Instytut Fizyki
Politechniki Wrocławskiej Raport Serii SPR–332/98
Dwuwymiarowy ekscyton
w zewnętrznym polu elektrycznym.
Praca magisterska
Michał Tyc
Promotor: dr inż. Włodzimierz Salejda
Wrocław, czerwiec 1998
Spis treści
1. Wprowadzenie 3
2. Ekscyton w przybliżeniu masy efektywnej 4
3. Ekscyton dwuwymiarowy jako model ekscytonu w studni kwantowej 7 4. Opis ekscytonu dwuwymiarowego bez zewnętrznego pola we współrzęd-
nych biegunowych 9
5. Opis ekscytonu dwuwymiarowego we współrzędnych parabolicznych 11 6. Porównanie ekscytonu dwuwymiarowego z trójwymiarowym 16
7. Rozpad ekscytonu na skutek tunelowania 21
8. Wyniki obliczeń numerycznych 22
9. Podsumowanie 26
Dodatek 26
A. Współrzędne paraboliczne płaskie 26
B. Współrzędne obrotowo-paraboliczne 28
C. Wielomiany i stowarzyszone funkcje Legendre’a. Harmoniki sferyczne 30
D. Konfluentna funkcja hipergeometryczna 31
E. Wielomiany i funkcje Laguerre’a 32
F. Wielomiany i funkcje Hermite’a 33
G. Metody macierzowe rozwiązywania jednowymiarowego równania Schr¨o-
dingera 35
Literatura 37
1. Wprowadzenie
W ostatnich latach własności trójwymiarowego i dwuwymiarowego ekscytonu Wan- niera-Motta są przedmiotem intensywnych badań [1–10]. W przypadku trójwymiarowym przeprowadzono obszerną analizę wpływu zewnętrznego stałego pola elektrycznego na energię wiązania pary elektron-dziura w materiałach półprzewodnikowych [3–7]. Przypa- dek dwuwymiarowy analizowany był w pracy [8].
W ostatnim okresie zaawansowanymi metodami technologicznymi otrzymuje się ma- teriały półprzewodnikowe o ograniczonej geometrii, mające zastosowanie m. in. do bu- dowy laserów. Ze względu na istotne znaczenie ekscytonów dla własności optycznych tych materiałów ważnym zagadnieniem jest zbadanie właściwości widma energetycznego pary elektron-dziura w przestrzeni dwuwymiarowej.
Dotychczas problem ekscytonu w strukturach dwuwymiarowych w zewnętrznym polu elektrycznym rozważano głównie w przypadku, gdy kierunek pola był równoległy do kie- runku wzrostu struktury [10]. Niniejsza praca dotyczy konfiguracji, w której pole skie- rowane jest w płaszczyźnie struktury. Rozpatrywane jest w niej zagadnienie ściśle dwu- wymiarowe (na płaszczyźnie, d = 2), które w tej konfiguracji stanowi przybliżenie pro- blemu rzeczywistego. Zagadnienie dla d = 2 bez zewnętrznego pola elektrycznego rozwią- zano analitycznie w pracy [2], natomiast przypadek z polem badany był numerycznie w pracy [8].
Celem pracy jest zbadanie wpływu zewnętrznego stałego pola elektrycznego na energię wiązania dwuwymiarowego ekscytonu Wanniera-Motta.
W rozdziale 2. pracy przytoczone są — podstawowe dla dalszych rozważań — formuły i bezwymiarowe postaci równań Schr¨odingera dotyczących dwu- i trójwymiarowego za- gadnienia. Rozdział 3. uzasadnia stosowanie modelu ekscytonu dwuwymiarowego do opisu ekscytonu w studni kwantowej. W rozdziale 4. przedstawiony jest opis ekscytonu w d = 2 bez zewnętrznego pola elektrycznego we współrzędnych biegunowych. Rozdział 5. zawiera zasadniczy wynik pracy — opis ekscytonu w d = 2 we współrzędnych parabolicznych z uwzględnieniem zewnętrznego pola elektrycznego. W kolejnym rozdziale przedstawione jest porównanie otrzymanych formuł analitycznych z formułami dla ekscytonu w d = 3.
Rozdział 7. zawiera przybliżony opis rozpadu ekscytonu w polu elektrycznym poprzez tunelowanie. Rozdział 8. przedstawia algorytm i wyniki obliczeń numerycznych. Praca zakończona jest podsumowaniem. Dodatek zawiera definicje i podstawowe własności wy- korzystywanych w pracy układów współrzędnych i funkcji specjalnych oraz krótki opis wykorzystywanych do obliczeń metod numerycznych.
2. Ekscyton w przybliżeniu masy efektywnej
Załóżmy, że pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne są izotropowe i paraboliczne oraz mają ekstrema w środku strefy Brillouina (w punkcie Γ). Prawa dyspersji dla elek- tronów „e” i dziur „h” mają wówczas postać
εe(ke) = ¯h2ke2 2m⋆e + εg, εh(kh) = ¯h2kh2
2m⋆h,
(2.1)
gdzie εg — przerwa energetyczna, a m⋆e,h — masy efektywne.
