Elektronische versterkers en phaselock loop

ELEKTRONISCHE VERSTERKERS EN PHASELOCK LOOP

n

u,I .... NO NO CJ)CJ) ':-0

prof.dr.ir.

J.

Davidse

illIl liUl!!Uh UII.1 , I, ij I 1I1111!J oll lI!flllU ','IIU, lilll Hiill

:,jl

~'

tl,iij"I 1',111 jij 1

1 11₁1_{1' IUI!iilll}

liil\1 lil II !,!,i!,11 ;['1'1'11 1i1li:1I11:111

i

'jlll liii '_ljllnl,lIi11IiIUII '!"\'II'II'ü, Uill'll

11I '!lIIdllillli!11 iiB, fflPiilllil1! I!, uIIH!! iJllII Ij lii 'Ili ti ,j ij Ii ui n i li iI :: 1111 i: Iillllilli 'I! U \ !!III;U i I

, BIBLIOTHEEK TU Delft •

P 1714 4337

Vereniging voor Studie- en

~

111111 IIII

VOORWOORD

Deze handleiding omvat een aantal onderwerpen die aan de orde komen in de col-leges in de elektronica aan de Technische Hogeschool Delft. De behandelde stof heeft betrekking op de moderne versterkertechniek en op de inrichting en toepas-sing van de zgn. phaselock loop.

Gedurende de gehele ontwikkelingsgeschiedenis van de elektronica is signaalverster-king terecht beschouwd als een zeer essentiële functie. Men kan goede argumenten aanvoeren voor de stelling dat zij de meest fundamentele signaalbewerkingsfunctie is. Hoewel de moderne elektronica in toenemende mate gebruik maakt van digitale technieken voor de bewerking van elektronische signalen, blijft analoge signaalver-sterking onmisbaar bij de bron van de signalen. In het bijzonder op deze plaats in de signaalketen is ruis de grootste vijand van de correcte overdracht van het signaal. Om deze reden is aan dit aspect relatief veel aandacht besteed.

De phaselock loop is een schakeling die met name van groot belang is in de moder-ne communicatietechniek. Het toepassen van de theorie van deze schakeling bij het ontwerpen van phaselock loops in gegeven gebruiksituaties, blijkt velen moeilijk te vallen. Om deze reden worden bij dit onderwerp de ontwerpaspecten geillustreerd aan de hand van enkele bekende praktische toepassingen.

Een belangrijk hulpmiddel bij de analyse en het ontwerpen van versterkerschake-lingen en van phaselock loops is de beschrijving van de overdracht met behulp van de polen en nulpunten der overdrachtsfunctie. Ten gerieve van hen die dit onder-werp onvoldoende beheersen geeft het eerste hoofdstuk een beknopte samenvatting van de op dit terrein benodigde voorkennis.

Delft, juli 1982 J. Davidse

3

I_

LINEAIRE SCHAKELINGEN EN HUN OVERDRACHTSFUNCTIES

1.1. Inleiding 7

1.2. Overdrachtsfuncties van lineaire systemen 8

1.3. Polen en nulpunten van overdrachtsfuncties 9

IA. Voorbeelden van enkele pn-beelden 10

l.S. Eigenschappen van pn-beelden 11

1.6. Verband met amplitude- en fasekarakteristieken 14

1. 7. Verband met polaire figuren 18

1.8. Minimumfase- en niet-minimumfasenetwerken 20

1.9. Sprongkarakteristieken 21

1.10. Voorbeelden van sprongkarakteristieken 26

1.11. Verband tussen amplitudekarakteristiek en sprongkarakteristiek 28 1.12. Polen en nulpunten van teruggekoppelde systemen; poolbanen 30

1.13. Het Nyquistcriterium 33

1.14. Voorbeelden van schakelingen met terugkoppeling 33

ANAL YSE EN ONTWERP VAN VERSTERKERSc:.~AKELINGEN

2.1. Inleiding

I

(

2.2. Versterking van informatiedragende sygnalen

2.3. Impedantie- en overdrachtskarakter van versterkerschakelingen

204. Actieve elementen in versterkerschakelingen 2.5. Versterkertrappen met veldeffectelementen 2.6. Versterkertrappen met bipolaire transistoren 2.7. Gedrag van de emittervolger bij hoge frequenties

2.8. Het gedrag van versterker schakelingen bij lage frequenties

i -LAAGDOORLATENDE VERSTERKERS MET GROTE BANDBREEDTE 3.1. Inleiding; G B -prod ukt

3.2. Complexe koppelingen ter verbetering van het GB-produkt 3.3. Complexe polen door terugkoppeling

304. Lokaal tegengekoppelde versterkertrappen als bouwstenen van

37 37 39 42 46 51 56 58 64 66 71 brede-band versterkers 75

3.5. Keuze van schakelingen voor de opbouw van brede-band versterkers 78 3.6. Versterkersynthese uitgaande van een gewenste pn-configuratie;

Butterworth-karakteristiek

3.7. Brede-band versterkers met overall-tegenkoppeling

~

\

LADDERVERSTERKERS

4.1. Inleiding; additieve versterkers

4.2. Opbouwen werking van de ladderversterker 4.3. Ladderversterkers met bipolaire transistoren 5. BANDDOORLATENDE VERSTERKERS

5.1. Inleiding

5.2. Transformatie van laagdoorlatende netwerken in banddoorlatende netwerken

5.3. Transformatie van polen en nulpunten

81

86

92 92 95 98 99 99

r

-,-5.4. Voorbeelden van transformatie van laagdoorlatende naar band

door-latende schakelingen 101

5.4.1. Versterkertrap met weerstandskoppeling 10 1

5.4.2. Maximaal vlakke karakteristiek met 'all-pole function' 102 5.4.3. Praktische gezichtspunten bij het ontwerpen van

versterkers met staggered tuning 103

5.5. Karakterisering van actieve componenten en koppelnetwerken in banddoorlatende versterkers

5.6. Neutrodynisatie

5.7. Banddoorlatende koppelnetwerken en hun pn-beelden 5.7.1. Parallelkring

5.7.2. Bandfilters bestaande uit twee gekoppelde kringen 5.7.3. Nadere beschouwing van de inductieve koppeling 5.7.4. Capacitieve koppeling

5.7.5. Koppelnetwerken met onderdrukkingskringen 5.8. Banddoorlatende versterkers in geïntegreerde uitvoering;

moderne tendenties 5.9. Automatische versterkingsregeling 104 107 108 108 109 111 114 114 117 119 6. GELIJKSPANNINGSVERSTERKERS

6.1. Inleiding; directe en indirecte gelijkspanningsversterkers 6.2. Gevolgen van de directe koppeling; instelmethoden 6.3. Bestrijding van drifteffecten

6.4. Balansschakelingen; verschilversterkers 6.5. Discriminatie en rejectie

6.6. Monolithische gelijkspanningsversterkers 6.6.1. Stroombronnen als actieve impedanties 6.6.2. Verbeterde stroom spiegel

6.6.3. Verschilversterker met actieve belasting

120 120 123 126 129 131 131 134 136 6.6.4. Ingangstrap voor geïntegreerde operationele versterkers 138 6.7. Voorbeeld van een monolithische gelijkspanningsversterker 139 7. OPERATIONELE VERSTERKERS

7.1. Inleiding 141

7.2. Eigenschappen van operationele versterkers 7.2.1. Monolithische operationele versterkers

7.2.2. Verbetering van de discriminatie door terugkoppeling van 143 143

het common-mode signal 144

7.2.3. Offsetspanning; symmetreren van de gelijkstroominstelling

van de ingangscircuits 145

7.2.4. Slew rate 147

7.3. Schakelingen met operationele versterkers 7.3.1. Inverterende versterker 7.3.2. Integratorschakeling 7.3.3. 7.3.4. 7.3.5. 7.3.6. 7.3.7. Differentiator Sommeren en integreren Niet-inverterende versterker Aftrekversterker Spanningsvolger 148 148 150 152 152 152 154 155

,

5

6

7 .3.8. Logaritmische versterker 7.3.9. Gestabiliseerde voeding 7.3.10. Oscillatorschakelingen

704. Stabiliteit van schakelingen met operationele versterkers

~ RUIS IN VERSTERKERSCHAKELINGEN 8.1. Inleiding

8.2. Beschrijving van fluctuatieverschijnselen 8.3. Autocorrelatie en kruiscorrelatie

804. Spectrale verdeling van het ruisvermogen 8.5. Fysische aspecten van ruisverschijnselen

8.5 .1. Thermische ruis 8.5.2. Hagelruis 8.5.3. Verdelingsruis .

