Katarzyna Jakowska-Suwalska
Politechnika Śląska
Wydział Organizacji i Zarządzania Instytut Ekonomii i Informatyki katarzyna.suwalska@polsl.pl
WIELOKRYTERIALNY MODEL
OPTYMALIZACJI WIELKOŚCI ZAKUPÓW W KOPALNI WĘGLA KAMIENNEGO *
Streszczenie: W pracy przedstawiono wielokryterialny model wielkości zamówień mate- riałów używanych w produkcji. Pokazano na przykładzie zastosowanie modelu dla wyzna- czenia wielkości zamówień na klej poliuretanowy, drewno kopalniane oraz stojaki stalowe cierne w jednej z kopalń węgla kamiennego.
Słowa kluczowe: zaopatrzenie materiałowe, zagadnienia wielokryterialne.
Wprowadzenie
W kopalniach węgla kamiennego wchodzących w skład Kompanii Węglo- wej S.A. wielkość zamówienia podlegającego ustawie o zamówieniach publicz- nych planuje się około roku wcześniej. Jest to związane z czasem ustalenia planów zakupów dla wszystkich kopalń oraz z czasem postępowania przetargowego.
Wielkość zamówienia materiału dla kopalni należy zatem wyznaczyć jednorazo- wo na podstawie planów finansowych oraz planów wydobycia na następny rok.
W przypadku gdy wielkości zużycia (popyt) wykazują trend lub można zbudo- wać model zależności popytu od innych znanych czynników, do ustalenia wiel- kości jednorazowego zamówienia używa się zazwyczaj modeli trendów lub mo- deli ekonometrycznych [Axsäter, 2006].
* Praca powstała w ramach realizacji projektu badawczego nr N N524 552038 „Wielokryterialne wspomaganie planowania i kontrolowania potrzeb materiałowych w przedsiębiorstwie górni- czym” finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.
Katarzyna Jakowska-Suwalska 100
W pracy zaproponowano wielokryterialny model z dwoma kryteriami dla każdego zamawianego materiału i ograniczeniem całkowitych kosztów zamó- wienia. W celu ustalenia wielkości zamówienia w modelu wprowadzono zmien- ne celowe [Konarzewska-Gubała, 1980; Miettinen, 1998] i podejście leksyko- graficzne [Ogryczak, 1997; Branke, Deb, Miettinen, Słowiński, 2008].
1. Konstrukcja modelu wielkości zamówienia
W celu konstrukcji modelu materiały M1, M2, …, Ms podzielono na dwie grupy.
Grupa pierwsza to materiały M i (i = 1, 2, …, r), których zużycie Xi na tonę wydobycia jest zmienną losową o znanej dystrybuancie Fi.Należy zamówić taką ilość zi materiału Mi, aby z jak największym prawdopodobieństwem pokryła ona przyszły popyt na ten materiał. Należy zamawiać taką ilość materiału, aby wiel- kość zamówienia nie odchylała się zbytnio od przeszłych wielkości zapotrzebo- wania na ten materiał, natomiast koszty zakupu wszystkich materiałów nie prze- kraczały pewnej zadanej kwoty K. W pracy założono, że wielkości xi1, xi2, …, xin zużycia materiału Mi (i = 1, 2, …, r) na tonę wydobycia w n poprzednich okre- sach nie wykazują trendu ani wahań okresowych. Przyjęto także, że wszystkie wiadomości o warunkach panujących w kopalni, mających wpływ na wielkości zużycia materiałów znajdują się w danych xi1, xi2, …, xin z przeszłych okresów.
Grupa druga to materiały Mi (i = r + 1, r + 2, …, s), których zużycie w przeszłych okresach wykazało trend lub wahania okresowe i można wyznaczyć prognozę zużycia na następny rok. Należy zamówić taką ilość zi materiału Mi, aby w możliwe niewielkim stopniu odchylała się od wyznaczonej prognozy zi*.