Jeżeli εe, εh ≪ εg i potencjał oddziaływania zmienia się dostatecznie wolno w obsza- rze, gdzie kwazicząstki się poruszają (odpowiada to ekscytonowi o dużym promieniu — ekscytonowi Wanniera-Motta), możemy ich funkcje falowe przedstawić w postaci
Ψ (r) = u0(r) Φ(r),
gdzie u0 — funkcja Blocha dla k = 0 (na dnie lub w wierzchołku pasma), a Φ(r) — funkcja falowa obwiedni, spełniająca równanie Schr¨odingera dla cząstki swobodnej z masą efektywną [11].
Dla układu złożonego z elektronu i dziury równanie na funkcję obwiedni możemy zapisać w postaci
"
− ¯h2
2m⋆e∇2rrre − h¯2
2m⋆h∇2rrrh+ Ueh(re, rh)
#
Φ(re, rh) = (εexc− εg) Φ(re, rh), (2.2)
gdzie re,h — położenia kwazicząstek, Ueh(re, rh) = −e2
ǫ |re− rh| — energia potencjalna oddziaływania kulombowskiego elektron-dziura (ǫ oznacza stałą dielektryczną), a εexc — energia ekscytonu.
Wprowadźmy teraz współrzędne: środka masy R i względną r, R= m⋆ere+ m⋆hrh
M , r = re− rh, oraz masy: całkowitą M i zredukowaną µ,
M = m⋆e+ m⋆h, µ−1 = m⋆e−1+ m⋆h−1. Równanie (2.2) sprowadza się wtedy do postaci
"
− ¯h2
2M∇RR2R− h¯2
2µ∇rrr2− e2 ǫr
#
Φ(R, r) = (εexc− εg) Φ(R, r) (2.3)
i, po rozdzieleniu zmiennych R i r, daje rozwiązanie Φ(R, r) = 1
√V ei(KK·RKR)R ψ(r)
będące iloczynem fali płaskiej odpowiadającej swobodnemu ruchowi środka masy ekscy- tonu oraz funkcji falowej ψ(r) odpowiadającej ruchowi względnemu elektronu i dziury (V — objętość kryształu). Otrzymujemy również, że energia ekscytonu jest sumą energii kinetycznej środka masy (¯hK jest jego kwazipędem), energii wiązania ε oraz przerwy energetycznej εg:
εexc = ¯h2K2
2M + ε + εg.
Energię wiązania ε wyznaczamy z równania Schr¨odingera na funkcję ψ(r):
"
−¯h2
2µ∇2− e2 ǫr
#
ψ(r) = εψ(r). (2.4)
Równanie (2.3) można uogólnić wprowadzając zewnętrzne pole elektryczne E. Pojawi się w nim wówczas dodatkowa energia potencjalna
U′ = Ue′ + Uh′ = e(E · re) − e(E · rh) = e(E · r),
która nie zależy od współrzędnej R, więc wejdzie tylko do równania (2.4). Wynika to z faktu, że pole nie może wpływać na ruch środka masy elektrycznie obojętnego ekscytonu.
Włączenie pola powoduje, że zagadnienie przestaje być stacjonarne. Ekscyton ma wtedy skończony czas życia, gdyż pole może go „rozerwać”. Dokładne rozwiązanie ta- kiego zagadnienia wymagałoby posłużenia się równaniem Schr¨odingera z czasem. Można jednak potraktować problem kwazistacjonarnie (tj. przy założeniu, że czas życia ekscytonu jest dostatecznie długi) i posłużyć się stacjonarnym równaniem Schr¨odingera.
Rozpatrując ekscyton w przestrzeni trójwymiarowej (d = 3), wybieramy tradycyjnie E = [0, 0, E], natomiast w przestrzeni dwuwymiarowej (d = 2) kładziemy E = [E, 0].
Całkowity potencjał dany jest zatem wzorami
U =
−e2
ǫr + eEz dla d = 3
−e2
ǫr + eEx dla d = 2.
Wykres potencjału U(x, y) dla d = 2 jest przedstawiony na rys. 1, a jego przekrój wzdłuż osi OX na rys. 2. Wykresy wykonane są w bezwymiarowych jednostkach, które zostaną wprowadzone dalej.
Równanie Schr¨odingera opisujące ekscyton w zewnętrznym polu elektrycznym ma po-
stać "
−¯h2
2µ∇2− e2 ǫr + eE
z x
#
ψ(r) = εψ(r), (2.5)
gdzie górny symbol w nawiasach klamrowych dotyczy przypadku d = 3, a dolny — przy- padku d = 2.
Rys. 1. Potencjał U(x, y) dla pola E = 0.3 (w jednostkach bezwymiarowych)
Rys. 2. Potencjał U(x, 0) dla pola E = 0.3 (w jednostkach bezwymiarowych)
Sprowadźmy wszystkie wielkości występujące w równaniu (2.5) do postaci bezwymia- rowej. W tym celu pomnóżmy je stronami przez 2µ/¯h2, co prowadzi do
"
−∇2− 2µe2
ǫ¯h2r +2µeE
¯ h2
z x
#
ψ(r) = 2µε
¯
h2 ψ(r). (2.6)
Wprowadźmy teraz jednostki: długości a0, energii W0 i pola E0, a0 = ǫ¯h2
µe2 — ekscytonowy promień Bohra, W0 = µe4
2ǫ2¯h2 — ekscytonowa stała Rydberga, (2.7) E0 = e
ǫa20 — natężenie pola ładunku elementarnego w odległości a0. Wykorzystując je, przepisujemy (2.6) w postaci
"
−∇2− 2
a0r + 2E E0a30
z x
#
ψ(r) = ε
W0a20ψ(r). (2.8) Zdefiniujemy teraz bezwymiarowe wielkości:
r′ =
([x′, y′, z′] [x′, y′]
)
= r/a0 — współrzędne, E′ = E/E0 — natężenie pola,
ε′ = ε/W0 — energia, ψ′(r′) =
a30/2 a0
ψ(a0r′) — funkcja falowa.
