Een onderzoek over het multiprodukt planningprobleem voor een enkele machine

EEN ONDERZOEK OVER HET

MULTI-PRODUKT PLANNINGPROBLEEM

VOOR EEN ENKELE MACHINE

n o»

•-U) o

'C o

ro «o £.i:,w uiNUfiK^UJii^ U V B t t f I K T / M U L T I

-PRODUKT PLANNINGÏ>«céLEEM

VOOR EEN ENKELE MACHINE

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1960 7243

EEN ONDERZOEK OVER HET

MULTI-PRODUKT PLANNINGPROBLEEM

VOOR EEN ENKELE MACHINE

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR

IN DE TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT, OP GEZAG

VAN DE RECTOR MAGNIFICUS IR. H. R. VAN

NAUTA LEMKE, HOOGLERAAR IN DE AFDELING

DER ELEKTROTECHNIEK, VOOR EEN COMMISSIE

UIT DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG

6 JANUARI 1971 TE 14.00 UUR

door

HENDRIKUS WILHELMUS VAN DEN MEERENDONK

WERKTUIGKUNDIG INGENIEUR

GEBOREN TE ROTTERDAM

I n / /'\ ^ ^ 0 ^

^éo y.

1970

DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOREN

PROF. H.J.M. LOMBAERS EN PROF. DR. IR. L. KOSTEN.

tórrata en addenda

Blz. 14 formule (2.4.2)

Blz.

Blz.

Blz.

Blz.

Blz.

Blz.

Blz.

Blz.

-m

18

23

24

40

76

83

90

91

1 rsr

2 regel v.o.

7 reQ:el v.b.

formule (2.5.2)

formule (3-5.7)

0

7 regel v.b.

9

10 regel v„o.

formule (4.7.15)

formule (4.7.16)

5 regel v.b.

T -7 " _ -1 . n

13 regel v.b.

Blz. 107 tabel (5.3.2)

Blz. 119 tabel (5.3.6)

Blz. 120 2® regel v.o.

Blz. 126 formule (6.3.2)

Blz. 127 formule (6.3.5)

Blz. 133 10 regel v.o.

Blz. 137 figuur (7.2.3)

Blz. 155 formule (7<.5.13)

Blz. 157 9 regel v.o.

staat: +, moet zijn:

-staats 6 - 3 ? moet zijni

toevoegen; 6 - 3

staats 2, moet zijn 2^

6 - 3

g r o t e haak en m. verv/isselen

, ^ O , ^ . . O

staat: xi_, moet zijns x ^.

I 1

staat: «i, moet zijn; fi

staat:

staat I

staat:

staat:

c. .,, moet zijn s c. . .

. . . a

a. .^, moet zijn:

c. . „

i j ^ ' ^ i j ^

er..,

moet zijn:

c..^

1717,95, moet zijns 1715,95

bij produktievolgorde 8 staat: 0,24735,

moet zijn: 0,24725

van Al naar C staat: -1.615,70, moet

zijn: -1.615,95

staats op de tweede regel in de

la^^-moet zijn; op de tv/eede regel in de op

een na laatste

staat:

!=•£,

moet zijn; i=l

staat: j = -*f, moet zijns j=l

staat:

-jr,

moet zijn -^j

staat;

a.. ,

moet zijns a!

staats voorraadhoogte S'. /p., moet zijn:

1 1

staats < , moet zijns>

ft ••

staat h. van h., moet zijn;

1 1

h! van h!

1 1

laatste regel s ataat; 7.6.15, moet zijns 7.6.7

: staat: Monhemins, moet zijn: Monhemius

; staat; backlagging, moet zijn; backlogging

Het in de referentielijst aangekondigde artikel van Lootsma, F.A. en Pearson,

J.D. is verschenen in Philips Research Reports, 25 (1970) 244-254.

Blz. 167 5 regel v.o.

Blz. 169 4 regel v.o.

n

Aan mijn VKOILM

VOORWOORD

Bij het verschijnen van dit proefschrift wil ik allen die hebben medegewerkt aan de totstandkoming ervan danken. Mijn dank gaat in het bijzonder uit naar de heer R. van Loon van de Pope's Draad- en Lampenfabriek N.V. voor de verstrekte gegevens en naar de N.V. Philips' Gloeilampenfabrieken voor alle verleende faciliteiten.

HOOFDSTUK 1.

HOOFDSTUK 2.

Inleiding 1

Fabrikage van produkten op één machine bij konstante vraag in een zuiver rotatieschema 7

2.1 Voorraad- en omstelkosten T

2.2 Het "traveling salesman"-probleem 9 2.3 De "branch and bound"-techniek 10

2.U Het oplossen van het volgordeprobleem bij het zuivere rotatieschema met behulp van de "branch and bound"-methode 13

2.5 De cyclusduur bij het zuivere rotatieschema 23

HOOFDSTUK 3. Het vaste produktieschema met meer fabrikageperioden per cyclus bij konstante vraag en gegeven produktie-volgorde 26

3.1 De kosten van in voorraad houden 26

3.2 De samenhang tussen de produkten onderling 30 3.3 Het gebruik van de voor de produktie ter

be-schikking staande tijd 36

3.'t Het bijzondere geval: geen voorraad aan het be-gin van een produktieperiode 38

3.5 Het bijzonder geval: per type even grote fabri-kageseries 38

3.6 Minimalisatie van de voorraadkosten funktie bij een gegeven produktievolgorde 1+0

HOOFDSTUK k. Bepaling van de produktievolgorde bij gegeven cyclus-tijd en konstante vraag 1+9

lt.1 Minimalisatie van omstel- en voorraadkosten bij gegeven cyclustijd en konstante vraag met be-hulp van een "branch and bound"-methode 1+9

INHOUD IX

1+.2 Een formulering als gemengd lineair program-meringsprobleem 53

1+.3 Beschrijving van de partitioneringsmethode van Benders voor het oplossen van gemengd lineaire programmeringsproblemen 57

l+.l* Toepassing van de partitioneringsmethode 62 l+.S Het minimaliseren van x 76

1+.6 Vereenvoudiging van de oplossingsmethode 8I 't.7 Het algemene probleem 87

HOOFDSTUK 5. Een uitgewerkt voorbeeld 95 5.1 Inleiding 95

5.2 Enige gegevens van het uitgewerkte voorbeeld 99 5.3 Formulering van het probleem en de oplossing 101

HOOFDSTUK 6. Enige uitbreidingen en aanvullingen 123

6.1 Bepaling van de optimale produktievolgorde wan-neer het aantal produktieperioden per cyclus niet is gegeven 123

6.2 Globale schatting van het aantal malen dat een type produkt in een cyclus van gegeven tijds-duiir moet worden vervaardigd 12I*

6.3 De cycluslengte T 125

HOOFDSTUK 7. Stochastische vraag 129 7.1 Inleiding 129

7.2 Berekening van de gemiddelde voorraad bij het zuivere rotatieschema en stochastische vraag 132 7.3 Benadering van de gemiddelde voorraadkosten bij meer fabrikageperioden per cyclus, gegeven pro-duktievolgorde en stochastische vraag 11+2 7.1+ De veiligheidsvoorraad bij het zuivere

rotatie-schema 1I+I+

7.5 De konstante veiligheidsvoorraad bij een gege-ven cyclustijd en meer perioden per cyclus 15I

X INHOUD

7.6 Verdeling van de ter beschikking staande ma-chinetijd over de verschillende typen produkt bij het zuivere rotatieschema 155

7.7 Verdeling van de ter beschikking staande ma-chinetijd over de verschillende produkten, wan-neer deze meer dan eenmaal gedurende de cyclus worden gefabriceerd I58

BESLUIT 160 REFERENTIES I62

OVERIGE GERAADPLEEGDE LITERATUUR l61+ SAMENVATTING I70

SUMMARY 172

H O O F D S T U K 1

INLEIDING

Onder het begrip seriegrootte verstaat men in het algemeen die hoe-veelheid produkten, die zonder onderbreking door fabrikage van ande-re artikelen,op een machine achter elkaar wordt vervaardigd. Hierbij wordt verondersteld, dat er een voortdurende, al of niet variabele vraag naar produkten is, waaraan de producent indien mogelijk, di-rekt zal voldoen. Om ook te kunnen leveren in de tijd dat het ge-vraagde produkt niet wordt gefabriceerd zal de fabrikant een voor-raad moeten aanleggen. Het probleem dat zich nu voordoet is, de grootte van de fabrikageserie en de hoogte van de voorraad zodanig te bepalen, dat de som van de beïnvloedbare kosten, te weten de om-stelkosten, de voorraadkosten en de kosten van het eventueel niet direkt kunnen leveren minimaal zijn.

In de klassieke literatu\ir over dit onderwerp wordt meestal uitge-gaan van de veronderstelling dat er geen begrenzingen worden gesteld aan de grootte van de fabrikageserie. Wanneer echter verschillende soorten van produkten op één machine moeten worden vervaardigd, om-dat de produktiekapaciteit van de machine groot genoeg is om aan de vraag van verschillende typen produkten te voldoen, zal onderlinge beïnvloeding van fabrikageseries niet kunnen uitblijven. Verder kun-nen de omstelkosten afhangen van de volgorde waarin de verschillende fabrikageseries na elkaar worden gemaakt.

