Optyka Fourierowska

Optyka Fourierowska

Wykład 10

Optyka fourierowska

w telekomunikacji optycznej

Zalety telekomunikacji optycznej

• Ogromne prędkości i pojemności danych osiągane w systemach współczesnej

telekomunikacji optycznej

– Wielkie prędkości na pojedynczym kanale (multipleksowanie czasowe)

– Równoległa transmisja wielu ortogonalnych

kanałów w jednym ośrodku (multipleksowanie po długości fali)

Otwarta przestrzeń a światłowód

• Wolna przestrzeń

– Naturalne „mody” do fale płaskie propagujące się pod różnymi kątami i rozciągłe w nieskończoność – Są to de facto współrzędne fourierowskie

– Nieskończona ilość modów

• Światłowody

– Mody są zdeterminowane przez przekrój rozkładu współczynnika załamania i długość fali światła

– Skończona ilość prowadzonych modów

Światłowodowe siatki Bragga (FBG)

• Jeśli w światłowodzie na skutek jakiegoś działania (naświetlanie, procesy chemiczne, działanie

mechaniczne) stworzymy okresową zmianę

współczynnika załamania powstaje światłowodowa siatka Bragga

• Zakres różnic we współczynniku załamania wynosi 10^-4 - 10^-2

• Na FBG można patrzeć jak na hologram gruby zapisany wzdłuż światłowodu, który można połączyć ze zwykłymi światłowodami tworząc układy światłowodowe takie jak filtry wąskopasmowe, kompensatory dyspersji i inne struktury

Światłowody

• Cylindryczny płaszcz szklany o współczynniku załamania n₂ i promieniu b jest otacza szklany rdzeń o współczynniku

załamania n₁ i promieniu a (a<b, n₁<n₂)

• W ogólności taki światłowód może prowadzić wiele modów, które istnieją głównie w rdzeniu z ogonami zanikającymi w płaszczu.

• Mod najniższego rzędu jest podobny do wiązki gausowkiej i ogólnie nazywany jest modem LP₀₁

• W światłowodach jednomodowych prowadzony jest jedynie mod. Takie światłowody zazwyczaj mają płaszcz dużo grubszy od rdzenia.

• Światłowody mają małą tłumienność. Dla dł. Fali 1550 nm wynosi ona ok. 0,16 dB/km

Apertura numeryczna

• Kiedy patrzymy z powietrza rozbieżność wiązki

światła wychodzącego ze światłowodu (podobnie jak kąt pod którym można światło do niego

wprząść) jest określony przez aperturę numeryczną tj.

• θ_max to maksmalny kąt odchylenia od osi światłowodu, Δ jest cząstkową różnicą

współczynnika załamania płaszcza i rdzenia (zwykle rzędu 0,001)

1 2

1 2

2 2

1 max

1

2 sin

n n

n n

n NA_air















 

Dyspersja

• W wyniku dyspersji chromatycznej szkła oraz dyspersji falowodowej w światłowodzie

jednomodowym światło o różnej długości fali propaguje się z różną prędkością

• Wynika z tego że krótki impuls (szerokie

widmo czasowe) będzie ulegał poszerzeniu w trakcie propagacji

Dyspersja

• Pierwszy składnik to stałe przesunięcie fazowe – może być pominięte

• Drugi składnik to przesunięcie fazowe liniowo zależne od częstotliwości. Wprowadza po prostu opóźnienie czasowe τ sygnału bez zmiany jego struktury czasowej  prędkość grupowa

    ^{   }

    _{0 0}  ₀^{2 2} ₂  ₀^{3 3} ₃

0 0

6 1 2

1



 

 

 

 

 





























 

 

 

 

 















U t e^{i t L} t

u









 



 

 

 

 



v L

L _g

0

Dyspersja

• Trzeci składnik wprowadza kwadratową dystorsję fazową wzdłuż widma czasowego i jest

dominującym czynnikiem dyspersji

• Czwarty czynnik określa kształt krzywej dyspersji (D – współczynnik dyspersji)

    ^{   }

    _{0 0}  ₀^{2 2} ₂  ₀^{3 3} ₃

0 0

6 1 2

1



 

 

 

 

 





























 

 

 

 

 















U t e^{i t L} t

u









 





 

 



 km nm

ps D c

L D

L ₂

2 2

2

2 2







 



 



Walka z dyspersją

• Filtr z przesuniętą dyspersją – przez geometrię rozkładu współczynnika załamania punkt

bezdyspersyjny przesunięty z 1300 nm do 1550nm

• Filtr kompensujący dyspersję – przez geometrię zmieniony znak dyspersji

• Układy kompensujące dyspersję (np. FBG)

