Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii

(1)

Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii

Katedra Optoelektroniki i Systemów

Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska

Gdańsk 2006

Ćwiczenie 2. Dyfrakcja światła w polu bliskim

i dalekim

(2)

Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Strona | 2 Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem dyfrakcji światła w polu bliskim i dalekim oraz obserwacja obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim typowych obiektów uginających światło i ich identyfikacja jako ciągłej, optycznej transformaty Fouriera.

2. Dyfrakcja światła

MoŜna sformułować 3 równowaŜne definicje dyfrakcji:

1) Dyfrakcja światła to zjawisko omijania przez światło dostatecznie małych przedmiotów, czyli odstępstwa od praw optyki geometrycznej.

2) Dyfrakcja światła to kaŜde odstępstwo od prostoliniowego biegu promienia świetlnego, które nie daje się wytłumaczyć odbiciem i załamaniem.

3) Zespół zjawisk związanych z falową naturą światła ujawniającą się podczas rozchodzenia się fali świetlnej w ośrodku zawierającym silne niejednorodności (np. otwory, ciała nieprzezroczyste, itp.)

Obrazem dyfrakcyjnym nazywamy rozkład intensywności światła na ekranie umieszczonym w pewnej odległości od obiektu uginającego światło w kierunku poprzecznym do kierunku rozchodzenia się wiązki światła.

W zaleŜności od odległości ekranu od obiektu uginającego światło obserwowany obraz dyfrakcyjny zmienia się. TuŜ za obiektem uginającym, obraz dyfrakcyjny jest cieniem obiektu. Obraz dyfrakcyjny zmienia się zaleŜnie od odległości ekranu od obiektu. W miarę oddalania się od obiektu brzegi pierwotnego obrazu dyfrakcyjnego, który był cieniem obiektu, zaczynają powoli tracić ostrość a światło zaczyna wnikać w obszar cienia i cień zaczyna wnikać coraz głębiej w obszar światła tworząc prąŜki dyfrakcyjne po obu stronach brzegów.

Najogólniejsze matematyczne ujęcie zagadnienia dyfrakcji przedstawił Kirchoff.

RozwaŜał on zjawisko ugięcia monochromatycznej fali świetlnej na otworze w płaskim, nieograniczonym i nieprzezroczystym ekranie. Fala świetlna pada na ekran z lewej strony. Wtedy zespolona amplituda pola falowego w punkcie obserwacji P połoŜonym z prawej strony ekranu dana jest całką:

(3)

( ) ( ) ( ) ( )

Q

S

K dS

n Q Q u

P G Q P nG Q u P

u

Q

∫∫

_^^ _∂^∂ ⁻ ^_^^∂_∂ ^_^^^_

= , ,

4 ) 1

( π ⁽¹⁾

Całkowanie rozciąga się po powierzchni otworu uginającego światło. Funkcja u(Q) opisuje rozkład zespolonej amplitudy pola falowego w otworze, natomiast funkcja G(P,Q) jest tzw. polem skanującym.

Wzór dyfrakcyjny (1) nazywa się całką Kirchoffa, a został uzyskany jako rozwiązanie równania falowego Helmholtza przy załoŜeniu spełnienia następujących warunków zwanych warunkami brzegowymi Kirchoffa:

a) Amplitudy zespolone i ich pochodne normalne w punktach Q otworu przyjmują wartości niezaburzone, tj. są takie, jak gdyby przesłona w Ŝaden sposób nie zakłócała fali padającej.

b) Pole falowe u oraz jego pochodna są toŜsamościowo równe zeru na nieoświetlonej stronie ekranu (bezpośrednio za ekranem).

c) Pole falowe spełnia w nieskończoności tzw. warunek wypromieniowania Sommerfelda:

0

lim =



 



 −

∂

∞

→ iku

n R u

R (2)

2.1 Dyfrakcja w sformułowaniu Rayleigha-Sommerfelda.

Sprzeczności matematyczne wynikające z jednoczesnego nałoŜenia warunków brzegowych na amplitudę zespoloną u(Q) i jej pochodną ∂u ∂n moŜna usunąć przez odpowiedni wybór funkcji G we wzorze (1).

RozwaŜa się dwa przypadki:

a) Funkcja G zanika na ekranie.

b) Pochodna normalne funkcji G przyjmuje wartości równe zeru na ekranie, ∂u ∂n=0.

Funkcja G spełniająca warunek (a) lub (b) nosi nazwę funkcji Greena odpowiednio zagadnienia typu Dirichleta i zagadnienia typu Neumanna. Odpowiednie wzory dyfrakcyjne będą miały następującą postać:

( )

⁼

∫∫ ( )

^∂ _∂

( )

SQ

Q

D dS

n Q P Q G

u P

u ,

4 1

π ⁽³⁾

( )

⁼

∫∫ ( ) ( )

^∂_∂

SQ

Q

N dS

n Q Q u P G P

u ,

4 1

π ⁽⁴⁾

(4)

gdzie GD(P,Q) i GN(P,Q) to funkcje Greena dla warunków brzegowych Dirichleta oraz Neumanna.

