PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

K

IERUNEK

: Fizyka Techniczna S

PECJALNOŚĆ

: Fotonika

PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

Transmisja spolaryzowanego światła przez wybrane wieloskładnikowe

supersieci optyczne

A

UTOR

: Tomasz Naskręt

OPIEKUN PRACY:

dr hab. inż. Włodzimierz Salejda prof. PWr.

OCENA PRACY:

Spis treści

Wprowadzenie ... 5

Cel pracy ... 6

Krótkie streszczenie pracy ... 7

1. Wstęp ... 8

1.1. Optyczne struktury aperiodyczne ... 8

1.2. Transmisja światła w supersieciach optycznych ...10

2. Metody konstruowania wielowarstwowych niebinarnych aperiodycznych supersieci optycznych...11

2.1. Uogólniona supersieć typu Fibonacciego ...13

2.2. Materiały warstw...14

3. Transmitancja aperiodycznych supersieci optycznych ...16

3.1. Fala elektromagnetyczna na granicy dwóch ośrodków ...16

3.2. Polaryzacja typu s i p ...17

3.3. Model wielowarstwowego ośrodka dielektrycznego...20

3.4. Formalizm macierzowy ...21

3.4.1. Macierz charakterystyczna ...21

3.4.2. Macierz propagacji...21

3.4.3. Macierz transmisji ...22

3.4.4. Amplitudowe współczynniki transmisji i odbicia ...22

3.4.5. Transmitancja i reflektancja ...23

3.5. Transmitancja w formalizmie śladów i antyśladów ...23

3.5.1. Supersieć umieszczona w jednorodnym ośrodku typu A ...24

3.5.2. Supersieć umieszczona w dowolnym ośrodku jednorodnym ...25

3.6. Odwzorowania dynamiczne śladów i antyśladów ...26

4.1. Algorytmy obliczeń transmitancji...30 4.2. Obsługa programu ...34 5. Wyniki obliczeń numerycznych...40 6. Interpretacja jakościowa i ilościowa otrzymanych

wyników numerycznych ...53 6.1. Podsumowanie ...56 Bibliografia ...59

Wprowadzenie

Fizyka fazy skondensowanej i fotonika to dziedziny, w których jednym z podstawowych przedmiotów badań jest oddziaływanie światła z materią. W szczególności niesłabnącym zainteresowanie cieszy się problem transmisji światła przez wielowarstwowe ośrodki dielektryczne. Stymulują te zainteresowania prace nad technologiami otrzymywania coraz to nowych materiałów i struktur. W tym kontekście należy wymienić m.in. odkrycie kwazikryształów [7-10], kryształów fotonicznych [11-17], światłowodów fotonicznych [18], supersieci półprzewodnikowych [2] oraz materiałów kompozytowych m.in. metamateriałów wykazujących ujemny współczynnik załamania [58,59].

W ostatnich latach dość intensywnie badane były właściwości transmisji światła spolaryzowanego prze binarne supersieci optyczne [2,3]. Otrzymano wiele ważnych rezultatów przedstawionych w pracach [1,4]. Sformułowano m.in. analityczną metodę wyznaczania współczynnika transmisji dla binarnych aperiodycznych supersieci opartą na dynamicznych odwzorowaniach śladów i antyśladów macierzy charakterystycznych [1,55]. Ważnym założeniem tego podejścia było ograniczenie się do rozpatrywania supersieci, których macierze charakterystyczne warstw były unimodularne.

Problemem mniej zbadanym do tej pory jest transmisja światła spolaryzowanego przez supersieci zbudowane z większej niż dwa rodzaje warstw materiałowych. W tym przypadku macierz charakterystyczna może być nieunimodularna, co stwarza określone ograniczenia stosowalności podejścia zaproponowanego w pracach [1,5,6].

Cel pracy

Cel główny: Zbadanie właściwości transmisji światła spolaryzowanego przez wybrane wielowarstwowe struktury aperiodyczne.

Cele szczegółowe:

1. Opracowanie metody konstruowania wielowarstwowych niebinarnych i nieperiodycznych supersieci optycznych.

2. Sformułowanie algorytmu obliczania współczynnika transmisji światła spolaryzowanego dla analizowanych w pracy supersieci optycznych.

3. Zaprogramowanie funkcjonalnego środowiska obliczeniowego, z wykorzystaniem języka obiektowego, umożliwiającego szczegółową analizę właściwości transmisyjnych supersieci optycznych.

4. Wykonanie obliczeń numerycznych dotyczących właściwości współczynnika transmisji światła spolaryzowanego wybranych wielowarstwowych supersieci optycznych zbudowanych z więcej niż dwóch różnych warstwy materiałów.

5. Interpretacja jakościowa otrzymanych wyników numerycznych.

Krótkie streszczenie pracy

Praca podzielone została na sześć rozdziałów. W części pierwszej przedstawione zostały kwazijednowymiarowe struktury aperiodyczne oraz ich właściwości transmisyjne. Rozdział drugi zawiera opis wielowarstwowej aperiodycznej supersieci optycznej Fibonacciego będącej przedmiotem pracy. W kolejnym rozdziale przedstawiony jest model struktury wielowarstwowej oraz aparat matematyczny wykorzystany w obliczeniach numerycznych. Część czwarta jest poświęcona prezentacji numerycznego algorytmu wyznaczania transmitancji oraz środowiska obliczeniowego, które zostało stworzone na potrzeby pracy. Piąty rozdział zawiera wyniki obliczeń numerycznych. W rozdziale szóstym przeprowadzona jest analiza jakościowa otrzymanych wyników, podsumowanie całej pracy przedstawia wnioski i konkluzje wynikające z wykonanych obliczeń numerycznych. Dodatkowo zamieszczony jest również spis źródeł, do których odnosi się praca.

1. Wstęp

1.1. Optyczne struktury aperiodyczne

Struktury aperiodyczne od czasu ich odkrycia stanowią interesujący przedmiot badań teoretycznych jak i eksperymentalnych [19], ze względu na specyficzną budowę przestrzenną i właściwości fizyczne [8-10]. Są one jakościowo nowymi obiektami fizyki materii skondensowanej, ponieważ ich rozkład przestrzenny atomów, bądź innych jej elementów składowych nie wykazuje translacyjnej niezmienniczości jak to jest w przypadku kryształów. Ponadto nie wykazują strukturalnego nieuporządkowania, jakim charakteryzują się substancje amorficzne.