Mnożąc (2.8) przez
a70/2 a30
otrzymujemy bezwymiarowe równanie Schr¨odingera
"
−∇′2− 2 r′ + 2
(z′ x′
)
E′
#
ψ′(r′) = ε′ψ′(r′). (2.9) Dalej znaki ′ będą pomijane.
W przypadku bez zewnętrznego pola (E = 0) równanie (2.9) daje się rozwiązać me- todą separacji zmiennych dla d = 3 i d = 2 odpowiednio we współrzędnych sferycz- nych (r, ϑ, ϕ) [12, 13] lub biegunowych (r, ϕ) [2]. Włączenie pola E usuwa tę możliwość, jednak daje się wtedy rozdzielić zmienne odpowiednio we współrzędnych parabolicznych obrotowych (u, v, ϕ) lub płaskich (u, v), o których mowa w Dodatku A i B.
3. Ekscyton dwuwymiarowy jako model ekscytonu w studni kwantowej
Funkcję falową elektronu lub dziury w studni kwantowej możemy przedstawić w postaci iloczynu
Ψ (x, y, z) = ψ(x, y)χ(z),
(oś OZ jest tu ustawiona wzdłuż kierunku wzrostu struktury). W przybliżeniu parabo- licznym prawa dyspersji dla nośników ładunku mają postać (2.1), z tym że wektor falowy k leży w płaszczyźnie XY , a εg zastąpić należy efektywną przerwą energetyczną
ε′g = εg+ ε(z)e0 + ε(z)h0,
gdzie ε(z)e,h 0 — energie najniższych poziomów elektronowych i dziurowych w studniach w pasmie przewodnictwa i walencyjnym, pojawiających się na skutek kwantowania ruchu wzdłuż osi OZ. Zakładamy, że wyższe poziomy są nieobsadzone, jeśli istnieją.
Studnię kwantową wytworzoną w pasmie przewodnictwa (lub walencyjnym) półprze- wodnikowej heterostruktury możemy w przybliżeniu opisywać w formalizmie masy efek- tywnej za pomocą prostokątnego potencjału U(z) = U0[1 − θ(a/2 + z) θ(a/2 − z)], gdzie a — szerokość studni, a U0 — jej głębokość.
Przy zwężaniu studni i zwiększaniu wysokości barier funkcja χ(z) staje się coraz bar- dziej zlokalizowana. W granicy a → 0, U0 → ∞ mamy χ(z) → δ(z), co odpowiada ściśle dwuwymiarowemu ruchowi elektronu (lub dziury) w płaszczyźnie XY . Ilustruje to rys. 3a przedstawiający wyniki wykonanych przez autora obliczeń dla studni w pasmie przewodnictwa heterostruktury GaAs/Al0.3Ga0.7As. Zmiana materiału bariery na AlAs (około 4-krotne zwiększenie U0) i odpowiednie zwężenie studni powoduje silniejszą lokali- zację elektronu (rys. 3b).
Przedstawione na rys. 3 wyniki obliczeń zostały otrzymane za pomocą macierzowej metody rozwiązywania równania masy efektywnej opisanej w raporcie [14].
W realnych strukturach nie jesteśmy w stanie dowolnie zwiększać wysokości barier (brak jest odpowiednich materiałów). Dla wąskich studni prowadzi to do rozmycia funkcji falowej χ(z), co ilustruje rys. 3c, na którym zmniejszeniu a nie towarzyszy podwyższe- nie bariery. Dodatkowo (ze względów technologicznych) nie można dowolnie zmniejszać szerokości studni.
W modelu ściśle dwuwymiarowego ekscytonu przyjmujemy „trójwymiarowe” (z poten- cjałem typu 1/r) oddziaływanie kulombowskie elektron-dziura, bez uwzględnienia efektów związanych z różnicą stałych dielektrycznych między materiałami studni i bariery. Przy- jęcie „dwuwymiarowego” potencjału typu ln r jest nieuzasadnione, gdyż cząstki znajdują się w przestrzeni trójwymiarowej, a jedynie ich ruch jest ograniczony do wybranej płasz- czyzny.
Pomimo powyższych ograniczeń model dwuwymiarowego ekscytonu stanowi ważne zagadnienie. Pełny (trójwymiarowy) opis ekscytonu w studni kwantowej prowadzi do nie- rozwiązywalnych analitycznie i bardzo złożonych numerycznie równań. Tymczasem model dwuwymiarowy jest bez zewnętrznego pola elektrycznego rozwiązywalny analitycznie, a z polem stanowi stosunkowo prosty problem numeryczny, co zostanie wykazane w dalszej części pracy.
Model dwuwymiarowy stanowi przybliżenie realnej sytuacji. Może być wykorzystany jako element modeli bardziej dokładnych (np. [10]) oraz do weryfikacji wyników uzyska- nych innymi metodami w granicznym przypadku a → 0, U0 → ∞.