Een van de eerste onderzoekers die het probleem van volgordebepaling en in elkaar passen van fabrikageseries heeft bestudeerd is Rogers [16] geweest. Bij zijn aanpak wordt allereerst op de bekend veron-derstelde klassieke wijze, de optimale seriegrootte voor ieder

2

produkt bepaald. Vervolgens gaat men na of deze fabrikageseries tot een sluitend produktieschema kunnen worden samengevoegd. Bij de be-rekening van deze seriegroottes is be-rekening gehouden met omstel- en voorraadkosten. Rogers veronderstelt, dat de omstelkosten alleen worden bepaald door het soort produkt dat zal worden gefabriceerd en niet afhankelijk zijn van de volgorde waarin de series elkaar af-wisselen. Hierdoor wordt het mogelijk om, onafhankelijk van de pro-duktievolgorde, seriegroottes te bepalen als start voor een itera-tieve procedure. Wanneer de fabrikageseries tot overlapping van be-nodigde machinetijd aanleiding geven, worden zij iteratief zodanig gewijzigd, dat de toename van omstelkosten en kosten van op voor-raad houden zo gering mogelijk is. Hierbij eist Rogers echter dat de fabrikageseries die van één soort produkt worden vastgesteld, al-le even groot zijn. Verder moeten voor een bepaald soort produkt de verschillen tussen de begintijden van de fabrikage even lang zijn. Ook Eilon [7] gaat uit van een seriegrootte die eerst berekend wordt zonder rekening te houden met interferentie. Daarna wordt ge-bruik gemaakt van de eigenschap dat de kostenstijging als gevolg van een afwijking van deze optimale seriegrootte, in de omgeving van het optimum gering is.

Eilon stelt verder dat een kostenstijging binnen een bepaalde grens (b.v. binnen 5^ van de kosten van de optimale oplossing) toelaatbaar moet worden geacht. Voor ieder soort van produkt is dan een range van seriegroottes aan te geven, die geen grotere kostenstijging dan 5% ten gevolge hebben. Vervolgens wordt getracht een passend produk-tiepatroon op te zetten met seriegroottes die binnen de gevonden ranges liggen. Wanneer dit niet gelukt moeten ofwel de gestelde grenzen van toelaatbaar geachte kostenstijgingen worden veranderd, ofwel de ter beschikking staande prodiiktiekapaciteit worden vergroot, dan wel de vraag van de klanten worden beïnvloed.

Muller Merbach [13] gaat ook uit van de individueel optimale serie-groottes. Hij zoekt daarna naar een gunstige kombinatie van het aan-tal keren dat een soort produkt gedurende een bepaalde cycluslengte in produktie wordt genomen. Vervolgens wordt dan bij de gevonden

INLEIDING

₃

frekwentie van in produktie nemen, de lengte van de bedoelde cyclus optimaal bepaald. Deze cycluslengte is dan de tijdsduur waarna het produktiepatroon wordt herhaald.

De hierboven genoemde methoden hebben nu het volgende overeenkomstig. Het oplossen van het multi-produkt planningprobleem vindt in twee fasen plaats: eerst worden voor alle produkten individueel, met be-hulp van de klassieke procedure, optimaal de lengtes van de fabri-kageseries vastgesteld; daarna worden, indien nodig, de groottes van deze series gewijzigd om een sluitend patroon te verkrijgen. Verder wordt altijd de veronderstelling gemaakt dat de omstelkosten niet afhangen van de volgorde, waarin de prodiikten worden vervaar-digd. Geen der methoden garandeert het optimum.

Maxwell [11] is in zijn studie afgestapt van het idee, dat de indi-vidueel optimale seriegroottes het uitgangspunt zouden moeten zijn voor het oplossen van het multi-produkt planningprobleem. Bovendien betrekt hij in zijn beschouwing het geval, dat de omstelkosten wel afhankelijk zijn van de volgorde waarin wordt geproduceerd. Uit de-ze studie is het vooral duidelijk geworden dat de klassieke theorie van de optimale seriegrootte eigenlijk niet veel aanknopingspunten geeft voor het multi-produkt planningprobleem. Maxwell gaat er van uit, dat op de een of andere wijze, een produktievolgorde gegeven is. De vragen die zich dan nog voordoen zijn het bepalen van de cy-clusduur en de tijd, gedurende welke ieder type produkt gefabri-ceerd zal worden. In zo'n produktiecyclus kan eenzelfde soort van produkt meermalen worden vervaardigd. Het uit dit model voortvloei-ende deel van de kostenfunktie dat betrekking heeft op het in voor-raad houden van produkten, blijkt nu een niet convexe kwadratische funktie te zijn. Maxwell past voor het oplossen van het probleem een aantal benaderingen toe, waaruit met behulp van een heuristi-sche methode, indien mogelijk, een betere produktievolgorde wordt bepaald. Hierbij worden ook de omstelkosten betrokken. Wel wordt verondersteld dat deze omstelkosten aan bepaalde specifieke eigen-schappen voldoen.

k

INLEIDING

van Orth [ll+] aan, dat betrekking heeft op het uitgangsplint van de individueel optimale fabrikageserie als start voor het oplossen van het multi-produkt planningprobleem.

"Das entscheidende Argument gegen die übliche Losgrössenformel bil-dete die mangelnde Berücksichtiging der Interdependenz, die zwischen den Losen der verschiedenen, in verbundener Produktion hergestellten Erzeugnisse besteht. Wenn dieser Mangel ausgeschaltet werden soil, muss die Losgrössenermittlung für samtliche in Frage kommenden Pro-dukte simultan erfolgen". Hij vervolgt dan met: "Wenn aber die Untersuchungen zur Losgrösse die Mehrproduktunternehmen

einschlies-sen sollen, dann kann das Problem des Sortenwechsels, also das Pro-blem, in welcher Reihenfolge und wie oft einzelne Lose aufgelegt werden sollen, dajnit auch die Kosten der Umstellungen minimal werden, nicht unberücksichtigt bleiben. Diese Frage soil ein Hauptanliegen dieser Untersuchung sein, denn erst die Frage nach der optimalen Sortenschaltung lasst das Problem der Losgrösse wieder in dem Zu-sammenhang der Fertigungsplanung eines Mehrproduktimternehmens er-scheinen, von dem es seinen Ausgang nahm".

Dinkelbach benadert het probleem door in de ter beschikking staande machinetijd een groot aantal op korte en konstante tijdsduur van elkaar afliggende tijdstippen aan te geven. Omstellingen van produk-tie worden slechts op deze tijdstippen toegelaten. Er worden vervol-gens O - 1 variabelen geïntroduceerd, die indien zij de waarde 1 aannemen, aangeven welk soort produkt op tijdstip t - 1 in produk-tie zal zijn en door welk soort dit op tijdstip t zal worden ge-volgd .

Bij deze methode zal een zeer groot aantal O - 1 variabelen wor-denden geïntroduceerd. Het totaal aantal is namelijk gelijk aan het aantal tijdstippen, vermenigvuldigd met het kwadraat van het aantal soorten produkten hetgeen een numerieke aanpak bemoeilijkt. Voor het geval er geen vaste tijdstippen waarop kan worden omgesteld,zijn vastgelegd, komt Dinkelbach tot een formulering waarbij dan een kwa-dratische objektfunktie met bijvoorwaarden voorkomt, die een groot aantal O - 1 variabelen bevat en die bijzonder moeilijk kan wor-den geminimaliseerd. Van enig andere, meer recente, publikaties die

INLEIDING

5

betrekking hebben op het multi-produkt planningprobleem moeten nog worden vermeld die van Dickhut [5] en Pierce

[15]-Diokhut behandelt het probleem waarbij de grootte van de fabrikage-serie van ieder produkt van te voren gegeven is, alsmede de tijd-stippen waarop deze series moeten worden begonnen. Hierbij wordt voorlopig geen rekening gehouden met het feit dat slechts één ma-chine beschikbaar is. De kosten die in het model alleen een rol spe-len zijn de kosten van het later of vroeger beginnen met een fabri-kageserie. Omstelkosten worden niet in de beschouwing betrokken. De vraag die wordt gesteld is een produktievolgorde te vinden die de som van de bedoelde kosten minimaliseert. Voor het oplossen van het probleem wordt gebruik gemaakt van een "branch and bound"-methode.

Sterke verwantschap met het multi-produkt planningprobleem is het door Pierce beschouwde gekombineerde miilti-produkt bestelprobleem. In dit geval speelt echter de fabrikagevolgorde geen rol. Ook hier wordt voor het bepalen van de oplossing gebruik gemaakt van een "branch and bound"-methode.

De aanleiding tot de in de volgende hoofdstukken te behandelen stu-die is onder andere geweest een opmerking in de dissertatie van Max-well, waar wordt gesteld dat de samenhang tussen het "traveling salesman"-aspekt van de produktieomstellingen en het aspekt van de onderlinge beïnvloeding van de fabrikageseries, nog in onvoldoende mate is onderzocht. Een andere aanleiding is geweest het onbevredi-gende van het grote aantal O - 1 variabelen in de studie van Din-kelbach. Een belangrijk deel van het hierna volgende zal dan ook ge-wijd zijn aan deze samenhang en aan het oplossen van de uit deze studie voortkomende gemengde kwadratische programmeringsproblemen. Verder is, evenals bij Maxwell, bijzondere aandacht besteed aan een tweetal numeriek gemakkelijker hanteerbare speciale gevallen. Het ene komt overeen met het ook door Maxwell behandelde, waarbij een fabrikageserie niet eerder wordt begonnen dan wanneer de voorraad van het betreffende produkt tot het niveau nul is gedaald. Het an-dere geval is dat, waarbij de produktieserie per type prodiikt altijd konstant wordt gehouden.

6

INLEIDING

Aan de hand van een uitgewerkt voorbeeld zal een nieuw algorithme, dat steunt op de door Benders [3,1+] voorgestelde partitionerings-methode, worden toegelicht.