Jako funkcje kryteria przyjęto dla każdego materiału:
(a) prawdopodobieństwo braku materiału Mi (i = 1, 2, …, r),
(b) odchylenia wielkości zamówienia zi od rzeczywistych wielkości zużycia xi1, xi2, …, xin materiału Mi w ostatnich n okresach (i = 1, 2, …, r),
(c) odchylenia wielkości zamówienia zi materiału Mi (i = r + 1, r + 2, …, s) od wyznaczonej prognozy zi*.
Wielokryterialny model optymalizacji wielkości zakupów... 101
Model można zapisać w postaci:
n t
s i
z z z
K W z c
c s r
r i z
z
n t
b r
i z
x
a r
i z
F
upper i i lower i s i
i i
i i
i it
i i
,..., 2 1,
, ,..., 2 1,
, ,
) ( , ..., , 2 , 1 min, ..., , 2 1,
) ( ,
..., , 2 1, min,
) ( ,
..., , 2 1, max, )
(
*
=
=
≤
≤
≤
+ +
=
→
−
=
=
→
−
=
→
∑
=1(1)
gdzie:
ci – cena jednostki materiału Mi,
K – kwota przeznaczona na zakup materiałów M1, M2, …, Ms , W – planowana wielkość wydobycia,
zi – wielkość zamówienia materiału Mi na tonę wydobycia,
*
zi – wielkość prognozy zużycia materiału Mi na tonę wydobycia,
⎩⎨
⎧
=
=
+ +
=
≤ =
, ..., , 2 1, ) ..., , 2 1,
; min(
, ..., , 2 , 1 ))
..., , 2 1,
; min(
, min( *
r i
n t
x
s r
r i n t
x z z
it it i
lower
i ,
⎩⎨
⎧
=
=
+ +
=
≥ =
, ..., , 2 1, ) ..., , 2 1,
; max(
, ..., , 1 , 1 ))
..., , 2 1,
; max(
, max( *
r i
n t
x
s r
r i n t
x z z
it
it i
upper i
Wartości zilower, ziupper mogą być wyznaczone przez decydenta na podstawie jego dodatkowych wiadomości o problemie.
W celu możliwości porównania wyników wartości kryteriów w grupie (b) należy przeprowadzić normalizację [Miettinen 1998; Kukuła, 2000; Branke, Deb, Miettinen, Słowiński, 2008]:
i lower i u i
i i
lower i u it
it i
lower i u i
i A
z z z
A z x x
A z
z z −
− =
− =
= , , * *
gdzie Ai = ziupper −zilower.
Katarzyna Jakowska-Suwalska 102
Niech zmienne viF+,vitQ−,vitQ+,viz*−,viz*+ ≥0 będą takimi zmiennymi celo- wymi, że:
n t
s i
v v
v v z z
v v
v v z x
F v z F
z i z i
z i z i u i u i
Q it Q it
Q it Q it u i u it
i F i i i
..., , 2 1,
, ..., , 2 1, , 0
, 0 ,
0
, 0 , )
(
*
*
*
* *
*
=
=
=
= +
−
−
=
= +
−
−
= +
+
−
+
− +
−
+
− +
gdzie 1−Fi* to zakładana przez decydenta najmniejsza dopuszczalna wartość prawdopodobieństwa braku materiału.
Zagadnienie (1) można wtedy zapisać w postaci:
. ..., , 2 1,
, ..., , 2 , 1 ,
0
, ..., , 2 1, , 0
, 0 , , , , ,
, ,...