8.5 A. Geihduceerde ruis 8.5.5. Stroomruis, I/I-ruis 8.6. Ruis in elektronische componenten

8.6.1. PN-junctie

8.6.2. Bipolaire transistor 8.6.3. Veldeffecttransistor 8.7. Ruis in lineaire tweepoorten

8.8. Bipolaire transistor en veldeffecttransistor als ruisende tweepoort 8.9. Kwalificatie van de ruiseigenschappen van versterkerschakelingen

8.9.1. Signaal-ruisverhouding en ruisfactor 8.9.2. Operationele ruistemperatuur 8.10. Invloed van tegenkoppeling op de ruis

8.11. Ruiseigenschappen van de verschillende basisconfiguraties 8.12. Iets over het meten van ruisgrootheden

19)

PHASELOCK LOOP

I j 9.1. Inleiding; doel van de phaselock loop 9.2. Algemene opbouw van de PLL

9.3. Overdracht van de PLL in gesynchroniseerde toestand 9.4. Statische fasefout van de PLL

9.5. Ruiseigenschappen 9.6. Houdgebied van de PLL 9.7. Vanggedrag van de PLL

9.8. Hulpmiddelen ter verbetering van het vanggedrag van de PLL 9.9. Bijzondere vormen van de PLL

9.10. Toepassingen en ontwerpoverwegingen 9.11. Lijnsynchronisatie in een TV -ontvanger

9.12. Detectie van het kleurensignaal in een TV-ontvanger 9.13. De PLL als frequentie-discriminator

9.14. PLL als demodulator voor stereosignalen 9.15. Coherente detectie van AM-signalen 9.16. Coherente detectie van FM-signalen Literatuuropgave Register 157 159 160 160 163 163 165 165 167 167 170 171 172 172 173 173 173 175 176 179 181 181 186 187 191 193 196 198 199 204 205 206 208 212 215 216 218 219 221 223 226 227 229. 230

,~---

---

,

Ig!l' , I I / ! 1 I t

7

1. Lineaire schakelingen en hun overdrachtsfuncties

1.1.

Inleiding

Het onderwerp van deze handleiding is de klasse van elektronische schakelingen die aangeduid wordt met de benaming lineaire actieve schakelingen. De belangrijkste door zulke schakelingen gerealiseerde functie is die van evenredige signaalversterking. Een groot deel van deze handleiding is dan ook gewijd aan verschillende typen versterker-schakelingen. Versterking is alleen mogelijk met behulp van actieve componenten en alle elektronische actieve componenten vertonen van nature juist een niet-lineair karakter. Onze interesse zal zich echter overwegend richten op de versterking van zgn. kleine Signalen, d.w.z. signalen waarvan de amplitude klein is ten opzichte van de in-stelgrootheid die het signaal draagt. In dit geval kan het signaalverwerkingsgedrag van

actieve componenten benaderd worden met behulp van lineaire betrekkingen. Om deze betrekkingen op een overzichtelijke wijze te representeren maken we dikwijls gebruik van een zgn. klein-Signaal vervangingsschema, dat uitsluitend uit lineaire net-werkelementen is opgebouwd.

Van de gebruiker van deze handleiding wordt verwacht dat hij of zij bekend is met de werking en opbouw van de in de versterkertechniek gebruikte actieve componenten, in hoofdzaak bestaande uit de verschillende typen transistoren, alsmede van de in de analyse van versterkerschakelingen gebruikelijke eenvoudige vervangingsschema's voor deze componenten. Ook wordt aangenomen dat de gebruiker vertrouwd is met de complexe schrijfwijze voor sinusvormige signalen en de daarbij behorende begrippen complexe impedantie en admittantie. Kent men het gedrag van een schakeling bij sturing met een sinusvormig signaal, dan is het in principe steeds mogelijk met behulp van de Fourieranalyse de eigenschappen bij sturing met een gegeven niet-sinusvormig signaal te bestuderen. In vele gevallen kan men aan de hand van een beschouwing over de responsie op sinusvormige signalen komen tot voor praktische toepassingen toereikende conclusies. Dit neemt niet weg dat aan deze werkwijze een zeker gebrek aan algemeenheid niet kan worden ontzegd, hetgeen zich wreekt bij bestudering van sommige typen schakelingen en bij sturing met grillige signaalvormen. Om deze reden zullen we in dit hoofdstuk eerst in het kort enkele meer algemene theoretische hulp-middelen beschouwen, die van groot belang kunnen zijn bij de bestudering van lineaire systemen. Het voornaamste theoretische hulpmiddel waarvan we ons zullen bedienen is de beschrijving van de signaaloverdracht van lineaire systemen met behulp van de polen en nulpunten van een complexe overdrachtsfunctie. De toepassing van deze beschouwingswijze is allerminst een monopolie van de elektronica. Zij vindt met name een vruchtbaar gebruik in de regeltechniek en de netwerktheorie. Een gedetailleerde behandeling van de theorie van de complexe overdrachtsfuncties valt buiten het bestek van een boek over elektronica; hiervoor moge worden verwezen naar de overvloedig beschikbare specialistische literatuur over dit onderwerp. We zullen ons hier beperken tot een zeer beknopt overzicht, geheel gericht op de toepassing op de behandeling van elektronische schakelingen. Bewijzen van wiskundige stellingen blijven achterwege; beperkingen en details van de theorie die geen directe of belangrijke gevolgen hebben voor haar toepassing in de volgende hoofdstukken, blijven eveneens onvermeld.

1.2. Overdrachtsfuncties van lineaire systemen

Lineaire systemen zijn systemen die men kan beschrijven met behulp van lineaire düferentiaalvergelijkingen. Is Sj(t) het ingangssignaal en Su(t) het uitgangssignaal van

zo'n systeem, dan wordt het verband tussen Su en Sj algemeen gegeven door een

betrekking van de vorm

We beperken ons tot systemen waarbij de coëfficiënten in de D.V., dus ao, al' . . . ,

b_o, bi' . . . constanten zijn; voor een elektrisch netwerk betekent dit dat de waarden

van de circuitgrootheden

L,

C,

R

,

gm,

a

_{e etc}. constant zijn.

Uit (1.1) volgen direct enkele belangrijke eigenschappen van lineaire systemen:

1. Bij gelijkvormige vergroting van het ingangssignaal met een zekere factor, wordt

het uitgangssignaal met diezelfde factor vergroot.

2. Het superpositiebeginsel is geldig.

3. Een signaal van de vorm exp(at)sin(wt

+

I{) wordt zonder vormverandering

over-gedragen. Wel kan een verschuiving in de tijd optreden. Deze eigenschap is een

gevolg van het feit dat de afgeleide van een (eventueel gedempte) harmonische functie ook weer zo'n functie is.

Nemen we als ingangsgrootheid exp(pt), waarin p een complexe grootheid is, dan gaat

de D.V. over in een algebraïsche vergelijking. De verhouding tussen de

uitgangsgroot-heid (Su) en de ingangsgrootuitgangsgroot-heid (Sj) wordt dan voorgesteld door een analytische

functie van de complexe variabele p. Al naar gelang de in- en uitgangsgrootheden

stromen of spanningen zijn heeft deze verhouding het karakter van een impedantie

-functie (Su is een spanning, Sj een stroom), een admittantiefunctie (Su is een stroom,

Sj een spanning) of een dimensieloze overdrachtsfunctie (Su en Sj zijn beide hetzij

spanningen, hetzij stromen). Men kan deze functies steeds schrijven als het quotiënt

van twee polynomen in p. De coëfficiënten van de polynomen zijn functies van de

netwerkgrootheden, b.V. L, C, R, gm,

a

e , etc. De overdrachtsfunctie legt de

eigen-schappen van het lineaire netwerk volledig vast, echter niet de opbouw van het net-werk. In de netwerktheorie wordt het verband tussen overdrachtsfuncties en netwerk-configuraties nader onderzocht.

Het complexe getal p in de ingangsgrootheid exp(pt) kan geschreven worden als

p = a

+

jw. We kunnen p de complexe frequentie noemen. VooL a

<

0 stelt exp(pt)

liP'

een afnemende periodieke trilling voor, voor

a>

0 een toenemde periodieke trilling,

voor a

=

0 stelt exp(pt)

=

exp (jwt) een zuivere sinusvormige trilling voor (periodieke

trilling met constante amplitude).

Om de overdrachtsfunctie A = fep) van een gegeven netwerk te bepalen is het niet

nodig eerst de D.V. op te stellen. Men kan met behulp van de maas- en knooppunts-vergelijkingen direct de overdrachtsfunctie vinden door voor de impedantie van een zelfinductie steeds te schrijven pL en voor de impedantie van een condensator I/pC. Wanneer p een reeks waarden doorloopt, bijvoorbeeld gegeven door de punten van een

bepaalde kromme in het complexe p-vlak, dan doorloopt A = fep) eveneens een reeks

waarden, welke men kan afbeelden in het complexe A -vlak. Interessant is vooral het

geval dat de p waarden jw doorloopt als w varieert van - 0 0 tot +00, d.W.Z. in het

p-vlak wordt de imaginaire as doorlopen. A

=

fep) beschrijft dan de overdracht van het

-

Ib !L _ct!

