasadnieniem wskaza¢ przedziaª o dªugo±ci co najwy»ej 1/2, do którego nale»y to rozwi¡zanie.
30. Ostrosªup przeci¦to pªaszczyzn¡ równolegª¡ do podstawy i dziel¡c¡ wysoko±¢ w sto- sunku 2 : 3. Obliczy¢ stosunek obj¦to±ci powstaªych bryª.
