INŻ. TA D E U SZ FIEDLER
PROFESOR HONOROWY POLITECHNIKI LW OW SKIEJ
TEORJA MASZYN
U R Z Ą D Z E Ń C IE P L N Y C H
WEDŁUG WYKŁADÓW NA WYDZIALE MECHANICZNYM P O L ITE C H N IK I L W O W S K IE J.
CZĘŚĆ I.
RUCH CIEPŁA I TERMODYNAMIKA TECHNICZNA W ZASTOSOWANIU DO SILNIKÓW CIEPLNYCH.
L WÓ W
N A KŁADEM .K O M ISJI W Y D A W N IC ZE J“ KÓŁ NAUKOW YCH I T O W A R Z Y ST W A B R A TN IEJ POM OCY ST U D E N T Ó W P O L IT E C H N IK I LW O W SK IEJ.
1932.
iio. fff
"130295
Z w ią z k o w e Z a k ła d y G r a iic z n e , S p ó łd z . z o d p . u d z ia ł., Lw ów , K rzyw a 10 T e l. 90-05.
P R Z E D M O W A .
Inż. Tadeusz Fiedler w ykładał p rzez 35 lat (1894—1929) „Teorję m aszyn cieplnych“ na Wydziale mechanicznym Politechniki Lwowskiej.
Po przejściu na em eryturę opracował skryp t swoich wykładów (część I) i ofiarował rękopis Uczelni. Gdy zawiodły starania w Warszawie o u zy skanie funduszów na druk, wtedy „Komisja Wydawnicza Kół Nauko
wych i Towarzystwa Bratniej Pomocy Studentów Politechniki Lwow
s k ie j“ wydaje niniejszy podręcznik własnym nakładem.
Oto sucha tej książki geneza, którą niech ożyw i jeden szczegół:
Prof. Fiedler wykonał sam w szystkie rysunki „ .. .aby książka była tań
sza i każdy student mógł ją kupić i uczyć się z n ie j.. .“. „Może uła
twię w ten sposób pracę m emu następcy“. Jak piękny gest Profesora emeryta wobec sw ej Szkoły.
Gdy Czcigodny Autor, Profesor honorowy i Doktor nauk technicz
nych „honoris causa“, zw rócił się do mnie z prośbą o napisanie (krót
kiego) wstępu, czynię to jako były uczeń z pietyzm em i wobec nieobsa- dzenia dotąd katedry Teorji M aszyn Cieplnych, jako profesor najbliższej katedry, wyrażam głębokie przekonanie, że podręcznik ten ułatwi m ło
d zieży zaznajomienie się z tajnikami tej gałęzi Wiedzy, która powinna być podstawą w szystkich poczynań inżyniera-mechanika. Z radością witani też zapowiedź opracowania części Il-g iej (ostatniej), w której będzie zawarta teorja spalania, gazowania, palniki, ruszty, ogrzewanie, chłodnictwo i zasady skraplania gazów.
Podziękowanie należy się Kom isji Wydawniczej za podjęcie w y
dania, mimo panującego kryzysu, następnie inż. Stanisławowi Ochę- duszce, adjunktowi Katedry Teorji Maszyn Cieplnych za przeprowadze
nie żm udnej głównej korekty, to samo zapobiegliwemu współkorekto- rowi ze strony Komisji Wydawniczej stud. Antoniem u Michalikowi, wreszcie Związkowym Zakładom Graficznym (Spółdz. z odp. udz. we Lwowie), za szybki, cierpliwy i często niełatwy skład oraz za staranne wykonanie całości.
Lwów, m aj 1932.
RO M AN W ITK IEW IC Z
DOSTRZEŻONE OMYŁKI.
Str. 24 wiersz 4 z dołu zamiast: powierznię 46 „ 6 z góry
47 w nagłówku 59 wiersz 17 z dołu 64 „ 12 „ 78 „ 13 „
ma być: powierzchnię
„ „ Izoehora
„ „ Izoehora
„ * przebiegu
„ AdL' = d Q '— dQ',
„ doświadczeń
, Izohora „
Izohora „
silnika „
AdL' = dQ,\— dQ, „ oświadczeń „
79 rys. 34 jest o tyle błędny, że wykres prędkości przepływu przy samej ścianie przewodu musi wychodzić od wartości 0 102 wiersz 12 z góry zamiast: cylindy ma być: cylindry
114 „ 7 z dołu „ łopadkę „ „ łopatkę 144 „ 8 z góry „ Armengand „ „ Armengaud
144 * 21 „ * kotła „ „ koła
170 rys. 107 jest błędnie op isan y : wartości Cu <7» i C^r. ze wzoru na str. 171 są jednoznaczne z wartościami oznaczonemi jako tg'h , tg<?i i tg Sir. na rys. 107.
171 w nagłówku zamiast: Telle’go ma być: Tolle’go.
S P I S T R E Ś C I .
ROZDZIAŁ I.
Str.
I. Ruch c i e p i a ... 1
II. P rz ew o d ze n ie c i e p ł a ... 4
Z a d a n i a ... 6
P rz y k ład y z G róbera 1 9 2 o ... 7
P rzepuszczalność cieplna r u r ...8
P ły ty z ł o ż o n e ...10
R u ra złożona z w a r s t w ... 11
P rę t p ełn y , o krągły, o długości nieograniczonej ... 13
P rę t o długości s k o ń c z o n e j ... 15
Dalsze z a d an ia z za k resu przew odzenia c i e p ł a ... 19
III. P rz e n o sz e n ie ciepła p rz e z p r o m i e n i o w a n i e ... 20
E m isja c ia ła absol. c z a r n e g o ... 20
P ro m ien io w an ie ciała nie c z a r n e g o ... 22
P raw o L a m b e r t a ...23
A b s o r b c j a ...24
P raw o K i r c l i h o f f a ... 25
W ym iana ciep ła m iędzy ciałam i s t a ł e m i ... 28
Z łączenie różnych sposobów przechodzenia c i e p ł a ... 31
P ro m ien io w an ie g a z ó w ...' ... 31
P o c h ła n ia n ie p ro m ien i przez g a z ...32
E m isja g a z ó w ... 33
ROZDZIAŁ II. P rzy p o m n ien ia z fizyki g a z ó w ... 37
R ów nanie c h a ra k te ry sty c z n e dla g a z ó w ... 37
F izy k a d r o b i n ... 38
C iężar w łaściw y i sta ła g a z o w a ...38
Ciepło w łaściw e g a z ó w ... 40
P ierw sza Z asada T e r m o d y n a m ik i...41
M ieszaniny gazów (z uw zględnieniem ich w ilg o tn o ś c i) ...42
ROZDZIAŁ III. T erm o d y n am ik a te ch n iczn a g a z ó w ... 45
I z o e h o r a ...46
I z o b a r a ... 47
E le m e n ta rn a p r z e m i a n a ... 48
S tr.