In het merendeel van de studies over het onderwerp multi-produkt planning wordt geen aandacht geschonken aan het geval waarbij de vraag stochastisch is. Belangrijk is, dat een eenmaal ontworpen pro-duktiepatroon in zo'n geval niet zonder meer kan worden gehandhaafd, omdat de vraag nu meestal juist wel stochastisch is. Vaak zal men inderdaad ook prijs stellen om vast te houden aan de eenmaal opge-zette planning en men zal daartoe maatregelen moeten nemen. Men kan dit doen door het aanleggen van veiligheidsvoorraden en door het ter beschikking stellen van extra produktiekapaciteit om eventueel fluktuaties in de vraag buiten het ontworpen schema op te vangen. Dit laatste kan men onder andere bereiken door overwerk of door het gebruik van een andere machine.

In deze studie zullen dan ook deze twee vraagstukken, namelijk dat van de veiligheidsvoorraad en dat van het gebruik van machinekapaci-teit en extra machinekapacimachinekapaci-teit aan de orde worden gesteld.

H O O F D S T U K 2

FABRIKAGE VAM PRODUKTEM OP EEN MACHINE BIJ KONSTANTE VRAAG IN EEN ZUIVER ROTATIESCHEMA

2.1. Voorraad- en omstelkosten

In het hierna volgende zal de veronderstelling worden gemaakt, dat de vraag naar de verschillende soorten van produkten in de tijd kon-stant en onafhankelijk is. Een eenvoudige oplossing van het pro-bleem van het bepalen van produktievolgorde en fabrikageseriegroot-te kan worden gevonden door, in een voor ieder type produkt even-lange periode van T tijdseenheden, ieder gevraagd type slechts één-maal in produktie te nemen. Een dergelijke produktieopzet wordt een zuiver rotatieschema genoemd; T -zal verder worden aangeduid met cy-cluslengte of cyclustijd.

Wanneer de vraag per eenheid van tijd naar produkt i gelijk is aan s. en de produktiesnelheid p. bedraagt dan zullen de kosten van de hieruit voortvloeiende voorraad gelijk zijn aan:

n

y jrn.d - s./p. )s.T. 2.1.1

. '•, 1 1 •'^i 1

1=1

Hierbij stelt n het aantal typen en m., voor type i, de kosten van op voorraad houden per stuk en per tijdseenheid voor.

FABRIKAGE VAN PRODUKTEN 2.1 Voorraad-hoogte

,y

;

.

/

/X

^ / ^ / \ / \ < ^ / \ '^

/ x ^ / < . X / ^ x A. X

/

^^/ "^-.z \x

\ /

^.y

\

a.T A a T B T a„T C

^

a.T A a„T B a„T C T " 1 Fig. 2.1.1 voorraadverloop produkt A voorraadverloop produkt B — . — . voorraadverloop produkt C

Deze voorraadkosten zijn onafhankelijk van de volgorde, waarin de produkten worden gemaakt. In Fig. 2.1.1 is het voorraadverloop in de tijd, bij een zuiver rotatieschema met drie produkten, weergegeven. a T, a T en a T stellen daarbij de tijdsduren voor, gedurende welke

A B C

de produkten A, resp. B, resp. C worden geproduceerd.

De enige andere kosten die bij de hier gemaakte veronderstellingen nog een rol spelen, zijn de omstelkosten. Deze zullen in het alge-meen wél afhankelijk zijn van de volgorde, waarin de produkten op de machine in bewerking worden genomen. De kosten per omstelling zijn namelijk afhankelijk van het type produkt waarvan de fabrika-geserie zojuist is geëindigd en van het type dat daarna zal worden geproduceerd. Gemiddeld zijn de omstelkosten per eenheid van tijd gelijk aan de som van alle omstelkosten, die gedurende de cyclus-tijd ter lengte T worden gemaakt, gedeeld door T. Voor het omstel-len zelf zal ook tijd nodig zijn en omdat dit de beschikbare kapaci-teit van de machine verkleint, zal met deze verkleining rekening moeten worden gehouden. Het probleem dat nu bij het zuivere

2.1 "TRAVELING SALESMAH"-PROBLEEM 9

rotatieschema moet worden opgelost is dat van het bepalen van een produktievolgorde, die minimale omstelkosten tot gevolg heeft. Daar deze omstelkosten uitsluitend afhankelijk zijn van de overgang van type i naar type j en in alle cycli eenzelfde volgorde wordt aange-houden, zal men de optimale oplossing van het probleem kunnen bepa-len met behulp van de methode, die door J.D.C. Little, K.G. Murty, D.W. Sweeney en C. Karel [9] is ontwikkeld voor het oplossen van het zogenaamde "traveling salesman"-probleem. Deze methode behoort tot de categorie van "branch and bound"-technieken. In de volgende paragrafen zullen wij enige korte opmerkingen maken over het "traveling salesman"-probleem en de "branch and bound"-techniek.

2 . 2 . Het "traveling salesman"-probleem

Met het "traveling salesman"-probleem, hetgeen analoog is aan het produktievolgordeprobleem bij het zuivere rotatieschema, wordt het volgende aangegeven; een handelsreiziger ("traveling salesman") moet een aantal steden, waarvan de onderlinge afstanden bekend zijn, gaan bezoeken. De reiziger moet iedere stad tenminste éénmaal aandoen en hij moet bovendien in de stad, van waaruit hij zijn reis begonnen is, terugkeren. Gevraagd wordt om een zodanige reisroute te bepalen, dat de af te leggen weg zo kort mogelijk is. Wanneer wij met x.. = 1 aangeven dat produkt j direkt na produkt i

IJ

wordt vervaardigd en met x.. = O dat dit niet het geval is, dan wordt gevraagd x.. zodanig te bepalen dat

C "^i^ y y c . X.. 2.2.1 i=1 i=1 ^J ^J

minimaal is. c.. stellen voor de omstelkosten van produkt i naar j per omstelling. C stelt de totale omstelkosten gedurende de cyclus ter lengte T voor. De x..'s moeten aan bepaalde voorwaarden voldoen. Allereerst zal in de beschouwing moeten worden opgenomen dat, omdat hier sprake is van een cyclisch produktiepatroon, het type produkt dat aan het eind van de cyclus wordt vervaardigd, zal moeten worden gevolgd door het type produkt dat aan het begin van de cyclus wordt

10 2.2

gemaakt. Dit nu is equivalent met de konditie in het "traveling salesman"-probleem, dat de handelsreiziger moet terugkeren in de stad van uitgang. Verder zullen de x..'s zodanig moeten worden

ge-1J

kozen dat een aaneengesloten reeks van omstellingen ontstaat en wat in het "traveling salesman"-probleem "subroutes" wor-den genoemd, worwor-den vermewor-den. Dit houdt in dat, indien x.. = 1, moet gelden dat x.. = O en omgekeerd.

IJ Derhalve:

X..X.. = O voor iedere i en j . 2.2.2 10 Ji

Op gelijke wijze zal (mits n > 3 ) , indien x.. = 1 en x. = 1, de IJ Jk variabele x, . de waarde nul moeten aannemen, zodat ook aan de

vol-ki ' gende relaties moet worden voldaan:

x..x.,x, . = O voor iedere i, j en k. 2.2.3 IJ jk ki

Evenzo zal (mits n > 1*), als x. . = 1, x., = 1 en x, „ = 1 , de vari-ij Jk k j . de waarde nul moetei

1 waarden:

abele x . de waarde nul moeten aannemen, hetgeen leidt tot de

voor-X. .X-, X, „x„. = o voor iedere i , j , k e n J l . 2.2.1+ IJ jk kJ!. il ' '' '

Op deze wijze kunnen in principe alle mogelijke restrikties van de-ze soort worden opgeschreven. Het aantal van dede-ze restrikties is echter bij kleine problemen reeds zeer groot. Daar prodiikt i in de produktievolgorde door slechts één ander produkt kan worden gevolgd, zal tevens moeten gelden dat:

l X . = 1, i = 1,...,n , j = 1 n . 2.2.5

j?«i ^^

Omdat evenzo slechts één produkt aan produkt j kan vooraf gaan, zul-len de volgende betrekkingen ook gelden:

[ X = 1, i = 1,...,n , j = 1,...,n . 2.2.6 i^j '^

2.3. De "branah and bound"-teahnie'k

2.3 "BRANCH AND BOUND"-TECHNIEK 11

oplossen van kombinatorische problemen en programmeringsproblemen met integer variabelen. Speciaal het "traveling salesman"-probleem kan met deze methode worden opgelost. De grondgedachte van deze techniek zullen wij in het hierna volgende kort weergeven. Aan een vektor x, die uit diskrete komponenten bestaat, moeten numerieke waarden worden toegekend, zodanig dat aan een aantal voorwaarden is voldaan en een door de elementen van x eenduidig bepaalde objekt-funktie C(x) wordt geminimaliseerd. In het geval van het "traveling salesman"-probleem moet de in formule (2.2.1) gegeven objektfunktie worden geminimaliseerd.

Bij de bedoelde problemen treden een aantal beperkingen op en wel implisiete en eksplisiete. Onder implisiete beperkingen verstaan wij diegene, waaraan in de loop van het proces van het bepalen van de optimale oplossing altijd is voldaan; onder eksplisiete beper-kingen verstaan wij diegene,waar in de loop van de berekening ge-leidelijk aan wordt voldaan. Zo zal bij het bepalen van de optimale oplossing van het "traveling salesman"-probleem altijd worden vol-daan aan de voorwaarden dat de variabelen x.• alleen maar de waarde

10

O of 1 mogen aannemen. Ook zal dit het geval zijn voor de res-trikties die verband houden met het vermijden van "subroutes". Aan de kondities (2.2.5) en (2.2.6) zal echter niet in alle stadia van het optimaliseringsproces voldaan worden. Zo zal voor het lineair programmeringsprobleem met integer variabelen:

min{c'^x|Ax > b , x = 0 o f 1 } , 2.3.1 bij het oplossen met behulp van de "branch and bound"-methode van

Land and Doign [8] altijd worden voldaan aan de eis Ax > b; pas geleidelijk aan echter zullen de komponenten van de vektor x de waarden O of 1 aannemen.