Wzory (3) i (4) nazywane są wzorami całkowymi Rayleigha-Sommerfelda.

2.2 Dyfrakcja w obszarze Fresnela i Fraunhofera

Wzór dyfrakcyjny Fresnela otrzymuje się dla zagadnienia typu Dirichleta przy załoŜeniu, Ŝe odległość płaszczyzny obserwacji od obiektu jest duŜo większa niŜ długość fali świetlnej oraz gdy moŜna zastosować tzw. przybliŜenie przyosiowe (gdy odległości punktów obserwacji od osi z są duŜo mniejsze niŜ odległość ekranu od obserwowanego obiektu.

( ) ( )

^+∞

∫ ∫ ( ) [ ( ) ( ) ]

∞

− 



 − + −

= ₁ ₁ ₁ ₂ ² ₁ ₂ ² ₁ ₁

2

2 exp , exp 2

, x x y y dx dy

z y ik

x z u

i y ikz x

u λ ⁽⁵⁾

śeby wzór ten moŜna było stosować musi być spełniony warunek:

( ) ( )

[

¹ ² ² ¹ ² ²

]

²^max

3

4 x x y y

z >> − + −

λ

π (6)

Dalsze uproszczenie wzoru dyfrakcyjnego Rayleigha-Sommerfelda moŜna uzyskać przez załoŜenie, Ŝe płaszczyzna obserwacji połoŜona jest w tak duŜej odległości od obiektu, Ŝe spełniony jest warunek:

( )

max

2 1 2

2 1

1k x y

z >> + (7)

Wzór dyfrakcyjny przyjmuje wtedy postać:

(

² ²

) ( ) (

²² ²²

) ⁽

¹^, ¹

⁾

^exp ²

⁽

¹ ² ¹ ²

⁾

¹ ¹

exp 2

, exp x x y y dx dy

z y i

x u y

z x ik z

i y ikz x

u ^+∞

∫ ∫

∞

− 



+

 −

 

 +

= λ

π

λ ⁽⁸⁾

Dyfrakcję Fraunhofera obserwuje się w odległościach bardzo duŜych. Na przykład, jeśli załoŜymy, Ŝe maksymalny graniczny błąd fazy ma wynosić π/10, to dla otworu kołowego o promieniu 1mm i światła o λ = 630 nm minimalna odległość, w której moŜna obserwować dyfrakcję Fraunhofera wynosi 16m.

Dla otworu o promieniu 1cm wzrasta 100-krotnie do wartości 1,6 km.

Na rys. 1 mamy przykłady obrazu dyfrakcyjnego Fresnela dla światła ugiętego na pojedynczej krawędzi Ŝyletki oraz na obu krawędziach szpilki. Wyraźnie widoczne są prąŜki dyfrakcyjne zachodzące na obszar cienia i obszar światła.

(5)

(a)

(b)

Rys. 1. Obraz dyfrakcyjny w polu bliskim dla:

a) pojedynczej krawędzi Ŝyletki b) szpilki.

W wypadku dyfrakcji w polu dalekim, obraz dyfrakcyjny dla względnie prostych funkcji opisujących obiekt, którym najczęściej jest apertura, moŜna opisać wzorem matematycznym.

I tak obraz dyfrakcyjny apertury kołowej o średnicy D opisuje wzór

( )

2

1

0

2 ,











 



 





=

d D

d J D I y x I

λρ π λ

ρ π

(1)

(6)

gdzie: ^ρ ⁼

(

^x² ⁺^y²

)

¹²^, ^Iⁱ

d I D

2 2

0 4 







= λ π

I₀ jest maksymalnym natęŜeniem funkcji Bessela pierwszego rzędu J₁, d jest odległością ekranu od apertury, I_i natęŜeniem płaskiej fali padającej na obiekt. Obraz dyfrakcyjny Fraunhofera dla apertury kołowej ilustruje rys. 2.

Rys. 2. Obraz dyfrakcyjny w polu dalekim apertury kołowej.

Centralny krąŜek obrazu z rys.2. nazywa się krąŜkiem Airy’ego, jego promień równy jest:

D d

S

ρ =¹^,²²λ (2)

A kąt 0, pod którym widać pierwsze zero funkcji obrazu dyfrakcji wynosi:

D

θ =¹^,²²λ (3)

Warto zauwaŜyć, Ŝe w centralnym krąŜku skoncentrowane jest 84% całego światła lasera. Pozostałe światło rozkłada się na kolejne pierścienie dyfrakcyjne.

Kolejnym przykładem jest obraz dyfrakcyjny Fraunhofera apertury prostokątnej, rys. 3, opisany wzorem:

( )

d

y c D d

x c D I y x

I ^x ^y

λ λ

2 2

0sin sin

, = (4)

(7)

gdzie ^x ^y I_i

d D I D

2

0 







=

λ jest maksymalną wartością funkcji ^sin^c

( )

^x =^sin

( ) ( )

π^x π^x , D i _x D_y są odpowiednio długościami boków prostokąta w kierunku x i y. Pierwsze zero obrazu dyfrakcyjnego występuje dla:

Dx

x₌_±λd i

Dy

y ₌_±λd

(5)

Rys. 3. Obraz dyfrakcji w polu dalekim dla apertury prostokątnej.