Rys. 3. Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w studniach kwantowych heterostruktur GaAs/Al0.3Ga0.7As (a,c) i GaAs/AlAs (b). ML = monowarstwa ≈ 2.8 ˚A
4. Opis ekscytonu dwuwymiarowego bez zewnętrz- nego pola we współrzędnych biegunowych
Dwuwymiarowe równanie Schr¨odingera bez zewnętrznego pola elektrycznego we współ- rzędnych biegunowych ma postać
"
−1 r
∂
∂r r ∂
∂r
!
− 1 r2
∂2
∂ϕ2 − 2 r
#
ψ(r, ϕ) = εψ(r, ϕ). (4.1) Przedstawiając funkcję falową ψ(r, ϕ) w postaci iloczynu χ(r) Φ(ϕ) i mnożąc (4.1) przez
−r2
χ(r) Φ(ϕ) dostajemy
"
r χ(r)
d dr r d
drχ(r)
!
+ 2r + εr2
#
+ 1
Φ(ϕ) d2
dϕ2Φ(ϕ) = 0. (4.2) Jeśli wprowadzimy stałą separacji C, będziemy mogli zapisać (4.2) jako układ równań typu {f1(ϕ) = −C, f2(r) = C}. Pierwsze z nich jest równaniem na funkcje i wartości własne operatora kwadratu momentu pędu rotatora płaskiego:
− d2
dϕ2Φ(ϕ) = C Φ(ϕ).
Tymi funkcjami są Φm(ϕ) = (2π)−1/2eimϕ dla m = 0, ±1, ±2, . . .; wartości własne C = m2. Po podstawieniu wartości C drugie z równań — na funkcję radialną χ(r) — będzie
postaci "
d2 dr2 +1
r d dr + 2
r − m2 r2 + ε
#
χ(r) = 0. (4.3)
Zamiast rozwiązywać to równanie jak w pracy [2], skorzystamy z faktu, iż jest ono szczegól- nym przypadkiem równania (D.4) — patrz Dodatek D. Rozwiązania poszukujemy zatem w postaci rdebrF(a; c; λr) (F — funkcja dana wzorem (D.3)). Po porównaniu współczyn- ników otrzymujemy
λ = −2b, ε = −b2, |d| = |m|, c = 1 + 2d, b = (a − d −1/2)−1. (4.4) Rozważamy stany związane (ε < 0), więc argument λr funkcji F jest rzeczywisty. Nor- mowalnym i zachowującym się właściwie przy r → 0 rozwiązaniem będzie zatem (patrz Dodatek D) funkcja
χn(r) ∼ r|m|e−λnrF (|m| − n; 1 + 2|m|; 2λnr)
(n całkowite i n |m|). Stała λn określająca energie poszczególnych stanów ma postać λn = 1
n +1/2
, (4.5)
zatem poziomami energetycznymi są
εn,m = εn = − 1
(n +1/2)2, (4.6)
a każdy z nich jest (2n + 1)-krotnie zdegenerowany (bez uwzględnienia spinu). Zgodnie z oznaczeniami wprowadzonymi w [2] główną liczbę kwantową n liczymy od 0 (inaczej niż w przypadku trójwymiarowym). Energia stanu podstawowego ekscytonu w d = 2 wynosi ε0 = −4 i jest czterokrotnie większa niż dla d = 3.
Ze wzorów (E.2) i (E.7) — patrz Dodatek E — otrzymujemy łatwą do unormowania postać funkcji radialnej
χn(r) ∼ L2|m|n−|m|(2λnr),
gdzie LaN(x) — funkcja Laguerre’a (E.7). Warunkiem unormowania jest
Z∞ 0
|χn(r)|2r dr = 1;
ze wzoru (E.10) mamy
Z∞ 0
[L2|m|n−|m|(2λnr)]2r dr = 2n + 1
4λ2n = (n +1/2)3
2 = λ−3n 2 .
Unormowanymi funkcjami bazy dla stanów związanych we współrzędnych bieguno- wych są więc
ψn,mc (r, ϕ) = π−1/2λn3/2L2|m|n−|m|(2λnr) eimϕ=
= λ3n/2
√π
vu
ut(n − |m|)!
(n + |m|)!e−λnr[2λnr]|m|L2|m|n−|m|(2λnr) eimϕ. (4.7) gdzie LaN(x) — uogólnione wielomiany Laguerre’a (E.1). Funkcją falową stanu podstawo- wego jest
ψc0,0(r, ϕ) =q8/π e−2r.
5. Opis ekscytonu dwuwymiarowego we współrzęd- nych parabolicznych
Równanie Schr¨odingera (2.9) w płaskich współrzędnych parabolicznych przyjmie, na podstawie wzorów (A.1) i postaci laplasjanu (A.6), postać
"
− 1
u2+ v2
∂2
∂u2 + ∂2
∂v2
!
− 4
u2+ v2 + (u2− v2)E
#
ψ(u, v) = εψ(u, v). (5.1)
Przedstawmy funkcję ψ(u, v) jako iloczyn f(u) g(v) i pomnóżmy (5.1) przez − u2+ v2 f(u) g(v); otrzymamy
"
1 f(u)
d2
du2f(u) − Eu4+ εu2+ 2
#
+
"
1 g(v)
d2
dv2g(v) + Ev4+ εv2+ 2
#
= 0. (5.2) Zapiszmy (5.2) w postaci układu równań typu {f1(u) = −C, f2(v) = C} bez osobliwości w punkcie (0, 0), wprowadzając stałą separacji C:
"
− d2
du2 − εu2+ Eu4− 2
#
f(u) =
"
− d2
du2 + V+(u)
#
f(u) = −Cf(u),
"
− d2
dv2 − εv2− Ev4− 2
#
g(v) =
"
− d2
dv2 + V−(v)
#
g(v) = Cg(v).
