Arytmetyka teoretyczna
LISTA 1: Liczby naturalne. Aksjomat indukcji
Definicja liczb naturalnych jako struktury (N, S, 0):
(1) 0 ∈ N
(2) jeśli n ∈ N, to S(n) ∈ N (3) 0 6= S(n), dla każdego n ∈ N (4) jeśli S(n) = S(m), to n = m
(5) (Aksjomat indukcji) Dla dowolnego zbioru A, jeśli 0 ∈ A oraz dla każdego n, zachodzi
(n ∈ A → S(n) ∈ A), to N ⊆ A.
Uwaga. Każdy element należ¸acy do N\{0} ma postać S(n) dla pewnego n ∈ N. Dlatego każdy taki element ma również postać słowa S(S(...S(0)...)).
Posługuj¸ac si¸e aksjomatami (1)-(5) definiujemy indukcyjnie (rekurencyjnie) funkcj¸e
x ˙−1 : niech 0 ˙−1 = 0 i S(n) ˙−1 = n.
Funkcja x ˙−y jest określona na N w sposób nast¸epuj¸acy:
x ˙−0 = x,
x ˙−S(n) = (x ˙−n) ˙−1.
Mówimy, że x ≤ y, jeśli x ˙−y = 0. Warunek x < y oznacza x ≤ y i x 6= y.
Twierdzenie 1. Dla dowolnych x, y i z ∈ N mamy:
0 ≤ x i x ≤ x, x ≤ y lub y ≤ x,
jeśli x ≤ y i y ≤ z, to x ≤ z.
Twierdzenie 2. Akjomat indukcji implikuje modulo (1) - (4) każde z nast¸epuj¸acych stwierdzeń:
Zasada Minimum: Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy.
1
Zasada Maksimum: Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najwi¸ekszy.
Zad.1. Pokazać, że aksjomaty (1) - (5) implikuj¸a Zasady Maksimum i Minimum.
Zad.2. Posługuj¸ac si¸e aksjomatami (1)-(5) zdefiniować rekurencyjnie do- dawanie i mnożenie w zbiorze liczb naturalnych.
Zad.3. Stosuj¸ac definicj¸e z powyższego zadania pokazać równość m + S(n) = S(m) + n.
Zad.4. Pokazać, że dla każdej naturalnej liczby n istnieje liczba k speł- niaj¸aca warunek n = k + k lub n = k + S(k).
Zad.5. Posługuj¸ac si¸e aksjomatami (1)-(5) zdefiniować rekurencyjnie na zbiorze N funkcje 2x i
sg(x) = 0 : x = 0 1 : x 6= 0 ; sg(x) = 1 : x = 0
1 : x 6= 0
Zad.6. Wskazać bł¸ad w podanym poniżej "dowodzie".
"Twierdzenie" Dla każdego n ≥ 0 zachodzi nierówność 30n < 2n+ 110.
"Dowód": Załóżmy, że 30n < 2n+110. Wtedy 30(n+1) = 30n+30 < 2n+ 110 + 30, gdzie ostatnia nierówność zachodzi o ile n ≥ 5. Dla n = 0, 1, 2, 3, 4 sprawdzamy bezpośrednio. Tym samym nierówność zachodzi dla wszystkich n ≥ 0.
Zad.7. Stosuj¸ac indukcj¸e matematyczn¸a udowodnić, że jeśli iloczyn do- datnich liczb a1, a2, . . . , an wynosi 1, to a1+ a2+ . . . + an≥ n.
Twierdzenie 3. Struktura (N, S, 0) jest określona przez aksjomaty (1) - (5) jednoznacznie z dokładności¸a do izomorfizmu.
Niech PA b¸edzie
- zbiorem standardowych aksjomatów struktury (N, +, ·, <, 0, 1) (tzn., że (N, +, <, 0) (i (N, ·, <, 1)) jest uporz¸adkowan¸a półgrup¸a komutatywn¸a i beztorsyjn¸a, że mnożenie przez zero daje zero i działania + i · spełniaj¸a standardowy aksjomat rozdzielności)
2
- razem z nast¸epuj¸acym schematem aksjomatów indukcji matematycznej:
∀x(ψ(x) → ψ(x + 1)) → (ψ(0) → ∀xψ(x))
gdzie ψ jest formuł¸a arytmetyki elementarnej z jedyn¸a woln¸a zmienn¸a x.
Niech Γ b¸edzie zbiorem formuł, w których wyst¸epuj¸a +, ·, <, 0, 1. Niech φ b¸edzie pewn¸a formuł¸a (tego samego typu). Dowodem formuły φ ze zbioru Γ nazywamy taki ci¸ag formuł φ1, ..., φk, że φk = φ i każda φi albo jest aksjomatem logicznym, albo należy do Γ, albo też została otrzymana z formuł wyst¸epuj¸acych przed φi w wyniku zastosowania reguły dowodzenia logicznego.
W tym przypadku mówimy, że φ jest wyprowadzalna (lub posiada dowód) z Γ, co oznaczamy
Γ ` φ .
Twierdzenie Gödla o niezupełności. Istnieje takie zdanie ψ0 w j¸ezyku arytmetyki elementarnej, że PA 6` ψ0 i PA 6` ¬ψ0.
3