I z o te r m a ... 50
P o litro p a (a d ja b ata ) ... 52
P a ra m e try sta n u cieplnego c ia ła ( g a z u ) ... 59
O cena cyklu C a rn o fa i cyklów dow olnych pod w zględem ekonom icznym . 63 P rzem iany te rm odynam iczne w u k ła d zie T — s ... 67
ROZDZIAŁ IV. W łasności p a ry w o d n e j ... 71
E n e rg ja p a r n a s y c o n y c h ...71
E n tró p ja p a r ... 73
O bjętość w łaściw a p a ry w o d n e j ... 74
W zór C lapeyron’a ...77
P a ra p r z e g r z a n a . . 78
ROZDZIAŁ V. P rz em ian y te rm icz n e p rzy p rze p ły w ie g azó w i p a r p rz e z p rze w o d y o zm iennym p r z e k r o j u ...79
ROZDZIAŁ VI. Z am iana ciep ła w p ra c ę i p ra c y w c i e p ł o ... 89
I. . S p r ę ż a r k i ...90
S p rę ża rk i w i e l o s t o p n i o w e ... . . . 9 3 S iln ik p o ru sza n y p ow ietrzem s p r ę ż o n e m ... 93
O hłodzeiiie k o m p r e s y j n e ... 94
II. M a s z y n a p a r o w a t ł o k o w a ...95
Pogląd ekonom iczny n a m aszynę p a r o w ą ... 98
E k sp a n s ja z u p e ł n a ...99
Zużycie p a r y ... 100
W ykres r z e c z y w i s t y ...101
M aszyny parow e o stopniow em ro zp rężan iu p a r y ... 105
III. T u r b i n y p a r o w e ...109
D ziałanie t u r b i n ... 109
P odział c i ś n i e ń ... 113
P odział p r ę d k o ś c i ... 113
C iśnienie w ypadkow e n a ł o p a t k ę ... . .114
K sz ta łt ło p a te k . 115 Zasady o b liczania tu rb in p a r o w y c h ...116
P rz e m ia n a energji w tu rb in ie p a r o w e j ...117
S tra ty energji w tu rb in ie p a r o w e j ...118
Regulacja tu rb in p a r o w y c h ...120
N iek tó re rodzaje t u r b i n ... .' 120
T u rb in y s p e c j a l n e ... 122
T u rb in y n a j n o w s z e ... . 122
IV. S i 1 n i k i s p a 1 i n o w e ...126
S ilnik „O tto “ ... 126
R egulacja silników „O tto “ ...128
E konom ja siln ik a „O tto “ . 130 S ilnik „D iesel“ ... 131
S ilnik „ B a n k i " ... . 133
Użycie sp iry tu su do popędu s i l n i k ó w ... 133
Ś rodki przeciw „ p u k a n i u " ... 134
S ilniki d w ó j k o w e ...134
S ilniki dla gazów u b o g i c h ... 135
P o rów nanie przebiegów w siln ik ac h s p a l i n o w y c h ... 135
V. T u r b i n y g a z o w e ... 141
R egulacja tu rb in y gazowej . . ... 143
T urb in y w y k o n a n e ... 144
ROZDZIAŁ VII. U rządzenia pom ocnicze m aszyn p arow ych. I. K o n d e n s a t o r y ... 146
Rodzaje k o n d e n s a c j i ... 147
Ilość wody c h ł o d z ą c e j ... .147
Ilość p o w ie tr z a ...147
W a ru n k i e k o n o m j i ...149
K o n d en sato ry p o w i e r z c h n i o w e ...150
II. C h ł o d n i c e ... 151
C hłodnice k o m i n o w e ...152
E ko n o m ja c h ł o d n ic ... 154
S a m o r e g u l a c j a ... 154
ROZDZIAŁ VIII. P rzen o sz en ie p rac y na w ał głów ny. I. K o ł o z a m a c h-o w e ...156
M om enty o b r o to w e ... 156
S topień niejed n o stajn o ści o b r o t u ...158
W pływ m as p o ruszanych w raz z t ł o k i e m ... 159
W pływ k ilk u k o r b ... 160
W pływ t a r c i a ... 160
II. Z e w n ę t r z n e d z i a ł a n i e m a s r u c h o m y c h ...161
D ziałanie g ir o s ta ty c z n e ... 162
III. M e c h a n i z m y k o r b o w e ...163
M echanizm y korbow e n i e n o r m a l n e ...164
IV. R e g u l a t o r y o d ś r o d k o w e ...165
C h a ra k te ry sty k a B a rtel’a ... 166-
C iśnienie n a s u w y ...167
S to p ień nieczułości r e g u l a t o r a ...167
S to p ień niejed n o stajn o ści r e g u la to r a ...167
B ezw ładność r e g u la to r a ...168
P ra c a r e g u l a t o r a ■ . 168 D zielność r e g u l a t o r a ...169
K rzyw e T olle’g o ...i . . 169
R egu lato ry o s i o w e ... 174
ROZDZIAŁ I.
I. Ruch c ie p ła .
Objaw bardzo pospolity i znany — lecz dopiero po opanowaniu go rachunkiem może Technika Cieplna postępować świadomie.
C i e p ł o w y r a ź n e poruszać się może na różne sposoby.
1. Ciepło samo płynie pomału od cząstki do cząstki, ale tylko wtedy, gdy istnieje s p a d e k t e m p e r a t u r y . Kierunek przepływu od wyższej ku niższej temperaturze — nigdy odwrotnie. Taki przepływ nazywa się p r z e w o d z e n i e m c i e p ł a . Szybkość ruchu ciepła zależy od własności ciała i od spadku temperatury ^ (t = czas). Jeśli chodzi o możliwe zwolnienie przepływu ciepła, mimo że istnieje spadek tem
peratury, wstawia się w strumień ciepła t. zw. i z o l a c j ę c i e p l n ą . 2 .'Jeśli ciepło w swojej wędrówce natrafi na ciało przeźroczyste dla promieni ciepła (np. powietrze, próżnię, w pewnych warunkach szkło), wówczas na granicy obu środowisk przemienia się w inną formę:
w e n e r g j ę p r o m i e n i s t ą , której fale biegną z prędkością światła po linjach prostych, a gdy padną na ciało nieprzeźroczyste (choćiaż częściowo), część powstrzymana promieni cieplnych przemienia się w ciepło wyraźne. Promieniowanie można także utrudnić przy pomocy stosownego oporu (np. powierzchni b. gładkiej itd). Ale powstrzymać zupełnie ani promieniowania ani przewodzenia nie umiemy.
3. Przenoszenie ciepła ( k o n w e k c j a ) istnieje wówczas, gdy ciało zawierające ciepło przenosi się z miejsca na miejsce. Może to być gaz, para, ciecz, ciało stałe, pyłek cieczy lub ciała stałego itp. postaci materji. Jeśli w czasie takiego przenoszenia temperatury nie są wszę
dzie jednakowe, mamy równocześnie także przewodzenie ciepła a nie
raz i promieniowanie. Więc konwekcja jest zawiłym przykładem ruchu ciepła — ale w technice pospolitym. Krążenie cieczy, gazów itp., przenoszących zawarte w nich ciepło, może być n a t u r a l n e lub p r z y m u s o w e . Przykładem krążenia naturalnego może być ruch powietrza w pokoju ogrzewanym zapomocą pieca — przykładem krą-
2 Ruch ciepła.
żenią przymusowego, dowolny przewód ogrzewniczy, przez który się przepycha zapomocą pompy pewną ilość ogrzanej wody, aby ciepło zawarte w tej wodzie przenieść tam, gdzie ono jest potrzebne.
Nieraz przy przenoszeniu ciepła występują zaburzenia, gdy na granicy czynników (np. przy ścianie przewodu) wydarzy się zmiana stanu skupienia, albo zmiana równowagi fizycznej lub chemicznej czyn
nika przenoszącego ciepło. Tu należy skraplanie się par, wyparowanie cieczy, topnienie lub krzepnięcie, rozpuszczanie się ciał w cieczach, czy wydzielanie się ciał z rozczynów, reakcje chemiczne, rozkłady, polimeryzacje i td. — jednem słowem wszędzie, gdzie ciepło utajone przemienia się w ciepło wyraźne — lub odwrotnie.
Wobec wielkiej różnorodności zagadnień ruchu ciepła, Technika jest nieco bezradną, a właściwie radzi sobie za pomocą sumarycznych bilansów ciepła (na podstawie I. zasady termodynamiki), co prowadzi do licznych spółczynników, a nawet do t. zw. z a s a d p r a k t y c z n y c h . Wyczerpująca krytyka tych „zasad“ byłaby bardzo pożądaną ze sta
nowiska gospodarki cieplnej — jednak wymagałaby wiele czasu.
Łatwiej będzie poznać z a s a d n i c z e p o j ę c i a i najbliższe wnioski, doprowadzające na paru typowych przykładach do sposobów obliczania możliwie poprawnych.
4. P o l e t e m p e r a t u r jest to pewien obszar, na którym znamy w każdym punkcie temperaturę 0 w zależności od spółrzędnych x, y, z, i czasu x. Więc stan cieplny pola temperatury można przedstawić funkcją 6 = F (x, y, z, x). Gdybyśmy w tern polu mierzyli temperatury i przesuwali się przy tern w różnych kierunkach, znaleźlibyśmy w tej samej chwili x wogóle różne wartości temperatur 0. Ale to pewne, że temperatury zmieniać się będą od punktu do punktu w s p o s ó b c i ą g ł y . Więc funkcja 0 jest f u n k c j ą c i ą g ł ą , a prócz tego przed
stawia pojęcie a b s o l u t n e (nie względne), albowiem zmiana punktu widzenia niczego nie zmienia, byle tylko stan cieplny pola się nie zmie
nił. Gdybyśmy w chwili -c’ wyszukali wszystkie punkta o tej samej temperaturze, otrzymalibyśmy p o w i e r z c h n i e i z o t e r mi c z n e. Te powierzchnie nie mogą się przecinać i muszą być albo zamknięte albo też kończyć się na powierzchni danego ciała. Odstęp powierzchni izo- termicznych może być o 1°, 2°, 5°, 10° itp. Ten odstęp mierzony podziałką metrową da nam wyobrażenie, czy taki sam spadek temperatury wystąpi na krótszej lub dłuższej przestrzeni. S p a d e k t e m p e r a t u r y będzie d u ż y , jeśli już w małej odległości znajdziemy temperatury bardzo różne — zupełnie podobnie, jak spadki w terenie. L i n j e s p a d k ó w (kierunki spadków) będą zawsze J_ do powierzchni izotermicznych.