(5.3)
Równania (5.3) mają postać zbliżoną do jednowymiarowych równań Schr¨odingera. Są to zagadnienia własne na stałą separacji C, a energia wiązania ε jest tu parametrem w funkcjach, które będą dalej nazywane kwazipotencjałami (odpowiadają one potencjałom w równaniu Schr¨odingera):
V+(u) = −εu2+ Eu4− 2,
V−(v) = −εv2− Ev4 − 2. (5.4)
Procedura numerycznego rozwiązywania układu równań (5.3) powinna więc polegać na znalezieniu takiej wartości ε(E), dla której wartości własne C i −C otrzymane z obu równań (5.3) będą identyczne.
Należy tu dodać, że alternatywna definicja współrzędnych parabolicznych (Doda- tek A), zastosowana w pracy [8], także pozwala na rozdzielenie zmiennych w równa- niu (2.9). Otrzymujemy wtedy układ dwóch jednowymiarowych równań Schr¨odingera, w których parametrem jest stała separacji, a wartością własną energia. Równania te są jednak znacznie trudniejsze do numerycznego rozwiązywania niż (5.3), gdyż zawierają osobliwości.
W punkcie v = 0 nie możemy położyć dogodnego w obliczeniach numerycznych wa- runku początkowego g(0) = 0, gdyż implikowałoby to nieuzasadnione przypuszczenie ψ(0, 0) = 0. Wartość g(0) jest nieznana. Aby ominąć tę trudność, rozszerzymy dziedzinę zmiennej v na wartości ujemne (wykorzystujemy dwuznaczność odwzorowania konforem- nego (A.5)). Pociąga to za sobą warunek
ψ(u, v) = ψ(−u, −v) (5.5)
(patrz Dodatek A). Ze względu na to, że kwazipotencjały (5.4) są funkcjami parzystymi, funkcje f(u) i g(v) muszą być parzyste bądź nieparzyste. Równość (5.5) zajdzie tylko wtedy, gdy parzystość f i g będzie taka sama.
Wykresy kwazipotencjałów w przypadku z polem i bez pola (w rozszerzonej dziedzinie v) przedstawia rys. 4.
Zajmijmy się teraz przypadkiem E = 0, który jest rozwiązywalny analitycznie. Rów- nania (5.3) przyjmują wtedy postać
"
− d2
dw2 + λ2w2
#
f±(w) = (2 ± C) f±(w), (5.6) gdzie w oznacza u lub v, f− i f+ — odpowiednio funkcje f i g, a λ2 = −ε. Przy jego rozwiązywaniu moglibyśmy skorzystać z ogólniejszego równania (D.5). Warto jednak za- uważyć, że (5.6) jest odwróconym zagadnieniem własnym kwantowego liniowego oscylatora harmonicznego. Jego rozwiązaniami są (patrz (F.8)) dla n± = 0, 1, 2, . . . funkcje Hermite’a
fn±(x) ∼ Hn±(√
λ x), (5.7)
a wartości własne 2 ± C = (2n± + 1)λ. Wybór znaku + lub − zależy od tego, które z równań układu (5.3) rozpatrujemy.
Dodając do siebie obie wartości własne dostajemy 4 = (2n++ 2n−+ 2)λn+n−
λn+n− = 2 n++ n−+ 1.
Rys. 4. Kwazipotencjały V+(u) i V−(v) dla różnych wartości pola E.
Cieńszą linią jest zaznaczony kwazipotencjał dla E = 0
Symbole n+ i n− oznaczają paraboliczne liczby kwantowe. Ze względu na narzucony wa- runek ψ(u, v) = ψ(−u, −v) mamy
n++ n−= 2n, n = 0, 1, 2, . . . , (5.8) gdzie n — główna liczba kwantowa (jak we współrzędnych biegunowych), bowiem energia stanów wyraża się tylko przez nią:
λn+,n− = λn = 1 n +1/2
, εn+,n− = εn= − 1
(n +1/2)2.
Ze wzoru (5.7) możemy wyznacyć unormowane funkcje falowe ψ(u, v) ψn+,n−(u, v) = (In+,n−)−1/2Hn−(qλnu) Hn+(qλnv),
przy czym czynnik normalizacyjny In+,n− znajdujemy, posługując się iloczynem skalar- nym (A.7):
2In+,n− =
Z∞
−∞
Z∞
−∞
|fn−(u) gn+(v)|2(u2+ v2) du dv =
=
Z∞
−∞
|fn−(u)|2du
Z∞
−∞
|gn+(v)|2v2dv +
Z∞
−∞
|fn−(u)|2u2du
Z∞
−∞
|gn+(v)|2dv.
(5.9)
Zastosujmy do tych całek wzory (F.7) i (F.10); otrzymamy In+,n− = 1
2λ−n1/2λn−3/2(n++1/2+ n−+1/2) = (n +1/2) λ−2n = λ−3n = In
(In zależy tylko od n). Dla wygody zmieńmy wskaźniki funkcji ψ, tak aby zawierały główną liczbę kwantową n zgodnie z (5.8). Jako drugą liczbę kwantową wybierzemy j =
1/2(n+− n−) (j = −n, −n + 1, . . . , n − 1, n).
