O błędach przybliżenia funkcji pierwszymi wyrazami jej szeregu potęgowego

O błędach przybliżenia funkcji

pierw szym i w yrazam i jej szeregu potęgowego

§ 1. Sformułowanie zagadnienia. W praktycznych obliczeniach często rozwijamy funkcję f(x) w szereg potęgowy, z którego zatrzymu­ jemy tylko skończoną, ilość p wyrazów. Jest rzeczą ważną oszacować dokładnie i możliwie prosto błędy przybliżenia, mianowicie błąd bezwzglę­ dny \Rp (x)\1 tzn. bezwzględną wartość reszty szeregu, lub błąd względny

(1) 1З Д 1

\ R p ( ® ) \

1/ И 1

Zajmiemy się jedynie szeregami typu Maclaurina i przybliżeniami w przedziale <0,a?m>; w przypadku x < 0 wystarczy badać szereg, w którym

nieparzyste wyrazy mają zmieniony znak, a x jest nieujemne. Jak wia­ domo,

(2) \Rp (x)\ < max \f(p){x)\

ale to oszacowanie jest często praktycznie bezużyteczne (gdy np. nie potrafimy obliczyć prawej jego strony) lub czasem bardzo grube. Na podobne trudności napotykamy przy szacowaniu błędu względnego w ca­ łym przedziale.

Jeżeli błędy bezwzględny i względny są funkcjami niemałejącymi w przedziale <0,#w>, to wygodnie jest oszacować je w punkcie a?m; to osza­

cowanie jest ważne w całym przedziale. Celem niniejszej pracy jest zba­ danie, przy jakich założeniach błędy te są funkcjami niemałej ącymi, a więc kiedy wystarczy zbadać je na prawym końcu przedziału. Dokła­ dniej mówiąc, zajmiemy się następującym zagadnieniem: Dany jest

CO

szereg potęgowy £ a nxn, zbieżny w pewnym przedziale <0,r>; jakie wa-n = 0

ranki nałożone na współczynniki an wystarczą, by istniał przedział <0 ,жш>,

372 M. Ż y c z k o w s k i

§ 2. Twierdzenie o błędzie bezwzględnym. Założeniem tego twier­ dzenia jest jedna z siedmiu par warunków I-VII podanych w tabeli 1, w której wprowadzamy następujące oznaczenie:

(*) = +1)т +Тс]2 a2(2j-+1)m+k — (2jrn-^-'k)[{2j-]r 2)m^r k]a2jm+lcai2j+2)m+k. T A B E L A 1 0 dla lub (in 0 dla j O _{© $ II o dla} II a>n

m — liczba naturalna stała, / =0,1,2,...,

gdzie kZszp jest wskaźnikiem pierw­ szego różnego od zera wyrazu resz­

ty Rp{x), 2° 0 i Zly ^ 0 III IV VI VII 1 ° o>jm+ka j m + k + l < 0 , j,k ,m jak pod II,

l< m , l — stała liczba naturalna, 2° «и = 0 dla n^jm-Ą-k i dla пф]т-\-к-г1 an dowolne *) O 1° — dla n ^ p , n\ O

2° \ajcl = — (G — dowolna stała do­

ki

datnia, к — jak w II)

Xm 0 Xm ^ 0 Xfn “Sj v . ^ / — ■ ( / w b -f- к ) щ т .|_fc 1 k\ajc | xm - inf . л 2 1 (к + и) \п]с+п\ (к — jak w II) Хщ 0 1° \ a n \ < — n 0 * 2° “ k* dla n ^ p ,

j

2° \ajc\ = Ok1 (O, к — jak w V, t > — 1) I

к \ <+1

Xm i ( A \ 2 U + l/

Tw ie r d z e n ie 1. Jeżeli jest spełniona jedna para warunków z tabeli 1, CO

to bezwzględny błąd przybliżenia \Bp (x)\ =

J

Zanim udowodnimy powyższe twierdzenie, zilustrujemy je na przy­ kładach.

P r z y k ł a d y .

Wa rune k I. Oszacujmy dla 0< ж <2 bezwzględny błąd przybli­ żenia

, х2 хъ

e £»1 + ж + ~ + ~

-Założenia I są oczywiście spełnione, wobec tego błąd \R4(x)\ jest funkcją niemalejącą w przedziale <0,2>. Wystarczy go zatem oszacować dla x = 2 . Ponieważ e2<7,39, a l + 2 4-22/ 2 + 23/6>6,33, więc |R4(2)|<1,06

i w całym przedziale <0,2> jest |Е4(ж)|<1,06. Zazwyczaj stosowane osza­ cowanie tego błędu za pomocą nierówności (2) byłoby

| ^ H K ^ < 4 , 9 3 , a więc niemal 6 razy gorsze.

Wa rune k II. Warunki II spełniają szeregi, których reszta ma postać szeregu o stałej i wynoszącej m różnicy wykładników dwóch sąsiednich wyrazów; poza tym musi być spełniony warunek 2°, z którego wynika,

że począwszy od pierwszego różnego od zera wyrazu reszty co drugi jej wyraz musi mieć ten sam znak. Na przykład szereg

z ft 11 14.