Inaczej mówiąc,.mamy zawsze kierunki spadków temperatur s t y c z n e do trajektoryj pow. izotermicznych. Wektor spadków temperatury
Rucli ciepła. 3 '
„ V “ (Foppl) będzie miał wartość liczebną (skalar) równą różnicy tem
peratur na jednostce długości, znak -J- lub — zależnie od tego, czy temperatura rośnie lub ubywa. Jest to p o c h o d n a t e m p e r a t u r y co do d ł u g o ś c i V = jeśli s obrano w kierunku stycznej do trajektorji
(xo
Wymiar |V| — °c Gdybyśmy wyszukali miejsca o jednakiem V i połą
czyli z sobą, mielibyśmy obraz rozłożenia spadków temperatury w polu.
W tych miejscach, (w materjale jednorodnym) ciepło będzie płynąć z tą samą prędkością. — B. podobne pojęcia istnieją w geodezji.
5. Wreszcie trzeba podkreślić, że każde ciało nieizotenniczne zawiera s t r u m i e n i e c i e p ł a , t. zn., że wobec istniejących różnic temperatur ciepło ciągle płynie od wyższych temperatur ku niższym.
Do przedstawienia s t r u m i e n i a c i e p ł a używamy innych wektorów.
Ilość ciepła płynącego w godzinie przez 1 m- przekroju (prostopadłego do strumienia) nazywa się n a t ę ż e n i e m przepływu ciepła i oznacza literą q. Wymiar | ę | = m »g0(/z • Kierunek dodatni przyjmujemykał, w kierunku przepływu ciepła. Z tych oznaczeń wynika, że V i q muszą leżeć na stycznej do trajektorji, lecz znaki mają p r z e c i w n e , bo strumień ciepła może płynąć tylko po spadku, zaś temperatury wzrastają w kierunku przeciwnym.
Natężenie przepływu ciepła (tj. ilość w godzinie) przyjęto od dawna (Biot, Fourrier) wprost proporcjonalne do pierwszej potęgi spadku temperatury. Okazało się to zgodne z doświadczeniem.
6. Zasadnicze równanie przewodnictwa ciepła można napisać i/ = — X. V, gdzie V jest spadkiem temperatury, zaś X spółczynni- kiem praktycznym, zależnym od natury i stanu ciała przez które prze
pływa ciepło. Nazywa on się s p ó ł c z y n n i k i e in p r z e w o d z e n i a w e w n ę t r z n e g o danego materjału. Jak wogóle stałe fizyczne ma ter-
łzo.1 jałów, zależy X od ciśnienia i temperatury. Wymiar |X| — ~o<lz~°C ’ gdyż wymiar powierzchni (/?/-) w mianowniku oraz grubości (m) w licz
niku daje ostatecznie tylko wymiar (m) w mianowniku. Im więcej ltalo- ryj przepływa w godzinie przez 1 m- przekroju naprzód przy różnicy temperatur 1"C na 1 m, tern większy będzie spółczynnik X, tern lepszym przewodnikiem jest materjał.
U w a g a : Zadania z tego zakresu fizyki tworzą przedmiot t. zw.
Analitycznej Teorji Ciepła, opracowanej 1884 przez F o u r r i e r a.
W r. 1921 ukazało się dzieło H. G r ó b e r a : Die Grundgesetze der l*
4 P rzew odzenie ciepia.
Wärmeleitung und des Wärmeüberganges, w r. 1926 H. G r ö b e r a : Einführung in die Lehre von der Wärmeübertragung — głównie dla praktyki —, z którego podaję parę wyjątków. W obu tych dziełach podana jest literatura specjalna. Można też polecić przeczytanie popu
larnej broszury p. t. Dr. Miecz. W o l f k e : Zasady Teorji Ciepła.
II. P r z e w o d z e n i e c ie p ła (w technice).
Przypadek najprostszy: płyta płaska, oo w dwu wymiarach, o grubości A. Jedna z powierzchni ma stałą wszędzie temperaturę 0 /C , zaś druga tak samo 02°C. Wiemy z doświadczenia, że wówczas płynie przez każdy m2 płyty w kierunku _L do płyty strumień ciepła Qh na godzinę. Tak teorja Fourriera, jakoteż rozliczne doświadczenia wskazują, że Qi, będzie odwrotnie proporcjonalne do grubości płyty A, a wprost proporcjonalne do zakreślonej na płycie powierzchni F, do spadku temperatury (0,—02) i do spółcz. X. Więc napisać można:
0j —02
A k a lg o d z...(1) X dla różnych materjałów znamy tylko z doświadczenia. Jest ono zre
sztą b. różne dla różnych materjałów.
Np. X dla materjałów izolacyjnych = ' 0'02 — 01
„ cegieł i kamieni . . . . = = 0‘5 — 3'0
„ m e t a l i ...== 10 — 360,
gdzie oczywiście 360 kal na m godz.
i l 0^ odnosi się do srebra. Wraz z temperaturą X wogóle wzrasta.
Wyraźnie występuje to zwłaszcza u materjałów ogniotrwałych. Tak np. dla szamoty
przy 200° 600° 10000<7 X = 0-51 0-66 0-82.
Z faktu, że X wogóle wzrasta N z temperaturą, wypływa pewna komplikacja, bo w każdej następnej warstewce płyty jest nieco niższa temperatura, więc i X wogóle mniej
sze. — Ale 1) dla najważniejszych przypadków (płyt metalowych) ma to znaczenie b. małe, 2) dla innych płyt są liczne inne trudności — więc
P rzew odzenie ciepła. 5
technikapraktycznaprzyjmujepewne przeciętne X, uzyskane z liczniej
szych pomiarów, i uważa je j a k o s t a ł e . W takim razie wykres tech
niczny całego przebiegu będzie jak na rys. 1.
Spadek temperatury przez dowolną warstewkę o grubości o będzie
—— g-"--1, czyli dokładniej Zatem dokładniejszy wzór na przepływ ciepła:
- l F t <2>-
Obliczenie przepływu jest b. łatwe, jeśli się przyjmie s t a ł e X, tj.
d&
spadek temperatury według linji prostej, bo wtedy pochodna — przed
stawia tangens stałego kąta ostrego między linją spadku temperatury a osią x, tj. —~ -, gdzie 0 są w stopniach, zaś A w metrach. Więc wzór (2) daje praktyczne rozwiązanie zadania, gdy istnieją:
I. tzw. w a r u n k i k r a ń c o w e I r o d z a j u , tj. stale utrzymy
wane temperatury obu powierzchni płyty. Jest to warunek prawie nie zdarzający się w praktyce, dający się wytworzyć tylko sztucznie i to tylko w przybliżeniu (płyta o dwu wymiarach co wielkich); zato obli
czenie będzie najprostsze.
II. W a r u n k i k r a ń c o w e d r u g i e g o r o d z a j u byłyby wów
czas, gdyby nie przepisano temperatur krańcowych, lecz za to ilość przepływającego ciepła q ka l/m • godz. Jeśli w dodatku znane jest X materjału, to według równania (2) mamy także spadek temperatury
<~ w ostatniej warstewce płyty pod jej powierzchnią. Przy danej lub żądanej temp. 02, chodzi wówczas o znalezienie potrzebnej tempera
tury 0,.
III. T r z e c i e g o r o d z a j u w a r u n e k k r a ń c o w y , który jest w teohnice cieplnej najważniejszy, będzie wówczas, gdy niema danych temperatur 0 , i 03 na obu powierzchniach płyty, lecz dane są zato temperatury o t o c z e n i a , z którem ma nastąpić wymiana ciepła. Wów
czas trzeba jednak znać jeszcze p r a w o , według którego odbywa się ta wymiana ciepła otoczenia z powierzchniami płyty. Ta kwestja jest dość skomplikowana, tak, że dla uproszczenia obliczeń przyjmuje się dość proste p r a w o s t y g n i ę c i a N e w t o n a , które polega na pro
porcjonalności przepływu ciepła: do p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u , do
6 P rzew odzenie ciepła.
c z a s u i do s p a d k u t e m p e r a t u r . Jeśli otoczenie ma tempera
turę ł>, wówczas (wedł. Newtona)
dQ = a (0„ — &) dF. d x ... (3)!
