Lista zagadnień wymaganych na egzaminie z Metod Numerycznych dla 2 roku Informatyki Stosowanej,
semestr letni 2018/2019
Tomasz Chwiej 6 czerwca 2019
1. Błędy numeryczne
• klasyfikacja błędów: wejściowe, obcięcia i zaokrąglenia; lemat Wilkinsona i jego in- terpretacja
• błędy zaokrągleń podczas sumowania N liczb i sposób ich minimalizacji
• uwarunkowanie zadania numerycznego na przykładzie obliczania iloczynu skalarnego dwóch wektorów
2. Metody rozwiązywania układów równań liniowych
• metoda eliminacji Gaussa z częściowym i pełnym wyborem elementu głównego, me- toda eliminacji Jordana (wyprowadzenie)
• rozkład LU macierzy metodą Gaussa (wyprowadzenie) 3. Wyznaczanie wartości i wektorów własnych
• metoda potęgowa poszukiwania wartości i wektorów własnych, redukcja Hottelinga (wyprowadzenie)
• redukcja macierzy symetrycznej do postaci trójdiagonalnej metodą Householdera
• wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy trójdiagonalnej metodą bisekcji
• rozwiązanie uogólnionego problemu własnego (przedstawienie kolejnych kroków po- stępowania)
4. Metody iteracyjnego rozwiązywania układów równań liniowych
• metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla (wyprowadzenie)
• metoda sprzężonego gradientu (wyprowadzenie)
5. Metody poszukiwania pierwiastków równania nieliniowego z jedną niewiadomą
• metody: bisekcji, siecznych, regula falsi, Newtona (wyprowadzenie wzorów iteracyj- nych) oraz modyfikacje tych metod dla pierwiastków wielokrotnych (bez szczegółowej analizy rzędu metody)
• wyznaczanie zer wielomianów metodą iterowanego dzielenia wielomianów (wypro- wadzenie współczynnków wielomianów niższych stopni) z zastosowaniem wzorów iteracyjnych Newtona i siecznych
1
6. Interpolacja
• wyprowadzenie wzoru interpolacyjnego Lagrange’a, oszacowanie błędu wzoru inter- polacyjnego
7. Aproksymacja
• definicje norm stosowanych w aproksymacji
• ogólny metoda aproksymacji średniokwadratowej (wyprowadzenie), zapis w postaci macierzowej
• aproksymacja średniokwadratowa w bazie jednomianów (wyprowadzenie), zapis w postaci macierzowej
8. Całkowanie numeryczne - kwadratury Newtona-Cotesa
• wyprowadzenie ogólnego wzoru na współczynniki kwadratury Newtona-Cotesa
• wzór trapezów z błędami (wyprowadzenie)
• wzór parabol z błędami (wyprowadzenie)
• wzór złożony trapezów i parabol (z błędami) (wyprowadzenie) 9. Minimalizacja wartości funkcji
• metoda złotego podziału (wyprowadzenie)
• metoda interpolacji kwadratowej Powell’a (wyprowadzenie)
• metoda Newtona dla funkcji kwadratowej w Rn 10. Szybka transformacja Fouriera (FFT)
• przedstawienie algorytmu Radix-2
• przykład wykorzystania FFT do szybkiego mnożenia wielomianów 11. Generatory liczb pseudolosowych
• definicja kongruencji
• definicja generatora liniowego o rozkładzie równomiernym U(0, 1) i jego parametry statystyczne (wartość oczekiwana zmiennej losowej, odchylenie standardowe, funkcja autokorelacji oraz ich estymatory)
• metoda odwracania dystrybuanty dla rozkładów: jednomianowego, eksponencjalnego i normalnego (metoda Boxa-Mullera) (wyprowadzenie)
• testowanie generatorów: opis testu χ2 12. Całkowanie metodą Monte Carlo
• metoda podstawowa,
• sposób estymacji wartości oczekiwanej oraz odchylenia standardowego