2 1, , ,
, ..., , 2 , 1 0
, ..., , 2 1, , 0
, ..., , 2 1, , )
(
, ..., , 2 , 1 min,
, ..., , 2 1, min,
, ..., , 2 1, min,
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
n t
s r
r i v
v
r i
v v
v v v v v v
s i
z z z
K W z c
s r
r i v v z z
r i
v v z x
r i
F v z F
s r
r i v
v
r i
v v
r i
v
z i z i
Q it Q it
z i z i Q it Q it F i K
upper i i lower i
i s i
i
z i z i u i u i
Q it Q it u i u it
i F i i i
z i z i
Q it Q it F i
i
=
+ +
=
=
=
=
≥
=
≤
≤
≤
+ +
=
= +
−
−
=
= +
−
−
=
= +
+ +
=
→ +
=
→ +
=
→
+
− +
−
+
− +
− + +
=
+
− +
− + +
− +
− +
∑
1(2)
W celu wyznaczenia rozwiązań efektywnych wielokryterialnego problemu najczęściej wprowadza się skalaryzację zagadnienia [Ameljańczyk, 1984; Kona- rzewska-Gubała,1980; Nowak, 2008; Branke, Deb, Miettinen, Słowiński, 2008;
Figueira, Greco, Ehrgott (red.), 2005; Roy, 1990; Roy, Bouyssou, 1993].
Niech ui będzie wagą nadaną przez decydenta materiałowi Mi na podstawie ważności tego materiału w procesie produkcyjnym, tak aby u1,u2,...,us>0 oraz
1 ...+ = +
+u us
u1 2 . Można utworzyć wtedy model w postaci:
Wielokryterialny model optymalizacji wielkości zakupów... 103
. ..., , 2 1,
, ..., , 2 1, ,
0
, ..., , 2 1, , 0
, 0 , , , , ,
, . ..., , 2 1, ,
, ..., , 2 , 1 ,
0
, ..., , 2 1, ,i
, ..., , 2 1, , )
(
min, ) (
min, ) (
min,
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
n t
s r r i v v
r i
v v
v v v v v v
s i
z z z
s r r i v
v z z
r i
v v z x
r i
F v z F
v v u
v v u
v u
z i z i
Q it Q it
z i z i Q it Q it F i K
upper i i lower i
z i z i u i u i
Q it Q it u i u it
i F i i i
z i z i s r i
i Q it s
i Q it i
F i r i
i
i
=
+ +
=
=
=
=
≥
=
≤
≤
+ +
=
= +
−
−
=
= +
−
−
=
= +
→ +
→ +
→
+
− +
−
+
− +
− + +
+
− +
− +
+
− +
=
+
=
− +
=
∑
∑
∑
1 1 1
(3)
W grupie n funkcji celu ( +)
=
−+
∑
s itQi
Q it
i v v
u
1
można przeprowadzić proces po- starzania obserwacji poprzez wprowadzenie dla poszczególnych okresów t od- powiednich wag wt.
. ..., , 2 1,
, ..., , 1 , 1 0
, . ,..., 2 1, , 0
, 0 , , , , ,
, ...., , 2 1, ,
, ..., , 2 , 1 ,
0
, . ..., , 2 1, , 0
, . ..., , 2 1, , )
(
min, ) (
) (
min, ) (
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
n t
s r r i v v
r i
v v
v v v v v v
s i
z z z
s r r i v
v z z
r i
v v z x
r i
F v z F
v v u v
v w u
v v u v u
z i z i
Q it Q it
z i z i Q it Q it F i K
upper i i lower i
z i z i u i u i
Q it Q it u i u it
i F i i i
z i z i s r
i i
Q it s
i
Q it t i n t
z i z i s r
i i
F i r
i i
i
=
+ +
=
=
=
=
≥
=
≤
≤
+ +
=
= +
−
−
=
= +
−
−
=
= +
→ + +
+
→ + +
+
− +
−
+
− +
− + +
+
− +
− +
+
− +
= +
=
−
=
+
− +
= +
=
∑
∑
∑
∑
∑
1 1
1
1 1
(4)
gdzie .
)
( 1
2
= + n n wt t
1
o p p G w
2
r n s m c d 2
R Ź
104
ogra prio pod Gre w d
2. P d k
rzen nian są i myw cho drew 200
Rys.
Źród
Je anic oryt dejś eco, dwó
Prz dla klej
D nia nia w indy wan dni
N wna 08-2
. 1. M dło: O
est czeń tety
cie Eh óch
zyk us j p
rew obu wyr ywi nia ikow Na ry
a ko 201
Mie Opra
to ń. J y P1 lek hrgo kro
kład sta
oli
wno udó rob idua
stro wyc ys.
opa 0.
sięc cowa
mo Jeże 1, P ksyk ott ( okac
d z len ure
o ko ów w
isk alny opu ch.