T. zn. element powierzchni d F o temperaturze 0O przepuszcza w czasie d'i godzin dQ kaloryj ciepła. Jeślibyśmy przyjęli, że na całej pow. F temperatury 0„ i t> są stałe, rzecz się upraszcza:
Q = a (©o tt) F. x kal... (4) Spółczynnik a jest cyfrą doświadczalną i nazywa się s p ó ł c z y n - n i k i e m p r z e n i k a n i a c i e p ł a .
k.ćll.
Jego wymiar: | a | , = n l ~~g0^ z • Podajemy niektóre cyfry a dla sty
gnących pow. m e t a l o w y c h :
W tzw. spokojnem p o w i e t r z u a = 3 — 30
„ „ poruszanem „ . . . « = tO — 500
„ poruszanych (nie wrzących) cieczach a = 200 — 5.000
„ w cieczach w r z ą c y c h a = 4.000 — 6.000
„ parach skraplających s i ę a = 7.000 — 12.000.
Więc III warunek krańcowy opiera się na prawie stygnięcia N e w t o n a i wymaga podania temperatury otoczenia ty Wówczas szu
kamy temperatury powierzchni płyty 0O, tudzież ilości przepływają
cego na godzinę ciepła Qh.
Podane warunki krańcowe wraz z równaniem Qi, = — X F. dQ two- dx rzą podstawę nauki o przechodzeniu ciepła.
Zadania.
I r o d z a j : Dane F, 02, <? = arc tg i X; szukamy q ■— . Rozwiązanie: q = ^ = — X. ty o, zaś 0 Ł = 02 -|- A ty ? (rys. 2.).
II r o d z a j : Dane g, X, 6 U szukamy 0». Rozwiązanie : q — — X tg o;
stąd t y ę i cp znane; nakreśliwszy A, mamy 02 (rys. 2. na str. 8.).
III r o d z a j : Znane temperatury otoczenia ty i ty, tudzież spół- czynniki przenikania ciepła at i a2 po obu stronach znanej płyty nie- orgraniczonej; p y ta n ie : ile ciepła przepływa na godzinę przez część płyty o powierzchni F m - i jakie będą temperatury (ty i 02 obu powierz
chni p łyty? — Rozwiązanie: Ponieważ pi'zez obie powierzchnie (i przez środek) pewnej części płyty musi przepływać taka sama ilość ciepła Qi„
przeto mamy 3 równania na ilość Qh:
Z adania. P rz y k ład y z G ro b era 1926. 7
czyli
Q h = «1 F (Ol - ą ) = a / A j—A * = a2 iP(©2 - O-,)
Ł k = ,% _L; ą _ e., = 3s A.; 02 _ A.
1 1 i?1 a, ’ 1 “ Z1 X ’ F a, Po dodaniu do siebie powyższych 3 ró w n a ń :
* = ^ (A_pA , A)
1 2 .F W, + X 1 a j czyli
kal.
Q,r
A + A + A
a, + X 1 a.
F (0, - ih)
goclz.'
Mając Qn znane, otrzymamy temperatury powierzchniowe płyty &, i ©, z powyższych trzech równań.
Ilość -z i y - = / t oznacza, ile ciepła przepływa w danych warun- a, X a2
kach przez 1 m 2 płyty przy różnicy 1°C obu temperatur otoczenia, t.j.
kill*
przy 0', — {)•, = \ uC. Wymiar spółczynnika | k \ — — u^, '(^ 0(jz ■ Pisząc
A
— J . _j_ _ lA
mamy odwrócone pojęcie tego spółczynnika, więc : o p ó r p r z e p ł y w u c i e p ł a przez daną płytę w danych warunkach 0-,, |p, A, X, a, i a2. Więc opór przepływu ciepła jest sumą oporów przenikania przez obie powierzchnie i oporu przewodzenia płyty. Podobne zadanie można także rozwiązać graficznie (p. Grober, 1926, str. 12).
Przykłady z Gróbera 1926.
1. J a k i będzie sp ó łc zy n n ik p rzech o d zen ia cie p ia przez m ó r ceglany o grubości A = 38 c n i; w e w n ętrz n a pow. m u ru m a a , = 5, z e w n ę trz n a (w iatry ) a2 = 20, spól- czynnik p rzew odzenia X = 0'76?
1 4
Mamy tu h = y y— = y~ k a l./m 3 godz. °C
~5~ + 0-76 + To~
Opory cieplne w m ian o w n ik u ró ż n ią się w tym p rz y k ła d z ie n ie o w iele.
2. W przyrządzie do ch ło d ze n ia m leka ciepło przechodzi przez c ie n k ą b la ch ę m iedzianą — n a zim ną w odę chłodzącą. G rubość b la ch y ¡1=1 m m X = 260; po s tro n ie m leka a, = 1000, po stro n ie wody a. = 1.300. S pó łczy n n ik p rzech o d zen ia ciep ła
1
k - i 0 .001 x - 565.
1 0 0 0 + 260 + 1 3 0 0
8 P rzew odzenie ciepła.
W idać ze w zoru, że opór cien k iej blachy m iedzianej je s t znikom y w p o rów naniu z oporam i
1 1
a,
= 189.
Rys. 2.
Inaczej się ma rzecz w k o tła c h parow ych.
3. Obliczm y k dla b lach y A = 10 mm, X = 50, a, = 200 po stro n ie p a le n is k a (gazów gorących), a, = 10.000 po s tro n ie wody. Znaj-
X dziem y k = — 1 j -
'200 + ~50 + 10.000
W ięc głów ny opór je s t po stro n ie gazów (aj) i ta m głów nie da się ulepszyć p rze ch o dzenie cie p ła (duża p rę d k o ść g a z ó w i silne ich m ieszanie, w y so k a te m p e ra tu ra , w reszcie m ożliw ie czy sta p o w ierz ch n ia b lachy od stro n y gazów gorących). P o w rac ając do w a ru n k ó w k rań co w y ch III rodzaju, m o
żna rzecz p rze d staw ić ta k ż e w y k re śln ie w u k ła d z ie : długość x, te m p e ra tu ry O
X X
i 0. R ysujem y g ru b o ść p ły ty & i podstyczne s, = i s5 = — , tudzież te m p e ra tu ry o to c ze n ia ■8'1 i 8 2, przyczem — ja k już w iadom o, Q/, da się w yrazić zapom ocą jednego z 3 rów nań. Je śli Qh X, a, i a 2 dane, m ożna obliczyć, lub znaleźć przy pom ocy rys. 2.
g rubość blachy, k tó ra będzie przez 1 m- przepuszczać ż ą d an ą ilość cie p ła q = —Qnp .
Przepuszczalność cieplna rur.
1. Rura prosta, cylindryczna o długości L; średnice Z>,- (wewnątrz) i Da (zewn.), spółczynnik przewodzenia materjału rury X. Zjawiska
krańcowe po obu końcach rury opusz
czamy. Ciepło Qlt, które na godzinę przechodzi przez ścianę rury, więc i przez każdą jej warstewkę według praw płyty płaskiej, jest
Q„ X. D. k. L
Ponieważ dla wszystkich warstewek Q,„
X i L są takie same, przeto s p a d e k t e m p e r a t u r y (©,„ — &„) / 3 musi być tern stromszy, im mniejsze jest D (śre
dnica danej warstewki). Krzywa temperatury już nie może być prostą.
Kładąc
- ©„ = - d 0. 3 = 4 dD,
Rys. 3
P rzepuszczalność ciep ln a rur. 9
mamy strumień ciepła
^ 1 n r o rf© I 1 dD Qn = ~ \ Dr. L. 2 lub a stąd
In A,
A ■ ©,), wreszcie QA = 2 s; L- X©,. - ©.,
/« Da A
Widać, że ciepło przepuszczone na godzinę jest proporcjonalne do L, X i (©,• — ©a) , co nie przedstawia nic nowego, zaś odwrotnie pro
porcjonalne do logarytmu ze stosunku średnicy zewnętrznej do średnicy wewnętrznej. Więc nie zależy wprost ani od średnicy rury, ani od gru
bości ściany, lecz o d s t o s u n k u ~ , zaostrzonego jeszcze przez logarytmowanie tego stosunku. Krzywa temperatur jest l o g a r y tm ile ą.
Dla wartości stosunku ~ między wartościami 1-05 do 2, zestawiono poniżej logarytmy naturalne (Grober 1926, str. 14).