Struktury kwazijednowymiarowe są jedną z podgrup układów aperiodycznych charakteryzujących się nieperiodycznym uporządkowaniem elementów wzdłuż jednego kierunku.

W tej pracy supersieciami aperiodycznymi będziemy nazywać struktury kwazijednowymiarowe zbudowane z elementów jakimi będą warstwy różnych materiałów dielektrycznych. Poznanie właściwości fizycznych supersieci aperiodycznych, może przełożyć się na praktyczne zastosowania w inżynierii optycznej i fotonicznej do budowy m.in. rezonatorów Fabry-Perota [20,21], filtrów i pamięci optycznych [22,23]. Jednak zanim wykorzystamy tę wiedzę w praktyce należy znać odpowiedzieć na pytanie: Jak aperiodyczny rozkład warstw wpływa na optyczne właściwości transmisyjne supersieci aperiodycznych [1]? Próba odpowiedzi na to pytanie wyklucza zastosowanie twierdzenia Blocha [2,24,25] ze względu na brak translacyjnej niezmienniczości, co powoduje, że problem transmisji światła spolaryzowanego w supersieciach aperiodycznych jest nietrywialnym zagadnieniem. Zmusza nas to do użycia

Przedmiotem naszych badań będą supersieci wielowarstwowe niebinarne. Rozkład głównych elementów wzdłuż określonego kierunku definiuje zasada zwana regułą podstawiania, która pozwala na rekurencyjne konstruowanie kwazijednowymiarowej struktury.

Przykładowo reguła ta dla sieci Fibonacciego przedstawia się następująco:

, ,

BC → A A → ABC

_(1.1)

co pozwala skonstruować supersieć postaci:

...

ABCAABC ABCA

ABC A

BC → → → →

_(1.2)

Szerzej konstrukcje supersieci przedstawione są w rozdziale 2.

W wielu pracach teoretycznych szeroko omawiano takie zagadnienia jak:

a) dynamikę drgań atomów i pojemność cieplną aperiodycznych łańcuchów atomów [26-28],

b) przewodnictwo elektryczne [29-31],

c) widma elektronowe łańcuchów atomów i funkcje falowe elektronów [32,33],

d) widma fal spinowych i termodynamikę łańcuchów spinowych [34],

e) transmisję fal akustycznych [35,36] i elektromagnetycznych [20-23],[37-48].

W wyżej wymienionych pracach stosowano metody numeryczne i analityczne: teorii układów dynamicznych opartych na formalizmie dynamicznych odwzorowań śladów, rachunku zaburzeń. Badania i stosowane metody dotyczące fizyki kwazijednowymiarowych struktur aperiodycznych przedstawione są w pracy [28].

spolaryzowanego w ramach formalizmu macierzowego, co pozwala wyznaczyć podstawową wielkość jaką jest transmitancja [2,24,25].

Dla optycznych sieci aperiodycznych, analizę tę prowadzi się w ramach formalizmu dynamicznych odwzorowań śladów i antyśladów macierzy przejścia [37]. Formalizm ten po raz pierwszy zaproponowany został w pracy Kohmoto, Kadanoffa i Tanga [33].

Kohmoto, Sutherland i Iguchi jako pierwsi podjęli rozważania dotyczące wpływu aperiodyczności na właściwości transmisji światła w supersieci typu Fibonacciego [37]. Wyznaczyli transmitancję za pomocą dynamicznych odwzorowań śladów unimodularnych macierzy przejścia. Formalizm ten został zmodyfikowany w pracy [47] przez dodanie odpowiednio zdefiniowanych antyśladów macierzy przejścia.

Za pomocą tych technik została wyznaczona transmitancja kwazijednowymiarowych układów aperiodycznych w pracach [43-46].

Uogólnienia techniki odwzorowań śladów macierzy przejścia na unimodularne macierze zespolone dokonano w [30].

W większości dotychczasowych prac opisujących propagację fali elektromagnetycznej (EM) w wielowarstwowych strukturach aperiodycznych nie rozpatrywano odbicia i załamania światła na płaszczyznach oddzielających układ od otoczenia oraz przyjmowano założenia upraszczające: fala o polaryzacji „s” pada na badaną strukturę, przy czym rozważania ograniczano do prostopadłego padania oraz dodatkowym założeniu, że drogi optyczne fali w warstwach składowych są jednakowe.

W pracach [1,55-57] zbadano transmitancje optycznych binarnych supersieci optycznych z uwzględnieniem ośrodków zewnętrznych, oraz różnych kątów padania fali spolaryzowanej na badany układ.

2. Metody konstruowania wielowarstwowych niebinarnych aperiodycznych supersieci optycznych

Strukturę powstałą przez zamierzone nałożenie co najmniej dwóch warstw materiału możemy określać mianem supersieci. Pierwsze tego typu struktury wykonane były z naprzemiennie ułożonych warstw półprzewodnikowych [49]. Podobne struktury wcześniej wykorzystywano w optyce i optyce kwantowej (lasery półprzewodnikowe). Wykonane były z materiałów dielektrycznych i miały charakter periodyczny; nazywano je dielektrycznymi ośrodkami wielowarstwowym. My będziemy je nazywać supersieciami optycznymi.

Ułożenie periodyczne warstw pociąga za sobą translacyjną niezmienniczość jej fizycznych charakterystyk. Zadane wedle ściśle ustalonej kolejności rozłożenie współczynnika załamania, przenikalności elektrycznej i magnetycznej to główne cechy supersieci optycznych. Dzisiejsza technologia umożliwia nakładanie warstw w dowolnej kolejności, również aperiodycznej z zachowaniem wysokiej precyzji, co pozwala budować aperiodyczne supersieci optyczne.

Praca koncentruje się na wieloskładnikowych supersieciach optycznych, niebinarnych. Zasada konstrukcji takiej sieci zakłada, iż dwa pierwsze pokolenia zbudowane są z jednej bądź wielu jednorodnych i nieprzewodzących warstw składowych np. A, B, C.

