Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii

(1)

Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii

Katedra Optoelektroniki i Systemów

Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska

Gdańsk 2006

Ćwiczenie 4. Badanie optycznej transformaty

Fouriera

(2)

Laboratorium optycznego przetwarzania informacji i holografii Strona | 2 Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdańska

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami optycznej transformaty Fouriera, sprawdzenie twierdzeń dotyczących przekształcenia Fouriera a zwłaszcza twierdzenia o próbkowaniu funkcji dwuwymiarowej.

2. Optyczna transformata Fouriera

Optyczną transformatę Fouriera realizuje soczewka SF w układzie optycznym z rys. 1.

Rys. 1. Realizacja optycznej transformaty Fouriera. Obiekt przed soczewką SF.

Aby w płaszczyźnie tylnej ogniskowej powstała optyczna transformata Fouriera muszą być spełnione następujące warunki:

• obiekt musi być oświetlony monochromatyczną falą płaską,

• obiekt musi być umieszczony w przedniej płaszczyźnie ogniskowej soczewki S_Frealizującej transformatę Fouriera,

• ekran, na którym obserwujemy transformatę musi być umieszczony w tylnej płaszczyźnie ogniskowej soczewki SF.

Przy spełnieniu powyŜszych warunków mamy pewność, Ŝe obraz dyfrakcyjny obiektu obserwowany na ekranie w układzie z rys. 1. jest kwadratem optycznej transformaty Fouriera, uśrednionym w czasie.

(3)

Konfiguracja układu optycznego z rys. 1 nie jest jedyną konfiguracją, w której w płaszczyźnie tylnej ogniskowej soczewki SF otrzymujemy transformatę Fouriera obiektu. Optyczna transformata Fouriera powstanie w płaszczyźnie tylnej ogniskowej soczewki SF równieŜ wtedy, gdy obiekt umieścimy za soczewką S_F, jak na rys. 2.

Rys. 2. Realizacja optycznej transformaty Fouriera. Obiekt za soczewką SF.

RóŜnica między optyczną transformatą Fouriera obiektu uzyskaną w układzie za soczewką (rys. 2) a w układzie przed soczewką (rys. 1) polega tylko na zmianie skali transformaty.

Częstotliwości przestrzenne w płaszczyźnie transformaty w układzie przed soczewką rys. 1, określone są następująco:

F

x f

x ν = λ ,

F

y f

y

ν = λ (1)

Natomiast dla układu za soczewką rys. 2, mamy

d1

x

x λ

ν = ,

d1

y

y λ

ν = (2)

gdzie x i y są współrzędnymi częstotliwości w płaszczyźnie transformaty.

Tak więc układ optyczny z rys. 2 jest układem realizującym transformatę Fouriera o zmiennej skali transformaty. Zmianę skali uzyskuje się poprzez zmianę odległości d₁.

W układzie optycznym realizującym transformatę Fouriera łatwo sprawdzić twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera, takie jak twierdzenie o przesunięciu funkcji, sumie funkcji,

(4)

iloczynie funkcji, itd. Na szczególną uwagę zasługuje twierdzenie o próbkowaniu funkcji, gdyŜ ma ono znaczenie podczas zamiany funkcji analogowej na postać cyfrową tej funkcji.

Twierdzenie o próbkowaniu funkcji analogowej o ograniczonym widmie mówi, Ŝe moŜliwe jest dokładne odtworzenie funkcji z jej próbek pod warunkiem, Ŝe częstotliwość próbkowania jest nie mniejsza niŜ dwukrotna najwyŜsza częstotliwość zawarta w widmie częstotliwościowym funkcji próbkowanej. PoniewaŜ podczas procesu próbkowania funkcji następuje powielenie widma funkcji na osi częstotliwości, to spełnienie warunku częstości próbkowania zapewnia nie nakładanie się na siebie poszczególnych widm składowych. JeŜeli widma funkcji nie nakładają się na siebie, to łatwo jest ze wszystkich widm wydzielić pojedyncze widmo funkcji i na tej podstawie odtworzyć dokładnie funkcję próbkowaną.

Twierdzenie o próbkowaniu funkcji łatwo sprawdzić w optycznym układzie realizującym transformatę Fouriera. PoniewaŜ optyczna transformata Fouriera jest dwuwymiarowa więc funkcję – czyli nasz obiekt, moŜemy próbkować w jednym kierunku osi współrzędnych, np. za pomocą przeźrocza układu równoległych linii, lub teŜ w obu kierunkach osi współrzędnych za pomocą układu skrzyŜowanych siatek. Odtworzenie oryginalnej funkcji obiektu będzie polegało na zablokowaniu wszystkich powielonych widm obiektu w płaszczyźnie transformaty Fouriera i przepuszczeniu tylko pojedynczego widma obiektu, inaczej będziemy obserwowali na ekranie nie funkcję obiektu lecz próbki funkcji obiektu.