9 noemt men de polaire figuur van A. Uit de polaire figuur volgen direct de amplitude-karakteristiek IA(jw)1 en de fasekarakteristiek argA(jw). Men doet echter de betekenis van de polaire figuur tekort als men haar uitsluitend beschouwt als een overzichtelijke weergave van de sinusresponsie;, zij biedt een volledige beschrijving van de eigenschappen van het lineaire systeem. Wie vertrouwd is met het werken met polaire figuren kan aan het verloop en de vorm van deze figuur ook informatie ontlenen over het gedrag van het systeem bij sturing met niet-sinusvormige signalen, aan de eigenschappen van het systeem bij verandering van bepaalde parameters en aan de consequenties van het aan-brengen van een terugkoppelnetwerk.

1.3.

Polen en nulpunten van overdrachtsfuncties

De complexe overdrachtsfunctie van een netwerk biedt een heel wat overzichtelijker beschrijving van de eigenschappen dan de differentiaalvergelijking. Toch is het in vele gevallen niet gemakkelijk mogelijk om uit de in algebraïsche vorm gegeven overdrachts-functie, direct bruikbare conclusies te trekken over de eigenschappen van het netwerk, en nog minder over het verband tussen de eigenschappen en de opbouw ervan. Het menselijk voorstellingsvermogen is bij uitstek ontvankelijk voor in beelden of figuren vervatte samenhangen. Dit gegeven ligt ten grondslag aan de sterke verbreiding van meetkundige en grafische voorstellingswijzen, niet alleen in wetenschap en techniek, maar ook in allerlei op het dagelijkse leven betrekking hebbende zaken. Van een goed gekozen visuele presentatie van de overdrachtsfunctie mag dan ook verwacht worden dat zij in staat is de samenhang der eigenschappen direct in het licht te stellen.

Een bepaalde meetkundige representatie van de overdrachtsfunctie is in het voorgaande reeds ter sprake gekomen in de vorm van de polaire figuur, de door de overdrachts-functie bepaalde afbeelding van de imaginaire as van het complexe vlak. Eén van de voordelen van de polaire figuur is dat zij gemakkelijk met behulp van een meetinstru-ment aan een actueel netwerk kan worden opgenomen. Een nadeel is dat zij zich niet zo goed leent voor kwantitatieve analyse van de eigenschappen van een netwerk of voor het structureren van ontwerpbeschouwingen. Deze bezwaren kleven niet aan een tweede methode om een overdrachtsfunctie in kaart te brengen, te weten de karakte-risering met behulp van een beperkt aantal punten in het complexe vlak, de zgn. polen en nulpunten van de overdrachtsfunctie. De voor de praktijk belangrijke gedragingen van het netwerk blijken op zeer elegante wijze met de ligging van deze karakteristieke punten samen te hangen, niet alleen in kwalitatieve, doch ook in kwantitatieve zin. Deze voorstellingswijze is daardoor ook een zeer bruikbaar hulpmiddel bij het ont-werpen van schakelingen met voorgeschreven eigenschappen.

Zoals we reeds hebben vastgesteld kan de overdrachtsfunctie van een lineair elektrisch netwerk steeds worden geschreven als het quotiënt van twee polynomen in p. In par. 1.2 hebben we p de naam van 'complexe frequentie' gegeven. Men kan er mee rekenen op dezelfde wijze als gebruikelijk is in de complexe rekenwijze voor sinusvormige grootheden, waarbij we aan de tijdsfunctie coswt de complexe functie exp (jwt) toe-voegen.

Van de complexe voorstelling keert men terug tot momentele waarden door aan de complexe grootheid de geconjugeerd complexe toe te voegen, nl. exp(jwt) +

+ exp (-jwt) = 2 cos wt. De conceptie van complexe frequenties breidt deze reken-techniek uit tot harmonische trillingen met toenemende of afnemende amplitude, nl.

exp[(a

+

jw)tl

+

exp[(a - jw)tl

=

2 exp(at)·coswt.

Hoewel we lang niet altijd behoefte hebben aan deze directe interpretatie van een signaal van het type exp(pt) is het soms gemakkelijk deze bij de hand te hebben. Men kan p ook opvatten als een differentiaaloperator en deze interpretatie maakt het mogelijk de netwerkvergelijkingen in p op te schrijven en daaruit direct de overdrachts-functie te vinden. In algemene vorm kan een overdrachtsoverdrachts-functie genoteerd worden als

A = b m b m-l b m-2

mP

+

m-IP

+

m-2P

+

...

+

bo 0.2)

We kunnen (l.2) ook brengen in de gedaante

(l.3)

waarin zb . . . , zn de wortels van het tellerpolynoom voorstellen en PI' . . . , Pm de wortels van het noemerpolynoom.

Een analytische functie is, afgezien van een multiplicatieve constante (anlb_{m ),} geheel bepaald door de waarden van de onafhankelijk variabele (p), waarvoor de functie de waarde nul, resp. oneindig aanneemt. We noemen zl' ... , zn de nulpunten van de overdrachtsfunctie, PI, . . . ,Pm de polen. In termen van complexe frequenties kunnen we ook zeggen: de nulpunten zijn de complexe frequenties waarbij de overdracht nul is, de polen zijn de complexe frequenties waarbij de overdracht oneindig is.

We kunnen de aldus gedefinieerde polen en nulpunten uitzetten in het complexe vlak en verkrijgen dan een reeks punten. Ter onderscheiding duiden we de nulpunten met een 0 aan, de polen met een x. Een dergelijk polen- en nulpunten beeld beschrijft de overdrachtsfunctie volledig, op de genoemde multiplicatieve constante na.

Het minimale aantal gegevens waardoor de overdrachtsfunctie volledig bepaald wordt, is dus m

+

n

+

1, nl. de waarden van m polen, n _{nulpunten en de factor ani bm . Op}

zichzelf is het al verrassend dat de eigenschappen van een netwerk geheel kunnen worden beschreven met behulp van een patroon van punten in het complexe vlak. Echter zal bovendien blijken dat de ligging van deze singuliere punten zeer direct informatie geeft over de gedragingen vim het netwerk in voor de praktijk belangrijke situaties. Het werken met polen en nulpunten is daardoor een bijzonder elegant en zeer algemeen bruikbaar hulpmiddel bij de analyse van lineaire schakelingen. Er is slechts één nadeel aan deze methode verbonden: er bestaat geen meetmethode om van een gegeven schakeling van onbekende opbouw de polen en nulpunten direct te bepalen.

1.4. Voorbeelden van enkele pn-beelden

De weergave van de polen en nulpunten van een bij een netwerk behorende over-drachtsfunctie zullen we voortaan kortweg het 'pn-beeld' of de 'pn-configuratie' van het netwerk noemen. Alvorens algemene eigenschappen van pn-beelden te beschouwen zullen we eerst ter illustratie van de eenvoud van de methode de pn-beelden van enkele eenvoudige netwerken opstellen.

Figuur 1.1 toont een eenvoudig RC-koppelnetwerk. De overdracht hiervan is pCR

A = pCR

+

p

11

Er is dus een pool in p

=

-1/7 en een nulpunt in p

=

O. Figuur: 1.2 geeft het gezochte pn-beeld .

•

+

+

f

~~, U; U. _{- r}

Fig. 1.1. Eenvoudig RC-koppelnetwerk. Fig. 1.2. Pn-beeld van het netwerk volgens fig. 1.1.

Figuur 1.3 toont een afgestemde versterkertrap. De impedantie van de parallelkring is

pL I P

Z = = - ----=---=----::----:=_

1 + p2 LC + pL/R C (p + 1/27)2 + (w~ - 1/472 ) ,

met 7

=

RC en Wo

=

I/VLC.

De overdrachtsfunctie is A

=

Uo/Ui

= -g

mZ, Er is dus een nulpunt in p

=

0, terwijl er 2 polen zijn nl.

Figuur 1.4 toont het pn-beeld.

+

u;

c

Fig. 1.3. Afgestemde versterkertrap.

+

U.

_x

Fig. IA. Pn-beeld van de schakeling volgens fig. 1.3.

Uit deze beide eenvoudige voorbeelden blijkt dat de ligging van de polen en nulpunten direct samenhangt met de waarden van de voor het gedrag van het netwerk belangrijke tijdconstanten (7 in fig. 1.2,7 en I/Wo in figuur 1.4, in figuur 1.4 komt bovendien

Jw~

-

1/472 overeen met de eigenfrequentie van de kring).