1, 2 alnia
czne anie
odel eli d P2, t
kog (red
ch.
ast nia eta
opal wyr [Pr ymi u w 2, 3
ane
zuż wła
l z dla to d graf d.), 2
tos wi ano
lnia rob ruse i el
wy po ego
życie sne n
dw pos do z ficz 200
sow ielk owy
ane j isk ek,
eme yrob
kaz i st
e kle na po
Ka
wom szcz znal zne 05; O
wan koś y i s
jest ko Stał enta bisk zano
toja
eju ( odsta
atar
ma zeg lezi [Br Ogr
nia ści
sto
t zu opal
łęga ami kach o m aków
(kg/t awie
rzyn
lini góln
ieni rank rycz
a w za oja
używ nian a, S i ob h gó miesi w s
t) w e dan
na J
iow nych ia r ke, zak
wielo amó ki s
wan nyc Stoc bud órni ięcz talo
lata nych
ako
wym h kr ozw
De 199
ok ów sta
ne w ch, chel dow iczy zne owy
ach 2 kopa
ows
mi f ryte wiąz eb,
97]
ryt wień
alow
w tr klej l, 20 wy g ych wi ych
2008 alni.
ka-S
funk eriów
zan Mie . Za
teri ń n we
rakc j po 005 górn
i d ielk h cie
8-20 Suw
kcja w z nia z ettin aga
ialn na d ci
cie oliu ]. S nicz do w
ośc erny
010 wals
ami zost zag nen adni
neg dre
ern
rob uret Stoja
zej wzm ci zu ych
ska
i ce tały gadn
n, S eni
go ewn
ne
bót ano aki prz moc użyc h na
elu y us nien Słow
e m
mo no
eks owy sta zezn cnie
cia a ton
i g talo nia wińs możn
ode ko
splo y na alow nacz nia kle nę w
grup one
(4) ski, na
elu opa
oata atom we c
zon ob eju p
wyd pą
prz zap , 20
roz
u alni
acyj mia ciern nym budo
poli dob
nie zez pro 008 zwią
an
jnyc st d ne p mi d
owy iure byci
elin dec pon
; Fi ązać
e,
ch d do u pod do p y w etan ia w
niow cyd now igu ć w
do t uszc dpor podt wyro now w la
wyc dent wan ueira wted
two czel row trzy obis wego
atac ch
ta no a, dy
o- l- we
y- sk
o, ch
R Ź
R Ź
d w p c p k
Rys.
Źród
Rys.
Źród
dzo wie poli cia pod ków
. 2. M dło: O
. 3. M dło: O
N ono, elko iure
tyc dstaw w st
Mie Opra
Mie Opra
Na p , że ości
etan ch m
wo talo
sięc cowa
sięc cowa
pods e nie
zu now mat we wy
W
czne anie
czne anie
staw e m użyc wego teria
par ych
Wiel
zuż wła
zuż wła
wie ma p cia o w ałów
ram wy
lokry
życie sne n
życie sne n
me pod
dre w kg w n metr zna
ryter
e dre na po
e sto na po
edia dstaw
ewn g na nie
ry o aczo
rialn
ewn odsta
ojakó odsta
ano w d na a to
wy opis one
ny m
na (m awie
ów ( awie
owe do o
kop onę ykaz sow e na
mode
m3/t) e dan
(szt.
e dan
ego odr paln
wy zują we z a po
el op
) w l nych
./t) w nych.
tes rzuc nian ydo ą w zuży odst
ptym
latac kopa
w lat .
stu ceni
neg obyc waha ycia tawi
mali
ch 20 alni.
tach
seri ia h go w
cia.