Г р r p y /У»А /V»

л n U/ tAy %fj tA/ у ~ X X X --- ---

1---J 5 8 11 14

trzeba przybliżyć co najmniej przez wielomian Уз = X + o? + x \

by założenia II były spełnione; reszta B 4(x) — — x5/5-\-x8/8 —... ma bowiem żądaną postać (m —3, k =5; można sprawdzić, że warunek 2°

jest tu też spełniony). Eeszta В 3( х ) = х ъ—х5 j5 + ... nie ma tej postaci, bo różnica wykładników nie jest stała.

Oszacujmy błąd bezwzględny na przykład dla a?= 1/2:

| 1 , 1 1

374 M. Ż у с z к о w s к i

Bą, 1

2 < 0,00581,

więc w myśl twierdzenia 1 w całym przedziale 0< ж <1 / 2 jest |jR4(x‘)|< <0,00581.

Jako inny przykład rozpatrzymy szereg /У» /Y»2 /Y»^ /У»^1 /V»^

4aJ w (Л/ и/ iA/

y = T o ! ~~ 1ГзТ + 3-3! _ З^бГ + 5 “ *’*

Szereg ten jest wszędzie zbieżny, daje się bowiem zmajoryzować przez szereg przedstawiający funkcję ex. Jeżeli p jest nieparzyste, to reszta spełnia założenia II; obierzmy na przykład p — 3 przybliżając szereg przez wielomian

x2

J2 g

Wtedy mamy k —3, m —1, a po podstawieniu do wzoru 2° warunku II mamy

^ - 8?'3 - 44f - 76?’ - 11 ^

“ (2f + 3)2(2j + 3)!(2j + 5)(2j+5)Ś < ' A

dla każdego ?>0. W takim razie, w myśl twierdzenia 1, błąd bezwzględny przybliżenia rośnie w całym przedziale x ^ 0 .

Należy jednak zwrócić uwagę na to, że gdy obierzemy p parzyste, reszta nie będzie spełniać założeń II, mianowicie warunku 2°. Jeżeli na przykład p = 4 , to k =4, m = l , a po podstawieniu do wzoru (*) mamy

_ 8?3-l-60?2+140?+101 ^ ’ ~ W + 3 j ( 2 j + 6) ( 2 j + > 0

dla każdego ? >0. Twierdzenie U l nie stosuje się więc do przybliżenia

szeregu przez wielomian y b. Bzeczywiście, |Д,(1)| = 0,00112, a |E4(3/2)| =

= 0,00041, więc |E4(1)|>|-R4(3/2)|, i szacowanie błędu w całym przedziale

0<a?<3/2 przez błąd w punkcie x —3[2 jest tu niedopuszczalne.

Wa rune k III. Ogólnie, założenia III możemy też sformułować następująco: Nazwijmy akxk pierwszym wyrazem reszty, ак+гхк+г—

przez wielomian x3 х5 х6 х8 IF ~ ~в2 + ж 2 я X X Уг = _{~т (Г’}

to reszta B4(x) ma żądaną, postać (7c=5, 1=1, m =3); podobnie, jeżeli przybliżamy go przez wielomian

a?2 xA af У5 = "4 <T + 2fT ’

ponieważ wtedy Z=6, h = 2 , m = 3.

Warunki III są spełnione dla szeregów przemiennych. Spełniają je więc rozwinięcia funkcji sina?, cos a?, e~x, ln(l+a?) itd. Na przykład dla przybliżenia

a?3

siu x x

---6

jest fc=5, 1=2, m—4; aby znaleźć kres dolny ciągu

b, - (4j + 5)a4,-+ 5

(4j + 7) % + 7

określający długość xm przedziału, w7 którym błąd bezwzględny jest funk­

cją niemalejącą, podstawiamy

1 1

a*’+s = 7 ¥ Т 5 Й ’ a'il+1 = ~~ 7 4 } + 7)! '

Zatem &.,=j/(4}+5)(4} + 6) i inify=j/30, bo ciąg b} jest rosnący, więc

jego kresem dolnym jest pierwszy wyraz (j = 0). W myśl twierdzenia 1 w całym przedziale 0<a?<|/30 błąd bezwzględny \B-4(x)\ jest funkcją niemalejącą i wystarczy oszacować go na prawym końcu dowolnego podprzedziału.

Badając bezpośrednio funkcję |В4(а?)1 = |вта?—a?+a?3/6| moglibyśmy

się przekonać, że rośnie ona nie tylko w przedziale 0<a?<j/30, ale w ogóle dla a?>0. Dowód tego jednak (przez badanie współczynników an) byłby trudny, a przy tym zupełnie niepotrzebny dla zastosowań praktycznych: rozpatrywane przybliżenie w przedziale ж>у30 jest bowiem tak złe, że nie daje się stosować w praktyce. Aby uzyskać lepsze przybliżenie musielibyśmy uwzględnić większą ilość wyrazów szeregu, ale wtedy od­

376 M. Ż y c z k o w s k i

Należy jeszcze zwrócić uwagę na pewne nieliczne przypadki szeregów przemiennych, w których nie możemy stosować twierdzenia l.III; może się mianowicie zdarzyć, że kres dolny ciągu {6? j jest równy zeru, a w takim

razie przedział 0<ж<жто redukuje się do punktu a?=0. Dzieje się to zawsze, gdy promień zbieżności danego szeregu jest 0, ale ten wypadek nie wcho­

dzi w grę, bo wtedy w ogóle nie ma mowy o żadnych przybliżeniach. Weźmy jednak pod uwagę szereg o promieniu zbieżności 1

у = x — 2x2 хъ — Lx4, * * -f- oł — бж6 + ...