1.5. Eigenschappen van pn-beelden

De theorie van de karakterisering van de signaaloverdracht van elektrische netwerken en regelsystemen aan de hand van polen en nulpunten, is in de loop der jaren uitge-bouwd tot een zeer verfijnd mathematisch hulpmiddel. Tal van methoden voor analyse en synthese van elektrische netwerken en regelsystemen zijn er aan ontsproten. Voor een enigszins gedetailleerde behandeling van deze materie moet hier verwezen worden naar de specialistische literatuur over dit onderwerp. We volstaan hier met een zeer beknopt overzicht van datgene wat beslist nodig is voor de behandeling van de elek-tronische schakelingen die in dit en de volgende hoofdstukken ter sprake komen.

a. Daar de coëfficiënten ao, . . . , a_n en _{bo, .} . . , b_m reëel zijn, hebben we bij de overdrachtsfuncties altijd te maken met functies die voor reële waarden van de variabele p reële waarden aannemen. Dit kan alleen het geval zijn als de polen en nulpunten óf reëel zijn óf, voor zover ze niet reëel zijn, in toegevoegd complexe paren voorkomen. Men noemt zo'n functie wel een geconjugeerd analytische functie.

b. Door de overdrachtsfunctie (1.3) te splitsen in partiële breuken krijgen we

A = - = -Uo an {Al

- - + - - +

A2

+ - - -

Am } Ui _bm P - PI P - P2 .. . p - Pm ' dus

a

n { Al Am } Uo = Uj -b - -

+ ... + - - - .

m P - PI P - Pm (1.4)

Uo is blijkbaar op te vatten als de superpositie van een aantal deelspanningen van

het type Ui Ak/(p - Pk). Hiermee correspondeert een differentiaalvergelijking

dUo/dt - PkUo = AkUj. Als Uj = 0 (vrije trilling van het netwerk), is de oplossing

van de vorm U_o

=

Cexp(Pkt). Als Pk een positief reëel deel heeft betekent dit dat U_o exponentieel toeneemt met de tijd, d.w.z. het systeem is niet stabiel en gedraagt zich als een oscillator. Voor de overdrachtsfunctie van een stabiel systeem geldt dus dat de polen een negatief reëel deel moeten hebben, ze moeten dus in het

linker-halfvlak liggen. Voor de nulpunten geldt deze eis niet. Het grensgeval waarbij polen

op de imaginaire as liggen is theoretisch mogelijk. We hebben dan een dempingsloos, nog juist stabiel systeem. Op de imaginaire as liggende polen moeten echter wel enkelvoudig zijn. Immers, is p

=

Pk een tweevoudige pool, dan komt in de oplossing van de D.V. naast een term van het type exp(pkt) ook een term van het type t exp(Pkt) voor. Laatstgenoemde term neemt bij toenemende waarde van t onbe-paald toe. Praktisch gelukt het niet een netwerk op te bouwen met polen op de imaginaire as. Immers, de geringste variatie van de netwerkparameters zou de polen in het rechterhalfvlak kunnen doen belanden, waarmee het systeem instabiel zou worden.

c. Het aantal polen m van overdrachtsfunctie van een praktisch netwerk is steeds groter dan het aantal nulpunten n. Dit volgt direct uit (1.2). Immers wordt voor

p

=

jw en w -+00 de modulus van de overdracht gelijk aan (oo)n-m. Indien m

<

n,

zou de overdracht een oneindig grote waarde aannemen, hetgeen uiteraard niet mogelijk is. Is m = n, dan wordt voor p -+ joo de overdracht een constante, nl.

A = _{an/bm .} Theoretisch is dit mogelijk, voor praktische netwerken geldt echter dat

de overdracht \lij W -lI-00 altijd nul is tengevolge van de in geen enkel netwerk geheel te vermijden parasitaire capaciteiten. Bij de bestudering van de eigenschappen van schakelingen kan het effect van parasitaire capaciteiten vaak in eerste instantie buiten beschouwing blijven. In zulke gevallen zijn pn-beelden met gelijke aantallen polen en nulpunten natuurlijk niet uitgesloten. We zullen ze dan ook dikwijls ont-moeten. Is m

>

n, dan kunnen we zeggen dat zich in p = 00 een (m - n)-voudig nulpunt bevindt. In deze gedachtengang hebben we dus in het eindige m polen en n nulpunten, in het gehele complexe vlak (inclusief het oneindig verre punt) m

polen en m nulpunten; m is in het algemeen tevens gelijk aan de orde van het net-werk.

I 'tI"'M'It/"l,I"fMj.. . ' M " ' . " te, c.

13 d. Een bijzondere klasse van overdrachtsfuncties vormen de impedantie- en

admittan-tiefuncties van passieve tweepolen. Voor de pn-beelden behorende bij deze functies gelden de genoemde regels natuurlijk evenzeer, echter moet regel c nu verder beperkt worden. Bij deze klasse van functies kan het verschil tussen het aantal polen en nulpunten hoogstens één bedragen. Voor het bewijs van deze regel wordt verwezen naar de netwerktheorie. De juistheid ervan kan men ook wel aanvoelen zonder strenge bewijsvoering: bij zeer hoge frequenties gedraagt een passieve com-plexe impedantie zich hetzij als een zelfinductie, hetzij als een capaciteit. Voor p -+ 00 wordt de impedantie dus van de vorm pL of I/pC. In het eerste geval is het

aantal nulpunten één groter dan het aantal polen, in het tweede geval andersom.

Praktische netwerken vertonen altijd parasitaire capaciteit, het aantal nulpunten is dus altijd één kleiner dan het aantal polen.

Zowel voor impedantiefuncties als voor admittantiefuncties is regel b geldig. Aange-zien met Z

=

l/Y de polen van Z moeten samenvallen met nulpunten van Y en

andersom, geldt voor impedantie- en admittantiefuncties dat niet alleen de polen, doch ook de nulpunten alle in het linkerhalfvlak moeten liggen.

Figuur 1.5 toont enkele pn-configuraties die voldoen aan de onder a, b en c genoemde eisen, figuur 1.6 toont enkele configuraties die hier niet aan voldoen.

x

x

x

o

(2)

)(

x

x

x

o

Fig. 1.5. Voorbeelden van toegestane pn-configuraties.

o

x

x

x

o

(2)

x

o

x

o

(2)

Fig. 1.6. Voorbeelden van niet-toegestane pn-configuraties.

Is een systeem opgebouwd als een cascadeschakeling van netwerken, die elkaar niet beïnvloeden, doordat de netwerken van elkaar gescheiden zijn door unilaterale ele-menten, dan is volgens A = AIA2A3 ... het pn-beeld van de gehele schakeling de som van de pn-beelden der afzonderlijke netwerken. Komt daarbij een pool samen te vallen met een nulpunt, dan heffen deze elkaar op.

Voor een parallelschakeling van netwerken ziet men gemakkelijk in dat het pn-beeld van de overdrachtsfunctie in het algemeen wél de polen, doch niet de nulpunten van de afzonderlijke netwerken bevat.

1.6.

Verband met amplitude- en

fase karakteristieken

Is de overdrachtsfunctie A gegeven door

A =~ (p-z l Hp-Z_{2) '" (p-zn)} bm (p - PI Hp - P2) .. . (p - Pm) ,

dan volgt de amplitude karakteristiek uit

I

A - -1_ an lp - zllip - z21 .. . lp - Zn

I

met p

=

jw, bm lp - PIl lp - P21 . • . lp - Pm I ' en de fasekarakteristiek uit (l.4) (1.5) argA

=

'-P

=

'-PI + '-P2 + .. . + '-Pn - 81 - ₈₂ - . .. - 8m , (1.6)

met '-PI = arg(p - zl)' '-P2 = arg(p - Z2), 81 = arg(p - PI), enz. met p = jw. Zijn de polen en nulpunten gegeven, dan kan men met behulp van (1.5) en (1.6) daaruit direct de amplitude- en de fasekarakteristiek bepalen. De in (1.5) en (1.6) voorkomende factoren en termen kan men gemakkelijk meetkundig interpreteren. Zij

zk één der nulpunten (figuur 1.7 .a), dan is

Uw

-

zkl de afstand van het punt jw op de imaginaire as tot het punt zk' Hetzelfde geldt voor

Uw

-

Pkl als Pk een pool voor-stelt (figuur 1.7.b). De hoek If>k:, resp. 8_k is eveneens direct uit de figuur af te lezen. Men kan dus, als het pn-beeld gegeven is, gemakkelijk de waarde van de amplitude-responsie bij een bepaalde frequentie vinden door de afstanden

Uw -

zk

I

voor alle nulpunten met elkaar te vermenigvuldigen en het resultaat te delen door het produkt der afstanden

Uw

-

Pkl. Evenzo de waarde van de fasekarakteristiek door de som der hoeken If>k: te verminderen met de som der hoeken 8k•

z.O

(a)

x-..I....---I

Pi

(b) Fig. 1.7. Meetkundige bepaling van Ijw - zk 1 en Ijw - Pk I.