Warstwy scharakteryzowane są parametrami materiałowymi:

współczynnikami załamania światła nA, nB inC oraz grubościami dA, dB

i dC. Zakłada się również, iż wartości parametrów materiałowych na granicach warstw zmieniają się skokowo, a powierzchnie styku są idealnymi płaszczyznami.

pochodzi z algebry łańcuchów aperiodycznych [27,50,51], którą posługujemy się do generowanie ciągu znaków łańcucha. Aby przedstawić konstrukcję takiej sieci aperiodycznej posłużę się siecią Fibonacciego zbudowaną za pomocą reguły podstawiania, podobnie jak miało to miejsce w rozdziale pierwszym:

ABC AB

AB

C → , →

. (2.1)

Reguła ta równoważna jest regule konkatenacji

1

,

1 −

+

=

^{L L}

L

S S

S

_(2.2)

gdzie S0=C, S1=AB, L numeruje kolejne pokolenia. Przedstawiony zapis (2.2) opisuje budowę pokolenia (L+1) za pomocą dwóch poprzednich pokoleń L-tego i (L-1)-go.

Poniżej przedstawiam charakterystykę badanej supersieci aperiodycznej i materiałów warstw oraz właściwości płaskiej fali elektromagnetycznej oddziałującej z tymi materiałami.

2.1. Uogólniona supersieć typu Fibonacciego

Dla uogólnionej supersieci typu Fibonacciego, w skrócie oznaczanej (USF), wzór rekurencyjny dla (L+1)-go pokolenie przyjmuje postać [59]

N L M L

L

S S

S

+1

=

−1^{, (2.3)}

gdzie S0=C, S1=AB , M określa liczbę powtórzeń dla L-tego pokolenia a N – liczbę powtórzeń dla (L-1)-go pokolenia, przy czym

0 , ,N∈ LN ≥

M . M i N nazywamy parametrami konkatenacji. Skrótem SF(M, N) będziemy określać sieć o określonych parametrach M i N.

Analogicznie do łańcucha typu Fibonacciego dla małych wartości M i N supersieci mają swoje zwyczajowe nazwy:

• SF(1,1) – nazywamy złotą supersiecią Fibonacciego

• SF(2, 1) – srebrną supersiecią,

• SF(3, 1) – brązową supersiecią,

• SF(1, 2) – miedzianą supersiecią,

• SF(1, 3) – niklową supersiecią.

Poniżej przedstawiam pięć pierwszych pokoleń dla złotej, srebrnej i miedzianej supersieci Fibonacciego.

Złota supersieć

L _{1 2}

−

=

^L− ^L

L

S S

S

0 C 1 AB 2 ABC 3 ABCAB 4 ABCABABC

L ² _{1 2}

−

=

^L− ^L

L

S S

S

0 C 1 AB 2 ABABC

3 ABABCABABCAB

4 ABABCABABCABABABCABABCABABABC Miedziana supersieć

L ₁ ² ₂

−

=

^L− ^L

L

S S

S

0 C 1 AB 2 ABCC 3 ABCCABAB

4 ABCCABABABCCABCC

2.2. Materiały warstw

Propagację fali elektromagnetycznej przez jednorodna izotropową warstwę ilościowo opisują równania Maxwella

) , , ) (

,

( t

t r t B

r

E ∂

− ∂

=

×

∇

r r

(2.4)

) , , ) (

,

( t

t r t D

r

H ∂

= ∂

×

∇

r r

(2.5)

, 0 ) ,

( =

⋅

∇ D r t r

(2.6)

, 0 ) ,

( =

⋅

∇ B r t r

(2.7)

), , ( )

, ( ), , ( )

,

( r t

₀

E r t B r t

₀

H r t

D

_{r r}

r r

r

r = ε ε = µ µ

^(2.8)

gdzie D( tr, ) r

– wektor indukcji elektrycznej, E( tr, ) r

- wektor natężenia pola elektrycznego, B( tr, )

r

– wektor indukcji magnetycznej, H( tr, ) r

– wektor natężenia pola magnetycznego, ε0 – przenikalność elektryczna próżni, εr – względna przenikalność elektryczna ośrodka, µ0 – przenikalność magnetyczna próżni, µr – względna przenikalność magnetyczna ośrodka.

Po prostych przekształceniach wzory (2.4-2.8) prowadzą do równanie fali EM w liniowym ośrodku jednorodnym

( , ) ,

) ,

(

₂

2 2

2

t t r t E

r

E ∂

= ∂

∇

r

υ r

_(2.9)

gdzie

υ = c / n

jest prędkością fali EM, zależną od stałych materiałowych ośrodka, a

c = 1 / ε

₀

µ

₀ jest prędkością świata w próżni

r

n

²

= ε

r

µ

^{, (2.10)}

gdzie n jest współczynnikiem załamania światła. Współczynnik załamania światła oraz grubość, są głównymi czynnikami charakteryzującymi materiałową charakterystykę warstwy.

3. Transmitancja aperiodycznych supersieci optycznych

W rozdziale tym przedstawione zostały podstawowe zagadnienia i metody obliczania transmitancji dla sformułowanego modelu ośrodka wielowarstwowego. Ośrodek umieszczony jest między dwoma półnieskończonymi dielektrykami o współczynnikach załamania n_in i n_out. Za pracami [1,54-57] przytaczamy nieliniowe odwzorowania śladów i antyśladów unimodularnej macierzy charakterystycznej. Są one istotnymi elementami aparatu matematycznego, w oparciu o który zaprogramowano numeryczny algorytm obliczania transmitancji.

3.1. Fala elektromagnetyczna na granicy dwóch ośrodków

Zachowanie się fali EM przy przejściu przez granicę dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania ilustruje Rys. 1.

Zakładamy, że spełnione są warunki ciągłości linii pola elektromagnetycznego na granicy ośrodków oraz że częstość drgań fali elektromagnetycznej jest stała. Wektory falowe leżą wtedy w jednej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną padania i mają postać

,

, 0,

,

cos , 0,

1

sin

1

, dla 1, 2.

j x j z j j j

k k k n n j

c c

ω ω

 

 

=    =  θ θ   =

^(3.1)

gdzie k jest liczbą falową k ωc

= fali elektromagnetycznej w próżni.

Zgodnie z prawem odbicia, kąt padania fali EM na granicę dwóch ośrodków jest równy kątowi odbicia θ₁= θ₁’ oraz spełnione jest prawo Snelliusa

, sin sin

_{1 2 2}

1

θ = n θ

n

(3.2)

Rys. 1: Odbicie i załamanie fali na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych.