Optyczny układ realizujący transformatę Fouriera daje znacznie większe moŜliwości eksperymentowania niŜ układy elektroniczne. MoŜemy stwierdzić, Ŝe wszystkie twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera są odwracalne, w tym równieŜ twierdzenie o próbkowaniu funkcji. Skoro podczas próbkowania funkcji następuje powielenie jej widma, to powinno być słuszne twierdzenie odwrotne, Ŝe przy próbkowaniu widma funkcji następuje powielenie funkcji. W laboratorium będzie moŜna przekonać się doświadczalnie o słuszności tego rozumowania.

3. Zadania do wykonania

3.1. Elementy potrzebne do wykonania ćwiczenia.

• przeźrocza nr 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 26.

(5)

3.2. Optyczna transformata Fouriera

W układzie optycznym z rys. 3 zaobserwować i naszkicować transformaty Fouriera następujących funkcji:

• Apertury kwadratowej przeźrocze nr 2,

• Apertury kołowej przeźrocze nr 3,

• Szczeliny przeźrocze nr 15,

• Siatki równoległych linii przeźrocze nr 5,

• Siatki kwadratowej przeźrocze nr 11,

• Siatki linii koncentrycznych przeźrocze nr 8,

• Siatki linii radialnych przeźrocze nr 14.

Odpowiedzieć na pytanie: Które z obserwowanych transformat są funkcją ciągłą, a które dyskretną?

Określić wzorem częstotliwości przestrzenne, charakterystyczne dla danej struktury.

3.3. Przebadać transformatę Fouriera i obraz obiektu z przeźrocza nr 26.

Zidentyfikować części transformaty Fouriera naleŜące do odpowiednich części obiektu.

Rys. 3. Układ optyczny 4f.

3.4. Transformata Fouriera w układzie za soczewką.

Uzyskać transformatę Fouriera w układzie za soczewką jak z rys. 2. Jako obiekt wykorzystać przeźrocze nr 11 i nr 26.

Określić kierunek zmian skali transformaty w zaleŜności od wielkości

(6)

3.5. Twierdzenie o próbkowaniu funkcji.

W układzie z rys. 3. zrealizować próbkowanie i odtworzenie funkcji z próbek, Jako obiekt – funkcję próbkowaną wykorzystać przeźrocza nr 2, 3 lub 15, Jako próbki wykorzystać:

• próbkowanie w jednym kierunku: przeźrocza nr 5 i 6,

• próbkowanie w dwu kierunkach: przeźrocze nr 11, 12.

Zaobserwować powielone widmo funkcji próbkowanej,

Odtworzyć oryginalną funkcję wybierając w płaszczyźnie transformaty tylko jedno widmo, blokując pozostałe widma,

Odpowiedzieć na pytanie: które z przeźroczy nr 5, 6, 11 i 12 realizują prawidłowo próbkowanie funkcji?

3.5. Twierdzenie o próbkowaniu widma funkcji.

W układzie z rys. 3. zrealizować twierdzenie o próbkowaniu widma funkcji. Jako obiekt wykorzystać przeźrocza nr 2, 3 lub 15. Jako próbki wykorzystać przeźrocza nr 5, 6 i 11, 12. Odpowiedzieć na pytanie: dlaczego podczas próbkowania transformaty Fouriera niektórymi z przeźroczy nr 5, 6, 11, 12, obrazy obiektu nakładają się na siebie ? Spróbować próbkowanie widma innych przeźroczy, np. 26. Czy próba powielenia obrazu obiektu nr 26 jest udana czy nie ? JeŜeli nie jest udana, jaka jest tego przyczyna ?

3.6. Właściwości transformaty Fouriera.

Sprawdzić doświadczalnie twierdzenia dotyczące przekształcenia Fouriera.

Oznaczenia elementów optycznych na rysunkach:

FP – filtr przestrzenny, Sk – soczewka kolimująca, E – ekran,

O – obiekt (przeźrocze),

SF– soczewka realizująca transformatę Fouriera, So – soczewka realizująca obraz obiektu,

Sp – soczewka powiększająca obserwowany obraz.