Ook al voert men de constructie niet in detail uit, toch kan men met behulp van deze regel snel een indruk krijgen van het karakter van de overdracht. Zo kan men onmid-delijk vaststellen dat het pn-beeld van figuur 1.8.a een laagdoorlatend systeem beschrijft, dat van figuur 1.8.b een banddoorlatend en dat van figuur 1.8.c een hoog-doorlatend.

·

,

(a) (b)

x

X

X

X

(c)

Fig. 1.8. Voorbeelden van pn-beelden: a. laagdoorlatend netwerk; b. banddoorlatend netwerk; c. hoogdoorlatend netwerk.

Gebruiken we voor de amplitudekarakteristiek een dB-schaal, dan volgt uit (1.5)

n m

15

lAl (dB) = 2010giAI = L 2010gljw - zkl - L 2010gljw - Pkl + C, 0.7)

k=l k=l

waarin de constante C volgt uit C = _{20 logan/bm .}

Hieruit zien we dat de in dB uitgedrukte waarde van de amplitudekarakteristiek voor een bepaalde frequentie gevonden wordt door optelling, resp. aftrekking van de bijdragen der afzonderlijke nulpunten, resp. polen.

Gaan we nu na hoe deze bijdragen er in verschillende gevallen uitzien. Beschouwen we eerst een pool p = Pk op de negatief-reële as. Hiervoor geldt

met Tk = I/Pk'

Als w

=

0 is Ak

=

-20 10gPk

=

2010gTk' Als w

=

Pk

=

I/Tb dan is Ak

=

-20 10gpkY2. Ten opzichte van de responsie bij

w

= 0 is dus

w

= I/Tk het -3 dB-punt. Voor grote waarden van w is WTk ~ 1 en is Ak = -20 logw. In het gebied waar WTk ~ I daalt dus de amplitudekarakteristiek met 6 dB bij verdubbeling van

w,

d.w.z. met 6 dB per octaaf. Op een logaritmische frequentieschaal ziet de bijdrage Ak tot de amplitude-karakteristiek er dus uit als geschetst in figuur 1.9. Een zeer gemakkelijk te schetsen benadering hiervan verkrijgt men door de beide asymptoten, resp. voor

w

-r 0 en voor w -r 00 te tekenen. Dit zijn resp. een rechte evenwijdig aan de w-as en een rechte met een helling van 6 dB/octaaf. Beide rechten snijden elkaar juist in het punt w = wk

=

= l/Tk' A, (dB)F==::::::-_ _ ; .

o

-3 p,= I/r, 6 dB/oct

ligt bij wk

=

zk

=

l/Tk. De beide asymptoten (voor W -+ 0 en w -+ 00) snijden ook hier elkaar in het punt Wk= l/Tk (figuur 1.10)

A. (dB) +3

Ol==::::=---t'

W= I/r. z,= I/r, Fig. 1.10. Bijdrage tot de amplitudekarakteristiek van een reëel nulpunt (met asymptoten).

We merken nog op dat het er niet toe doet of het betreffende nulpunt links of rechts van de oorsprong ligt. In beide gevallen is de bijdrage tot de amplitudekarakteristiek dezelfde. Ligt het nulpunt in de oorsprong, dan gaat de kromme over in een rechte, waarvan de helling in het gehele frequentiegebied 6 dB/octaaf bedraagt (figuur 1.11).

A.

(dB)

6 dB/oct

Fig. 1.11. Bijdrage tot de amplitudekarakteristiek van een nulpunt in de oorsprong.

Met behulp van (1.6) laten zich eenvoudig de bijdragen 'lrk tot de fasekarakteristieken bepalen in de besproken gevallen. Figuur 1.12 toont het resultaat.

~+~~

r·

I

i

~.

I

r',

t

~.

I I I I I l t l l t l

lt~ltl

~

!n

i

i n :

in:~!n

I

in ---- - - - -

I I : I ~w I

-w

I

-w

I

-w

O~--I---,-,- 0 I 0 I 0

Iw=l/r. Iw=l/r. Iw=l/r.

?Ew=l/r.

i

I I

-in---

----ft I

-in

-in

-in

-in

HM',,'"

'n ' _ kW WI:W ! e

i I " I t I _rtb

17 De amplitude- en fasekarakteristieken van een netwerk dat een aantal polen en/of nul-punten op de reële as vertoont worden nu gevonden door superpositie van de bijdragen der individuele singulariteiten. Bij de constructie van amplitudekarakteristieken verkrijgt men zeer snel een algemene indruk van het verloop door de bijdragen te benaderen met hun asymptoten. Bij de constructie van fasekarakteristieken heeft men niet de beschikking over zo'n eenvoudige methode, daar de asymptoten geen snijpunten hebben. In gevallen waarin men slechts een algemene indruk van de fasekarakteristiek wenst te heb ben kan men zich soms redelijk behelpen met de benadering volgens figuur 1.13.

Fig. 1.13. Benadering van de fasekarakteristiek d.m.v. rechte lijnen.

De bijdrage tot de fasekarakteristiek van een reële singulariteit is hier vervangen

door de raaklijn in het buigpunt van de kromme (w = l/Tk) tot aan de punten waarin

deze raaklijn de asymptoten snijdt. Het verdere verloop wordt benaderd door de asymptoten.

Vooral als we te maken hebben met een netwerk met vele polen en nulpunten (bij-voorbeeld een cascadeschakeling van een aantal versterkertrappen) kan zo'n globale

benadering geschikt zijn voor een oriëntatie ten aanzien van de totale fasekarakteristiek.

Als voorbeeld van een netwerk met reële polen en nulpunten beschouwen we de

scha-keling van figuur 1.14.

~C~~---r---~.

+

R,

1

+

c

u.

Fig. 1.14. Netwerk met reële polen en nulpunten.

De overdracht volgt uit

-1/r, -1/r,

Fig. 1.15. Pn-beeld bij figuur 1.14.

Figuur 1.15 toont het pn-beeld, figuur 1.16 de asymptotische benadering van de am plitudekarakteristiek.

De responsie Ao bij w = 0, die als referentie fungeert voor de dB-schaal bepaalt men

uit de overdrachtsfunctie of door middel van inspectie van het netwerk. Voor het

netwerk van figuur 1.14 is Ao

=

1.

o

--....

... I

..,.

...

-I

----_Jal._

Fig. 1.16. Asymptotische benadering van de amplitudekarakteristiek. De werkelijke karakteristiek is eveneens geschetst (streeplijn a).

Figuur 1.17 toont de benadering van de fasekarakteristiek uit de bijdragen der beide singulariteiten. Wil men nauwkeuriger werken, dan kan men de gegeven formules gebruiken of gebruik maken van standaardkrommen en de superpositie met de passer uitvoeren. -;- - - r - - - , -+}'" I I I I/r,

-1

7t '

-,..

,-, / / I ---~---~---~---~'"

Fig. 1.17. Benadering van de fasekarakteristiek aan de hand van de constructie volgens figuur 1.13. De geschatte karak teristiek is aangegeven als lP (w).

Voor toegevoegd complexe polen en nulpunten worden de constructies moeilijker. De asymptotische benadering zal in dit geval vaak zeer grof zijn. Wel geldt natuurlijk dat de bijdrage tot de amplitudekarakteristiek voor twee toegevoegd complexe polen bij hoge frequenties overgaat in een rechte die met 12 dB per octaaf daalt. Twee toege-voegd complexe nulpunten geven een stijging met 12 dB per octaaf. Voor nauwkeurige constructies kan men gebruik maken van standaardkrommen of van de algemene for-mule (1.5).

1.7. Verband met polaire figuren

Kennen we de amplitudekarakteristiek en de fasekarakteristiek, dan kunnen we daar-mee uiteraard ook de polaire figuur bepalen. Bovendien kunnen we nog enkele algemene regels formuleren ten aanzien van de samenhang tussen pn-beeld en de polaire figuur.

Zij A(p) een gegeven overdrachtsfunctie. De polaire figuur is de afbeelding van de imaginaire as, die door de gegeven functie wordt bepaald. In de functietheorie wordt bewezen dat de afbeelding volgens de door (1.2) gegeven functie conform is, d.w.z. dat de hoek tussen twee infinitesimale lijnstukken in het p-vlak bij de afbeelding op het A -vlak qua richting en grootte behouden blij ft.