3.2. Polaryzacja typu s i p

W zależności od rodzaju polaryzacji fali elektromagnetycznej rozkład wektorów pól oraz wektorów falowych fali EM przy przejściu przez granicę dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania zilustrowany jest na Rys.2 i Rys. 3. Dla polaryzacji typu s wektor pola elektrycznego E=[0, E_y, 0] jest prostopadły do płaszczyzny padania natomiast dla polaryzacji typu p wektor H=[0, H_y, 0] jest prostopadły do płaszczyzny padania.

Rys. 2: Polaryzacja typu „s”

Rys. 3: Polaryzacja typu „p”

gdzie E₁⁽⁺⁾ to amplituda fali padającej, E₁^(-) to amplituda fali odbitej, E₂^(-) amplituda fali załamanej, E₂⁽⁺⁾ to amplituda fali odbitej od drugiej powierzchni granicznej. Relacje między natężeniami fali padającej i odbitej oraz padającej i załamanej określają wzory Fresnela na amplitudowy współczynnik transmisji t₁₂ i odbicia r₁₂. Odpowiednio dla polaryzacji typu s przyjmują one postać

( )

( )

( ) ( )

(

^{,1 1}

) (

^{,2 2}

)

1

,1 1 ,2 2

1

/ /

. ,

/ /

x x

s

x x

k k

r E

k k

E

− +

µ − µ

 

=       = µ + µ

^(3.3)

( )

( )

( ) (

^,1

)

2

,1 1 ,2 2

1

2 /

. ,

/ /

x s

x x

E k

t E k k

− +

  µ

=       = µ + µ

^(3.4)

dla polaryzacji typu p ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 ,2 1 2 ,1 2

1 1 1 2

2 2

2 1 1 ,2 1 2 ,1 2

1 1

/ /

. ,

/ /

x x

p

x x

n k n k

H E k

r H E k n k n k

− −

+ +

µ − µ

    µ

=          =   µ  = µ + µ

^(3.5)

( ) ( )

( )

( )

( )

(

^{1 2}

) (

^{,1 1}

)

2 2 1 2

2 2

2 1 1 ,2 1 2 ,1 2

1 1

2 /

. .

/ /

x p

x x

n n k

H E k

t H E k n k n k

− +

+ +

    µ µ

=          =   µ  = µ + µ

^(3.6)

Za pomocą amplitudowych współczynników transmisji i odbicia możemy wyznaczyć transmitancję oraz reflektancję, które dla poszczególnych polaryzacji odpowiednio wynoszą

reflektancja

R

_s

= r

_s²

,

^(3.7)

2

,

p

p

r

R =

^(3.8)

oraz transmitancja

,

cos cos

₂

1 1

2 2

s

s

t

n T n

θ

= θ

_(3.9)

2 2 2

1 1

cos .

p

cos

p

T n t

n

= θ

θ

^(3.10)

3.3. Model wielowarstwowego ośrodka dielektrycznego

Rys. 4: Model wielowarstwowej struktury dielektrycznej umieszczonej pomiędzy jednorodnymi ośrodkami o współczynnikach załamania nin i nout.

Powyższy rysunek przedstawia budowę wielowarstwowego ośrodka dielektrycznego, niemagnetycznego µ_j=1 złożonego z j jednorodnych izotropowych warstw o współczynnikach załamania n_j i grubościach dj=xj-xj-1 rozłożonych wzdłuż osi X. Wskaźnik j kolejno numeruje ośrodki przy czym j=0 i j=J+1 oznaczają ośrodki zewnętrzne o współczynnikach załamania n_in i n_out.

Zakładamy, że na granicę ośrodków n_in i n₁ pod kątem θ_in pada płaska fala elektromagnetyczna o długości λ. Dla tak przyjętych założeń dla naszego modelu, do dalszych rozważań wygodnie nam będzie posłużyć się formalizmem macierzowym.

3.4. Formalizm macierzowy

Macierz przejścia przez rozpatrywany ośrodek (Rys.4) przedstawia relacje między amplitudami wektora natężenia pola elektrycznego fali świetlnej padającej E_in⁽⁺⁾, odbitej E_in^(-) i przechodzącej E_out⁽⁺⁾. Relacja ta ma następująca postać matematyczną:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

,

1

1 , 1

,





 

 Γ 

 =



 



 



 



= 

 

 





− +

− +

= +

−

+

∏

out out out

out J

j

j j j in

in in

E E E

D E P E D

E

(3.11)

gdzie Eout(-)=0. W dalszej części macierz Γ będziemy nazywać macierzą charakterystyczną.

3.4.1. Macierz charakterystyczna

Macierz charakterystyczna Γ opisuje przejście fali świetlnej z ośrodka zewnętrznego „in” do ośrodka „out” przez badaną strukturę.

Macierz Γ jest iloczynem wszystkich macierzy propagacji i transmisji dla kolejnych warstw które musi pokonać fala w drodze z „in” do

„out”

11 12

,1 , 1

21 22 1

.

J

in j j j

j

D P D

₊

=

Γ Γ  

 

Γ =   Γ Γ   =   ∏  

^(3.12)

3.4.2. Macierz propagacji

Macierz P_j zwana macierzą propagacji dla j-ej warstwy niezależnie od rodzaju polaryzacji ma postać diagonalną

0 2

, gdzie cos .