ań o a dr ie m
izac
008-
h 200
ii n hipo
w m W okr rew mie
cji w
-201
08-2
na p otez m3 Wyka
reso wna sięc
wielk
10
2010
pozi zy o
na azan owy
, kl czn
kośc
0
iom o br ton no ych.
leju nych
ci za
mie raku nę
tak . W u po h da
akup
isto u tr wy kże, W ta
oliu any
pów
otno rend ydob że ab.
ureta ch z w...
ości du m byc
wi 1 p ano z la
i 0, mie ia ielk prze owe at 2
,05 esię ora kośc edst ego 008
stw ęczn az k ci zu taw
i st 8-20
10
wier nyc klej uży ion toja 010 05
r- ch
u y- no
a- 0.
Katarzyna Jakowska-Suwalska 106
Tabela 1. Podstawowe parametry rozkładu miesięcznego zużycia drewna, kleju i stojaków stalowych
Stojaki Klej Drewno
Max. 0,0026 0,2011 0,0069
Min. 0,0001 0,0168 0,0024
Średnia 0,0007 0,1224 0,0036
Odchylenie standardowe 0,0006 0,0455 0,0009
Współczynnik zmienności 0,8026 0,3716 0,2382
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych kopalni.
Na podstawie wielkości zużycia drewna (w m3/t) i kleju poliuretanowego w ostatnich trzech latach stwierdzono (testem Kołmogorowa–Smirnowa na po- ziomie istotności 0,05), że są one zmiennymi losowymi o rozkładach normal- nych odpowiednio N(0,0036; 0,0009), N(0,1224; 0,0455)
Za pomocą testu medianowego (na poziomie istotności 0,05) wykazano, że wielkości zużycia stojaków stalowych ciernych (w szt./t) wykazują trend. Na rys. 4 pokazano wielkości kwartalnego zużycia stojaków stalowych oraz prognozy zużycia w przyszłych kwartałach.
Rys. 4. Wielkości kwartalnego zużycia stojaków stalowych w latach 2008-2010 oraz prognozy na lata 2011 i 2012
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych kopalni będącej oddziałem Kompanii Węglowej S.A.
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0,0014
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Tytuł osi
Kwartalne zużycie stojaków stalowych i prognozy
prognoza wielkości zuzycia stojaków w kolejnych kwartałach lat 2011 i 2012
kwartalne wielkości zużycia stojaków
wielkości prognoz wygasłych
Wielokryterialny model optymalizacji wielkości zakupów... 107
Za pomocą liniowej metody Holta z parametrami wygładzania alfa = 0,5, beta = 0,45 wyznaczono prognozy kwartalnego zużycia stojaków w latach 2011 i 2012. Na koniec wyznaczono (jako średnią arytmetyczną wielkości kwartalnych prognoz) prognozę z* = 0,0003 wielkości zużycia stojaków w 2012 r. (w szt./t).
Dodatkowo stwierdzono na poziomie istotności 0,05, że nie występuje korela- cja liniowa pomiędzy wielkościami zużycia drewna, kleju poliuretanowego i stoja- ków stalowych.
W tab. 2 przedstawiono średnie ceny jednostkowe drewna, kleju, stojaków stalowych, planowane roczne wydobycie oraz przykładową planowaną roczną kwotę wydatków na zakup drewna, kleju poliuretanowego i stojaków stalowych.
Tabela 2. Ceny jednostkowe drewna i kleju, planowane roczne wydobycie oraz planowana roczna kwota wydatków na drewno i klej poliuretanowy
Średnia cena kg kleju 13,75
Średnia cena za m3 drewna 296
Średnia cena stojaka 490
Planowane wydobycie 4 000 000
Maksymalny koszt zakupu materiałów 13 541 054
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych kopalni będącej oddziałem Kompanii Węglowej S.A.
W modelu (4) przyjęto, że wszystkie materiały są jednakowo ważne w procesie wydobycia, a więc przyjęto wagi u1 = u2 = u3 = 1/3 oraz zilower=min(xit;t=1,2,...,36);
) 36 ..., 2, 1,
;
max( =
= x t
ziupper it dla i = 1, 2, 3; F1* = F2* = 0,9.