19

Figuur 1.18 illustreert dit: de imaginaire as wordt in het A-vlak afgebeeld als een polaire figuur (in dit geval een cirkel). Een kromme (bijvoorbeeld de lijn I) die in het p-vlak de imaginaire as loodrecht snijdt wordt afgebeeld als een kromme

l'

die de pf eveneens loodrecht snijdt. Nu worden punten van het p-vlak die overeenkomen met de polen van de afbeeldingsfunctie, afgebeeld in het oneindige van het A -vlak. De imaginaire as verdeelt het p-vlak in twee delen: het linkerhalfvlak en het rechterhalf-vlak, eveneens deelt de pf het afbeeldingsvlak in twee delen, het deel binnen de pf en het deel buiten de pf. Uit het feit dat alle polen in het linkerhalfvlak moeten liggen volgt dat dit halfvlalç wordt afgebeeld buiten de pf, het rechterhalfvlak van het p-vlak wordt dus afgebeeld binnen de pf in het A -vlak. Uit het feit dat de afbeelding con-form is volgt dan verder dat een polaire figuur gaande van w

=

0 naar w -+ 00 steeds rechtsom doorlopen wordt. Dit is een belangrijke regel, die dikwijls van veel nut is bij het construeren van polaire figuren.

- - - + - - - - ' - - 7 I

p-vlak

Fig. 1.18. Conforme afbeelding.

Opmerking: bij het construeren van een polaire figuur kan men volstaan met het af-beelden van de positieve w-as. Het afaf-beelden van de negatieve w-as geeft geen nieuwe informatie als gevolg van het symmetrische karakter van het p-vlak t.O.V. de lijn'w = 0 (d.i. de reële as). We verkrijgen voor w

<

0 dezelfde pf als voor w> 0, doch gespiegeld t.O.V. de reële as van het A -vlak.

Nulpunten in de oorsprong bepalen de helling van de amplitudekarakteristiek voor w -+ O. Een n-voudig nulpunt in 0 betekent een helling van 6n dB/octaaf. Als er geen nulpunten in het rechterhalfvlak liggen, dan bepalen de in 0 gelegen nulpunten ook de fasekarakteristiek voor w -+ 0; een n-voudig nulpunt betekent een fasedraaiing ter grootte van nrr/2 voor w -+ O. In het rechterhalfvlak gelegen nulpunten geven een extra fase-draaiing, zo geeft een op de reële as gelegen nulpunt in het rechterhalfvlak voor w = 0 een extra fasedraaiing van rr radialen. Ten aanzien van de polaire figuur kunnen we dus zeggen dat bij één of meer nulpunten in 0 de pf begint in de oorsprong. Zijn er geen nulpunten in het rechterhalfvlak en is er geen n-voudig nulpunt in 0, dan raakt de pf voor w -+ 0 aan de t-as.

Evenzo beredeneert men dat in het oneindige gelegen nulpunten (d.w.z. het verschil tussen het aantal polen en nulpunten) iets zeggen over de polaire figuur bij w -+ 00. Een n-voudig nulpunt in het oneindige betekent een helling van -6n dB/octaaf in de amplitudekarakteristiek en een fasedraaiing -nrr/2 voor w -+ 00 door de oorsprong en raakt daar aan de (-j)n-as.

van het verloop van amplitude- en fasekarakteristieken, en daarmee van de polaire figuur, door de singulariteiten in groepjes samen te nemen. Polen en nulpunten ver-minderen immers elkaars invloed. Op grote afstand van een groepje k polen en j nul-punten is de totale uitwerking alsof zich op de plaats van dit groepje een (k -

j)-voudige pool (als k

>

j) of een (j - k)-voudig nulpunt (als j

>

k) bevindt. Toepassing van deze regel maakt het dikwijls mogelijk het rekenwerk zeer sterk te vereenvoudigen.

1.8.

Minimumfase- en niet-minimumfasenetwerken

Bij de behandeling van de algemene voorwaarden waaraan de polen en nulpunten van een overdrachtsfunctie moeten voldoen is gebleken dat de polen steeds in het linker-halfvlak moeten liggen, doch dat nulpunten zowel in het linkerlinker-halfvlak als in het rechterhalfvlak kunnen liggen. Netwerken waarbij de nulpunten alle in het linkerhalf-vlak liggen noemt men minimumfasenetwerken, wanneer de nulpunten of een deel der nulpunten in het rechterhalfvlak liggen spreekt men van niet-minimumfasenetwerken. Bij een minimumfasenetwerk bestaat er een eenduidig verband tussen de amplitude-karakteristiek

IA(w)1

en de fasekarakteristiek 'P(w). De geldigheid van deze regel kan algemeen worden aangetoond, een vermoeden van de juistheid ervan verkrijgt men reeds bij een directe beschouwing van het pn-beeld, waarbij blijkt dat het niet mogelijk is een pool of nulpunt zo te verplaatsen dat de amplitudekarakteristiek niet verandert en de fasekarakteristiek wel. Het pn-beeld legt zowel de amplitudekarakteristiek als de fasekarakteristiek eenduidig vast. Bij niet-minimumfasenetwerken bestaat er geen een-duidig verband tussen de amplitudekarakteristiek en de fasekarakteristiek. Ook dit kan direct blijken uit het pn-beeld, immers als we een nulpunt uit het linkerhalfvlak ver-plaatsen naar het rechterhalfvlak, zódanig dat de nieuwe positie van het nulpunt het spiegelbeeld is van de oude t.O.V. de imaginaire as, verandert er niets aan de amplitude-karakteristie}c, doch wel aan de fasekarakteristiek. De fasedraaiing, die dit netwerk geeft, is altijd groter dan die van het bijbehorende minimumfasenetwerk.

H.W. Bode heeft het verband tussen amplitude- en fasekarakteristiek voor minimum-fasenetwerken mathematisch onderzocht en in formules vastgelegd. De meest gebruikte formulering van deze 'wet van Bode' luidt

(1.9)

Hierin is 'Pc de fasedraaiing van de hoekfrequentie Wc in radialen en AN de versterking in nepers. De neper is, evenals de dB, een logaritmische maat voor de versterking, echter op basis van de natuurlijke logaritme: AN

=

In

IA I.

De grootheid

Tt

=

'P/w wordt

faselooptijd genoemd;

Ttc

is dus de faselooptijd bij w

=

wc

.

' ! .!Ip. ! M e . ! ! . . . , . _ ' I r,

21 De interpretatie van (1.9) is eenvoudig. Zij AN(w) gegeven (figuur 1.19), de faseloop-tijd in Wc volgt dan uit de sommatie van alle waarden van het verschil van AN en de waarde ANc van AN in Wc met inachtname van een 'gewichtsfactor'. Deze gewichts-factor, d.i. 1/(w2 - w;) is groot voor frequenties in de buurt van wc, terwijl hij klein is voor frequenties ver verwijderd van wc. De fasehoek en de faselooptijd in de buurt van Wc worden dus vooral bepaald door de fluctuaties in de amplitudekarakteristiek in dezelfde omgeving, doch alle overige punten van de amplitudekarakteristiek spelen ook mee, zij het in mindere mate. Voor de afleiding van (1.9) en voor voorbeelden van het gebruik ervan raadplege men het bekende boek van H.W. Bode, Network analysis and feedback amplifier design, Princeton, 1945.

We hebben reeds gezien dat bij niet-minimumfasenetwerken geen vast verband bestaat tussen amplitude- en fasekarakteristiek. Dit maakt dit type netwerken bijzonder geschikt voor fase-egalisatie. Men kan er een bepaalde fasecorrectie mee tot stand brengen zonder gedwongen te zijn een daarmee vastliggende verandering van de ampli-tudekarakteristiek van het systeem op de koop toe te nemen. Indien gewenst kan men zelfs fasedraaiende netwerken maken met een theoretisch volkomen vlakke amplitude-karakteristiek. Hiertoe moet het pn-beeld zo gekozen worden dat alle nulpunten in het rechterhalfvlak liggen en juist het spiegelbeeld t.o.v. de imaginaire as zijn van de polen. Figuur 1.20 geeft een voorbeeld van zo'n pn-figuur. De fase draaiing bedraagt, zoals men gemakkelijk ziet, 1800 voor w

=

0 en 00 voor w -+ 00. De amplitudekarakteristiek is volkomen vlak.

~(---7) ~(---~)

I/T, I/T,

Fig. 1.20. Pn-beeld van een niet-minimumfasenetwerk.