0

j

j

i

j i j j j j

P e d n

e

ϕ

− ϕ

  π

=       ϕ = λ θ

^(3.13)

3.4.3. Macierz transmisji

D_j,j+1 nazywana macierzą transmisji z warstwy j do warstwy j+1 ma postać

, 1 , 1

, 1 , 1

1 1

1 .

j j j j

j j j j

D r

t r

+ +

+ +

 

=  

 

^(3.14)

3.4.4. Amplitudowe współczynniki transmisji i odbicia

W macierzy (3.14) występują fresnelowskie amplitudowe współczynniki transmisji t_j,j+1 oraz odbicia r_j,j+1 ; są one równe

dla polaryzacji „s”

cos , cos

cos 2

2

1 1

1 , ,

,

+ +

+

= +

= +

j j

j j

j j

j x j x

j x

s

n n

n k

k t k

θ θ

θ

(3.15)

cos , cos

cos cos

1 1

1 1

1 , ,

1 , ,

+ +

+ +

+ +

+

= − +

= −

j j

j j

j j

j j

j x j x

j x j x

s

n n

n n

k k

k r k

θ θ

θ θ

(3.16)

dla polaryzacji „p”

cos , cos

cos 2

/ /

2

1 1

1 1

, 1 ,

,

j j

j j

j j

j j j x j

j j x

j x

p

n n

n n

n k n

n k t k

θ θ

θ

+ +

+ +

+

= +

= +

_(3.17)

, 1 1 , 1 1 1

, 1 1 , 1 1 1

/ / cos cos

/ / cos cos .

x j j j x j j j j j j j

p

x j j j x j j j j j j j

k n n k n n n n

r k n n k n n n n

+ + + + +

+ + + + +

− −

= =

+ +

θ θ

θ θ

^(3.18)

3.4.5. Transmitancja i reflektancja

Energetyczne współczynniki transmisji T i odbicia R możemy wyrazić za pomocą elementów macierzy charakterystycznej

transmitancja:

1 ,

cos

cos

²

Γ

11

θ

= θ

Γ

in in

out out

n

T n

_(3.19)

reflektancja:

2 21 11

. R

_Γ

= Γ

Γ

^(3.20)

Gdy n_in=n_out wyznacznik macierzy charakterystycznej jest równy jeden, czyli jest ona macierzą unimodularną a transmitancja wynosi

2

11

1 . T

_Γ

=

Γ

^(3.21)

3.5. Transmitancja w formalizmie śladów i antyśladów

W formalizmie śladów i antyśladów transmitancję wielowarstwowej struktury możemy wyrazić jako

2 2

4 .

T

_Γ

Γ Γ

= τ + σ

^(3.22)

Ostatni wzór jest prawdziwy przy założeniu, że macierz charakterystyczna ośrodka dielektrycznego jest macierzą unimodularną (det Γ = 1).

22

,

11

+ Γ Γ

Γ

=

τ

^(3.23)

antyśladem wielkość

22

,

11

− Γ Γ

Γ

=

σ

_(3.24)

antysymetrycznym antyśladem niediagonalnym

12

,

21

− Γ Γ

Γ

=

ς

^(3.25)

a symetrycznym antyśladem niediagonalnym sumę

η = Γ +Γ

_{Γ 21 12}

.

^(3.26)

Macierz charakterystyczną Γ dla niebinarnej wielowarstwowej struktury aperiodycznej umieszczonej między dwoma jednorodnymi ośrodkami typu A możemy zapisać jako

,

,

,A Aout

in

QD

= D

Γ

^(3.27)

gdzie macierz Q jest macierzą charakterystyczną opisującą propagację światła w takim ośrodku, która jest iloczynem wszystkich macierzy charakterystycznych budujących strukturę.

3.5.1. Supersieć umieszczona w jednorodnym ośrodku typu A

Transmitancja dla dowolnej struktury umieszczonej między jednorodnymi warstwami typu A w formalizmie śladów i antyśladów wyraża się jako

2 2

4 .

Q

Q Q

T T

τ σ

Γ

= =

+

^(3.28)

Ślady τ_Q i antyślad σ_Q dla kolejnych pokoleń otrzymujemy z nieliniowych dynamicznych odwzorowań powiązując ze sobą kolejne pokolenia śladów i antyśladów.

3.5.2. Supersieć umieszczona w dowolnym ośrodku jednorodnym

Transmitancja dla dowolnej struktury umieszczonej między jednorodnymi warstwami o współczynnikach załamania n_in≠n_out wyrażona jest jako

4 ,

2 2

W W

T

W

T

_Γ

= = τ + σ

_(3.29)

gdzie

.

det Γ

= Γ

W

_(3.30)

Macierz W jest macierzą unimodularną, gdzie

det cos ,

cos

out out

in in

n n Γ = θ

θ

^(3.31)

a ślad i antyślad przyjmują postać

( ) ( ) _,

det 1

, ,

, ,

, ,

Γ + +

= +

A out A in

Q out A A in Q out A A in

W

t t

r r

r

r τ η

τ

_(3.32)

( ) ( ) _.

det 1

, ,

, ,

, ,

Γ

ς

− +

τ

= − τ

A out A in

Q out A A in Q out A A in

W

t t

r r

r r

(3.33)

3.6. Odwzorowania dynamiczne śladów i antyśladów

Poniżej przytoczone są za pracą [55] dynamiczne nieliniowe odwzorowania śladów i antyśladów macierzy charakterystycznej dla badanej sieci.

3.6.1. Uogólniona supersieć typu Fibonacciego

Dla (L+1)-go pokolenia macierz charakterystyczną Q_L+1 zapisujemy jako

1 ^{M N}1

dla 1.

L L L

Q

₊

= Q Q

₋

L ≥

^(3.34)

Ślady i antyślady dla (L+1)-go pokolenia możemy przedstawić jako

[ ]

[ ^{( ) ( ) ( ) ( )} ] ^,

) ( )

( )

) ( (

) ( ) (

1 1 1

1 1 1

2 1 2

1 1

1 1

1 1

− +

−

−

− +

−

−

− +

−

− + + −

+

−

+

−

=

L N L M L

N L M

L N L

N L L M L

M

L N L M L

u u

u u

u u

u u u u

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ τ

τ τ τ

(3.35)

, ) ( ) ) (

( ) ) (

( ) (

) (

) ( ) ) (

( )

(

2 2 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

−

−

−

−

−

− +

−

−

−

− + + +

+ +

 

 



 −

=

L L N L N L M

L M L

L N L M

L L

M

L N L M L L N L M L

u u u

u u u

u u u u

u

σ τ τ τ

σ τ τ τ

τ σ τ τ τ

τ τ

σ

(3.36)

, ) ( ) ) (

( ) ) (

( ) (

) (

) ( ) ) (

( )

(

2 2 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

−

−

− −

−

− +

−

−

−

− + + +

+ +

 

 



 −

=

L L N L N L M

L M L

L N L M

L L

M

L N L M L

N L M L

u u u

u u u

u u u u

u

ς τ τ τ

ς τ τ τ

τ ς τ τ τ

τ ς

(3.37)

, ) ( ) ) (

( ) ) (

( ) (

) (

) ( ) ) (

( )

(

2 2 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

−

−

− −

−

− +

−

−

−

− + + +

+ +

 

 



 −

=

L L N L N L M

L M L

L N L M

L L

M

L N L M L

N L M L

u u u

u u u

u u u u

u

η τ τ τ

η τ τ τ

τ η τ τ τ

τ µ

(3.38)

gdzie

u

_j

(z )

jest zmodyfikowanym wielomianem Czebyszewa [54]

funkcji zmiennej zespolonej z:

 

 



>

−

=

=

=

−

−

( ) ( ), 1 ,

, 1 ,

1

, 0 ,

0 ) (

2

1

z u z z

zu

z z z

u

j j

j (3.39)

oraz

u

_−j

( z ) = − u

_j

( z )

, j jest liczbą całkowitą.