Jeżeli obierzemy p parzyste, na przykład p =2, czyli zastosujemy przy­

bliżenie y ^ x , będziemy mieli Tc=2, 7 = 1, m —2. W takim razie b — — ^ ~l~ ^ ) a2/+2 .

(2? + 3) ^2,-+3

w naszym przypadku a2j+2= — (2j Jj-2), а2?+з=1 ? P° podstawieniu zatem

otrzymujemy

7 (2j + 2)2

Jest to ciąg rosnący, więc jego kresem dolnym jest &0=4/3; promień

zbieżności wynosi jednak tylko 1, więc ostatecznie w całym przedziale 0<ж< 1 funkcja \R 2 (x)\ jest niemalejąea.

Jeżeli natomiast obierzemy p nieparzyste, na przykład p =3, sprawa przedstawi się inaczej. Mamy tu Tc —3, 7=1, m—2,

I, — ~ ^ ^)a2j+3 __ 2j -f 3

(2'j + 4)<*2j+4 (2.?+4)2

Jest to ciąg malejący o wyrazach dodatnich, ale o granicy 0 — prze­ dział redukuje się więc tu do punktu. W tym przypadku możemy jednak skorzystać z warunków IY, które, jak wykażemy, stosują się do wszystkich szeregów o promieniu zbieżności różnym od zera i nigdy nie redukują przedziału do punktu 0.

W a r un e k IY. Warunek IY jest najogólniejszy z podanych, ponieważ spełniają go wszystkie szeregi. O an nie robimy żadnych założeń, a jak wykażemy, kres dolny ciągu {en}, w którym

2 У {Tc + n)\ak+n\

Twierdzenie 1 przy warunkach IV pozwala na obliczenie xm dla kilku najważniejszych szeregów i majoryzowanie przy ich pomocy innych szeregów. W ten sposób zostały otrzymane warunki V, VI i VII.

W a r un e k V. Błąd bezwzględny ■ \RP(x)| jest funkcją niemałejącą w przedziale 0< a?< l/2, jeżeli przybliżamy na przykład szereg

x2 a?3 a?4 x5 a?6

— _ _ — ---~j---—

~f~

2 ! 3 ! 4 ! 5 ! бТ

przez wielomian у г = x---- a?2 lub na przykład szereg

x x2 oł ^ ~ T ! + 2!~ ~ 3*3! X4, x5 + ТГ + ~бТ 6-6! + przez wielomian у ъ = x J— x2 2 18x

Wa ru ne k VI. Błąd bezwzględny \Rp(x)\ jest funkcją niemalejącą w przedziale 0<a?<:i/2, jeżeli przybliżamy na przykład szereg

У = 2

x x

32 1 6 2 72

przez wielomian y3= 2 - f 2a? —ж3/9.

Wa rune k VII. Jeżeli przybliżamy szereg

, 2 3 4 3 5 4 6 5

u 3 5 7 9 11

przez wielomian y2= l —2a?/3—3a?2/5, możemy przyjąć (7 = 4/7, t = 0, lc—3. W takim razie błąd \Вг {х)\ będzie funkcją niemalejącą w prze­ dziale 0<a?<(l/2)-(3/4)=3/8; ponieważ |E3(3/8)|<0,037, więc w całym przedziale 0<a?<3/8 jest \Вг{х)\<0,037.

Jeżeli przybhżamy szereg

у = 2 — 2 • 22a?2 — 2 • 42a?4+ 2 • 6 2a?6 — 2 • 8 2a?8 — ... =

= 2 - 8x2 - 32а?4 + 72x6 - 128а?8 - ...

przez wielomian y%=2 —8a?2, możemy przyjąć &=4, 2=2, 0 = 2 . Błąd

|E3(a?)| będzie więc funkcją niemalejącą w przedziale 0<a?<( l/2) • (4/5)3 =

=32/125. Na przykład |h?3(l/4)| wynosi

/1\ 32 72 128

=

~ 256 + 4096 ~~ 65636 ~ ‘"

378 _{M. Ż y o z k o w s k i}

D o wo dy . Przechodzimy teraz do dowodu twierdzenia 1. Ponieważ jest to właściwie 7 twierdzeń, więc przeprowadzimy dowód dla każdego z nich.

I. Mech an^ 0 dla każdego w takim razie

OO 0 0

\Rp(%)\ = | I X ^ | = n = p n —p

W przedziale zbieżności możemy różniczkować szereg potęgowy wyraz po wyrazie, zatem

d 00

—— | B p {x)\ = 2 nanxn- \

dx n=p

Każdy z wyrazów tego szeregu jest w przedziale 0 ^ x ^ x m nieujemny,

d

zatem pochodna — \Rp(x)\ jest nieujemna, więc \Rp(x)\ jest w przedziale CMC

()<ж<жт funkcją, niemałejącą, co należało wykazać. Jeżeli O dla każdego dowód jest analogiczny.