Onder een oplossing van het probleem wordt nu verstaan, die waarden van X die voldoen aan alle implisiete beperkingen; onder een reali-seerbare oplossing wordt verstaan die waarden vaji x die zowel aan de implisiete als aan de eksplisiete voorwaarden •tfoldoen. De opti-male oplossing moet onder de realiseerbare oplossingen worden

12 FABRIKAGE VAN PRODUKTEN 2.3

Wij definiëren W als de verzameling van alle realiseerbare oplos-singen van het probleem. Er zijn een aantal deelverzamelingen V (p = 1,...,m) waarvoor geldt dat:

V u V u V u

1 2 3 u V W 2.3.2

m stelt hierbij het aantal deelverzamelingen voor. Verder geldt dat:

V n V P r p = 1 . . r = 1 , . p / r. .,m .,m 2.3.3

Het "branching"-proces kan worden opgevat als een dynamisch proces, waarbij een boom wordt opgebouwd. Het beginknooppunt van de boom stelt de verzameling W en de andere knooppunten stellen de deelver-zamelingen V voor. In fig. (2.3.1) korrespondeert de verzameling W met het knooppunt O en de andere deelverzamelingen met de knooppun-ten 1 , 2 en 3.

Fig. 2.3.1

De knooppunten 2 en 3 zijn in de loop van het proces ontstaan uit het knooppunt, dat in de figuur niet van een nummer is voorzien. Onder een eindknooppunt wordt verstaan een verzameling, die slechts één realiseerbare oplossing bevat; onder een tussenknooppunt ver-staan wij een verzameling van realiseerbare oplossingen, die door een bepaald kenmerk wordt gekarakteriseerd. Onder L(p) verstaan

2.3 "BRANCH AND BOUND"-TECHNIEK ₁₃

wij nu een ondergrens van de waarde van de objektfunktie voor alle realiseerbare oplossingen, die geassocieerd zijn met knooppunt p. Het "branch and bound"-algorithme omvat de volgende stappen.

1. Er zijn een aantal regels om van het beginknooppunt en de tus-senknooppunt en nieuwe knooppunten te genereren. Meestal zijn er een groot aantal mogelijkheden om nieuwe knooppunten te vinden. De regels zijn gebaseerd op een kriteriijm dat een heuristisch karakter heeft.

2. Van de nieuwe knooppunten worden de bijbehorende ondergrenzen van de objektfunktie bepaald. Knooppunten die in de loop van de berekening niet blijken te voldoen aan de eksplisiete voorwaar-den worvoorwaar-den uitgesloten.

3. Op basis van de ter beschikking staande ondergrenzen L(p) wordt nagegaan of een knooppunt een verzameling van niet optimale op-lossingen omvat, dat als dit het geval mocht zijn, van verder onderzoek wordt uitgesloten.

1+. Tenslotte wordt nagegaan of een eindknooppunt een optimale reali-seerbare oplossing voorstelt.

In het hiernavolgende zullen wij toelichten hoe de bovenbeschreven methode kan worden toegepast voor het oplossen van het "traveling

salesman"-probleem. Voor verdere achtergronden verwijzen wij naar Balas [2].

2.1+. Het oplossen van het volgordeprobleem bij het zuivere

rota-tieschema met behulp van de "branah and bound"-methode

Allereerst is het op eenvoudige wijze mogelijk een ondergrens aan te geven voor de minimale omstelkosten van het zuivere rotatiesche-ma. Wanneer wij van een rij of kolom van de n x n matrix van de om-stelkosten c . een bedrag Ac aftrekken dan ontstaat een nieuwe

ma--10

trix. Wanneer x een willekeurige produktievolgorde voorstelt, waar-bij de omstelkosten gelijk zijn aan C(x), dan zijn de totale omstel-kosten bij eenzelfde produktievolgorde x, op basis van de nieuwe om-stelkosten, wegens (2.2.5) en (2.2.6) gelijk aan:

m

FABRIKAGE VAN PRODUKTEN 2.1»

C'(x) "^i^ C(x) - Ac . 2.1*.1

Trekt men van iedere rij i van de oorspronkelijke matrix het klein-ste in die rij voorkomende element c. af en daarna, bij de op deze wijze ontstane nieuwe matrix, van iedere kolom het kleinste in die kolom voorkomende element c. af, dan ontstaat een matrix van

gere-J

duceerde omstelkosten, waarbij in iedere rij en in iedere kolom ten-minste één element gelijk aan nul voorkomt, terwijl alle andere ele-menten van de matrix groter of gelijk aan nul zijn geworden. Voor een willekurige produktievolgorde x zijn derhalve de omstelkosten C'(x) op basis van de gereduceerde kosten gelijk aan:

n n

C ' ( x ) = C(x) - l c. '^ l c. . 2.1+.2

i=1 ^ j = 1 •^

Ieder element cl. van de gereduceerde matrix is groter of gelijk aan

IJ

nul, zodat C'(x) > 0. Uit (2.1+.2) volgt dan:

C(x) > y c. + y c. . 2.1+.3

i=1 ^ j=1 '

Het rechterlid van (2.1*.3) is dus een ondergrens voor de som van de omstelkosten over een oyclusduur ter lengte T. Uit (2.1+.3) volgt tevens dat als er een produktievolgorde x is waarvoor

n n

C(x) = l c. + l c. , 2.1+.1+

i=1 j = 1 "J

deze volgorde x een optimale is. Het is echter mogelijk dat er geen volgorde bestaat waarvoor de gelijkheid (2.1*.Il) geldt.

Ter illustratie kiezen wij een probleem, waarbij zes verschillende soorten van produkten betrokken zijn die in een zuiver rotatiesche-m a rotatiesche-moeten worden vervaardigd. De orotatiesche-mstelkosten van produkt i naar produkt j zijn in een matrix weergegeven. Zie tabel (2.1*. 1) .

^

2.1+ "BRANCH AND BOUND"-TECHNIEK I5

r^^^^naar j

van i ^ ^ ^ ^ 1 2 3 1+ 5 6 1 -1+ 18 3 5 16 2 15 -17 1+ ^5 1+ 3 3^ 22 -16 29 7 1+ 2 2 37 1*5 6 5 19 31+ 10 ^ -5 6 11 25 1 3 1 -c. . IJ tabel 2.1+.1

Trekt men in deze matrix van iedere rij het kleinste, in die rij voorkomende, element c. af dan levert dit de matrix van tabel (2.1*.2) op. De van iedere rij afgetrokken getallen c- zijn in de laatste kolom aangegeven.

^ \ ^ n a a r j van i ^ ^ ^ 1 2 3 1+ 5 6 1 -2 17 0 1+ 12 2 13 -16 1 1*1* 0 3 32 20 -13 28 3 1+ 0 0 36 -1+1+ 2 5 17 32 9 1* -1 6 9 23 0 0 0 -c • 1 2 2

1 1

3 1

1

1+ 1

tabel 2.1+.2

16 FABRIKAGE VAN PRODUKTEN 2.1*

Trekt men vervolgens van iedere kolom het kleinste, in die kolom voorkomende, element c. af dan ontstaat de matrix van gereduceerde

O

omstelkosten cl .. Zie tabel (2.1+.3). De van de rijen en kolommen

af--* J

getrokken getallen zijn in de laatste kolom en de onderste rij in de tabel weergegeven. Rechts onder in de tabel is de som van de af-getrokken getallen (de totale reduktie) vermeld. Deze is in dit ge-val gelijk aan 17, zodat de som van de omstelkosten tenminste 17 bedraagt. ^^^^^^aar j van i ^ ^ - ^ 1 2 3 1+ 5 6

=ó

1

-2 17 0 1+ 12 0 2 13

-16 1 1+1+ 0 0 3 29 17

-10 25 0 3 1+ 0 0 36

-1+1+ 2 0 5 16 31 8 3

-0 1 6 9 23 0 0 0

-0 c . 1 2 2 1 3 1 1+ 17 c: . 10 tabel 2.1+.3

Aan ieder gereduceerd element cl . kennen wij nu een getal w. . toe. 10 "" =• 10

Dit getal is als volgt gedefinieerd. def . , . , w. . = m m c.' . + min c'. 10 kj iJ. M i l^j 2.1*.5 Bijvoorbeeld:

2.1* OPLOSSEN VAN HET VOLGORDEPROBLEEM 17

w = O + O = O, w^^ = 2 + O = 2, w.|l^ = O + 9 = 9.