Dodatkowo założono, że decydent nie ustalił priorytetów poszczególnych kryteriów. W tab. 3 zamieszczono wartości rozwiązań zagadnienia przy różnych ustawieniach priorytetów kryteriów zagadnienia (4).
Tabela 3. Wartości rozwiązań przy różnych priorytetach nadanych funkcjom celu zagadnienia (4)
Wielkość zamówienia Prawdopodobień- stwo Odchy-
lenie od pro- gnozy
Koszty całkowite
zakupu
Wartość pierwszej funkcji celu
Wartość drugiej funkcji celu stojaki klej drewno F1 klej F2
drewno Rozwią-
zanie, gdy pierwsza funkcja celu ma priorytet I
1 489 478 995 21 031 0,363 0,900 0 13 541 054,0 0,536952 0,509
Rozwią- zanie, gdy druga funkcja celu ma priorytet I
1 489 541 910,4 18 108,6 0,483 0,699 0 13 541 054,0 0,6185787 0,477
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych kopalni będącej oddziałem Kompanii Węglowej S.A.
Katarzyna Jakowska-Suwalska 108
Podsumowanie
W pracy zaproponowano wielokryterialny model, który może być pomocny przy wyznaczaniu wielkości zamówień materiałów potrzebnych w kopalni węgla kamiennego. Zastosowanie modelu pokazano na przykładzie ustalenia wielkości zamówienia kleju poliuretanowego, drewna kopalnianego i stojaków stalowych ciernych przy ograniczeniach kosztów zakupu tych materiałów. Zaproponowano podejście leksykograficzne i wobec braku określenia preferencji decydenta zna- leziono skończony zbiór rozwiązań sprawnych. Wykorzystana metoda powinna być stosowana w postaci interaktywnej, w której decydent będzie miał możli- wość określania priorytetów oraz wielkości parametrów sterujących, porównując koszty zamówień, wartości prawdopodobieństw oraz wielkość odchyleń od wy- znaczonych prognoz.
Literatura
Ameljańczyk A. (1984), Optymalizacja wielokryterialna w problemach sterowania i zarządzania, Ossolineum, Wrocław.
Axsäter S. (2006), Inventory Control, Springer Science+Business Media, LLC, New York.
Branke J., Deb K., Miettinen K., Słowiński R. (2008), Multiobjective Optimalization – Interactive and Evolutionary Approaches. Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.
Figueira J., Greco S., Ehrgott M. (red.), 2005, Multiple Criteria Decision Analysis. State of the Art Surveys, Springer Science, New York.
Konarzewska-Gubała E. (1980), Programowanie przy wielorakości celów, PWN, Warszawa.
Kukuła K. (2000), Metoda unitaryzacji zerowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
Miettinen K. (1999), Nonlinear Multiobjective Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston.
Nowak M. (2008), Interaktywne wielokryterialne wspomaganie decyzji w warunkach ryzyka. Metody i zastosowania, Wydawnictwo AE, Katowice.
Ogryczak W. (1997), Wielokryterialna optymalizacja liniowa i dyskretna, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa.
Prusek S., Stałęga S., Stochel D. (2005), Metody i środki przeznaczone do uszczelniania i wzmacniania górotworu oraz obudowy wyrobisk, Prace Naukowe Głównego Instytutu Górnictwa nr 863.
Roy B. (1990), Wielokryterialne wspomaganie decyzji, WNT, Warszawa.
Roy, B., Bouyssou, D. (1993), Aide Multicritere a la Decision: Methodes et Cas. Economica, Paris.
Wielokryterialny model optymalizacji wielkości zakupów... 109
MULTI-CRITERIA MODEL OF ORDER SIZE IN THE HARD-COAL MINES
Summary: This paper presents a multi-criteria model of order size of materials used in production. It is shown on an example how to use the model to determine the order sizes for polyurethane adhesive, wood and steel upright in a hard-coal mine.
Keywords: multicriteria decision support;; material requirements planning.