Ostatecznie unormowane funkcje bazy dla stanów związanych mają we współrzędnych parabolicznych postać
ψn,jp (u, v) = λ3n/2in+jHn−j(qλnu) Hn+j(qλnv) =
= λ3n/2
√π
2−nin+j
q(n − j)! (n + j)!e−1/2λn(u2+v2)Hn−j(qλnu) Hn+j(qλnv), (5.10)
gdzie HN(x) — wielomiany Hermite’a (F.1). Czynnik in+j został dodany w celu uzyskania prostszej postaci macierzy transformacji, które są przedstawione dalej. Funkcją falową stanu podstawowego jest
ψ0,0p (u, v) =q8/π eu2+v2.
Funkcje ψn,mc (r, ϕ) wyrażają się przez kombinacje liniowe fukncji ψn,jp (u, v) z tą samą wartością n, co oznacza, że funkcje (5.10) nie są funkcjami własnymi operatora momentu pędu.
W podprzestrzeniach liniowych o określonej wartości liczby kwantowej n mamy zatem bazy |ψn,jp i i |ψn,mc i. Zachodzić muszą równości
|ψn,mc i =
Xn j=−n
|ψn,jp ihψn,jp |ψcn,mi =
Xn j=−n
Tj,m(n)|ψn,jp i,
|ψn,jp i =
Xn
m=−n|ψn,mc ihψcn,m|ψpn,ji =
Xn j=−n
Tj,m(n)∗|ψn,mc i.
(5.11)
Aby znaleźć elementy macierzy transformacji T(n), czyli wartości całek definiujących iloczyny skalarne występujące we wzorach (5.11), należy sprowadzić funkcje |ψpn,ji i |ψn,mc i do tego samego układu współrzędnych. Dla uniknięcia całkowania wielomianów trygono- metrycznych przejdziemy do układu parabolicznego.
Korzystamy z zależności (A.3) i przekształcamy najpierw dwa czynniki z funkcji falo- wej (4.7):
(2λnr)|m|eimϕ = (2λnr)|m|(r/r)e m = (2λnr)|m|(se2/2r)m =
=
((2λnr)|m|se2|m|(2r)−|m| dla m 0 (2λnr)|m|(se∗)2|m|(2r)−|m| dla m ¬ 0 (2λnr)|m|eimϕ = [qλn(u + iv sgn m)]2|m|,
a dalej
ψrn,m(u, v) = λ3/2n
√π
vu
ut(n − |m|)!
(n + |m|)![qλn(u + iv sgn m)]2|m|×
× e−1/2λn(u2+v2)L2|m|n−|m|(λnu2+ λnv2). (5.12) Dla m = 0 możemy wyznaczyć liczby Tj,m(n) korzystając ze związków między funkcjami Laguerre’a i Hermite’a (F.11):
Tj,0(n)= cos2[(n + j)π/2]
n! 2nij−n
n (n − j)/2
!q
(n − j)! (n + j)!.
Kilka pierwszych macierzy T(n) jest zestawionych poniżej:
T(0) = [ 1 ], T(1) =
1
2 −
√2 2
1 2
−
√2
2 0
√2 2 1
2
√2 2
1 2
, T(2) =
1 4 −1
2
√6 4 −1
2 1 4
−1 2
1
2 0 −1
2 1
√ 2 6
4 0 −1
2 0
√6 4
−1 2 −1
2 0 1
2 1 2 1
4 1 2
√6 4
1 2
1 4
,
T(3) =
1
8 −
√6 8
√15
8 −
√5 4
√15
8 −
√6 8
1 8
−
√6 8
1
2 −
√10
8 0
√10
8 −1
2
√6
√ 8 15
8 −
√10
8 −1
8
√3
4 −1
8 −
√10 8
√15 8
−
√5
4 0
√3
4 0 −
√3
4 0
√5
√ 4 15 8
√10
8 −1
8 −
√3
4 −1
8
√10 8
√15 8
−
√6
8 −1
2 −
√10
8 0
√10 8
1 2
√6 8 1
8
√6 8
√15 8
√5 4
√15 8
√6 8
1 8
.
Są one macierzami rzeczywistymi i symetrycznymi dzięki dodaniu w funkcjach (5.10) czynnika in+j.
6. Porównanie ekscytonu dwuwymiarowego z trój- wymiarowym
Równanie Schr¨odingera dla ekscytonu trójwymiarowego bez zewnętrznego pola (jest to znane zagadnienie atomu wodoru [12, 13]) ma we współrzędnych sferycznych postać
"
−1 r2
∂
∂r r2 ∂
∂r
!
− 1
r2sin ϑ
∂
∂ϑ sin ϑ ∂
∂ϑ
!
− 1
r2sin2ϑ
∂2
∂ϕ2 −2 r
#
ψ(r, ϑ, ϕ) =
= εψ(r, ϑ, ϕ). (6.1)
Przedstawiając funkcję falową ψ(r, ϑ, ϕ) w postaci iloczynu χ(r) Θ(ϑ, ϕ) i mnożąc (6.1) przez −r2
χ(r) Θ(ϑ, ϕ) otrzymujemy układ równań typu {f1(ϑ, ϕ) = −C, f2(r) = C}. Pierw- sze z nich jest zagadnieniem własnym operatora kwadratu momentu pędu:
−
"
1 sin ϑ
∂
∂ϑ sin ϑ ∂
∂ϑ
!