Aan deze w..'s kan nu de volgende betekenis worden gegeven. Voor IJ

het geval i = 1 en j = 1+ heeft w i de waarde 9- Dit houdt in, dat een produktievolgorde die de omstelling van produkt 1 naar produkt 1* niet bevat, tenminste 9 duurder moet zijn, omdat direkt na pro-dukt 1 nu een ander propro-dukt dan 1+ moet komen en omdat verder de di-rekte voorganger van produkt 1+ een ander dan produkt 1 moet zijn. Een produktievolgorde zonder de omstelling van 1 naar 1+ zal dan ook tenminste 17 + 9 = 26 aan omstelkosten vergen. In tabel (2.1*.!*) zijn de w..'s aangegeven. ^ ^ \ n a a r j van i ^ ^ 1 2 3 1* 5 6 1 -0 0 2 0 0 2 0 -0 0 0 1 3 0 0 -0 0 10 1* 9 2 0 -0 0 5 0 0 0 0 -3 6 0 0 8 0 1+ -w. . 10 tabel 2.1+.1+

De oplossing van het probleem wordt gevonden, door de gevolgen van het al of niet doen van een bepaalde omstelling te beschouwen. In de tabel van de w. .'s, tabel (2.1+.1*), kxinnen wij de ondergrens van de

18

ekstra omstelkosten van het niet opnemen van een bepaalde omstel-ling nagaan. Daar het niet opnemen van de omstelomstel-ling van 6 naar 3 de hoogste ondergrens heeft, zullen wij eerst het geval bekijken, waarbij in de produktievolgorde de omstelling van 6 naar 3 wel plaats heeft.

In grafiek (2.1+.5) is in principe aangegeven hoe in het verloop van de berekening het al of niet insluiten van een bepaalde omstelling wordt bijgehouden.

alle oplos-singen

grafiek 2.1*. 5

Een knooppunt i - j geeft een deelverzameling van produktievolgor-den aan, waarbij van produkt i naar produkt j wordt omgesteld. Een knooppunt i - j geeft een deelverzameling van produktievolgorden aan, waarbij niet van i naar j wordt omgesteld. Een verder knooppunt k - Jl geeft aan, dat onder de deelverzameling i - j een verdere deelverzameling van produktievolgorden is aangegeven, waarbij de om-stelling van k naar i, bij iedere tot die verzameling behorende volg-orden voorkomt. Het knooppunt k - S, duidt volgvolg-orden aan, waarbij wel wordt omgesteld van i naar j , doch niet van k naar i .

In het gekozen voorbeeld blijkt, dat de totale omstelkosten tenmin-ste 17 zullen bedragen en dat het nalaten van de omtenmin-stelling 6 - 3 tenminste 10 ekstra zal kosten. Derhalve wordt als ondergrens bij het knooppunt 6 - 3 de waarde 17 + 10 = 27 geplaatst. Zie grafiek (2.1+.6). Het is duidelijk dat als de omstelling 6 - 3 in de

produk-2.1* OPLOSSEN VAN HET VOLGORDEPROBLEEM 19

tievolgorde voorkomt de omstelling 3 - 6 moet worden uitgesloten. (Anders ontstaat een "subroute".) Dit wordt aangegeven door blokke-ring van het element 3 - 6 . Verder zullen ook alle andere omstel-lingen "van 6 af en naar 3 toe" moeten worden uitgesloten, omdat al-le produkten gedurende de cyclus sal-lechts éénmaal mogen worden ver-vaardigd. Zie tabel (2.1*.6). De andere gereduceerde omstelkosten blijven voorlopig gehandhaafd.

^ \ n a a r j van i ^^^^ 1 2 3 1* 5

6

1

-2 17 0 1+

-2 13

-16 1 1+1+

-3

-1+ 0 0 36

-1+1+

-5 16 31 8 3

-6 9 23

-0 0

-tabel 2.1+.6.

Het is mogelijk de nu ontstane matrix verder te reduceren. De reduk-tie bedraagt 9 en levert de matrix cl'. . Zie tabel (2.1+.7)

ij

Deze reduktie houdt in, dat als de omstelling van 6 naar 3 plaats heeft, de ondergrens voor het totaal van de omstelkosten gedurende de cyclus gelijk geworden is aan 17 + 9 = 26.

In de grafiek (2.1*.8) zijn de gevonden ondergrenzen voor het al of niet insluiten van de omstelling 6 - 3 in de prodiiktievolgorde bij de knooppunten aangegeven. Daar het insluiten van de omstelling 6 - 3