We merken nog op dat men voor de karakterisering van het fasegedrag van een netwerk lang niet altijd de directe fasekarakteristiek Ij?(w) gebruikt. In vele gevallen geeft men de voorkeur aan de reeds genoemde fase-vertragingskarakteristiek of fase-looptijdkarak-teristiek 7f(W) = Ij?(w)/w of aan de groepvertragingskarakteristiek (groeplooptijd)

7_g(W)

=

dlj?(w)/dw. Het gebruik van laatstgenoemde karakteristiek heeft vooral voor-delen bij de bestudering van selectieve systemen, zoals band doorlatende versterkers, daar de groeplooptijd overeenkomt met de vertraging van de omhullende van een ge-moduleerde wisselspanning, dus met de vertraging van de informatiestroom. De karak-teristieken 7f(W) en 7_g(W) kunnen direct afgeleid worden uit de fasekarakteristiek Ij?(w).

1.9.

Sprongkarakteristieken

Wanneer we de amplitudekarakteristiek en de fasekarakteristiek van een lineair netwerk in het gehele frequentiegebied (van w

=

0 tot w -+00) kennen, is het gedrag van het netwerk hiermee volkomen bepaald. We kennen dan de responsie van het netwerk voor sinusvormige signalen van willekeurige frequentie, zodat we, met behulp van de Fourier-analyse de overdracht van een willekeurig signaal S = f(t) kunnen berekenen. Is het ingangssignaal van periodieke aard, zodat we met een beperkt aantal spectraalcompo-nenten te maken hebben, dan ligt toepassing van deze methode voor de hand. Dit is ook het geval wanneer het signaal weliswaar niet zuiver periodiek is, maar de

fase-relaties van betrekkelijk weinig belang zijn, zodat we met kennis van de amplitude-karakteristiek in een beperkt frequentieinterval kunnen volstaan. Dit laatste is het geval wanneer het signaal een audiosignaal is: het oor is weinig gevoelig voor fasedraaiingen van de samenstellende sinusvormige componenten van het audiosignaal.

Wanneer het ons echter te doen is om kennis van de wijze waarop een niet-periodieke tijdfunctie wordt overgedragen, is de methode waarbij we het gedrag van het netwerk beschrijven met behulp van amplitude- en fasekarakteristieken, omslachtig. Dit is het geval bij impulsvormige signalen en bij televisiesignalen. Zulke signalen kunnen we ons opgebouwd denken uit een reeks plotselinge sprongvormige variaties in de tijd. In zo'n geval hebben we vaak meer aan kennis van de zogenaamde sprongkarakteristiek, d.i. de reactie van het netwerk op een eenmalige sprongsgewijze variatie van het ingangssignaal (eenheidssprong, unit step function). Omdat het pn-beeld van het netwerk de over-drachtseigenschappen geheel bepaalt, moet het mogelijk zijn een direct verband aan te geven tussen de sprongkarakteristiek (Engels: transient response) en het pn-beeld. Opmerking: men neme er goede nota van dat de sprongkarakteristiek een geheel ander karakter heeft dan de amplitude- en de fasekarakteristiek. Eerstgenoemde geeft de reactie van het netwerk als functie van de tijd, laatstgenoemde als functie van de fre-quentie.

Gelukkigerwijze blijkt het verband tussen de sprongkarakteristiek en het pn-beeld van zeer eenvoudige aard te zijn. Dit verband leidt men het gemakkelijkst af met behulp van de Laplacetransformatie. Zoals bekend mag worden verondersteld, kan men aan elke tijdfunctie f(t) een functie F(p) toevoegen, die men de Laplacetransformatie noemt. Definieert men deze als

~

F(p) =

J

exp( -pt)dt

o

en stelt men de overdrachtsfunctie van het netwerk op met behulp van de volgens de Laplacetransformatie getransformeerde netwerkvergelijkingen, dan blijkt dat de aldus gevonden overdrachtsfunctie precies dezelfde gedaante heeft als de eerder gevonden vorm, die ontstond door exp(pt) te substitueren in de differentiaalvergelijkingen. De reactie van het netwerk op een sprongfunctie is dus eenvoudig te vinden door met behulp van de gevonden overdrachtsfunctie de Laplacetransformatie van het uitgangs-signaal op te stellen en deze terug te transformeren tot een tijdfunctie. De Laplace-transformatie van de eenheidssprong let) is lip, zoals men gemakkelijk ziet met behulp van de definitîeformule.

Is nu de overdrachtsfunctie gegeven door haar polen en nulpunten

A (p - Zl)(P - Z2)(P - z3) .. . (p - zn)

(p - Pl)(P - P2)(P - P3) . . . (p - Pm) ,

dan volgt de sprongkarakteristiek eenvoudig uit de terugtransformatie van de functie Alp, dus

( 1.10)

Het pn-beeld van F(p) vindt men dus uit het pn-beeld van A door één pool in p = 0 toe te voegen.

fl "

_til· ... I . . .. . f t lhe' ti g I ! r L+ HtttMllr'_ iS

_ft

.

I ' " M' er •

23

Terugtransformatie kan plaats vinden door F(p) op de bekende wijze in partiële breuken te splitsen. Met uitsluitend enkelvoudige polen:

[AO Al A 2 ]

F(p) =

- + - - + - - +

.

...

p p - Pl P - P2 ( 1.11)

Ao is het residu van F(p) in p = 0, Al is het residu in p = Pl enz. Er zij aan herinnerd dat het residu in de pool p = Pi per definitie gelijk is aan

Ai = [Cp - p). F(p)]P=Pï (1.12)

Uit deze definitie volgt dat de waarde der residuen o.m. afhangt van de nulpunten van F(p). Bij aanwezigheid van een meervoudige pool, bijvoorbeeld een k-voudige pool in p = Pl, neemt de splitsing in partiële breuken de vorm aan

[AO A~ A~ A~' F(p)

= -

+

k

+

( ) +

) +

+

P (P - Pl) (P _ Pl)k-l (p _ pdk- 2 ... A(k) A A A

+

_ 1 _

+

_ 2 _

+ __

3 _

+ ... + __

m_]

.

p -~ p -~ p -~ p-~ (1.13)

A'l is nu gegeven door

, k Al = [Cp - Pl) F(p»)p=p, . (1.14.a) Evenzo 11 l[d { k ] Al

=

IT

dp (p - Pl) F(p)} p=p, ' (I.14.b) 11' 1 [d 2 { k } ] Al = -2' _{. dp} - 2 (p - Pl) F(p) _ ,enz. p-p, (1.14.c)

Uit (LIl) en (1.13) kunnen we enkele belangrijke conclusies trekken ten aanzien van het verband tussen pn-beeld en sprongkarakteristiek. Terugtransformatie van een term AnJ(p - Pn) levert op Anexp(Pnt), terugtransformatie van een term van het type AnJ(p - Pn)k levert op

De sprongkarakteristiek stelt zich dus samen uit een reeks afnemende e-machten (Pn heeft steeds een negatief reëel deel), eventueel vermenigvuldigd met een factor t, t2

,

enz. Als Pn reëel is zijn deze tijdfuncties aperiodiek, zijn echter Pn en p~ toegevoegd complexe polen, dan komen steeds tegelijk voor An exp(Pnt) en A~ exp(p~t). Is Pn

=

(J.n

+

jWn en stellen we gemakshalve An

=

B

+

jD, dan is

Anexp(Pnt)

+

A~exp(p~t) = B[exp(Pnt)

+

exp(p~t)]

+

jD[exp(Pnt) - exp(p~t)]

(1.15) Aangezien (J.n

<

0 (polen in linkerhalfvlak) stelt dit een harmonische trilling voor met afnemende amplitude. Toegevoegd complexe polen leveren dus steeds periodieke termen in de sprongkarakteristiek op; in reactie op het sprongvormige ingangsverschijnsel treden

"=n~

sprongkarakteristiek complexe polen een noodzakelijke en voldoende voorwaarde vormen. De ligging van de polen bepaalt geheel de frequentie

w

van het uitslingerver-schijnsel en de door de dempingsexponent Cl. gegeven snelheid van uitsterven. Voor de aperiodieke componenten geldt eveneens dat de tijdconstante, die hun uitsterfsnelheid bepaalt, geheel bepaald wordt door de plaats van de polen op de reëele as. Men con-cludere hieruit echter niet, dat de posities der nulpunten van geen belang zijn. De grootte en het teken van de residuen hangt er wel van af en daarmee de onderlinge verhouding van de amplituden der diverse samenstellende delen. Verschuiving van een nulpunt kan daardoor toch wel eens verrassende gevolgen hebben voor de aard van de sprongkarakteristiek.

Zeer duidelijk blijkt de betekenis van de nulpunten als we de invloed nagaan van in de oorsprong en van in het oneindige gelegen nulpunten. Is er een nulpunt in de oorsprong, dan volgt de sprongkarakteristiek uit de terugtransformatie van een vorm van de gedaante

(p - Zt)(p - zÛ .. .