Znajomość śladów i antyśladów macierzy charakterystycznych dla trzech pierwszych pokoleń Q₀, Q₁ oraz Q₂ umożliwia wyznaczenie śladów i antyśladów dla kolejnych pokoleń.

Dla wielowarstwowej niebinarnej sieci umieszczonej między jednorodnymi ośrodkami typu A macierze charakterystyczne dwóch pierwszych pokoleń możemy przedstawić jako iloczyny macierzy charakterystycznych warstw budujących strukturę danego pokolenia np:

1

.

0

Q

B

Q

C

i Q Q

A

Q = =

^(3.39)

Jednak przy tak zaproponowanym podejściu do konstrukcji początkowych pokoleń, ich macierze charakterystyczne nie będą unimodularne, co wyklucza zastosowanie metody dynamicznych odwzorowań.

W tej pracy proponujemy rozwiązanie tego problemu polegające na zastosowaniu odpowiedniego ułożenia (kolejności) warstw, tak aby otrzymać unimodularną macierz charakterystyczną. Pokolenia początkowe (zerowe i pierwsze) wybieramy w postaci

. i

₁

0

Q

A

Q

C

Q Q

A

Q

B

Q = =

(3.40)

Wtedy macierz charakterystyczna całego układu przedstawia się jako

, gdzie

,

_{0 1}

,

,

QD Q Q Q

D

_{inA Aout}

=

=

Γ

^(3.41)

W pełnym zapisie macierzowym macierz Q₀ przedstawia się jako

1 . 1 1

0

0 1

1 1 0

0

0

 

 



 



 



 



 



 



 



= 

=

=

φ

− φ

φ

− φ

CA CA CA

i i

AC

AC AC

i i

CA C AC A

r r e t

e r

r e t

e

D P D P Q

C C

A A

(3.42)

Natomiast macierz Q₁ :

1 . 1 1

0

0 1

1 1 0

0

1

 

 



 



 



 



 



 



 



= 

=

=

φ

− φ

φ

− φ

BA BA BA

i i

AB AB AB

i i

BA B AB A

r r e t

e r

r e t

e

D P D P Q

B B

A A

(3.43)

Odpowiednio ślady i antyślady dla trzech pierwszych pokoleń mają postaci

2 0

2 cos(

_{A C}

)

_AC

cos(

_{A C}

) ,

AC CA

t t  r 

τ =  φ + φ − φ − φ 

^(3.44)

2 1

2 cos(

_{A B}

)

_AB

cos(

_{A B}

) ,

AB BA

t t  r 

τ =  φ + φ − φ − φ 

^(3.45)

2

2 [ cos(2 )

cos(2 )

cos(2 ) cos(2 )

( )·cos( )

( )·cos( )],

AB BC AC CA A B C

AB BA AC CA

AB BA A B C

AC CA A B C A B C

AB AC BA CA B C

AB CA BA AC B C

r r r r t t t t

r r r r

r r r r r r r r

τ = φ − φ − φ

+ φ − φ + φ

+ φ + φ − φ + φ + φ + φ

+ + φ − φ

+ + φ + φ

(3.46)

2 0

2 sin(

_{A C}

)

_AC

sin(

_{A C}

) ,

AC CA

i r

t t  

σ =  φ + φ − φ − φ 

^(3.47)

2 1

2 sin(

_{A B}

)

_AB

sin(

_{A B}

) ,

AB BA

i r

t t  

σ =  φ + φ − φ − φ 

^(3.48)

2

2 [ sin(2 )

sin(2 )

sin(2 ) sin(2 )

( ) sin( )

( ) sin( )],

AB BC AC CA A B C

AB BA AC CA

AB BA A B C

AC CA A B C A B C

AB AC BA CA B C

AB CA BA AC B C

i r r r r t t t t

r r r r

r r r r r r r r

σ = φ − φ − φ

+ φ − φ + φ

+ φ + φ − φ + φ + φ + φ

+ + φ − φ

+ + φ + φ

(3.49)

0

4

^AC

sin(

_C

) cos(

_A

),

AC CA

i r

ς = t t φ φ

(3.50)

1

4

^AB

sin(

_B

) cos(

_A

),

AB BA

i r

ς = t t φ φ

(3.51)

2

2 [- sin(2 - - )

- sin(2 - + ) - sin(2 + - ) - sin(2 + + ) + ( - )·sin( + ) - ( - )·sin( - )],

AB BA AC A B C

AB BA AC CA

AB BA CA A B C AC A B C

CA A B C AB BA AC CA B C

AB AC CA BA B C

i r r r

t t t t

r r r r

r r r r r

r r r r

ς = φ φ φ

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

φ φ

(3.52)

0

4

^AC

sin(

_A

) sin(

_C

),

AC CA

r

η = t t φ φ

(3.53)

1

4

^AB

sin(

_A

) sin(

_B

),

AB BA

r

η = t t φ φ

(3.54)

2

2 [ cos(2 )

cos(2 ) cos(2 )

+ cos(2 ) ( + )cos( )

+ ( + )cos( )],

AB BA AC A B C

AB BA AC CA

AB BA CA A B C AC A B C

CA A B C AB AC CA BA B C

AB BA AC CA B C

r r r t t t t

r r r r

r r r r r

r r r r

η = φ − φ − φ

+ φ − φ + φ + φ + φ + φ

φ + φ + φ + φ − φ

φ + φ

(3.55)

Jednym z głównych celów pracy było zaprogramowanie funkcjonalnego środowiska obliczeniowego, za pomocą języka obiektowego, umożliwiającego szczegółową analizę właściwości transmisyjnych analizowanych supersieci optycznych.