20 FABRIKAGE VAM PRODUKTEN 2.1*

een lagere ondergrens heeft dan het uitsluiten ervan, zullen wij dit eerste verder onderzoeken. Wij stellen daartoe weer grootheden w!. op. Zie tabel (2.1*.9)

~~~--v.^aar j van i ^ ^ - ^ 1 2 3 1+ 5 6 1 -2 9 0 1+ -2 12 -7 0 1+3 -3 -1+ 0 0 28 -1+1+ -5 16 31 0 3 -6 9 23 -0 0 -tabel 2.1+.7

Het niet opnemen van de omstelling 3 - 5 zal tenminste 10 ekstra kosten. Aangezien het uitsluiten van andere omstellingen de onder-grens van de totaalkosten met een kleiner bedrag verhoogt, zal eerst het knooppunt 3 - 5 verder worden onderzocht. In grafiek (2.1*.8) is de ondergrens 3 - 5 aangegeven. In het geval de omstelling 3 - 5 wordt opgenomen, zullen ook de elementen van de derde rij en de vijfde kolom moeten worden geblokkeerd. Echter zal nu ook het ele-ment 5 - 6 moeten worden geblokkeerd. Immers de omstellingen 6 - 3 en 3 - 5 zijn opeenvolgend.

Het element 5 - 6 moet nu worden uitgesloten omdat anders misschien een "subroute" geïntroduceerd zou worden. (Namelijk wanneer de vol-gende omstelling 5 - 6 zou zijn).

2.1+ OPLOSSEN VAN HET VOLGORDEPROBLEEM ₂₁ 2-1 OO 2-1 1-1* 38 grafiek 2.1*. 8

j ^ ^ ~ ^ i a a r j van i ^ ^ ^ 1 2 3 1+ 5 6 1 -0 0 2 0 -2 0 -0 7 0 -3 -1+ 9 2 0 -0 5 0 0 10 0 -6 0 0 -0 1+ -w'. . 10 tabel 2.1+.9

Verdere matrix-reduktie levert nu een bedrag 1+ op. Zie grafiek (2.1*.8) Hiermee zijn wij voor het feit komen te staan, dat indien 6 - 3 wordt ingesloten, de totale omstelkosten tenminste 30 zullen bedragen, (namelijk wanneer 3 - 5 ook wordt opgenomen.) Dit is nu ho-ger dan de ondergrens voor het knooppunt 6 - 3 , dat wij nu verder zullen onderzoeken. Daartoe blokkeren wij in de matrix van tabel (2.1*.3) het element 6 - 3. De w. . matrix geeft aan, dat het

uitslui-1J

ten van 1 - 1+ de grootste verhoging van de ondergrens geeft (name-lijk 9) en dat het verdere uitsluiten van 1 - 1+ een verdere ma-trix-reduktie van 12 geeft, waardoor voor deze gevallen de onder-grenzen op resp. 35 en 39 komen te liggen. Daar deze waarden hoger zijn dan de ondergrens van 3 - 5 (30) wordt het knooppunt 3 - 5 ver-der beschouwd.

Wanneer op de hierboven beschreven wijze wordt voortgegaan (de ver-dere berekeningen laten wij hierbij w e g ) , dan blijkt dat een volle-dig omstelpatroon wordt gevonden met de omstellingen 6 - 3, 3 - 5,

2.5 CÏCLUSDUUR 23

5 - 1, 2 - l + , l * - 6 e n 1 - 2 met een totaal van omstelkosten van 1*2. Zie grafiek (2.1*.8). Er zijn echter nog een aantal "niet afgemaakte" takken met ondergrenzen die lager zijn dan 1+2, namelijk diegene, die eindigen in de knooppunten 1-1+, 1 - l t e n 3 - 5 .

Het proces vervolgende komen wij tenslotte op de optimale oplossing met als waarde van de omstelkosten 38. Deze oplossing omvat de vol-gende omstellingen 1 + - 5 , 5 - 6 , 3 - 2 , 2 - 1 e n 1 - l + . Alle andere takken, die nu al of niet afgemaakt zijn, hebben nu een waarde of een ondergrens, die hoger is dan laatstgenoemde. Derhalve is de op-timale oplossing de produkt i e-volgorde 1 - 1 + - 5 - 6 - 3 - 2 - 1.

Tot dusver is de cyclusduur T nog niet nader beschouwd. In de vol-gende paragraaf zal op de invloed van T nader worden ingegaan.

2.5. De oyalusduur bij het zuivere rotatieschema

Indien de lengte van de cyclusduur vrij kan worden gekozen (dus wanneer deze lengte niet wordt bepaald door technische of organisa-torische omstandigheden), dan kan T zodanig worden bepaald dat de som van de gemiddelde omstel- en opslagkosten per eenheid van tijd minimaal is. Deze som ia gelijk aan:

n n

K(T) "^i^ ^""^ '^"^ + T j ^ ( l - s./p.)s. , i=l

.5.1 waarbij x* een optimale produktievolgorde voorstelt, die op de in

I J . . . / N

de vorige paragraaf beschreven wijze is bepaald. In (2.5.1) stelt de eerste term de gemiddelde omstelkosten, de tweede de gemiddelde voorraadkosten per tijdseenheid voor. De opslagkosten van produkt i per stiik en per tijdseenheid zijn gelijk aan m. . De faktor s./p-, de verhouding tussen vraag- en produktiesnelheid, geeft het rela-tieve kapaciteitsbeslag van produkt i op de machine aan.

Bij bovengenoemde produktievolgorde wordt de optimale cycluslengte gegeven door:

21*

2.5

e n n l^f "

-5 1

2.5.2 Indien echter voor het verrichten van een omstelling tijd nodig is, zal bij het bepalen van de optimale cyclusduur met deze tijd reke-ning moeten worden gehouden. De som van de omsteltijden zal niet zo groot mogen worden, dat er geen voldoende tijd meer overblijft voor het vervaardigen van de gevraagde produkten. Indien voor een omstel-ling van type i naar type j T.. tijdseenheden nodig zijn dan zal de

IJ

cycluslengte T zodanig moeten worden vastgesteld dat voor een pro-duktievolgorde X geldt:

n n n

y y T . . X . . •*• T y s . / p . < T . 2 . 5 . 3

i£i j£i ^J ^J i£i ^ "^^

Wanneer de in (2.5-2) gevonden optimale cyclusduur T' niet aan deze restriktie voldoet, dan zullen T en de x..'s onder (2.5-3) moeten

IJ worden geoptimaliseerd.

Een belangrijk bijzonder geval treedt op wanneer de omsteltijd wel afhankelijk is van het produkt dat in fabrikage wordt genomen, maar niet afhangt van het produkt dat uit de produktie wordt genomen. De omsteltijden van een willekeurig produkt i naar produkt j zullen dan alle evenlang zijn:

T.. = T. i = 1 , . . . , n , 2.5.'* 10 O

Ó = 1 n • i 7^ j .

Voor het geval de in (2.5.2) gevonden cyclusduxu: T' niet voldoet aan (2.5.3) wordt de optimale cyclusduur T'' gegeven door:

T " ^&^ ( l T.)(1 - l s /p )-l . 2.5.5

j=1 '' i=1 "• "•

2.5 CYCLUSDUUR ₂₅

De optimale cyclusduur T* voor het bijzondere geval dat de omstel-tijd naar een bepaald produkt toe onafhankelijk is van de volgorde wordt dan gegeven door:

T = max (T',T'') 2.5-6

Het algemene geval waarbij de T . .' s willekeurige waarden kunnen be-1J

zitten zal in een later deel van deze studie worden besproken.

HET VASTE PRODUKTIESCHEMA MET MEER FABRIKAGEPERIODEN PER CY-CLUS BIJ KONSTANTE VRAAG EN GEGEVEN PRODUKTIEVOLGORDE

3.1. De kosten van in voorraad houden

In het voorafgaande hoofdstiik is aandacht geschonken aan het zoge-naamde zuivere rotatieschema. Wij zullen nu een beschouwing wijden aan het geval, dat een bepaald soort produkt verschillende malen ge-durende de cyclus ter lengte T wordt vervaardigd. Wij nemen voorlo-pig aan, dat de volgorde waarin de produkten op de machine worden vervaardigd van te voren is gegeven. Verder veronderstellen wij weer dat de vraag per tijdseenheid konstant is. Een produktiesche-ma voor een bepaald type produkt wordt vastgelegd door de cyclus-lengte T en de tijdstippen waarop iedere produktieperiode voor ie-der produkt binnen de cyclus begint. Dit produktieschema wordt steeds herhaald.

Men kan reeds beginnen met produceren voordat de voorraad tot nul is teruggelopen. Het is mogelijk om iedere produktieperiode met een ander voorraadniveau te starten. In ieder van deze produktieperiodai wordt nu een hoeveelheid vervaardigd, die gelijk is aan hetgeen in de voorafgaande periode van dit soort produkt werd afgeleverd, ge-korrigeérd met de eventuele voorraad op- of afbouw. Het produkt i wordt in de cyclustijd k. malen in produktie genomen.

Aan de hand van het hierna volgende voorbeeld zullen wij een en an-der verduidelijken. De tijdsduur verlopend tussen het tijdstip

waar-3.1 KOSTEN VAN IN VOORRAAD HOUDEN 27

de de • • op type i voor de j en de j + 1 maal wordt gemaakt zullen wij aangeven met y• -1, waarbij Q < Y - - ^ 1 is. (In het vervolg van deze

IJ 1J

paragraaf zal indien er sprake is van één produkt de indeks i wor-den weggelaten)

De afname voor de j'de periode van de t'de cyclus wordt aangegeven met S^.

•t- J .de

Z. stelt nu de hoeveelheid produkten voor, die gedurende de j •1 de

periode van de t cyclus voor aflevering aan de afnemers ter be-schikking staat.

Z. omvat de voorraad aan het begin van deze periode, vermeerderd J

met hetgeen gedurende deze periode wordt geproduceerd. De voorraad aan het begin van de j + 1 periode zal gelijk zijn aan Z. - S..

t . . '^de Door de keuze van Z. kan de voorraad aan het begin van de j + 1

•^ de

produktieperiode van de t cyclus worden ingesteld. Zie figuur (3.1.1) k V o o r r a a d -1 hoogte

i

X .

, k 1* , ^ 1 ^ * / / ^

^ï-=;

Y T ^2

. /

i

ï

/ \

/ ^

<-4

^ 3 ^ / \

v^

1 1 3 3 ^ . 'k' ^ ( 1

A

'l

- <

Fig. 3.1.1

HET VASTE PRODUKTIESCHEMA 3.1

eenheid van tijd impliceert, geldt dat S. = S. = S. en evenzo

f ++1 O J O

Z. = Z. = Z.. In het vervolg zal dan ook de indeks t worden

weg-0 O O gelaten.

de

Wij beschouwen vervolgens de j periode en gaan na, hoe groot de gemiddelde voorraadkosten per eenheid van tijd zijn. Stellen wij nu

de

de hoeveelheid produkten die gedurende de j periode worden gepro-duceerd gelijk aan a., dan volgt dat:

J a. ^è^ S. , + Z. - Z. , O 0-1 o 0-1 3.1.1 i a . ( l - S . / p Y . T ) y/i

' ^j-r^ó-1

a j / p Y

^

X.

x^

Z j - a . S . / p y . T Y . T - a . / p S.(l-a./pY-T) J J J Z.-S. O o Fig. 3.1.2

Het oppervlak A. beschreven door de voorraadlijn gedurende de j

J

periode wordt gegeven door de uitdrukking:

3.1 KOSTEN VAN IN VOORRAAD HOUDEN (Z. , - S. J a . a? A S. A. = _ J r J J^ll^ + _i 1 _ _ J _ "^ P 2p V PY-T.

* h - ^.) f.' - ^) * J h - ±i) (v - 'i

3.1.2

Zie ook fig. (3.1.2) .

De uitdrukking (3.1.2) kan worden herleid tot:

A. = Z.Y.T - 5Y-TS. O i J O O ,2 , „2 — (S? , + Z^ + Zt + 2S. . Z . - 2S. ,Z. , - 2Z. , Z - ) , 2p 0-1 O 0-1 0-1 O 0-1 0-1 0-1 O 3.1.3 Daar nu: S. = y.sT , 3.1.1+ O 'o

verkrijgen wij ook:

A. = Z.y.T - 5Y?sT^ - ^r^ (y- ..sT + Z- - Z. , ) ^ . 3.1-5 O l ^ J O 2p 'j-1 j j-1

Stellen wij verder:

def

V, = Z. - Y-sT , 3.1.6

waarbij v. de voorraad aan het begin van de produktieperiode j + 1 J

is, dan gaat (3.1.5) over in:

A. = Y.Tv- + sY^sT^ - ~- ( Y - S T + Y. - V. , ) ^ . 3.1.7

O J O O 2p " o O 0-1

30 3.1 k. k. k. 1 1 , 1 A = T 5; Y-v. + ^sT^ l y] - ^ l (Y-ST + V - V ) j = 1 J J j=1 •^ -P j=1 -^ ^ •^ 3-1.

De gemiddelde voorraadkosten per eenheid van tijd zijn nu gelijk aan: K^(T) ^ § ^ f , 3.1-9 ofwel: k. k. 1 1 l Y-v. + ^sT l '•j=1 -^ •^ j = 1 " ^^' j = 1 3.1-10 K. k. K. K^T) = m [l Y-v. . ^ST j ' Y^ - ^ j X j S T - v . -v._,)^}.

De fysische interpretatie van het in (3-1-10) gevonden resultaat is gemakkelijk te doorzien, indien de wijze van voorraadberekening an-ders wordt opgezet dan in (3-1-2). Indien wij fig. (3-1-2) voorzien van een aantal hulplijnen dan kunnen de in (3.1.10) voorkomende af-zonderlijke termen worden teruggevonden. Zie fig. (3.1-3).

Daar de produktie nooit negatief kan zijn zal bij het bepalen van V. altijd rekening moeten worden gehouden met de voorwaarde:

O

Y . s T + v . - v . , > 0 . 3.1.11 'o O 0-1

3-2. De samenhang tussen de produkten onderling

Bij het zuivere rotatieschema, waar ieder produkt slechts éénmaal per cyclus wordt gemaakt, is de samenhang zo eenvoudig dat er geen speciale aandacht aan behoefde te worden besteed. Wij beschouwen nu weer alle produkten en wij gebruiken wederom de notatie ij om aan te

3.2 SAMENHANG TUSSEN DE PRODUKTEN ONDERLING 31 1 a . 0 Y - s T 0

>

i 1 /

i /

1 ^

1

(

0-1

'

a - / p

\i^

^ " ^ ^

_/

V

i

Fig. 3.1.3 de

geven dat type i voor de j maal gedurende de cyclus m produktie wordt genomen. Wanneer nu in tegenstelling tot het zuivere rotatie-schema bepaalde typen meer malen per cyclus in produktie worden ge-nomen zal wel aandacht aan de samenhang tussen de produkten moeten worden besteed.

Wij zullen dit doen aan de hand van een voorbeeld. Zie fig- (3-2.1). Stel dat een schema zoals in deze figuur is aangegeven^moet worden gerealiseerd. Hierin zijn de verschillende Y- -'S en tevens een

aan-1»O

tal variabelen e. aangeduid. Deze laatste geven het tijdsverschil tussen de start van de eerste produktieperiode van type i en de start van de eerste produktieperiode van type 1 weer.

De variabele E- wordt dus altijd gelijk aan O genomen. Wanneer nu verder a--T de tijdsduur is die in de j'de periode ter beschikking staat voor de produktie van type i, dan volgt in het voorbeeld dat:

32 3.2 "AI

=

"B

'

"BI

=

=C

-

=B

'

"C1 = ^A1 - =C ' 3-2-1 °'A2 " ^ B "^ •^Bl • ^A1 ' °'B2 " ^A1 "^ '^A2 " ^B " "^Bl of ook: " B 2 = ^ - ^ B - ^Bl • de In het volgende zullen wij met de notatie hk-Jlm aangeven dat de k

de produktieperiode van produkt h direkt vooraf gaat aan de m pro-duktieperiode van type i .

In het voorbeeld zijn de produktie-afwisselingen omschreven door:

Al - BI - Cl - A2 - B2 - Al . 3.2.2

Aan welke betrekkingen moeten nu de a. .'s voldoen ? de . . ^J

Als voor de m produktieperiode van produkt i geldt dat:

hk - Hm, 3.2.3 dan volgt: m-1 k-1

"hk= S *

} . \j

-

^h -

J.

^hj' 3.2.^

(zie fig. 3.2.2) de

De fraktie van de cyclustijd " , die voor de k produktieperiode van produkt h ter beschikking staat kan niet negatief zijn, zodat in ieder geval aan de volgende restrikties moet worden voldaan:

a. . a O , voor i = l , . . . , n , 3.2.5 j = 1,...,k..

3 . 2 + • p [0 3 ,-1 o

>.

ü

^

i - p Cf] ;J H o

!>.

o 1

h-f k cq

<:

o cq

<:

pq

<!

ü pq

<

SAMENHANG TUSSEN DE PRODUKTEN ONDERLING

>

^

_____l

^

5

. s ^ cy pq

>•

^

.—

pq r >-_ _ l PP

t__--^._-«

k

^

w o r __

*

r 3

^

a r-cq 1 pq 1

<

>-i

<

>-5

;--H-H pq u o 1

' __.i.

3 pq 1 o

.

<M a CVJ

<;

a f

,

o a k

5

a 3r

J^T

«5

r

. 1 ^

=

33 eg ro t i •H

31* 3.2

> tijd Fig. 3.2.2.

Voorts zal de som van de tijdsverschillen Y - - T

1J

,Y- • IS hierbij gro-1J

ter dan O) tussen het begin van de opeenvolgende produktieperioden voor een produkt gelijk moeten zijn aan de cyclusduur T, zodat moet gelden: verg. no. 1 2 3 l* 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11* 15 16 ^B 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 ^C 1 -1 1 - 1

'^

1 - 1 1 - 1 ^ A l | ^ A 2 | ^ A 3 - 1 1 1 -1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 1 1 ^Al* 1 / B 1 / B 2 / B 3 1 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 1 1 / B 1 + / C 1 / C 2 | ^ D 1 / D 2 1 - 1 1 - 1 1 1 1 1 1 tabel 3.2.1

3.3 HET GEBRUIK VAN DE TIJD ₃₅

l Y-. = 1, j = 1 ^'

voor i = 1 ,...,n , j = 1,...,k..

Ook moet aan de volgende voorwaarden worden voldaan:

O S e^ < 1 ^ voor i = 2,. . . ,n ,

3.2.6

3.2.7

^1 = °

3.2.f

Aan (3.2-7) wordt echter als gevolg van (3.2.1+) altijd voldaan. Uit het voorgaande volgt, dat de onderlinge samenhang van de produk-tietijden van de verschillende produkten bij een gegeven produktie-schema beschreven wordt door een systeem van lineaire relaties tus-sen a. •, Y• • en e.. Dit systeem heeft een typische struktuur welke

-*-j IJ 1 voor het geval:

Al - BI - A2 - B2 - Cl - A3 - C2 - B3 - Dl - Al* - Bl+ - D2 - Al ,

rechter lid

°A1 ,°A2 ,°A3,"A1* ,"B1 , " B 2 ,°B3 ,"B1*|"C1 , " C 2 ,"D1 , ° D 2

-1 -1 -1 -1 O O

_ o

_ O _ O _ O

o

o

_ o

_ o

_ o

- -1 1 _ 1 _ 1 _ 1 vervolg tabel 3.2.1

wordt weergegeven door de koëffioiëntenmatrix in tabel (3.2.1). De restrikties a.- > O, Y-• - O en e. a O zijn hierin ekspliciet opgeno-men. De vergelijkingen no 1 t/m 12 hebben betrekking op de voorwaar-den (3.2.1*). Ce vergelijkingen 13 t/m 16 geven de voorwaarvoorwaar-den (3.2.6) weer. Opgemerkt dient nog te worden dat de door (3.2.1+) en (3.2.6) gegeven lineaire relaties niet onafhankelijk van elkaar zijn. Daar nu ook de som van alle voor de produkten ter beschikking staande produktietijden gelijk is aan de cyclusduur volgt:

n n

l

I

c.

= 1 . 3.2.9

i=l j = 1 -^

De twaalfde vergelijking van tabel (3.2.1) is dan ook geschreven

als:

- ^ D - ^ D l - " D 2 = - ^ • 3.2.10

3.3. Het gebruik van de voor de produktie ter beschikking staande

tijd

In hoofdstuk 2 is reeds de veronderstelling gemaakt dat voor het om-stellen van het ene type naar het andere een tijd nodig is, die af-hankelijk kan zijn van de omstelling die plaats vindt. Indien voor

.de

de j produktieperiode van produkt i geldt dat ij-hk, dan zal de omsteltijd van i naar h worden gerekend als te behoren tot de voor

de . . . produkt 1 in de j periode ter beschikking staande produktletijd.

In dit geval zal moeten worden voldaan aan de voorwaarde:

a..T 2 t.^T , 3.3.1 IJ ih

t.,T stelt hierbij de omsteltijd van type i naar type h voor. De som van de in de verschillende produktieperioden van de

oyclustijd vervaardigde hoeveelheden moet gelijk zijn aan de vraag die zich gedurende de cyclustijd voordoet. Indien verder S,. .Tde

even-.de . "'•''

3-3 HET GEBRUIK VAN DE TIJD ₃₇ zal moeten gelden:

k 1 ( c t _ _ 1 0 1 y (a. . - t . , - il. . ) p . = s. . 3-3-2 .^., IJ i h i j ^ 1 1 O

De voorraad van produkt i aan het einde van periode j wordt dan ge-geven door de betrekking:

V. - = V. . , + (a. . - t., - Jl..)p.T - Y--S.T . 3.3.3 IJ iJ-1 10 ih 10-^1 10 1

De voorwaarden (3.2.6) kunnen ook worden afgeleid uit (3.3.3). Im-mers , sommeren wij in (3-2.6) over alle j's dan geldt:

k. k. k.

k-1 1 1 1

y v . . = y v . . , + y ( a . - - t . . - a . . ) p - T - y Y - - S - T .

j i i - j j i i 10-1 j £ i IJ IJ 10 "^1 j ^ i ' i j 1

3.3.1*

Daar wegens het veronderstelde cyclische produktiepatroon:

^•n = ^-iv. ' 3.3.5 _{lO ik.} 1 volgt dat: k, k,

} .

(»ij-^ih-^ijV= I ^ij^i^ • 3.3.6

J ' O '

Gelet op (3.3.2) volgt uit deze vergelijking dus ook dat: k.

1

I Y-- = 1 , 3.2.7 j = 1 ^•'

hetgeen betekent dat de vergelijkingen (3.3.3), (3.2.6) en (3.3.2) afhankelijk zijn.

38 HET VASTE PRODUKTIESCHEMA 3.1*