(p - Pt)(p - P2) .. . (1.16) In de sprongkarakteristiek ontbreekt nu de term, die ontstaat door terugtranformatie

van

Ao/p,

dus

Ao·

1 (t), een sprongvormige component ('gelijkstroomcomponent'), die

niet uitsterft. Terugtransformatie van (1.16) levert uitsluitend uitstervende e-machten op, voor t -r 00 is de responsie nul. We concluderen dus dat nulpunten in de oorsprong de sprongkarakteristiek voor t -r 00 naar nul doen gaan.

Het zal geen verwondering wekken dat op soortgelijke wijze geldt dat de aanwezigheid van nulpunten in het oneindige (d.w.z. in het eindige zijn er meer polen dan nulpunten) ten gevolge heeft dat de sprongkarakteristiek in t

=

0 de waarde nul aanneemt. Zoals we weten hebben praktische netwerken minstens één nulpunt in het oneindige, de reactie op een sprongvormig ingangssignaal vertoont blijkbaar altijd een zekere traag-heid. De fysische oorzaak is evident: de energie-inhoud van reactieve elementen kan niet sprongsgewijs veranderen.

Bij sommige netwerken is niet in de eerste plaats de reactie op een eenheidssprong van belang, doch de reactie op het inschakelen van een sinusvormig (of cosinusvormig) signaal. Dit geval laat zich eenvoudig behandelen door gebruik te maken van de Laplace-transformatie van het inschakelen van een periodiek signaal. Zoals bekend is van 1 (t)·

sinwt de Laplacetransformatie W/(p2

+

w2), die van I (t). coswt is p/(p2

+

w2). Figuur

1.21 toont de pn-beelden van deze p-functies.

In het bijzonder bij netwerken met band doorlatend karakter zijn sprongkarakteristieken van dit type van belang; zij geven direct een indruk van de wijze waarop sprongsgewijze variaties in de omhullende van een gemoduleerde draaggolf worden doorgegeven.

25

1

l(c) 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~c +jw I(C).cos wC

o

---'>..

~

p' P + w' - - o 7 C -jw +jw I (c). sin wC - t - - - I - - - + - - - t - - - ,

o

-jw Fig. 1.21. Sprongfuncties en het pn-beeld van hun Laplacetransformatie.

Bij praktisch gerichte beschouwingen over amplitudekarakteristieken maakt men voor een eenvoudige en globale beschrijving gebruik van de begrippen bandbreedte (bijvoor-beeld de 3dB-bandbreedte, uitgedrukt in MHz) en j7.anksteilheid (in dB/octaaf). Ook bij de beschouwing van sprongkarakteristieken bestaat er behoefte aan grootheden die, zonder de karakteristiek uitputtend te beschrijven, een bruikbare oriëntatie geven. De

volgende begrippen hebben zich ingeburgerd (figuur 1.22).

0,9

0,5

0.1

1=0

I ..

_<,

Fig. 1.22. Schets van een typische sprongkarakteristiek.

L _ _ _ _ _

l=-__

r

f

---..

1

1. De stijgtijd (rise time) T_{r ,} d.i. de tijd welke verloopt tussen de momenten waarop

het uitgangssignaal 0,1 resp. 0,9 maal zijn 'eindwaarde' bereikt. Onder 'eindwaarde'

valt hierbij te verstaan de waarde waaromheen zich het uitslingerverschijnsel afspeelt.

2. Het doorschot (overshoot) D, d.i. de maximale mate waarin het signaal uitschiet

boven het niveau der genoemde 'eindwaarde'. D wordt meestal uitgedrukt in

%

van

deze eindwaarde.

3. De frequentie van het uitslingerverschijnsel (bijvoorbeeld uitgedrukt in MHz).

4. De vertragingstijd (delay time) Td, d.i. de tijd die verloopt tussen het inschakelen

van het sprongsignaal en het moment dat het uitgangssignaal de helft van zijn eind-waarde bereikt.

De onder 1 t/m 4 genoemde grootheden hebben betrekking op de verschijnselen die

zich voordoen kort na het moment van inschakelen (t = 0).

5. De verschijnselen voor grote waarden van t karakteriseert men wel door de 'door

-zakking' (Engels 'sag' of 'droop') S, d.i. de daling van de signaalwaarde beneden de

eerder genoemde 'eindwaarde', die men hier beter 'beginwaarde' kan noemen. Men

drukt S meestal uit in % van genoemde waarde, waarbij men uiteraard opgeeft op

welk tijdstip men de karakteristiek beschouwt. Bij televisiesignalen kiest men hier-voor dikwijls één rasterperiode, d.i. 1/50 s.

1.10. Voorbeelden van sprongkarakteristieken

Ter illustratie van het voorgaande zullen we thans enkele eenvoudige

sprongkarakteris-tieken beschouwen. Als eerste voorbeeld kiezen we het netwerk van figuur 1.14, dat

in figuur 1.23 opnieuw is getekend.

~C:::=:::::J---r---e

+

RI

I

+

•

c

Ui

u.

_{- J;'r} I

Fig. 1.23. Eenvoudig Re-netwerk. Fig. 1.24. Pn-beeld bij figuur 1.23.

De overdrachtsfunctie is

figuur 1.24 toont het pn-beeld. De sprongkarakteristiek volgt nu uit de

terugtransfor-matie van

Tl 1 P

+

I/Tl

F(p) = T2 •

P

p + 1/T2

Dit levert op

(1.17) Figuur 1.25 toont de sprongkarakteristiek. Zoals we moesten verwachten treedt geen uitslingerverschijnsel op. Aangezien er evenveel polen als nulpunten zijn heeft f(t) een

27

eindige waarde voor t = 0, n.l. Tt/T2 = R2/(RI + R2 ). Ook dit moesten we verwachten:

bij het inschakelen van het sprongsignaal is de condensator nog niet geladen, op het

eerste moment is deze dus a.h.w. een kortsluiting, de weerstanden Rl en _{R 2} vormen een spanningsdeler. De tijdconstante van de e-macht wordt geheel bepaald door de pool, eveneens zoals verwacht. Voor t -+ 00 is de condensator geheel geladen en ver-schijnt de gehele ingangsspanning op de uitgang. Ook dit blijkt uit de sprongkarakte-ristiek. We kunnen in dit eenvoudige geval dus door uitsluitend de genoemde regels toe te passen de sprongkarakteristiek vinden zonder formeel de transformatie uit te voeren.

1

-!.L

r , 0

Fig. 1.25. Sprongkarakteristiek van het netwerk volgens figuur 1.23.

Als tweede voorbeeld beschouwen we de schakeling van figuur 1.26. We nemen aan dat de transistor mag worden beschouwd als een ideale stroombron met sterkte gm Ui'

ct, = 1/2r

x

Fig. 1.26. Schakeling met complexe polen. Fig. 1.27. Pn-beeld bij figuur 1.26.

De overdrachtsfunctie is

(1.18) met

behoeven deze echter voor ons doel niet precies te bepalen want voor de terugtrans-formatie kunnen we direct met (1.18) werken. F(p) volgt uit

[Rl I I ] F(p)

=

-gm -

+

C ( )( *) . p p - PI P - PI (1.19) Stellen we PI = al

+

jWl en

P~

= al - jWl met Ctl = -1/2T en Wl =

Jw; -

(l/2d,

dan wordt (1.20)

De sprongkarakteristiek (figuur 1.28, waarin afgezien is van het minteken) vertoont nu een periodieke component, zoals verwacht moest worden. De frequentie van het uit-slingerverschijnsel komt overeen met de eigenfrequentie Wl van de resonantiekring, de dempingsexponent al wordt bepaald door de tijdconstante T= Re van deze kring. De

stijgtijd T_r = O. Dit is een gevolg van de aangenomen idealisering; in een praktische schakeling is het niet te vermijden dat de uitgang enigszins capacitief belast wordt, waardoor er nog een pool bijkomt, die er voor zorgt dat T_{r een eindige waarde}

aan-neemt. / / I

"

'"

/ -71

Fig. 1.28. Sprongkarakteristiek van de schakeling volgens figuur 1.26.

1.11. Verband tussen amplitudekarakteristiek en sprongkarakteristiek

Zowel de sprongkarakteristiek als de combinatie van amplitude- en fasekarakteristiek (de polaire figuur) geven een volledige beschrijving van het gedrag van het lineaire net-werk. Kennen we de amplitude- en fasekarakteristieken dan moet het dus in principe mogelijk zijn daaruit de sprongkarakteristiek te bepalen. Met behulp van de Fourier-transformatie van de eenheidssprong laat zich hiervoor een algemene betrekking afleiden. Deze heeft de gedaante

(

{

AO 1

+~

IA(w)lsin[W(t-Tf(W») }