Wytrzymałość i konstrukcji 2. Wykład 3. Ramy. Zasada prac przygotowanych. Wyznaczanie przemieszczeń metodą siły jednostkowej. Dr hab. inż.

Ramy

Zasada prac przygotowanych

Wyznaczanie przemieszczeń metodą siły jednostkowej

Wytrzymałość i konstrukcji 2

Wykład 3

Dr hab. inż. Piotr Marek

Wprowadzenie

Na WK1 wyznaczaliśmy przemieszczenia szukając korzystając z funkcji:

 

 

u ^



 



 

   

EJ x x Mg

w 

Teraz zrobimy to inaczej: metoda siły jednostkowej, pozwala określić dowolną składową dowolnego przemieszczenia w

dowolnym miejscu konstrukcji (DDD)! (prosta i elegancka)

 Zasada prac przygotowanych (wirtualnych)

Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi układu materialnego jest, by praca wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych na dowolnym

przesunięciu przygotowanym była równa zero.

Przesunięcie przygotowane  małe przemieszczenie

zgodne z narzuconymi więzami

Metoda siły jednostkowej (Maxwella- Mohra)

x z

Rama dowolnie obciążona

A

B

C

D

P

P

M

f_D =?

Poszukujemy przemieszczenia f

Metoda siły jednostkowej (Maxwella- Mohra)

Znajdziemy przemieszczenie df_D wywołane odkształceniem elementu ds (EF)

Mg

T

N

ds  d

STAN PRZYGOTOWANY

x z

ds D

E F

1

D F

1

mg

n t

STAN JEDNOSTKOWY

du dw

 x

z A

B C

ds D

E F

nieskończenie sztywne

nieskończenie sztywne odkształcalne

df_D

Obciążymy teraz tę samą ramę obciążeniem jednostkowym, takim które działa w kierunku

przemieszczenia, które chcemy wyznaczyć.

Metoda siły jednostkowej (Maxwella- Mohra)

Warunek równowagi przy użyciu zasady PP:

Mg

T N

ds

du dw



STAN PRZYGOTOWANY

D F

1

mg n t

STAN JEDNOSTKOWY

0 1df_D ndutdwm_g d



Siła 1N działa na przemieszczeniu

przygotowanym df_Da siły wewnętrzne n,t,m, działają na przem. przygotowanych du, dw, d

Ale cała rama się odkształca!







 l g

l

D ln du t dw m d

f



Wzór ogólny (dowolna konstrukcja, dowolne przyczyny, dowolne zachowanie materiału)

d



Metoda siły jednostkowej (Maxwella- Mohra)

Dla konstrukcji prętowej liniowo sprężystej:

AE ds ds N

du 



AG ds T

dw 





EJ ds M

ds w

d      ^g

 

Ostatecznie dla ramy ściśle płaskiej:







 l

g g

l

l ds

EJ m ds M

GA t ds T

EA n

f N  ^





g

g ds

EA n ds N

EJ m f M

Dla ramy przestrzennej:













 l

y y l y

z z l z

s s s

l z

z z

l y

y y

l ds

GA t ds T

GA t ds T

GJ m ds M

EJ m ds M

EJ m ds M

EA n

f N  









 l l

s s s

l z

z z

l y

y

y ds

EA n ds N

GJ m ds M

EJ m ds M

EJ m f M

Można pominąć (mały udział <1%)







 l g

l

D ln du t dw m d

f  Wzór ogólny (dowolna konstrukcja, dowolne

przyczyny, dowolne zachowanie materiału)

Metoda siły jednostkowej (Maxwella- Mohra)









 l l

s s s

l z

z z

l y

y

y ds

EA n ds N

GJ m ds M

EJ m ds M

EJ m f M





32 D d J

J_S  _o 







 ds J_S F

4 2



 ₃¹ _{i i}³

S s

J



Dla ram przestrzennych:







 l

s s s

l z

z z

l y

y

y ds

GJ m ds M

EJ m ds M

EJ m f M



 l

y y

y ds

EJ m f M

Dla ram ściśle płaskich:

Dla kratownic:





 ⁿ

i i i i

l EA

l n ds N

EA n f N

1

Twierdzenie Wereszczagina

    _{F o}

b

a F x  f x  dx  A  f



S.C.

x

a b

A

F(x)

x

a b

f(x) f

(Liniowa i ciągła)

t.W.