In de volgende paragrafen zullen wij een tweetal bijzondere geval-len behandegeval-len, die door hun eenvoud en hanteerbaarheid van de oplos-methode speciale belangstelling verdienen. Het eerste geval betreft de situatie waarbij een bepaald produkt alleen maar in produktie wordt genomen als de voorraad van dat produkt tot nul is gedaald; bij het tweede geval wordt de hoeveelheid die van een bepaald pro-dukt wordt gefabriceerd altijd evengroot gehouden.

3-1*. Het bijzondere geval: geen voorraad aan het begin van een

produktieperiode

Het is mogelijk, dat in de fabriek om technische of organisatorische redenen geen systematische voorraad op- of afbouw wordt gewenst. In dat geval wordt dan gesteld:

V.- = O, voor i = 1,. .. ,n , 3-1+.1 IJ

j = 1 ,. .. ,k^.

Dit houdt in dat de hoeveelheid die gedurende een bepaalde periode Y--T wordt vervaardigd, gelijk is aan de hoeveelheid die gedurende

10

diezelfde periode aan de klanten wordt afgeleverd. Uit (3.3-3) volgt dan:

(a. . - t., - l. .)p. = Y- -s- - 3-U.2

IJ ih IJ ^1 'IJ 1

De voorraadkosten per eenheid van tijd aangegeven door formule (3.1-10) krijgen een eenvoudiger vorm:

K^(T|v._j = 0; i = 1 n , j = 1 k^) =

k.

= ^s,T(i -f;) l y\^ - 3.U.3

^1 0 = 1

3-5 HET BIJZONDERE GEVAL 39

Een ander bijzonder geval dat tot een interessante vereenvoudiging leidt is dat waarbij voor ieder type produkt evengrote fabrikagese-ries worden aangehouden- De hoeveelheid die dan van produkt i per produktieperiode wordt vervaardigd, is gelijk aan:

s.T

^ j = « i = l X ' 3.5.1

Verder geldt dan dat:

V.. = V.. . - Y--s-T + Q. . 3.5-2

IJ iJ-1 IJ 1 1

Voor de voor type i in de j'de prodiiktieperiode ter beschikking staande tijd geldt dan:

a. - = - ^ + t.. + a. . . 3.5-3

IJ p.T ih IJ

De voorraadkosten per eenheid van tijd kunnen nu ook weer door een eenvoudiger vorm van formule (3-1.10) worden voorgesteld.

Indien nu (3.5-2) wordt gesubstitueerd in (3.1.7), dan wordt voor het oppervlak beschreven door de voorraadlijn gedurende de j'de pe-riode de volgende uitdrukking verkregen:

2 2 2

Q-A. . = Y- -Tv. - + 5Y- -sT - - 3 ^ . 3-5-'* 10 10 10 10 2p.

Om nu een uitdrukking te verkrijgen waarin alleen de voorraadhoogten aan het begin van een produktieperiode voorkomen, substitueren wij nogmaals (3. 5 - 2) en vervolgens (3.5-1) in (3.5-'t)- Dan volgt:

A. . = — (Q. -V. . + v . . J v . . + TT'- (Q. -V. . •*• V. . J^ - - ^ ,

10 s^ ^1 IJ ij-1 IJ 2s^ ^1 IJ ij-1 2p^

1*0 HET VASTE PRODUKTIESCHEMA 3.5

2 2 ^-^^^

^ij = 2 i 7 ( « i ^ ^ j - i « i ^ i j - i - - i j ' - i j i r

3.5.6 De voorraadkosten per eenheid van tijd voor produkt i bedragen dan:

,2 Kj(T|a.. = Q.; j = 1,-..,k.) "^i^ k.QT 1 1 . "i ÏÏTT * 1 1 i o o s.Q. + rr^ l (v'. - v'.+2v. . ,Q. ^ • i-, ij-1 IJ ij-1^1'

2S.T >^ • ij- 2Pi . 3.5.7

Rekening houdend met (3.3-5) en (3-5-1) volgt dan:

K.(T a.. = Q.; j = 1,...,k.) = m. 1 ' IJ ^:L' '' ' 1' 1 s. 1 5(1 - — ) Q - + r- y V. . p. ' ^1 k- -f:, IJ 1 1 J = 1 3.5.f

3.6. Minimalisatie van de voorraadkas tenfunktie bij een gegeven

produktievolgorde

Het bijzondere geval waarbij de produktieserie voor ieder produkt konstant van grootte is kan het gemakkelijkst worden geminimaliseerd. De objektfunktie

K''(T|a,^ = Q. ; i = 1 n; j = 1 k. def

def _{l Ky(T|a.. = Q.; j = 1,...,k.) ,}

i=1 -L 10 1 3.6.1

is op een konstante term na lineair in v... De voorwaarden waaraan 10

hierbij moet worden voldaan zijn aangegeven in de tabel (3.6.1) voor het reeds eerder gebruikte voorbeeld. De in deze tabel voorkomende ongelijkheden 1 t/m 12 geven hierbij aan dat a.. zowel moet voldoen

IJ

3.6 MINIMALISATIE 1+1

de

volgt dat als de m produktieperiode van produkt i direkt volgt op

de . .

de k produktieperiode van produkt h, de volgende relatie ontstaat:

m-1 k-1 a

De vergelijkingen 13 t/m 2l+ geven de kondities (3.5-2) aan. Omdat hieruit de voorwaarden (3.2.5) kunnen worden afgeleid zijn deze laatste weggelaten.

Het zal duidelijk zijn, dat in de optimale oplossing van ieder pro-dukt i minstens één van de v. .'s gelijk aan nxü. zijn.

Wanneer nu verder de machine volledig bezet is, dan zal er slechts één oplossing mogelijk zijn. Het optimaliseren zelf, van de door

(3.6.1) aangegeven objektfunktie onder de in tabel (3-6.1) gegeven voorwaarden, kan met behulp van lineaire programmering worden ge-daan.

Het andere bijzondere geval, namelijk dat waarbij de voorraden aan het begin van iedere produktieperiode gelijk aan nul worden gesteld, kan benaderend (en wel in principe met iedere gewenste graad van nauwkeurigheid) met behulp van lineaire programmering worden opge-lost. De objektfunktie:

K^(T|v^j = 0; i = l,---,n; j = l,-.-,k.) ^=^

k.

^i' l im.s.Td - f ) l y' 3.6.3

i=l ^i j = l ^-^

omvat uitsluitend termen met van positieve koëfficiënten voorziene kwadraten van Y-•• Een bekende stelling leert dat, indien de matrix van tweede afgeleiden van een objektfunktie die onder bijvoorwaar-den moet worbijvoorwaar-den geminimaliseerd semie-positief definiet is, een gevonden minimale oplossing tevens een globaal minimum is. Zie Saaty en Bram

bijzon-1+2 _{HET VASTE PRODUKTIESCHEMA}

3.6

EH EH E H E H E H E H E H E H E H E H E H E H J

<rpq < pq O •afcj m Q < p q ( i

P C P H P 1 H P < P 1 < P ( P ) P ( P < P ) P H P I Of a (y cf(y & cy af && cfcP

+ + + + + + + + + + + +

p q < ; p q o - a ; c j p q Q ^ p q o < <L?i f L f * n m p q m o u p p < l p q 5 ; p q o < ; o p q o < i ! p q aaf af af af &&& <yaf af cf^cy

• P H - > - P + J P p H J H J H - = . p H J M Al Al Al Al Al Al Al Al Al Al Al I I I I I I II II II II II II I I I II II EH I o EH 1 o EH I pq EH I pq ei I pq

^<'

^<'

(rl I •=i; EH I

'S

• p c \ i r o j - L / N y 3 c — c o c h O ' - C M C O - ir\^~o t—Ki o\ o 'T- CJ m.=t .— "— . - - r - r - C V I C M C M C M C M

3.6 MINIMALISATIE 1*3 dere geval is inderdaad semie-positief definiet, daar er alleen maar elementen in voorkomen, afkomstig van kwadraten van variabelen die van positieve koëfficiënten zijn voorzien. Een gevonden optimale op-lossing is in dit geval tevens een globale optimale opop-lossing. Wanneer men gebruik wil maien van een lineair en niet van een kwa-dratisch programmeringsprogramma, dan k£in men dit doen door de ob-jektfunktie te lineariseren. Hiertoe vervangen wij de variabelen Y-•

IJ door een D-tal andere en wel:

def V -, a. I,

^ij,

' ï '

3.6-5

waarbij tevens geëist wordt dat Y-• geen positieve waarde aanneemt,

'ijq =• ^ ^ •

voordat de variabele Y•• , de waarde van zijn bovengrens — heeft

ijq-1 D aangenomen. Dus:

Y- - £ Y- • , . 3.6.6 'ijq 'ijq-1

De restrikties (3.6.1+) en (3.6.5) en de nieuwe variabelen worden aan het stelsel toegevoegd. De beperkingen (3.6.6) zullen zoals zal blij-ken, niet behoeven te worden

opgenomen-De in de objektfunktie voorkomende kwadraten van Y-• worden benaderd 10

door de lineaire uitdrukking:

Voor verdere verduidelijking zie fig. (3.6.2)

De objektfunktie wordt nu op de volgende wijze benaderd:

1*1* HET VASTE PRODUKTIESCHEMA 3.6 i D r 2 / , >2i

l

im.s..T(l-^) I ^ ^-4a::iL

J = 1 q=1 '• •'

.1

im.s

T(1

- - i ) I I

1=1 ^ ^ Pi j=1 Q=1 3.6.8 10 Fig. 3.6.2

Door de juiste keuze van D kan de gewenste nauwkeurigheid van bena-dering worden verkregen.

Daar in de gelineariseerde objektfunktie Y- • een koëfficiënt heeft, 'ijq

die groter is dan die van Y-• _,, zal in de optimale oplossing de variabele Y-- niet een positieve waarde aannemen indien de

variabe-loq 1 Ie Y- - niet de waarde van zijn bovengrens — heeft aangenomen. De

restrikties (3.6.6) kunnen derhalve achterwege blijven.

De voor dit bijzondere geval geldende voorwaarden zijn in tabel (3-6.3) als voorbeeld aangegeven. De vergelijkingen 1 t/m 12 stel-len voor de kondities (3.2.1*), de ongelijkheden 13 t/m 2l+ de

voor-3.6 MINIMALISATIE _1*5

waarden (3.1+.2), de vergelijkingen 25 t/m 28 de voorwaarden (3.2.6), de vergelijkingen 29 t/m 1+0 de substituties (3.6.1+) en de ongelijk-heden 1+1 t/m 61* geven tenslotte de bovengrenzen van de variabelen Y-• aan. Bij deze illustratie werd D = 2 gekozen.

'ijq

Voor het oplossen van het algemene probleem moet men gebruik maken van een methode voor minimaliseren van een niet lineair programme-ringsprobleem met bijvoorwaarden. Lootsma en Pearson hebben gebruik makend van de "logarithmic barrier function technique" voor dit al-gemene probleem een minimum gevonden. Voor het resultaat verwijzen wij naar de betreffende publikatie. [10]

Omdat echter de matrix van tweede afgeleiden van de objektfunktie niet semie-positief definiet is, kaji geen garantie worden gegeven dat de gevonden oplossing een globaal minimum voorstelt.

De voor het algemene geval geldende restrikties zijn, bij de als voorbeeld reeds eerder gebruikte produktievolgorde, in tabel (3-6.1+) aangegeven,