II. Błą,d bezwzględny możemy tu napisać w postaci | Bp (*^)|

=

V

V

Mech a2jm^k> 0 dla każdego O (gdyby było a2jm+k< O, dowód prze­ biegałby analogicznie). Wobec tego wyraz akxkl2 oraz współczynniki

a(2j+2)m.+kl2 przy najwyższej potędze x w trójmianach, z których składa

się szereg, są, dodatnie. Trójmiany te są, więc stale nieujemne, jeżeli ich wyróżnik

~ ^ ( 2 j + l ) m + k ®2jm+k®(2j+2)m,+k

jest niedodatni dla każdego 0. Ale z założenia otrzymujemy 2 4 f m2 |- 4jm 2 + 4 jmk 2mk + ił

% i + l), » + « = - + 4 ,-,„2 + m 2 + y m 1e + 2 m 1 c + j . , « № » + * « ( # + 2 )» + * < « ,

skąd wynika, że Ą - <0. A więc reszta R p (x) jest stale dodatnia i możemy

napisać

1 00 i1

\Rlp(x)\ = — akXk - f - \ ~ a2jm+kx2}m+k + a(2j+l)m+kx(2j+1^m+k +

" / = 0

W takim razie, w przedziale zbieżności szeregu,

d 1 00 . ( 1

~~ \Bp{x)\ = --- Teakał'-1+ ^ х2т+к' 1 - ( 2jm + h)a2jm+k +

их z j—o 1z

"Г [(2? + 1 )m-\- j+l)m + kxmjr [(2j + 2)m + &]^2,-+2)m+A;^2mj.

Wyraz stojący przed znakiem sumy, jest dodatni, wszystkie zaś trój- miany pod znakiem sumy są stale nieujemne, ponieważ współczynniki przy x2m są dodatnie, a ich wyróżniki są niedodatnie z założenia. A więc

d\ Rp(x)\ldx^Q, przeto błąd bezwzględny rośnie w przedziale 0<а?<а?т ,

gdzie xm jest dowolnym punktem zbieżności szeregu, co należało wykazać. III. Bezwzględny błąd przybliżenia możemy tu napisać w postaci

00 00 \B,v { x ) \ =

Ż

j

Z założenia oraz z uwagi na to, że wszystkie wyrazy ciągu {b}} są dodatnie, wynika

xi< _ — {jm-V k)ajm+k (jm + /£ +l) <ijm+k+i

dla każdego O, a więc tym bardziej

x l a j m+k

djm+k+l

dla każdego j >0. Mech щ;m+k> O, ajm+k+i< O (gdyby było odwrotnie, do­

wód przebiegałby analogicznie). W takim razie jest

M j m + k + l x ^ ^

dla każdego j^O . Możemy więc we wzorze na \Rp{x)\ opuścić znak war­ tości bezwzględnej po prawej stronie:

OO

\RV{X)\ = 2"xim+k («W* + Цт+к+гхг). 1=o*

W przedziale zbieżności szeregu

d 00

_ _ \Rp(x)\ = 2 ' xfim+k- 1 [ { j m+ k)ajm+k-\- h + l ) a jm+k+1o ł l

a x j =o

prze-380 M. Ż y c z k o w s k i

dziale 0<ж,<жш nieujemne dla każdego ; w takim razie pochodna d

\Rv (x)\ jest nieujemna w tym przedziale i \Bv {x)\ jest funkcją nie- аж

malejącą, co należało wykazać.

IV. Przede wszystkim wykażemy, że istnieje dodatni kres dolny ciągu [en]. Kres dolny musi istnieć, bo jest to ciąg o wyrazach dodatnich. Jest on dodatni, ponieważ

lim inf . . . J, f- П-+0О

lim mf c„_n = — *---_{o n,--- 7} J lim supу \ak+n\

m—yoo

w liczniku otrzymujemy 1, więc ostatecznie, korzystając z łatwej do

wykazania równości

% / Ц ч\ 7 Tc~\-n

lim sup } / \ak+n\ — lim sup \/\a n\ ,

П - +00 n —>00

mamy

i i

lim infcn —--- ---n.— ~ = r > °,

n->co 2 lim sup )/\an\ z

П -+ 0 О

gdzie r jest promieniem zbieżności szeregu, dodatnim z założenia. Napiszmy teraz błąd bezwzględny w postaci

00

\Rp(x)\ = oł\ak-{- J? ak+nxn|

n =1

(ak jest pierwszym różnym od zera wyrazem reszty). Wykażemy teraz?

00

więc

W

I a k + n X I ^ \a k+n\ ‘ syn \n I • ■■«'I ni

n+ 1 n+ 1 ■" \а к+п\ » — 1 "

k i

z

W takim razie wyrażenie <^к+пхП ma stale znak wyrazu ak. Niech

n — 1

ak> 0 (gdyby było przeciwnie, dowód przebiegałby analogicznie). Mo­ żemy zatem opuścić znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu na \RP\:

Obliczamy

\RP{X)\ = xk(ak+ 2 ak+nxr'

— \Bp(x)\ = xk 1\kak + £ (hĄ -n)ak+nxn\]

dx n=i

opierając się na (3) wykazujemy teraz tak samo jak poprzednio, że OO

(k + n )a k+nxn\^ \k a k\, d

a więc pochodna — \Rp(x)\ jest nieujemna w przedziale 0< x i błąd dx

bezwzględny \Bp(x)\ jest w tym przedziale funkcją niemalejącą, co nale­ żało wykazać.

Y. Wystarczy wykazać, że kres dolny ciągu {си} jest tu niemniejszy od 1/2. W istocie, kC/k\ (k-\-n) C 1 * / { k + n —1 )! ^ 1 2~ \ ( к -1) ! ^ 2~ (fe+ n)

więc twierdzenie jest prawdziwe.