Do realizacji tego celu wykorzystane zostało środowisko programistyczne „Delphi” dla platformy Microsoft Windows.

Stworzony program wykorzystuje techniki programowania obiektowego, co pozwoli w przyszłości na jego łatwą rozbudowę oraz daje możliwość użycia kodu do wyznaczania transmitancji dla innego typu supersieci. Wspomnianą elastyczność daje nam metoda bazująca na wyznaczeniu macierzy charakterystycznej przez wymnażanie kolejnych jej elementów składowych.

W tym miejscu warto podkreślić, że jest to nowa właściwość środowiska pozwalająca analizować dowolne supersieci, a nie tylko z unimodularnymi macierzami charakterystycznymi.

Program był podstawowym narzędziem do wyliczenia i wyznaczenia map transmisji badanych supersieci.

4.1. Algorytmy obliczeń transmitancji

Aplikacja bazuje na algorytmach wykorzystujących do obliczeń:

• Bezpośrednie mnożenie zespolonych macierzy charakterystycznych poszczególnych warstw (patrz wzór (3.12)) tworzących dany układ, co pozwala wyznaczyć transmitancję.

• Metodę dynamicznych odwzorowań śladów i antyśladów do wyznaczenia transmitancji (patrz wzory 3.35-3.38). Warunkiem zainicjowania obliczeń jest unimodularność macierzy charakterystycznych oraz znajomość wartości śladów i antyśladów dla trzech pierwszych pokoleń.

Metoda bezpośredniego wymnażania macierzy

Wprowadzenie danych

Typ badanej sieci

Ilość warstw

Parametry sieci

Parametry warstw Rodzaj polaryzacji „s” , „p”

L, M, N

współczynnik załamania grubość warstwy

Przyjęcie rozkładu warstw dla dwóch pierwszych pokoleń

Długość fali padającej Kąt padania

Obliczenie kątów załamania i padania między kolejnymi warstwami (przekształcony wzór 3.2)

Wyznaczenie kolejności rozkładu warstw dla żądanego pokolenia (wzór 2.3)

Obliczenie grubości fazowej dla każdego rodzaju warstwy (3.13)

Wyznaczenie amplitudowych współczynników transmisji i odbicia między poszczególnymi warstwami

(wzory 3.15 - 3.18 dla wybranej polaryzacji)

Wymnożenie wszystkich macierzy propagacji i transmisji zgodnie kolejnością rozłożenia warstw (wzór 3.12)

Wynikiem ostatecznym wymnażania jest macierz charakterystyczna układu

Wprowadzenie danych Typ badanej sieci

Ilość warstw

Parametry sieci

Parametry warstw Rodzaj polaryzacji „s” , „p”

L, M, N

współczynnik załamania grubość warstwy

Zdefiniowanie rozkładu warstw dla początkowych pokoleń

Długość fali padającej Kąt padania

Obliczenie kolejnych kątów załamania i padania między danymi warstwami (przekształcony wzór 3.2)

Wyznaczenie macierzy charakterystycznych dla trzech pierwszych pokoleń

Obliczenie grubości fazowej dla każdego rodzaju warstwy (3.13)

Wyznaczenie amplitudowych współczynników transmisji i odbicia między poszczególnymi warstwami

(wzory (3.15-3.18) dla wybranej polaryzacji)

Wyliczenie śladów i antyśladów macierzy charakterystycznej dla trzech pierwszych pokoleń Obliczenie śladu i antyśladu dla kolejnego pokolenia

za pomocą dynamicznego odwzorowania. Operacje powtarzamy do czasu otrzymania zadanego

pokolenia (wzory 3.35-3.38) Wyznaczenie rozkładu warstw dla

trzeciego pokolenia

Mapę transmisji uzyskujemy przez wyznaczenie kolejnych wartości transmitancji dla określonych przedziałów, w których zmienia się kąt padania i długość fali padającej. Stałą wartości o jaką będą zmieniały się te parametry nazywać będziemy krokiem zmiany kąta padania

Y ,

MIN MAX

− θ

= θ θ

∆

_(3.39)

oraz krokiem zmiany długości fali

Y ,

MIN MAX

− λ

= λ λ

∆

_(3.39)

gdzie Y – rozdzielczość mapy w pikselach.

W wyniku przeprowadzonych operacji otrzymujemy zbiór punktów reprezentujący rozkład transmitancji dla zdefiniowanych wcześniej przedziałów kąta padania i długości fali padającej.

Otrzymana ilość punktów zależy od wybranej rozdzielczości i jest liczbą rzędu kilkunastu tysięcy punktów (przy minimalnej dostępnej rozdzielczości 400x400 pikseli daje to liczbę 160000 punktów).

Względy techniczne nakładają istotne ograniczenie związane z trudnościami przedstawienia na wykresach takiej dużej liczby uzyskanych rezultatów przy użyciu ogólnodostępnych narzędzi.

Głównym mankamentem jest tutaj czas potrzebny do przetworzenia wszystkich punktów na postać graficzną i jest on znacznie dłuższy, od czasu działania całego algorytmu wyznaczającego wartości transmitancji. Wygodnie więc nam będzie otrzymane punkty przetworzyć na postać mapy bitowej, gdzie o położeniu piksela decyduje długość fali (oś X) i kąt padania (oś Y), dla jakich została wyznaczona transmitancja, a jej wartość liczbowa zamieniona zostaje na odpowiedni kolor z palety odcieni szarości.

wykonywalnego supersieci.exe. Na ekranie otrzymujemy okno główne (Rys. 5) stanowiące obszar roboczy naszej aplikacji.

Rys. 5 Okno GŁÓWNE

Przystępując do obliczeń musimy zdecydować z jakim rodzajem sieci będziemy pracować oraz jaką długość fali i kąta chcemy uzyskać na wykresach przekrojowych. Dodatkowo możemy także ustawić współczynniki załamania N WEJŚCIOWE, oraz N WYJŚĆIOWE, które definiują środowisko otaczające naszą strukturę. Czynności te przeprowadzamy w oknie STRUKTURA (Rys. 6) przez wypełnienie odpowiednich pól i naciśnięcie klawisza.