Zad.1a. Belka wspornikowa obciążona siłą P

Znaleźć ugięcie końca belki (w punkcie C)

T(x)

P -Pl

Mg(x)



 l

y y y

C ds

EJ m

f M ^

 



 



  

 Pl l l

EJ_y ³

2

2 1

STAN PRZYGOTOWANY

A C

1

-1·l m_g(x)

t(x)

1 STAN JEDNOSTKOWY

3 3

10 100 3

2 1500





 

Dane: P=1,5kN, l=2m, EJ_y=100kNm²

m 04 ,

 0 EJy

Pl 3

3

P

A C

EJ_y

B l

Mg x T

P

t.W.

Sprawa pominiętego członu od siły tnącej

T(x)

P





 l l

y y y

C ds

GA t ds T

EJ m

f M  ^

 



 



  

 1 1

2 1

3

2 P l

l GA l

Pl

EJ_y



STAN PRZYGOTOWANY

t(x)

1

STAN JEDNOSTKOWY

GA l P EJ

Pl

y

 

 

3

3



 



  

 ³ 3 ₃

3 1 l

EJ GA

l EJ

Pl y

y



 

 











 

 





3 12 1

2

3 ³

1 3

3 l

E h

b l EJ

Pl ^bh

E

y 



 











 



 





 

3 2

2 1 1

3 l

h EJ

Pl

y

 

 











 



 





 





3 2

2 3 , 0 1 5 1 6

3 l

h EJ

Pl

y

Dla stali i l > 10h  =0.0078 (0,78%)





 1

3

3

EJy

Pl

Dla stali i l > 20h  =0.00195 (0,2%)

b h y



 l

y y y

C ds

EJ m f M

Zad.1b. Belka wspornikowa obciążona siłą P Znaleźć ugięcie w połowie długości belki (w punkcie B)

-Pl Mg(x)



 l

y y y

B ds

EJ m

f M ^



















  

 Pl

l l

EJ_y ⁶

5

2 2 1 2

STAN PRZYGOTOWANY

A B

1

-½·l m_g(x)

STAN JEDNOSTKOWY

3 3

10 100

2 1500 48

5



 

  0,0125m

EJy

Pl³ 48

5

P

A C

EJ_y

B l

t.W.

Zad.1c. Belka wspornikowa obciążona siłą P Znaleźć kąt ugięcia na końcu belki (w punkcie C)

-Pl Mg(x)



 l

y y y

C ds

EJ m

 M

STAN PRZYGOTOWANY

-1 m_g(x)

STAN JEDNOSTKOWY

P

A C

EJ_y

B l

A C

1

 





 



  

 1

2 1 Pl l

EJ_y ³

2

10 100 2

2 1500





   0,03rad EJy

Pl 2

t.W. 2

Zad.2a. Belka wspornikowa obciążona stałym wydatkiem q

Znaleźć ugięcie końca belki (w punkcie B)

STAN PRZYGOTOWANY

A B

1

-1·l m_g(x)

STAN JEDNOSTKOWY Dane: q, l, EJ_y

q

A B

EJ_y

l

Mg x T

q

-ql²/2 Mg(x)

 

2

1 q l x M_g   





m_g  1  



 l

y y y

B ds

EJ m

f M ^q



  

 

EJ

l

y













 ¹



0 2

1 ^ _EJ^q







y 0

3

2

 

y

x EJ l

q

0 4

8 





EJy

ql 8

 4

Zad.2b. Belka wspornikowa obciążona stałym wydatkiem q

Znaleźć kąt ugięcia na końcu belki (w punkcie B)

STAN PRZYGOTOWANY

STAN JEDNOSTKOWY Dane: q, l, EJ_y

q

A B

EJ_y

l

Mg x T

q

-ql²/2 Mg(x)

 

2

1 q l x M_g   

-1 m_g(x)

A B

1



 l

y y y

B ds

EJ m

 M ^q



  

EJ

l

y

1 2 1

0 2

1   









^

^

y 0

2

2

 

y

x EJ l

q

0 3

6 





EJy

ql 6

 3

Zad.3. Belka oparta na dwóch podporach i obciążona siłą P w ¼ swej długości

Znaleźć pionowe przesunięcie p.C względem prostej

przechodzącej przez p. B i D.

Dane: P, l, EJ_y

P

A E

EJ_y= const

B C D

l

= = = =

4 P P 1

4 3

Mg(x)

16 Pl

3

STAN PRZYGOTOWANY

=?

STAN JEDNOSTKOWY

1

A E

B C D

= = = =

½

½

m_g(x) ₈¹ l









 u_C ¹₂ u_B u_D 1u_C  ¹₂ u_B  ¹₂ u_D





EJ_y ¹⁶

3 3 2 8

1 2 1 2

1 1







EJy

Pl 256

 3

t.W.