VI. Podobnie, jak w przypadku Y, obliczamy

kCjks (Jc-j-n) C 1 / &+ n T ( s - 1)111 (k + n ) s

więc gdy tylko s > l , wtedy cw> l/ 2 dla każdego n, zatem kres dolny tego

ciągu jest niemniejszy od 1 /2, co dowodzi twierdzenia.

VII. W tym przypadku

V

w

к V+ 1

382 M. Ż y c z к о w s к i

a łatwa do wykazania na drodze indukcji nierówność

\

к к

— _ >

---k-\-n k~\~1

dowodzi twierdzenia.

§ 3. Twierdzenie o błędzie względnym. Założeniem tego twier­ dzenia jest jedna z par warunków Г -VT, podanych w tabeli 2.

T A B EL A 2

nr an %

Г Te same, co warunki I dla \Rp (x)\ (tabela 1)

1Г Dowolna z par warunków II-VII z § 2 oraz warunek, by szereg przedsta­ wiał funkcję malejącą co do wartości bezwzględnej w przedziale 0 ^ x ^ x m

III' 1°

m, j — jak w tabeli 1,

i — wskaźnik pierwszego róż­ nego od zera wyrazu da­ nego szeregu;

2° an— 0 dla pozostałych n

xm jest mniejszym z kresów dolnych ciągów {cy} i {/fy}, gdzie

a - | / — (?+ l ) a(?+l)m+i

* ( j a(j+2)m+i

m /

я , - у ~ jm+i

IV' an dowolne

xm jest najmniejszym z dolnych kresów ciągów \y n), {<5n}, {(fn\, {y n), gdzie 1 » / ( k - i) \a i\ VП 2 V Ъ\к— i — n\ \a>iĄ.n\ 8 1 v (Tc — i) \щ\ n 2 \ 3 (* + » )|a f+n|, ’ 1 л / W Ч>П~ 2 У Z\ai+n\ ’ _ 1 1 / (k i) \a*k\ V n 2 X 3(Tc+n)\ak+n\ ‘

(с. (1. tabeli 2) Nr V'

v r

(i, к — jak w IV', G — stała) 1° _{|fln|< —}O_{7 dIa} nb п ф г, пфТс, 2° \щ\^ — oraz G О 1 is X m = ~ i i, 1c, G — jak w V', s > l , nadto 3° k ^ 2 i

Tw ie r d z e n ie 2. Jeżeli jest spełniona jedna para warunków z tabeli 2,

to błąd względny przybliżenia \Pp(x)\ jest funkcją niemalejącą w przedziale

<0

,

Zanim udowodnimy powyższe twierdzenie, zilustrujemy je na przy kładach.

P r z y k ł a d y .

Wa ru ne k Г. Zastosujemy twierdzenie 2 do przybliżenia funkcji

y — ex wielomianem y3. W § 2 stwierdziliśmy, że j-B4(2)|< l,06, zatem

, IA(2)| = Ш П 1,06

~l/(2)| 7,38 = 0,144=14,4% , więc w całym przedziale 0^a?<2 jest |P4(a?)|<14,4%.

Wa rune k II'. Funkcję y —cos# przybliżamy przez dwumian y2 =

= 1 — x2 f2. Dla zbadania błędu bezwzględnego najwygodniej będzie za­ stosować twierdzenie 1 przy warunkach III, skąd xm — j/2 0 . W części

przedziału 0<a?<|/2 0, mianowicie w przedziale Q^x^. nj 2 funkcja y —cosa?

maleje co do swej bezwzględnej wartości, zatem błąd względny |P3(a?)|

jest funkcją niemalejącą w tym przedziale. Na przykład cosl<0,541,

2/2(1) = 0,5, więc |Ą (1)|<0,041, |P3(1)|< 0,041/0,541 = 0,076 = 7,6%,

i ostatecznie w całym przedziale 0<a?<l mamy |P3(a?)|<7,6%.

384 M. Ż у с z к о w s к i dwumianem

У* = ₂₄х

Mamy tn m—3 (różnica wykładników dwóch sąsiednich niezerowych wyrazów), г = 1 ; zwróćmy uwagę na to, że do obliczenia xm nie jest nam potrzebna znajomość p, a więc ilości wyrazów przybliżenia (inaczej, niż przy podobnych warunkach III twierdzenia 1). Ciągi jo,} i {/?,•} będą miały postać ai‘ V i t+ —(j + IJ3/+4 0'+ 2)a:зу+7

У

Są to ciągi rosnące, więc ich kresami dolnymi są ich pierwsze wyrazy () = 0): a0—j/l05, /?0= |/2 4 ; mniejszym z nich jest 1/24=2,8845, zatem w myśl twierdzenia 2 błąd względny przybliżenia jest funkcją niemale-

jącą w przedziale 0<ж<2,8845.

Ha przykład y { l )= 1 —0,041667 +0,000198—0,000000+ . .. = 0,958531,

2/4 (1) = 0,958333, więc |P7 (1)i = 0,000198 (zamiast |P7(1)| można oczy­

wiście napisać |P5(1)|, ale jest to bezcelowe), jP7(l)| = 0,000198/0,958531 =

= 0,000207 = 0,0207%, więc w przedziale О+ж+ l jest |P7(a?)| +0,0207%.