Da Di . Da
~Di Da
Di . Da ln 67 Da
Di . A, Da
Di
,
Da
'" a 1‘05 0-049 1-30 0-262 1-55 0-438 1-80 0-588 1-10 0-095 1-35 0-300 1-60 0-470 1-85 0-615 1-15 0-140 1-40 0-336 1-65 0-501 1-90 0-642 1-20 0-182 1-45 0-371 1-70 0-531 1-95 0-668 1-25 0-223 1-50 0-405 1-75 0-560 2-00 0-693
Stosunek średnic wzrósł 1"9 razy, zaś logarytm stosunku 14 razy.
2. Równocześnie istnieją warunki krańcowe I i II rodzaju. — Z ostatniego równania otrzymamy:
A, 0a = ©,-
Qh In D;
2 z L. I—, lub ©,• — ©o -{-
Q„m | 2 '
L
X ’ zależne od tego, którą z temperatur znamy.3. Dla danej rury mamy tylko temperaturę wewnętrzną D-,- i ze
wnętrzną -D-a. — Postępując podobnie jak przy obliczaniu temperatur powierzchni płyty, mamy 3 wyrażenia na ilość ciepła Q/i, którą prze
puszcza 1 metr bieżący rury:
10 P rzew odzenie ciepła.
Qn = «, A * L - 0;) lub *( - 0,- = -®-hL .
Qa = X .2 lub 0f — 0 a == Qj- / - $ [n
Q/t = aa Ą, « i (0a - K ) lub 0„ - da = Po dodaniu
, I)..
In
). _ j_ . A , M
" - i W -A ' 2 X a„Z>J d; — i)..
zaś
Qh = k r . ~ X (a-,. - a j , gdzie k,. =
" ■ I 1 1
+ +
a, Dt 1 2 X 1 aa Da nazywa się s p ó ł c z y n i k i e m p r z e c h o d z e n i a c i e p ł a p r z e z ś c i a n y r u r (spółczynnikiem rurowym). Oczywiście odnosi się on nie do 1 m-, lecz d o 1 m d ł u g o ś c i r u r y . Dymenzja |Af|— ^ *(J~g o d z~ ' Przechodzenie ciepła przez ściany kuli oblicza się całkiem ana
logicznie.
Płyty złożone.
W a r s t w y o r ó ż n e j g r u b o ś c i i r ó ż n e j p r z e p u s z c z a l n o ś c i d l a c i e p ł a .
Niechaj płyta o grubości A składa się z szeregu płyt o grubo
ściach oa, ob i td., mających spółczynniki przewodzenia X„, Xb... Przyjmu
jemy warunki krańcowe III rodzaju i zapytujemy o ilość kaloryj Qb, którą przepuści na godzinę 1 n r złożonej płyty przy istnieniu tempe
ratur otoczenia Dj i ł>2.
Obliczamy jak zwykle Qu dla każdej z warstw, a z tych równań różnice temperatur, po których dodaniu do siebie otrzymamy
q = ± — 1 . F & i - a ,) . 1 ■_!_ i«. _1_ J - J - 0OClZ
ai Xa r a ..
Mamy tu widocznie złożony spółczynnik przechodzenia ciepła i możemy np. zapytać, jaki spółczynnik przewodzenia XŁ musiałaby mieć płyta jednolita o grubości A == Oj -j- . .. . Ten spółczynnik Xt obliczymy łatwo z rów nania:
P ły ty złożone. R ura złożona z w arstw . 11
i °b i i °n -r— = -i----'M 'va r ~Y~aćj i' • • • > "T- ’'•/;
oczywiście przy tych samych wartościach ax i «,.
P r z y k ł a d : (Grober str. 17).
K ocioł lokom otyw y (część cylindryczna) m a śc ian ę sta lo w ą (X = 50) o grubości 12 mm. O toczony je s t izolacją o grubości 20 m m (X = 0 06) i b la c h ą o c h ro n n ą o g ru bości 2 m m . (X = 50). — P y ta n ie , ja k w ielki będzie sp ó łc z y n n ik p rzech o d zen ia ciepła, gdy od śro d k a a, = 5000, zaś od zew n ątrz a, = 125. P oniew aż pro m ień krzyw izny je s t duży, a sto s u n e k śred n ic b lisk i jedności, zadow olim y się przyjęciem p ły ty zło
żonej p ł a s k i e j . Dla ta k ie j p ły ty
k = —— --- --- - --- 5 --- = 294.
1 0'012 . . 0-02 0-002 1 5000 50 ^ 0"06 50 1 125 P oszczególne d o d ajn ik i w m ian o w n ik u w ynoszą:
0 ’0002 = op ó r p o w ierzchni w e w n ę trz n e t k o tła , 00024 = „ b la c h y k otłow ej,
0'33 = „ w arstw y izolacyjnej, 0"00004 = „ b lach y o ch ro n n ej,
0 008 == „ pow ierzch n i blach y o ch ro n n ej.
W idać, że n ajce n n iejszą o ch ro n ę p rze d staw ia w a rstw a iz o la c y jn a ; p o w in n a w ięc być d o b ran a s ta ra n n ie .
Rura złożona z warstw.
Średnice graniczne między poszczególnemi warstwami niechaj będą Di} D2, D3..., temperatury (wspólne) na granicach warstw 0,, @2, 03 .. . 0n_i, zaś współczynniki przewodzenia materjałów poszczególnych warstw: X1; X2, X3 — Pytamy się o A,.?
Obliczając jak zwykle przez sumowanie spadków temperatur w każdej warstwie
Qa==“ 1 ~ ~ 1 Dx , 1 D, 1 Da , 1 a. Ą . + 2X, ■ Ą f 2).» Di -2X„ ln Dn- t + *aDa
Qh = kr. r.. L (-D-, — 02) aal.im. godz.
P r z y k ł a d : Żelazna rura ( X = 50) parowa o średnicy wewnętrznej 16 cm a zewnętrzej 17 cm pokryta jest warstwą 2 cm masy okrzemkowej (). == 010), na której jest 5 cm warstwa korkowa (X = 0'035). Para płynąca przez rurę ma temperaturę t>x = SOO0^ zaś otoczenie ł>2 = 20°C. — P y t a n i e , jaki będzie spółczynnik rurowy A,., gdy = 70, zaś.aa = 7"0.
12 P rzew odzenie ciepła.
Należy też wyznaczyć temperaturę 0., po stronie wewnętrznej okła
dziny korkowej.
Średnice będą A = 016, A = 017, A == 0 21, Da = 0‘31 ; I n = 0'05, In = 021, In = 0'38. Otrzymamy najpierw
X/,’ jL/j i/o
* r = = I .
' 1 0-05 + -Ó7^ n 0-2i - H t t h Ł 0-38 ' 1 70.016 1 2.50 ! 2.0-10 2.0'035 1 7.0'31 Poszczególne opory ruchu ciepła w mianowniku przedstawiają się:
0 09 = opór graniczny między parą a wewn. pow. rury, 0"0005 = „ samej rury żelaznej,
1"05 = , masy okrzemkowej, 513 == . warstwy korkowej, 016 == „ graniczny zewnętrzny.
Razem : 7'0305, więc k , = = 0142
7 0305 “ m. °C . godz.
Ponieważ się obawiamy o kosztowną okładzinę korkową, więc obli
czymy jeszcze temperaturę 02 na zewnętrznej powierzchni masy okrzem
kowej, która się styka wprost z okładziną korkową. Zesumujemy naj
pierw 3 pierwsze równania na różnice temperatur, t. j. łk — 0,. + 0,. —
— 0i + 0i — 0S i otrzymamy Oy — 02. Następnie zesumujemy wszyskie (n—1) równania i otrzymamy sumę tt,- — + i jej wartość. Podzieliwszy przez siebie obie te sumy, otrzymamy:
1 , 1 , A , 1 , A + -FTT- Ln ~r\ + w r to
i k - ą a, A 2 ), A : 2 1 A
a, A 2 1 A 2 1 A aa A
Cyfrowo przedstawia się to równanie tak:
300 - 0. 0-09 + 0 00 + 105 114, 300 - 20 0 09 + 0-00 + 105 1 513 + 016 7‘03
a stąd 0» = 300 — 45 = 255° C. Byłaby to temperatura szkodliwa dla okładziny korkowej. Można ją zniżyć przez obliczenie takiej grubości masy okrzemkowej, którab}r zapewniała temperaturę znośną (np. ^ O 0^) na pow. zetknięcia z okładziną korkową, któraby wówczas mogła być nieco cieńszą (tańszą) przy takiej samej sumie wszystkich oporów cieplnych. — Można też próbować takiego pogrubienia masy okrzem-
P r ę t p e łn y , o k rągły, o długości n ieorganicznej. IB
kowej, ażeby można było okładzinę korkową opuścić zupełnie, a przy
trzymać masę okrzemkową zapomocą płótna. — Rozstrzyga ostatecz
nie koszt sprawienia i utrzymania izolacji w zestawieniu z wartością pieniężną strat ciepła na powierzchni (i całej długości) rury izolowanej.