Dla Dy < Dx obraz dyfrakcyjny jest szerszy w kierunku y a węŜszy w kierunku x.

Obraz dyfrakcyjny pojedynczych apertur (przebiegi jednorazowe funkcji) opisany jest funkcją ciągłą, zatem natęŜenie obrazu dyfrakcyjnego równieŜ zmienia się w sposób ciągły w funkcji x i y. Mówimy, Ŝe obraz dyfrakcyjny w polu dalekim pojedynczej apertury opisuje ciągła transformata Fouriera funkcji apertury.

NaleŜy zwrócić uwagę na niezwykłą wraŜliwość obrazu dyfrakcyjnego na błędy fazy w płaszczyźnie apertury uginającej światło. JeŜeli fala oświetlająca aperturę nie jest dokładnie falą płaską to, na przykład, obserwowany obraz dyfrakcyjny moŜe być zupełnie niepodobny do tego z rys. 2. dla apertury kołowej.

(8)

Warunkiem koniecznym uzyskania prawidłowych obrazów dyfrakcyjnych jest, aby fala oświetlająca aperturę uginającą była falą płaską.

3. Zadania do wykonania

3.1. Elementy potrzebne do wykonani ćwiczenia

• szpilka, 2 Ŝyletki,

• soczewka fF = 500 mm, filtr przestrzenny, soczewki kolimujące fk = 108 mm oraz fk = 170 mm,

• przeźrocza nr 1, 2, 3, 15, 16, 17, 18.

3.2. Obserwacja dyfrakcji Fresnela

1. W układzie optycznym z rys. 4. zaobserwować i porównać obrazy dyfrakcyjne w polu bliskim w kilku odległościach od obiektu dla:

• Ŝyletki,

• szpilki,

• szczeliny, przeźrocza nr 15.

Rys. 4. Układ optyczny do badania dyfrakcji Fresnela.

2. W układzie optycznym z rys. 5 zaobserwować i porównać obrazy dyfrakcyjne w polu dalekim dla:

• Ŝyletki,

• szpilki.

• szczeliny, przeźrocze nr 15,

• dwóch Ŝyletek tworzących szczelinę o ustawianej szerokości.

(9)

Rys. 5. Układ optyczny do badania dyfrakcji Fraunhofera.

Poprzez rozsuwanie Ŝyletek, zaobserwować wpływ szerokości szczeliny na obraz dyfrakcyjny.

3.3. Obserwacja wpływu średnicy soczewki kolimującej na obraz dyfrakcyjny w polu dalekim.

• w układzie optycznym z rys. 5. jako soczewki kolimującej uŜyć a) soczewkę o średnicy D_k =130 mm, f_k = 170 mm,

b) soczewkę o średnicy D_k = 20 mm, f_k =108 mm.

Zaobserwować obraz dyfrakcyjny w polu dalekim szpilki przy jednej i przy drugiej soczewce.

Wyjaśnić przyczynę róŜnic występujących w obu obrazach dyfrakcyjnych.

3.4. Obserwacja dyfrakcji Fraunhofera.

W układzie optycznym z rys. 5. wykorzystać soczewkę kolimującą o średnicy 130 mm.

Obserwować obrazy dyfrakcyjne następujących obiektów:

• apertura kwadratowa, przeźrocza nr 2 i 16,

• apertura kołowa, przeźrocza nr 3, 17, 18,

• szczelina, przeźrocze nr 15 poprzez zasłonięcie części szczeliny utworzyć prostokąt.

• wycięcie w kształcie V, przesłona za pomocą drugiej przesłony tworzyć róŜne figury geometryczne i obserwować obraz dyfrakcyjny.

(10)

• apertura 8 otworów kołowych na obwodzie koła, przeźrocze nr 1.

Obserwować obraz dyfrakcyjny i opisać go, gdy zasłoni się wszystkie otwory oprócz

• jednego,

• dwóch,

• trzech, itd.

Wyjaśnić przyczynę zmian zachodzących w obrazie dyfrakcyjnym po zasłonięciu kolejnych otworów.

Uwaga ! Dla dobrej widoczności obrazu dyfrakcyjnego w polu dalekim naleŜy wykorzystać dodatkową soczewkę do powiększenia transformaty Fouriera i jej projekcji na ekran umieszczony na ścianie.

Oznaczenia elementów optycznych na rysunkach: FP – filtr przestrzenny, Sk – soczewka kolimująca,

E – ekran,

O – obiekt (przeźrocze),

SF – soczewka realizująca transformatę Fouriera, So – soczewka realizująca obraz obiektu,

Sp – soczewka powiększająca obserwowany obraz.