Wa rune k IV'. Twierdzenie 2 przy warunkach IV' stosuje się do wszystkich szeregów potęgowych (łatwo wykazać, że kresy dolne wszyst­ kich czterech ciągów |yn} — {Wn} s% dodatnie), lecz korzystanie zeń w prak­ tyce jest niewygodne, kresy te bowiem trzeba za każdym razem obliczać. Warunki IV' pozwalają jednak na obliczenie xm dla kilku najważniejszych szeregów i majoryzowanie za ich pomocą innych szeregów. W ten sposób otrzymano warunki V' i VI'.

W a r un e k V'. Funkcję określoną szeregiem

x 2x2 хъ 2óf x5

у = 2 + л ~ ! г - зт + и + i i

przybliżamy przez wielomian y l —2 Jr x w przedziale 0s+r<0,l.

\R2 (0,1)1 == i - 0,01 - 0,000167 + 0,000008+ .. .| = 0,010159, |/(0,1)| = |2 + 0 , 1 - 0 ,0 1 - 0,0002+ . ..| = 2,0898,

0,010159

l-P* (0,1) = ^ = 0,004861 = 0,4861 %,

więc w całym przedziale 0< ж <0 , 1 procentowy błąd przybliżenia nie

przekracza 0,4861%.

W arunek VI'. Błąd względny przybliżenia będzie funkcją nie- malejącą w przedziale 0<a?$Cl/6, jeżeli przybliżymy szereg

2 4 4 е; /V* fY* ПП rf*1 /V* %Aj ЧЛ/ IKj lAJ i/ J y = Y + 1? ~ T + Y przez wielomian x2 y 9= X---, У2 g ’

ponieważ mamy tu i —1, fc=3 oraz możemy obrać «=2, C = l, spełniając wszystkie warunki VI'. Natomiast łatwo się przekonać, że twierdzenia 2 przy warunkach VI' nie można stosować do przybliżenia tej samej funkcji wielomianem y3, nie można wtedy bowiem dobrać pary liczb s, G tak by wszystkie warunki były spełnione.

D ow ody. I'. Niech an ^ 0 dla każdego n (gdyby było an ^ 0 dla każde­

go n, dowód przebiegałby analogicznie). W takim razie

\ Ц an ^ \ H an%n — , : V anxn 11 = o 11 = 0

2

2 nanxn x) ( 2 an%n) - (2 nan®n *) ( 2 an

n=o

( 2 anx%

n= 0

Mamy wykazać, że pochodna ta jest stale nieujemna; wystarczy wyka­ zać to dla licznika, który oznaczymy przez L. Po rozbiciu szeregów według

oo p — 1 oo

386 M. Ż y o z k o w s k i

Ponieważ n zmienia się od p do oo, a m od 0 do p — 1, więc zawsze mamy

n —m >0 ; wszystkie wyrazy tego szeregu są zatem nieujemne, więc

licznik L.jest nieujemny, co dowodzi słuszności twierdzenia.

II'- Dowód jest w tym przypadku oczywisty, ponieważ dodatni licznik ułamka określającego \Pp(x)\ jest funkcją niemalejącą, a dodatni mianownik — malejącą, więc sam ułamek przedstawia funkcję niemaleją­ cą, co należało wykazać.

III'. Dla dowodu wystarczy obierać p tylko typu p = 2 j m Jr i lub typu p = Rozpatrzymy pierwszy przypadek (dowód drugiego przebiega analogicznie). Możemy błąd względny przybliżenia wyrazić następująco:

OO

! 2 K '»+i*2M+i+ ' ,<«+l)m+<®W+4’“+i)!

|

„W I=

--- :--- .

czyli po uproszczeniu przez xl

OO

i Z (a2jrn+i^m + a(2i + l)m+ix{2j+1)m)\

(4) \Pv {x) --- --- - - ---•

| £ {a2fm+ix2jm + a{2j+i)m+ix{2i+1)m)\ i=o

Ponieważ licznik L i mianownik M tego ułamka są nieujemne, więc wy­ starczy wykazać, że licznik jest funkcją niemalejącą, a mianownik niero- snącą. Napiszmy licznik w postaci

OO

P i ^ SD ® ( 2 j + l ) m + i x ) ] • j = ( p —i ) j 2 m

Ponieważ z założenia £c<inf^, więc wobec x ^ 0

(6) ---a^m + i._

^(2j + l)m +ś

Niech a2jm+i> 0 , a^j+i)m+i< 0 dla każdego j (gdyby było przeciwnie, dowód

przebiegałby analogicznie); w takim razie

(6) d 2 ^ d

dla każdego Możemy więc we wzorze na L opuścić znaki wartości bezwzględnej. Po zróżniczkowaniu i wyłączeniu przed nawias otrzymu­ jemy

dL 00

= £ ж в 2 , т - 1 [ 2 ; а 8 / т + < + (2 j + l ) a {2j+1)m +ixm ] .

Z założenia również #<infa,-, więc wobec 0

fn\ _^ ^ ' ^ 0 + 1)wt+^

\*) л 555 /У i o\«

KJ ~r ^)^(j+2)m+i

dla każdego j^O. Jeśli zamiast j podstawimy wobec a(2j+i)m+i<°)

otrzymamy stąd

dla każdego ?>1; ponieważ (p — i)/2 m > l, więc pochodna dLjdx jest nienjemna i licznik jest funkcją, niemałejącą w przedziale

Z (6) wynika, że w mianowniku M również można opuścić znaki

wartości bezwzględnej. Po zróżniczkowaniu mamy więc

Л М 00

= Д ( 2 j + l ) w a (2,-+ 1 )m + { a7(2?+ 1)m _1] .