Pręt pełny, okrągły, o długości nieograniczonej.
Przekrój pręta F, obwód przekroju U. Pręt cały znajduje się w oto
czeniu o stałej temperaturze 0°C— tylko początkowy przekrój pręta utrzymywany stale na temperaturze 0C na całej powierzchni przekroju.
Dany spółczynnik X materjału, tudzież spółczynnik przenikania ciepła przez płaszczową powierzchnię pręta — ku otoczeniu. Nadto zakła
damy, że w każdym przekroju poprzecz
nym pręta istnieje tylko jedna, wyrównana
temperatura (zresztą założenie to jest ze ,r stanowiska ruchu ciepła niedopuszczalne).
P y t a n i e : Jaki będzie rozkład tern- 6C peratur w materjale pręta ? Rozważamy
stan cieplny odcinka pręta o długości dx.
(rys. 4). Do tego odcinka dopływa ciągle ilość ciepła qlt odpływa dalej <7», zaś z obwodu odciuka nadto odpływa w zimne (0°C) otoczenie ilość ciepła q3. W razie ustalenia się równowagi (Ą = <7, -j- q3.
Wiemy, że
W obu tych równaniach pochodna przedstawia jednostkowe spadki temperatur w miejscach x i
Ą
-j- d x; q, = a. U d x (&x — 0), bo powierzchnia oddająca ciepło w otoczenie o temperaturze 0°C, jest U. dx.
Wstawiając wartości, otrzymamy:
X . f ( ~ \ = - X. F. ( 4 ^ ) + «• U 0 X dx,
V dX A V dX A -r dx
a lb o :
, ( m _ / < w \ i x
\ d x
A
+ dx \ d xA
X. F.Ponieważ różnica pochodnych bliskich podzielona przez d x przed
stawia pochodną rzędu o jedność wyższego, p rz e to :
14 P rzew odzenie ciepła.
« u &
dx- X. F co można było napisać także odrazu.
Jest to równanie różniczkowe linijne rzędu drugiego. Określa ono szukaną funkcję / (jc), czyli k r z y w ą t e m p e r a t u r („wyrówna
nych“ przypominamy). Musi to być taka funkcja a-, która po dwukrotnem zróżniczkowaniu zmieni się tylko o stałą ilość (ubytek temperatury w następujących po sobie przekrojach), bo według założeń, zmienne jest tylko 0. Proste funkcje o takiej własności znamy tylko 3: cos x, sin x i ex. Pierwsze dwie funkcje są wykluczone już z góry, jako p e r j o d y c z n e , bo w naszym przypadku 0 może maleć tylko w sposób cią
gły, bez żadnych wahań. Dlatego przyjmujemy funkcję wykładniczą ex. Więc jako całkę ogólną przyjmujemy 0 = 0 . emx, gdzie C i ffl są narazie stałemi dowolnemi. Druga pochodna przyjętej funkcji ma
cl~(?) a. U\
postać = C. m". emx, więc musi być C. m". emx ■ C. emx czyli
a U , i i/a. U
W ’ z a ś m S f - ) T W ^ :
W ten sposób otrzymaliśmy wartość stałej m, tylko znak przed pier
wiastkiem jeszcze niepewny. Dla ustalenia, który znak odpowiada zadaniu, użyjemy o b u znaków; pokaże się,który odpowiada zagadnie
niu. Otóż mamy 2 rozwiązania różniące się tylko co do znaku t. j.
V a U -i / «
, 7 -v - V t
i 0., = C.,. e '
j r Xu
0j -
Trzecie rozwiązanie (j. w.) przedstawia suma obu całek, t. j.
t I « U 1 / a U
+ y t f -v - \ l - r r x
0 = Ci . e ł + C , . e ' (żł)
To rozwiązanie zawiera jeszcze 2 stałe dowolne 0j i Co, które trzeba wyznaczyć z warunków krańcowych. Dla x — 0, musi być 0 — 0,, dla at = oo, © = 0. Ponieważ zaś e + 00 = co, e ~ m = 0, więc 0 M może się stać zerem wyłącznie tylko w ten sposób, że Cj = 0. Z równania (lA) pozostaje tylko drugi dodajnik, t. j.
f f
U x
P rę t o długości skończonej. 15
Znaczenie stałej C.2 wypływa wprost z warunku krańcowego, że dla jc = 0, 0 = 6C, więc rozwiązanie ostateczne
• rozstrzyga o wyrównanej (więc średniej) temperaturze @x danego przekroju:
Wpływ poszczególnych parametrów, tudzież odległości x od przekroju ogrzewanego wskazuje budowa K, tzw. „wskaźnika“ (niem. Kenngrósse).
Takie wskaźniki nadają się do przedstawiania zawisłości pozornie zawi
łych. e ~ K zbliża się dość szybko do zera. Tak np. dla K = 4, e ~ K = 0'0183, dla K = 6, e ~~ K — 0‘00248. Z budowy K widać zresztą bezpośrednio, że najpowolniej będzie spadać temperatura przy wzroście x w pręcie okrą
głym, o dużym przekroju i t. d.
Powtórzenie poprzedniego zadania z dodatkiem drugiego warunku krańcowego, że w razie ustalenia się równowagi, ilość ciepła q2 dopro
wadzana do ostatniego przekroju pręta musi być równą ilości ciepła qi}
oddawanej przez tenże przekrój na otoczenie o temperaturze D-. Te ilości ciepła wyraża się równaniami:
Ilość ciepła jaką traci ciągle ostatni przekrój pręta o temp. &L ku oto
czeniu wymaga dokładnego określenia, co to jest 6It. Ilość ciepła q6 jest proporcjonalną do różnicy między temperaturą o s t a t n i e j w a r s t e w k i 0 L a temperaturą otoczenia łh W przykładzie poprzednim tem
peratura otoczenia była = (PC, więc różnica temperatur w końcu pręta wynosiłaby 0 /( ale że pręt był nieograniczenie długi, wiec QL z pew
nością także wynosiła (W. W obecnym przykładzie źródło ciepła o temp.
&c jest blisko końca pręta, więc w ostatnim przekroju pręta 0 L nie będzie (PC, lecz wyższa i zależna od temperatury otoczenia ł>. We wzo
rze Newtona możemy wprawdzie także napisać temperaturę ostatniego Przeto wykładnik zasady e, t. j.
Pręt o długości skończonej.
16 P rzew odzenie cie p ła .
&
przekroju 0L, lecz pamiętać musimy, że właściwie przez &L rozumieć tam należy ró ż n i c ę między faktyczną temperaturą ostatniej war
stewki a otoczeniem o temp. łh
Gdyby tym prętem o skończonej długości był słupek rtęci w ter
mometrze, trzebaby zważyć, że ten słupek na podziałce wskaże tempe- zaturę n i ż s z ą aniżeli 0 r, zaś &L będzie różnicą między faktyczną temperaturą rtęci a tą, którąby miała rtęć, gdyby C a ł y słupek rtęci
był w temperaturze mierzonej ©c. Ró
żnicę tę nazywamy b ł ę d e m o d c z y t u t e r m o m e t r u . Chodzi o obli
czenie tego błędu. Uczynimy to najpierw dla pręta skończonego (rys. 5), a potem na przykładzie termometru. Cały rachu
nek będzie taki sam, jak dla pręta oo długiego i rozwiązanie ogólne takie sa
me, t. j. według wzoru A , lecz stałe całkowania należy wyznaczyć na nowo wobec zmienionych warunków krań
cowych.
1. d l a x = 0 : &c = C1 . e+H- C,. e~° — Ci -J- C2, lub C2 = @c — Ct.
Całkę ogólną możemy teraz napisać na 2 sposoby, albo
& = 4 . (&c ~ C,) . e ~ ... (D) lub t e ż : 0 = Cx ( e + e “ mx) -\-Q c. e ~ m x ... (E) 2. d l a x = L istnieje warunek qt = q0, stąd druga stała, tj. Cx.