Kolejnym krokiem w zależności od wybranego rodzaju sieci jest wypełnienie i wybranie odpowiednich pól z okna PARAMETRY (patrz schemat po lewej stronie poniżej):

1. Pole pozwala nam na wybranie ilości warstw, z których zbudowana jest sieć.

2. Wybór polaryzacji.

3. Pola pozwalają na zadeklarowanie ułożenia warstw dla dwóch pierwszych pokoleń; do wykorzystania mamy tyle rodzajów warstw ile wybraliśmy w polu pierwszym. Wypełnienie pól jest konieczne dla otrzymania poprawnych rezultatów.

4. Pola reprezentują parametry charakterystyczne dla sieci Fibonacciego.

5. Pola definiują współczynniki załamania oraz grubości dla kolejnych warstw.

W oknie widzimy również dwa przyciski OBLICZ oraz USTAWIENIA. Wciśnięcie przycisku OBLICZ rozpocznie procedurę obliczeniową dla podanych parametrów. Rezultat przedstawiony zostanie w oknie WYKRESÓW oraz oknie ROZKŁAD POKOLEŃ. Wybranie przycisku USTAWIENIA

uruchomi dodatkowe okno pozwalające na przeprowadzenie serii obliczeń dla krokowo zmieniającego się jednego z parametrów.

W rezultacie otrzymujemy serię map bitowych, które możemy przekształcić w animację wykorzystując do tego inny specjalistyczny

Rys. 7a Okno umożliwiające prowadzenie danych

Rys. 7b Okno umożliwiające wykonanie serii obliczeń

Jeśli określone zostały wartości wyżej wymienionych parametrów (Rys. 7a), to program umożliwia wygenerowanie serii map (ich liczbę zadaje LICZBA KLATEK) przy zmieniających się wartościach współczynnika załamania lub grubości warstwy (wyboru dokonujemy w polu pt. WYBIERZ ZMIENNĄ), podając zakresy zmienności (pola ZAKRES ZMIENNOŚCI), wskazując następnie warstwę (wyboru dokonujemy w polu WYBIERZ WARSTWĘ), której współczynnik załamania lub grubość jest zmieniana.

Przycisk PRZEGLĄDAJ umożliwia wskazanie przez użytkownika lokalizacji na dysku lub innym nośniku, gdzie mają być zapisane rezultaty operacji.

Okna WYKRESÓW oraz ROZKŁADU POKOLEŃ prezentują wyniki przeprowadzonych obliczeń numerycznych.

W oknie ROZKŁAD POKOLEŃ (Rys. 8) przedstawione jest ułożenie warstw dla kolejnych pokoleń.

W oknie WYKRESY (Rys. 9a-c) prezentowane są, rezultaty w postaci graficznej. W oknie tym mamy do dyspozycji trzy zakładki, które kolejno przedstawiają:

• transmitancję (Rys. 9a) w zależności od długości fali i kąta padania

Rys. 9a Mapa transmisji światła spolaryzowanego

• zależność transmitancji od długości fali dla ustalonego kąta padania

Rys. 9b Wykres transmitancji jako funkcji długości fali dla ustalonego

• zależność transmitancji od kąta padania dla ustalonej długości fali

Rys. 9c Wykres transmitancji jako funkcji kąta padania dla ustalonej wartości długości fali

Otrzymane wykresy oraz mapę transmisji możemy zapisać w postaci plików przez kliknięcie prawego przycisku myszki na danej zakładce (Rys. 10) i wybranie z menu kontekstowego opcji ZAPISZ, która uruchamia okno dialogowe pozwalające na wybranie miejsca docelowego, gdzie ma zostać plik zapisany oraz nadanie mu nazwy.

Rys. 10 Menu kontekstowe.

Oprogramowanie pozwala nam również na zmianę zakresu w jakim zmienia się kąt padania oraz długość fali. Mamy również możliwość wybrania rozdzielczości w jakiej generowany jest mapa, co przekłada się na zwiększenie ilości wykonywanych obliczeń a zarazem na dokładność i jakość otrzymanych map transmisji. Ustawień tych możemy dokonać wybierając z menu głównego OPCJE, a następnie USTAWIENIA. Pojawia nam się okno OPCJE PROGRAMU (Rys 11), gdzie w widocznych polach możemy dokonywać zmian.

Rys. 11 Okno ustawień zakresów długości fali i zmiany kąta oraz rozdzielczości mapy transmisji

5. Wyniki obliczeń numerycznych

Obliczenia numeryczne zostały przeprowadzone w sposób pozwalający określić podstawowe tendencje zmiany transmitancji przez zmianę poszczególnych parametrów modelu:

1. Długości fali λ. Obliczeń dokonano dla zakresu 300nm<λ<700nm.

2. Kąta padania, zmieniającego się w przedziale

θ ∈ [ π 0 , / 2 ]

^.

3. Typów polaryzacji.

4. Ilości pokoleń L.

5. Dla różnych parametrów konkatenacji M i N.

6. Współczynników załamania warstw:

n

^A

, n

^B

, n

^C

∈ [ 1 , 0 ; 3 , 0 ].

7. Grubości warstw

d

^A

, d

^B

, d

^C

∈ [ 250 , 0 ; 1000 , 0 ] nm .

8. Różnego składu początkowych pokoleń L0 i L1.

Wszystkie wyniki obliczeń numerycznych transmitancji przedstawione zostały jako mapy transmisji za pomocą palety szarości (Rys. 12), gdzie kolor biały oznacza transmitancję równą 1, czarny równą 0. Rozdzielczość dla wszystkich przedstawionych map transmisji wynosi 600x600 pikseli.

Rys. 12 Skala szarości reprezentująca wartość transmitancji

Rysunki 14-23 przedstawiają transmitancję T(λ, θ) światła o polaryzacji „s” (lewa kolumna) i polaryzacji „p” (prawa kolumna) zależną od długości fali padającej oraz kąta padania.

W przedstawionych mapach dla polaryzacji typu „p” bardzo dobrze widoczne są maksima transmitancji, które niezależnie od długości fali padającej odpowiadają kątowi Brewstera θ≈1 rad.

Wpływ grubości warstw i liczby pokoleń oraz wartości parametrów