Pierwszy składnik pierwszego wyrazu tego szeregu jest równy zeru; opuszczając ten składnik uporządkujemy szereg nieco inaczej

dM 00

—-— = m x ^ +1^m 1 [(2/ -f- 1 )a2?+i)m+i+ (2/ + 2 )Л(2у+2)да-и#т ].

&0Q j=0

Podstawiając we wzorze (7) 2j zamiast j otrzymujemy

„ m ^ (2^* "Ь 1 ) a (2 /+ l)m + ś I V ^ e

(2? + 2)а(2,-+2)т+,г

dla wszystkich Tym razem mianownik jest dodatni, zatem

(8) (2^* + 1)а(2/+1)ш+г+ (2/+ 2)a^j+2)mĄ.iXm^.0,

więc pochodna dMjdx jest niedodatnia i mianownik M jest funkcją nie- rosnącą w przedziale 0 ^ x ^ .x m, co dowodzi słuszności twierdzenia.

IV'. Błąd względny przybliżenia napiszemy tu w postaci

\Г (®)l OO ! £ n = p 00

! i?

Wykażemy teraz, że wyrażenie wewnątrz znaku wartości bezwzględnej w liczniku ma znak wyrazu ak, a w mianowniku znak wyrazu at. Ponieważ z założenia a?<infyn, więc wobec

(9) ( f c - »)!«*!

2“ 3 (й + w)|<ifc+łi|ł

388 M. Ż y c z k o w s k i

tym bardziej więc

W takim razie Ы l^fc+nl 71— 1

1

więc w istocie wyrażenie (ak-\- £ a k + n ° ° n) ma znak wyrazu ak. W ten sam

71=1

sposób wykazujemy to dla wyrażenia w mianowniku, korzystając z zało­ żenia . Należy teraz rozpatrzyć dwa przypadki: wyrazy ak i % mogą być zgodnych lub różnych znaków. Rozpatrzymy tu jedynie zgod­ ność znaków (gdyby były różne, dowód przebiegałby analogicznie); znaki całych wyrażeń wewnątrz wartości bezwzględnych w liczniku i mianowniku są więc zgodne, iloraz ich jest dodatni, i ostatecznie

oo a k X k + Ц a k + n ° ° k + n (io) \pPm = — --- .— щхъ ^ Щ+п%1+п 1 Po zróżniczkowaniu otrzymujemy

d

A

L x = [kakxk 1 + £ (fc + n)ak+nxk+n *] [а*жг + £ %+»X+n]

7Ь=^1 П —1

OO i oo

— [ i a ^ - 1 + 2 ( i+ n)ai+nxi+n~l\ [akxk+ £ ak+nxk+n], n = l

OO

M i = [щх1+ £ a i+nxi+n] \

n=1

Mamy wykazać, że ta pochodna jest nieujemna; wystarczy wykazać to dla licznika L 1. Po prostych przekształceniach otrzymujemy

L x = xk+i l {{k—i)ai ak-^ak '^1{ k ~ i —n)ai+nxn+ a i ^1 {к — i + n)ak+nxn+

n= 1 n —1

OO OO OO 00

.Pierwszy wyraz (к—1)щак jest dodatni z założenia; wykażemy teraz, że wartość bezwzględna sumy pozostałych wyrazów jest niewiększa od wartości bezwzględnej tego wyrazu, co pozwoli nam wnioskować, że całe wyrażenie L x jest nieujemne. Skorzystamy najpierw z nierówności (1 1) |ak£ ( к - г - п ) а 1+пхп+ щ ^ (к— i + n)ak+nxn+

n =1 1

00 oo oo oo

+ [J? ai-\-n^\[E (b + n)ak+nxn] - \ 2 ak+na ? ] [ 2 (i+w)o£+najn];<

n—1 ł П—1 11 —\ n—1 oo oo \ k ~ i ~ n \ \ a i+n\xn+ \ a i \]? {Tc — i + n)\ak+n\xn + n = l n= 1 oo oo oo oo + [ J ^ \a i + n \ ® n\ [ ( ^ + п ) \ а к + п \ хП] + f £ [ £ { i - \ - n ) \ a i + n \ xn] , n= 1 n—1

a następnie będziemy szacowali po kolei wszystkie składniki tej sumy. Z założenia £c<infy^ wobec x ^ 0 wynika

1 (Tc — i) k l xn <

2n 3\k—i —n\ \a,'i+n I

więc

oo ^ °° 1 1

(1 2) \ak\ £ |k — i —n\ \ai+n\xn^ — (k — i ) \ak\ k l£ — = — | [ к - 1 ) а {ак\.

n—1 n=l u

Z nierówności (9) wynika, że tym bardziej

1 (k—i)\ak | xn < 2n 3 ( f c - i+ n ) |.%+; zatem 00 °° 1 1 (13) k l^ ( k - i + n ) \ a k+n\xn^ - (fc—* )к ||а л| ^ — = — |(fc—i)a*a*|. n = l №=1 " ^

Podobnie z pozostałych założeń wynikają» oszacowania

c o ^ o o ^ 2 1 N > |(fc—г)Д*|, •rt= 1 o n = l O OO 2 c o p 21 — Ы , |(fc-iKI* n = l o n — l O

Ponieważ obie strony tych nierówności są nieujemne, więc wolno mnożyć je stronami. Zatem

(14) _{[ S}

_k+»l®w!