Jak wiemy, ten warunek mamy już w postaci
- x y ( f L
r H -F.e,=
...Tu trzeba wstawić wartości za 0 i. d0 dx' Przedewszystkiem więc z (E ):
0 L = ^ (e+mL - e - mL) + Br e ~ mL, zaś
4- m L
( 1 = 1^4 {c,(*
- m ’L \ 0 - .ePo wstawieniu tych wartości w równanie określające warunek qi=q$
t. j, (F), otrzymamy po uporządkowaniu, nazywając jak w poprzedniem zagadnieniu
1 f* 3 T
V
X.F
m
P rę t o długości skończonej. 17
a prócz tego dla skrócenia
(nowa stała), następujące wyrażenie :
i C e + m L J r e - , a L J _ B ( g + r n l . _(1 e - m L y
Ponieważ j. w. 02 = 0 C — Cj , więc
_______ (1 — B). e ~ mL \ e+ mL g— mL _|_ B (e+'nL — q- mL ) -
3. Równanie przebiegu temperatury wzdłuż całego pręta (całkę ogólną) otrzymamy, gdy w równanie formalne 0 = C± . e +mL + C.2 . e ~ mI‘
wstawimy znalezione dopiero co wartości stałych 0 , i 02.
4. Szczególnie ważną jest temperatura Ol na końcu pręta. Znaj
dziemy ją, jeśli w równaniu temperatury 0 wstawimy L zamiast x, a następnie zważymy, że e+mL. e~mL = 1 i (1 + 5 ) 1 + (1 — B) 1 = 2;
otrzymamy zatem :
2
® L — ® c ( e + m L _ j_ g —m i.) _ |_ B ( e + m L — e - m u ) ’
lub dzieląc licznik i mianownik przez 2
■ &L = &c Gos (mL) + B. 6 in (mL) ' ^ Formalnie więc:
= 0 ( m L , B) = 0 ( K i. 1Q.
Temperatura 0 L na końcu pręta może być tylko ułamkiem tempera
tury Oc. Liczebna wartość tego ułamka jest w myśl ostatniego rów
nania funkcją dwu tylko zmiennych Kx i K2, które uważać można za w s k a ź n i k i danego zadania. Pierwszy z tych wskaźników
L
jest już znany z zadania poprzedniego. Drugi wskaźnik
X m V X / Kx
*) U w a g a : W a rto ści fun k cy j h ip e rb o licz n y ch C£os i 6 in są m. i. w I tom ie p o d ręc zn ik a „T e c h n ik “ s tr. 30 i 31 i I tom ie p o d ręc zn ik a „H titte“, 1925, s tr. 30—34.
2
18 Przew odzenie ciepła.
Używając wskaźników Ky i K , , możemy napisać stosunek temperatur . J j J _____1 _______ ^__ ¡ j g |
Gos (K}) + ( % - ^ ■ Sin (Kt)
P i e r w s z y d o d a j ni k w mianowniku uwzględnia oslyganie powierzchni płaszczowej pręta, d r u g i : ostyganie powierzchni czołowej.
We wszystkich przypadkach, gdy można pominąć wpływ powierzchni czołowej, wystarczy użyć związku prostego
© r . 1
Qc Gos (K J
P r z y k ł a d l i c z b o w y . Sprężarki dla gazów tłoczą zwykle przez zbiornik tłoczny (powietrznię). Tam mierzy się często prócz ciśnienia także temperaturę zapomocą termometru umieszczonego w rurze (rys. 6). P y t a n i e , jak wielki w przybliżeniu jest b ł ą d p o m i a r u pochodzący stąd, że dolna część rury otaczającej termometr nie może osiągnąć temperatury sprężonego gazu, z powodu przewodzenia ciepła przez ściankę tej rury wzdłuż ku blasze zbiornika o temperaturze niż
szej, niż panuje w zbiorniku. Przypuśćmy, że po wyrównaniu się stru
mieni ciepła rtęć w termometrze wskazuje 100°C, że ścianka zbiornika ma stale temperaturę 50HC i że spółczynnik przenikania ciepła ze sprężonego powietrza do materjału rury wynosi « — 25.
Ponieważ ścianka czołowa rury żelaznej ma powierzchnię bardzo małą w porównaniu z pow. płaszczową rury (jest to pierścień o szer. 1 mm), przeto można we wzorze
1 ____
Gos (/{>)+(- > • L
J
i - • Sin (K J opuścić drugi człon w mianowniku, dotyczący właśnie tej ścianki czołowej, czyli użyć wzoru uproszczonego& r. 1
ą ' Gos (K J ’ Wpierw trzeba obliczyć argument
Dalsze z a d an ia z z a k resu przew odzenia ciepła. 19
w którym U = d~, F = ~ [c?2— ( d — 2 o)2] 7. (d — 8) 8, lub w przy
bliżeniu F — x.d.o. Wstawiwszy, mamy:
K‘ - Vx?'Ł
Liczebnie Kx = 3’14. Ponieważ ®cna dole jest cca. 100°, zaś ku górze 0 maleje aż do temp. ~ 50°, przeto błąd pomiaru
a , . _ ( 5 0 - 10°) - 4,3"C.
Przy 100n® w zbiorniku błąd pomiarowy 4'3 jest już przez się duży, a brak jeszcze „poprawki“ z powodu wystającego słupka rtęci (poprawki znanej z fizyki).
Więc trzeba z formy skaźnika Kx wywnioskować, co należy uczy
nić, by błąd ten ile możności zmniejszyć. Widać, że wszystko co po
większa Kly to powiększa (fos K x a zatem zmniejsza błąd pomiaru &L.
Ponieważ
■ = VxF •
więc a powinno być możliwie duże. Ęxperyraentatorom wiadomo, że « będzie tern większe im mniejsze d.\ więc rurka b. wąska (i niezbyt gładka). X powinno być możliwie małe, więc rurka ze stali niklowej (X = 11 — lub jeszcze mniejsze*). Wreszcie o minimalne. Rura (więc i termometr) powinny być możliwie długie. Wreszcie ©c, tj. różnica temperatury — ściany zbiornika na powietrze sprężone i sprężonego powietrza — powinna być j a k n a j m n i e j s z a . Można to osiągnąć w ten sposób, że się tę część ściany zbiornika, w której osadzona jest rura wraz z termometrem — osłoni możliwie jak najlepiej tak, żeby tam ścianka zbiornika miała temperaturę ile możności tak wysoką, jak powietrze sprężone.
Dalsze zadania z zakresu przewodzenia ciepła.
Niemałą doniosłość miałoby jeszcze rozpatrzenie szeregu innych zagadnień, mających zastosowanie techniczne : wyrównywanie się tem
peratur w polu początkowo nieizotermicznem, np. ostyganie ciał (kuli, cylindra, płyty po jednej i po obu stronach, a to płyty płaskiej i żeber- kowanej itd.); — dalej ruch ciepła przy falującej temperaturze począt
*) S tal o zaw artości N i = 0 10 20 40 60 85 100$
X = 36 22 14 9 14 25 50
20 P rzenoszenie ciep ła przez prom ieniow anie.
kowej, np. perjodyczne ostyganie i nagrzewanie , się cylindra silnika parowego lub gazowego względnie obliczanie strumienia ciepła*); — dalej działanie wewnętrznych źródeł ciepła — wreszcie przewodnictwo i konwekcja w spokojnych lub płynących cieczach lub gazach — przypadki przechodzenia i przenikania ciepła dla płyt i rur, wzdłuż których płyną 2 medja o różnej temperaturze. Na porządne trakto
wanie tych problemów brak czasu i środków experymentalnych. W dal
szym ciągu wspomnę orjentacyjnie o najważniejszych.
III. P r z e n o s z e n i e c ie p ła p r z e z p r o m ie n io w a n ie .
Wiadomo, że promieniowanie elektromagnetyczne o najrozmaitszych długościach fal, lecz pozatem zupełnie jednorodne, nazywa się w życiu praktycznem raz promieniowaniem Roentgena, raz światłem, to znowu falami „Radio“, zależnie od długości fal.
