Zadanie 2. Wykaza¢, »e dla x > 0 zachodzi nierówno±¢

FAQ ANALIZA R ^c  EGZAMIN TRENINGOWY

Uwaga! Na egzaminie z caª¡ pewno±ci¡ b¦d¡ szeregi liczbowe i caªki w tym caªki niewªa±ciwe. Wybór zada« z pozostaªej cz¦±ci materiaªu nie musi by¢ taki jak poni»ej! Zadania pochodz¡ z zasobów KMMF, zbioru zada« B.P. Demidowicza oraz notatek prywatnych.

Zadanie 1. Niech (X, ρ) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡, niech ponadto A oznacza niepusty podzbiór X. Deniujemy d : X −→ R, d(x) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}.

Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji d.

Zadanie 2. Wykaza¢, »e dla x > 0 zachodzi nierówno±¢

sin(x) < x q

1 + ^x ₃

²

.

Zadanie 3. W punkcie (a) zbada¢ zbie»no±¢, w punkcie (b) obliczy¢:

(a) Z

^π₂

0

log sin x dx (b) Z 1

0

dx (2 − 1) √

1 − x . Zadanie 4. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów liczbowych

(a)

∞

X

n=2

1

n log ^p n , p ∈ R, (b)

∞

X

n=1

r n

n ³ + 1 (c)

∞

X

n=1

n tan π 2 ⁿ⁺¹

Zadanie 5. Znale¹¢ asymptot¦ w niesko«czono±ci funkcji

]0, +∞[3 x 7−→ x ^(1+x) (1 + x) ^x

Mo»na potrenowa¢ tak»e rozwi¡zuj¡c egzaminy archiwalne. Zestaw pochodzi z zasobów G. Cieciury.

EGZAMIN Z ANALIZY C, 25 stycznia 1999

1. Okre±lmy w przestrzeni R z normaln¡ metryk¡ podzbiór A := { _m+n ⁿ + _m+n+p ^p , m, n, p ∈ N}. Znale¹¢ kresy A i zbada¢, czy A jest odtwarty, domkni¦ty, zwarty, spójny.

2. Zbada¢ funkcj¦ f : R → R, f(x) = ^x

²

^{√ +6x+17} _x

2

+2 . Naszkicowa¢ jej wykres. Czy f jest jednostajnie ci¡gªa?

3. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ klasy C ^∞ , tak¡ »e ∀x ≤ 0 f(x) = 0, ∀x > 0 f(x) > 0. Korzystaj¡c ze wzoru Taylora wykaza¢, »e

∀C > 0 ∀ > 0 ∃n ∈ N ∃x ∈]0, [: |f ⁽ⁿ⁾ (x)| > C ⁿ .

4. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu o wyrazach a n = q 2

1 + q 3

2 + · · · + q n+1

n − n 5. Zbada¢ zbie»no±¢ i bezwzgl¦dn¡ zbie»no±¢ szeregów

(a)

∞

X

n=1

(1 − n ² ) ⁿ (2n)!2 ⁿ (b)

∞

X

n=1

 2

1 + √

ⁿ

5

 ⁿ

(c)

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

 n + 1

√ n ² + 100 − 1



Data: 30 stycznia 2016 r.

1