_(&+^)K+rtkn|

390 M. Ż y c z k o w s k i

(16)

0 ° С О ^

1Z 1%+nl^J [ Z (* + n)\ai+n\xn\ < — I { к ~ г ) а гак|.

n—1 n= 1 У

Dodając stronami nierówności (12), (13), (14) i (16), z uwagi na nierów­ ność (1 1), otrzymujemy ostatecznie oszacowanie

0 0 00 (16) \ak 2{Т с—г ~ п ) а {+пхп+ а ^ { к ~ г — п)ак+пхп+ - ' n= 1 n= 1

|

[

[

+

l(fc—

P —»)«цал|.

W takim razie cały licznik L x ma znak wyrazu (к —1)щак, jest więc nie- ujemny, d\Pv (x)\jdx jest nieujemna i \Pp(x)\ jest funkcją niemalejącą w przedziale co należało wykazać.

V'. Wystarczy wykazać, że kresy dolne wszystkich ciągów {yn } —

— [Wn] są tu niemniejsze od 1/6. Po podstawieniu otrzymujemy ..

7n^ 2 X 3 \ J c - i - n \-i\ ’ i i / f (k — i)(i-\-n)\ у n/ (& — г) (г -j- n —•1 )! 2 V 3 • i\ z l 3-г! " 6 7 1 »_{/ { i + n ) \ ^} 1 3-г! ^ 2 X 3 6 - V / ( k - i ) { k +

7i)\ i тy p — г)(& + n

-- D U 1

2 V 3( к + п ) ' k\ 2 I1 3 •&! " 6

Dla trzech ciągów własność ta jest widoczna od razu, należy jeszcze roz­ patrzyć ciąg {yn}. Jeżeli to \к—г —п \ = к —г —п^.к—г; wtedy

Уп> 1 n/ ( i + w)! 2 V 3 -ii 1 2 1 6" *

Jeżeli natomiast n>Tc—i, t |k —i —n \= i- \- n —1c<i-\-n; wtedy

1 »/(Тс—г ) ( ъ + п —1 )! 1

U > * V

—

od 1/6, więc |РР(я?)| jest funkcją, niemalejącą w przedziale 0< a ? < l/6,

co należało wykazać.

VI'. Podobnie, jak w przypadku poprzednim, po podstawieniu mamy

Л1 ^ 1 + Vn^ 2 V 3|k - i - n \ i s 9 n ' 2 \ 3 ( i + n ) i s i y / i 3 f 2 У 1 3 1 G’ 1 n / ( l c - i ) ( l c + n ) s 1 _ * /l * / k - i [J c + n y s- 1)ln 1 ^ 2 \ ~ Y {k + n )k s ' 2 Г З Г к \ fc ) ^ 6 *

Dla dwóch ostatnich ciągów wymagana własność jest widoczna od razu; jeżeli skorzystamy z założenia 3°, to k —i ^ i , więc również inf <5n^ l/6 . Pozostaje ciąg {yn}: jeżeli n ^ k —i, to \k—i —n \ = k —i —n < k —i, a wtedy jeżeli natomiast n>Tc—i, to \k—i —n \= i- \- n —k<i-\-n,

wtedy i ostatecznie kresy dolne wszystkich czterech ciągów są niemniejsze od 1/6, więc \Pp(x)\ jest funkcją niemalejącą w przedziale

0< # < l /6, co należało wykazać.

§4. Uwagi końcowe. Praca niniejsza nie pretenduje do wyczerpu­ jącego rozwiązania postawionego zagadnienia. Założenia są stosunkowo silne, choć zazwyczaj wystarczające dla zastosowań praktycznych. Wy­ kazanie obu twierdzeń przy słabszych założeniach byłoby bardzo pożą­ dane ze względu na dalsze rozszerzenie zakresu ich stosowalności.

392 M. Ż у с z к о w в к i и релятивная, имеющая важное значение в технике, т. е. отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению функции в данной точке. Условия налагаются на коэффициенты ряда и положение точки хт пра­ вого конца интервала, в котором погрешность должна быть неубывающей функ­ цией. Замена первых условий более слабыми влечет конечно за собою необхо­ димость усиления вторых. В работе приведены доказательства предложенной теоремы при семи парах условий в случае абсолютной погрешности и при шести парах условий в случае релятивной погрешности. Приведены также примеры применения теоремы при отдельных условиях. М. Ży c z k o w s k i (Kraków)

THEOREMS ON THE ERRORS OF APPROXIMATING A FUNCTION BY THE FIRST TERMS OF ITS POWER SERIES

S U M M A R Y

The aim of the paper is to find out under what assumptions the error of appro­ ximating a function Tby the first terms of its power series is a non-decreasing function in the interval Os^.x^xm. This error may then be estimated locally at the point xm ,

giving the estimation for the whole interval. The paper deals with two kinds of errors: the absolute error, i. e. the absolute remainder of the series, and the propor­ tional error, important in engineering, i. e. the ratio of the absolute error to the absolute value of the function at a given point.