P ro m ien ie R o en tg en a i zw iązków r a d u : 0'017 — 5 {J-P- (8 o ktaw ) O bszar n i e z b a d a n y ... 5 jj-jj. — 0'02 ¡x (2 o ktaw y) P ro m ien io w an ie pozafjołkow e (chem iczne) 0'02 |J. — 0’4 (i (3’5 o ktaw y)
„ w idzialne (różne barw y) 0'4 |x — 0’76 ¡j- (1 ok(aw a)
„ pozaczerw one (cieplne) . 0 76 |x — 0*342 mm (8'5 oktaw ) O bszar niezb ad an y (p. w . ) ... 0 342 mm — 2 mm (2'5 oktaw y) F ale elek try c z n e („R adio“) ...2 mm — x km ( ? „ ) Więc promieni cieplnych nie widzimy. Jeśli promieniowanie prze
chodzi od jednego ciała przez medjum dla promieni przeźroczyste na inne ciało dla promieni nieprzeźroczyste, zachodzi przebieg wcale skomplikowany. Pierwsze z obu ciał na swojej granicy (powierzchni) przemienia część energji tam zawartej (głównie — lecz nie wyłącznie cieplnej) w energję promienistą, która przebiega obszar przeźroczysty, a gdy napotka przeszkodę nieprzeźroczystą, znowu w ćzęści lub w ca
łości przemienia się w ciepło, które wiadomym już sposobem płynie p o w o l i ku niższym temperaturom.
W tych przypadkach, gdy promienie cieplne przechodzą z ciała na ciało p r z e z p o w i e t r z e , można przyjąć, że w podróży przez powietrze (czyste) promieniowanie nie doznaje żadnej zmiany.
Emisja ciała absol. czarnego.
Gdy ogrzejemy powierzchnię poczernioną do b i a ł o ś c i , otrzy
mamy promieniowanie zawierające fale o wszystkich długościach.
Ale nie przy wszystkich długościach fal promieniowanie ma to samo natężenie. Przy małej długości fal zaczyna się od zera, przy wię
kszych długościach fal wzrasta — a przy jeszcze większych dłu
*) P. a rty k u ł śp. d ra N iem czynow skiego w „C zasopiśm ie T e c h n ic zn e m “ r. 1925.
E m isja ciała absol. czarnego. 21
gościach fal opada znowu pomału do zera. Przy r o s n ą c y c h t e m p e r a t u r a c h staje się promieniowanie coraz energiczniejsze, zwłaszcza w zakresie średnich i małych długości fal.
Więc natężenie promieniowania jest funkcją długości fali i tem
peratury. Prawo promieniowania M. P l a n c k a wyraża się wzorem:
X~ 6 T : e - T 1
Jest to funkcja przedstawiona na rys. 7 przy pomocy izoterm. Ilo- .czyn J) s . d l przedstawiony jest
Przedstawia ona energję wy- promieniowaną przez jednostkę powierzchni czarnej w zakresie długości fal od X do (X -j- dl).
Całkując napisaną funkcję od X = 0 do X = co przy temperatu
rze Tlt otrzymamy (przy owej temperaturze T,) e n e r g j ę , zwa
ną zdolnością do promienio
wania (emisją) Es powierzchni czarnej:
CO 00
I J).ts • d l — C \ "
o 'o
małą powierzchnią pokreskowaną.
3 tO
i.10'
E t - f i
l.T, -dl.
1 Rys. 7.
Po rzeczywistem wykonaniu tego całkowania otrzymamy Es = a s. Ty4, gdzie as nazywamy spółczynnikiem (stałą) promieniowania powierzchni czarnej. Widać, że zdolność do promieniowania pow. czarnej jest pro
porcjonalną po 4. potęgi t e m p e r a t u r y b e z w g l ę d n e j . Zależność ta wypływa z prac doświadczalnych S t e f a n a , do których prof.
B o l t z m a n n wypracował uzasadnienie teoretyczne na długo przedtem, zanim M. P l a n c k podał prawo promieniowania w swojej funkcji J \ s.
Według najświeższych pomiarów
Watów kal.
o = 5 ' 7 6 . 1 0 ~ 8 „ ,n/T., —
s m (°<7)
Prawo S t e f a n a - B o l t z m a n n a
Es = as. Tl = 4‘9.10- 3 Tl
~ 4‘9 10“ 8 —
m ’- godz. (°C)i można napisać
kal.
m". godz.
Równanie to jest niedogodne z powodu dużej ilości cyfr więc je prze
kształcono :
2 2 -P rzenoszenie ciepła przez prom ieniow anie,
% < '( m )' '"J ( w ) m-. godz. '
W lej ostatniej formie używa się wzoru Stefana-Boltzmanna przy obli
czeniach technicznych.
Po ogrzaniu innej powierzchni (nie czarnej) do wysokiej tempe
ratury, otrzywamy i n n y r o d z a j p r o m i e n i o w a n i a . Teraz roz
dział energji przypadającej na różne długości fali nie będzie już tak jednostajny, jak to było przy promieniowaniu powierzchni czarnej. — Mogą istnieć pewne obszary o różnych długościach fali, w zakresie których, żadnego promieniowania wogóle n i e b ę d z i e . Na innych obszarach wprawdzie promieniowanie istnieje, ale wypromieniowana energja jest na tych obszarach m n i e j s z a , aniżeli przy promieniowa
niu powierzchni idealnie czarnej. Sposób rozdziału energji na różne długości fali wyraża się rysunkiem, nazywając pewne pola według od
powiednich barw widmowych; więc utarła się nazwa p r o m i e n i o w a n i a b a r w n e g o. To promieniowanie barwne nigdzie ilościowo nie przekroczy promieniowania czarnego. Dla b. wąskiego paska, obej
mującego tylko j e d n ą d ł u g o ś ć f a l i , istnieje nazwa: p r o m i e n i o w a n i a j e d n o b a r w n e g o (monochromatycznego).
Innym rodzajem promieniowania jest tzw. promieniowanie s z a r e , zawierające wszystkie długości fali, ale o mniejszym zapasie energji, aniżeli przy promieniowaniu ciała czarnego. Otóż przeważna liczba ciał stałych wydaje promieniowanie s z a r e . Jednak i przy takiem promieniowaniu cała ilość wysyłanej energji zależy od tempera
tury. — Promieniowanie s z a r e odbywa się według wzoru Stefana-Boltz
manna
a względnie C muszą być wyznaczone doświadczalnie. C będzie zawsze mniejsze aniżeli dla ciała czarnego oraz zależy od materjału i gładkości powierzchni.
Wszystkie ciała wysyłają promienie ciepła nawet przy bardzo niskich temperaturach. Wraz z temperaturą ilość wypromieniowanej ener
gji b. szybko w z r a s t a .
Promieniowanie ciała nie czarnego.
P ro m ien io w a n ie ciała nie czarnego. P raw o L am b erta. 23
S to p n ie abs. t i r y
\ 100 / S to p n ie abs. t T y
\ 100 /
273 55'5 1023 10.950
373 193-6 1273 26.200
523 748 1523 53.500
773 3570 1773 98.800
Prawo Lamberta.
E n e r g j a , którą wyrzuca cząstka powierzchni d f rozchodzi się ,w przestrzeni, lecz wcale n i e j e d n o m i e r n i e . Największe natęże
nie promieniowania będzie w kierunku normalnej do powierzchni df.
Natężenie promieniowania cząstki d f w kierunkach odchylonych od normalnej będzie m n i e j s z e , zaś przy odchyleniu 9 = 90° będzie równe zeru. Więc i tu istnieje jakieś prawo, według którego rozkłada się natężenie promieniowania w około normalnej do powierzchni pro
mieniującej. Dziś się nie dziwimy, że L a m b e r t , który mierzył natę
żenie promieniowania i starał się przedstawić wynik zapomocą funkcji jak najprostszej, zastosował odrazu funkcję cos 9, która nadspodzie
wanie była w zgodzie z doświadczeniem. Ilość promieniowania dQi, na godzinię, mierzona na cząstce powierzchni
kuli (d f). otaczającej miejsce promieniu
jące jako środek, będzie proporcjonalna do cos 9 ale także do wielkości cząstki promieniującej d f i wielkości cząstki d f . a raczej do kąta bryłowego d i i , w któ
rym się mieści całe uważane promienio
wanie. Więc element d f wysyła przez ów kąt bryłowy d ii na godzinę ilość energji.
dQi, = CK d ii■ cos 9. df.
Ażeby zbadać stałą C ', całkujemy ten oczywisty związek w granicach widno
kręgu cząstki d f (półkuli), czyli widno
kręgu możliwego promieniowania, przy- czem także pamiętać trzeba, że
r. dv. 1• sin o
- • d ' L
d i i
r - c//. sin 9. d'?.*) Otrzymamy w myśl tych oznaczeń:
dQi, ==* CK df. d%. sin 9. cos 9. do, zaś Q„ — (icif \ \ sino. cos 9. cl 9
_______________________________________ . ' o . 0
*) do — ró żn ic zk a s z e r o k o ś c i geograficznej, zaś dy — różn iczk a d ł u g o ś c i geograficznej.