+ 1
sin2ϑ
∂2
∂ϕ2
#
Θ(ϑ, ϕ) = C Θ(ϑ, ϕ).
Jego unormowanymi funkcjami własnymi są harmoniki sferyczne Yl,m(ϑ, ϕ) zdefiniowane wzorem (C.2), gdzie l = 0, 1, 2, . . ., a m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l; wartościami własnymi są liczby C = l(l + 1).
Drugie równanie — na funkcję radialną χ(r) — po wstawieniu wartości C przyjmie
postać "
d2 dr2 + 2
r d dr +2
r − l(l + 1) r2 + ε
#
χ(r) = 0. (6.2)
Jest to, podobnie jak dla d = 2, szczególny przypadek równania (D.4), więc rozwiązania poszukujemy w postaci rdebrF(a; c; λr) (F – funkcja postaci D.3). Porównanie współczyn- ników oraz żądanie normowalności rozwiązania i jego właściwego zachowania przy r → 0 daje
χn,l(r) ∼ rle−r/nF (−n + 1 + l; 2 + 2l; 2r/n)
dla całkowitych n > l (F – konfluentna funkcja hipergeometryczna (D.2)). Korzystając ze wzorów (E.2) i (E.7) możemy napisać
χn,l(r) ∼ [2r/n]−1/2L2l+1n−1−l(2r/n).
Normując funkcję χn,l(r) zgodnie z warunkiem
Z∞ 0
|χn,l(r)|2r2dr = 1.
otrzymujemy, przy pomocy wzorów (E.9) i (E.10), funkcje falowe bazy dla stanów zwią- zanych we współrzędnych sferycznych:
ψn,l,ms (r, ϑ, ϕ) = 2n−2[2r/n]−1/2L2l+1n−1−l(2r/n) Yl,m(ϑ, ϕ) =
= 2 n2
vu
ut(n − l − 1)!
(n + l)! [2r/n]le−r/nL2l+1n−1−l(2r/n) Yl,m(ϑ, ϕ), (6.3) gdzie LaN — uogólnione wielomiany Laguerre’a (zgodnie z (E.7)). Funkcją falową stanu podstawowego jest
ψ1,0,0s (r, ϑ, ϕ) = q2/π e−r. Energie kolejnych poziomów mają wartość
εn,l,m = εn= − 1
n2, (6.4)
a krotność degeneracji n-tego poziomu wynosi (bez uwzględnienia spinu) n2.
Równanie (2.9) daje się rozseparować dla d = 3 także we współrzędnych parabo- licznych, również w przypadku E 6= 0. Korzystając z zależności (B.1) i postaci lapla- sjanu (B.6) otrzymujemy
(
− 1
u2+ v2
"
1 u
∂
∂u u ∂
∂u
!
+ 1 v
∂
∂v v ∂
∂v
!
+ u2+ v2 u2v2
∂2
∂ϕ2
#
+
− 4
u2+ v2 + (u2− v2)E
)
ψ(u, v, ϕ) = εψ(u, v, ϕ). (6.5) Aby wydzielić część kątową, przedstawiamy funkcję falową ψ(u, v, ϕ) w postaci iloczynu φ(u, v) Φ(ϕ). Jeżeli wprowadzimy stałą separacji D, po przekształceniach otrzymamy układ równań typu {f1(ϕ) = −D, f2(u, v) = D}. Pierwsze z nich to zagadnienie własne operatora kwadratu z-owej składowej momentu pędu:
− d2
dϕ2Φ(ϕ) = D Φ(ϕ),
a jego rozwiązaniami są Φm(ϕ) = (2π)−1/2eimϕ dla m = 0, ±1, ±2, . . . oraz D = m2. Wybór kierunku pola E wzdłuż osi OZ pozwala jednak także na rozdzielenie zmien- nych u i v. Wstawiając wartość D do drugiego równania, zapisując φ(u, v) w postaci iloczynu ¯f(u) ¯g(v) i wprowadzając nową stałą separacji C, otrzymujemy układ dwóch
równań:
"
1 u
d du u d
du
!
+ εu2 − Eu4− m2
u2 + 2 − C
#
f(u) = 0,¯
"
1 v
d dv v d
dv
!
+ εv2+ Ev4− m2
v2 + 2 + C
#
¯
g(v) = 0.
(6.6)
Jeżeli użyjemy nowych funkcji f(u) =√
u ¯f (u), g(v) =√
v ¯g(v), (6.7)
to równania (6.6) przybiorą postać zagadnień własnych dla operatora typu − d2
dw2 + V(w) (w ∈ h0, ∞) oznacza tu u lub v), analogiczną do jednowymiarowych równań Schr¨odingera:
"
− d2
du2 − εu2+ Eu4+ m2−1/4
u2 − 2
#
f(u) = −Cf(u),
"
− d2
dv2 − εv2− Ev4+m2−1/4
v2 − 2
#
g(v) = Cg(v).
(6.8)
Są to, podobnie jak w przypadku d = 2, równania na wartości własne stałej separacji C, w których energia jest parametrem określającym kwazipotencjały
V+(u) = −εu2+ Eu4+ m2−1/4
u2 − 2, V−(v) = −εv2− Ev4+m2−1/4
v2 − 2.
(6.9)
Ich wykresy dla przypadków z polem i bez pola oraz dla różnych wartości liczby kwantowej m przedstawia rys. 5.
Warto tu zauważyć, że przyjęcie współrzędnych parabolicznych w wersji proponowanej przez Landaua i Lifszica ([12] oraz Dodatek B) prowadzi do układu dwóch standardowych równań Schr¨odingera. Obliczenia oparte na takim podejściu zawiera praca [1].
Odpychająca część kwazipotencjałów typu m2
w2 jest związana z występowaniem siły odśrodkowej przy ruchu obrotowym wokół osi OZ (znika dla stanów z rzutem momentu pędu m = 0), a część przyciągająca − 1
4w2 pojawia się tylko na skutek transformacji (6.7).
W przypadku, gdy brak zewnętrznego pola, równania układu przyjmują postać
"
d2
dw2 + εw2−m2−1/4
w2 + 2 ± C
#
f±(w) = 0, (6.10)
gdzie f− oznacza funkcję f, a f+ – funkcję g, która jest rozwiązywalna analitycznie.
Jest to szczególny przypadek równania (D.5), więc rozwiązania poszukujemy w postaci
Rys. 5. Kwazipotencjały V+(u) i V−(v) dla różnych wartości liczby kwan- towej m. Cieńszą linią jest zaznaczony kwazipotencjał dla E = 0
rde−1/2br2F(a; c; λr2) (F – funkcja postaci (D.3)). Porównując współczynniki i żądając normowalności funkcji falowej i jej właściwego zachowania dla u, v → 0 otrzymujemy rozwiązanie postaci
f±(w) ∼ w|m|+1/2e−w2/2nF (−n±; |m| + 1; w2/n) ∼ w1/2L|m|n±(w2/n), (6.11) gdzie n± — paraboliczne liczby kwantowe (skorzystaliśmy z (E.2) i (E.7)).
Możemy wprowadzić główną liczbę kwantową n:
1
n = 1
n++ n−+ |m| + 1, (6.12)
od której (wyłącznie) zależy energia stanu:
εn = − 1 n2.
Na podstawie wzorów (6.7) i (6.11) wyznaczamy unormowane funkcje φ(u, v):
φn+,n−,m(u, v) = (In+,n−,m)−1/2fn,n−,m(u) gn,n+,m(v) = (In+,n−,m)−1/2L|m|n−(u2/n) L|m|n+(v2/n),
gdzie czynnik normalizacyjny In+,n−,m wyraża się (na podstawie (B.7)) przez całkę
In+,n−,m=
Z∞ 0
Z∞ 0
|fn,n−,m(u) gn,n+,m(v)|2(u3v + uv3) du dv. (6.13)
Ostatecznie dostajemy
In+,n−,m= n3
4 [2(n++ n−) + 2|m| + 2] = n4 2 ,
przy użyciu związków między liczbami kwantowymi (6.12). Ponieważ liczby te nie są niezależne (jest ich o jedną za dużo), oznaczmy n−= j; wtedy n+ = n−1−|m|−j i mamy liczby kwantowe n (opisującą energię stanu), m (opisującą składową z-ową momentu pędu) oraz j.
Unormowanymi funkcjami falowymi bazy dla stanów związanych we współrzędnych parabolicznych są więc
ψn,j,mp (u, v, ϕ) = [− sgn m]mπ−1/2n−2L|m|j (u2/n) L|m|n−1−|m|−j(v2/n) eimϕ =
= [− sgn m]m n2
vu
ut j! (n − 1 − |m| − j)!
π(j + |m|)! (n − 1 − j)! ×
×
uv n
|m|
exp −u2+ v2 2n
!
L|m|j (u2/n) L|m|n−1−|m|−j(v2/n) eimϕ. (6.14) Dodanie czynnika [− sgn m]m ma za zadanie uproszczenie macierzy transformacji, które opisane będą na końcu rozdziału.
Występujące w funkcjach (6.14) liczby kwantowe n i m są identyczne z tymi, które numerują funkcje ψn,l,ms (r, ϑ, ϕ), natomiast j przyjmuje wartości 0, 1, . . . , n−1−|m|. Funk- cja we współrzędnych sferycznych o danych n, l, m wyraża się przez kombinację liniową funkcji we współrzędnych parabolicznych o tych samych n, l i różnych j. Oznacza to, że funkcje ψn,i,mp (u, v, ϕ) nie są stanami własnymi operatora momentu pędu (a tylko jego składowej z).
W podprzestrzeniach liniowych o określonych wartościach liczb kwantowych n i m mamy zatem bazy |ψn,j,mp i i |ψn,l,ms i. Spełnione są równości
|ψn,l,ms i =
n−1−|m|
X
j=0
|ψn,j,mp ihψn,j,mp |ψn,l,ms i =
n−1−|m|
X
j=0
Tj,l(n,m)|ψn,j,mp i,
|ψn,j,mp i =
n−1X
l=|m|
|ψn,l,ms ihψn,l,ms |ψn,j,mp i =
n−1X
l=|m|
Tj,l(n,m)∗|ψn,l,ms i.
(6.15)
Unitarne macierze transformacji T(n,m) pomiędzy bazami można wyznaczyć obliczając iloczyny skalarne występujące we wzorach (6.15). Aby znaleźć wartości definiujących te iloczyny całek, trzeba sprowadzić funkcje |ψpn,j,mi i |ψn,l,ms i do tego samego układu współ- rzędnych; najdogodniejszy jest w tym przypadku układ sferyczny. Kilka obliczonych ma-