Zapis światłowodowych siatek Braga

• Siatka fazowa może być zapisana za pomocą światła UV jedną z z 2 metod:

– Bezpośrednio interferometrycznie

– Używając siatki fazowej do generacji dwóch interferujących wiązek

• Należy pamiętać, że w światłowodzie biegnie

światło IR, a więc odległość między prążkami musi

być odpowiednia dla światła IR

Wpływ FBG na światło

propagujące się w światłowodzie

• Zakładamy, że zmiany współczynnika załamania w siatce są małe

• Zakładamy, że w światłowodzie propaguje się mod podstawowy LP₀₁

• W związku z tym apertura numeryczna wynosi ok. NA_air = 0,15

Fazowe siatki odbijające

• Rozważmy jednorodną sinusoidalną siatkę

odbiciową zapisaną w światłowodzie z liniami prostopadłymi do osi rdzenia światłowodu.

• W takim przypadku osiągamy maksymalną wrażliwość na długość fali i mniejszą na

wrażliwość kątową

• Ponieważ rozbieżność wiązki jest mała (mała apertura numeryczna) można ją zaniedbać i

rozważać sytuację analogicznie do fali płaskiej.

Fazowe siatki odbijające

siatki stala

n















 











~ 2

~ 2

~

~ 2 0

2







 





 







siatki a

dyfrakcyjn wydajnosc

nN

n x nN

n x

x N

x













































 

 



 



































 



 













 



















tanh 2 tanh

~ 0

1 4 sinh 2

1 4 1

1

` sinh

1 1

2 2

1

2 2 2

2 2 1

;

~ ;

~

2 2 2

2

2 

Wydajność dyfrakcyjna

• Wydajność dyfrakcyjna zależy od czynnika:

który rosnąc zbliża wartość wydajności do 1

• W praktyce przy wartości 3 wydajność wynosi 99% i dalsze wydłużanie siatki nie powoduje już znaczących zmian

ponieważ zdecydowana większość światła została odbita

• Efektywna ilość linii:

• Efektywna długość siatki 2

nN

N n



6

0 

n

 6

0

Wydajność dyfrakcyjna

Zastosowania FBG

• Filtry wąskopasmowe do sprzęgające lub rozprzęgające

• Filtry

kompensujące dyspersję

Multipleksery wąskopasmowe

• Najpowszechniejszą metodą osiągnięcia wysokiej

przepustowości jest użycie gęstego multipleksowania w

dziedzinie długości fali (DWDM). Oznacza to, że każdy kanał ma inną długość fali. Typowe odległości wynoszą 100, 50 lub nawet 25 GHz co w praktyce pozwala jednym

światłowodem przesłać kilkaset kanałów.

• Kluczowym elementem jest ADM (add drop multiplexer) który jest w stanie odłączyć pojedynczą długość fali ze światłowodu bez zaburzania pozostałych lub dodać jedną długość fali bez zaburzania pozostałych.

• ADM można wykonać na różne sposoby. Jednym z nich jest FBG

ADM oparty na FBG

• Cyrkulator optyczny to element, który

przepuszcza światło w jednym kierunku, zaś w drugim kieruje je do innego kanału (w którym pojawia się jedynie fala powracająca)

Kompensator dyspersji oparte na FBG

• Dyspersja pojawia się ponieważ sygnały w

kanałach o różnych długościach fali poruszają się z innymi prędkościami. Komponenty

wysokoczęstotliwościowe (mała długość fali) biegną szybciej niż niskoczęstotliwościowe

• Siatka świergotowa (chirp) – siatka o rosnącej częstości (malejącym okresie) wprowadza

opóźnienie zależne od długości fali

Kompensator dyspersji

Siatki działające transmisyjnie

• W niektórych zastosowania geometria odbiciowa jest nieodpowiednia

• Siatki działające transmisyjnie nazywane są skośnymi albo długookresowymi

• Siatki skośne mają płaszczyzny pochylone wobec kierunku prostopadłego do osi o 2-3 stopnie co sprawia, że mody odbite są wypromieniowywane do płaszcza

• Siatki długookresowe mają na tyle duże stałe, że powodują parowanie modu prowadzonego z modami płaszcza

• Transmisyjne FBG są używane do spłaszczania sygnału wraz ze wzmacniaczami światłowodowymi lub do filtracji w

telekomunikacji

Kształtowanie i przetwarzanie ultrakrótkich impulsów

• Od czasu wynalezienia lasera długość

impulsów świetlnych staje się coraz krótsza

• Praktycznym zainteresowaniem są impulsy o długości rzędu pikosekund lub femtosekund

• Ciekawe z praktycznego punktu widzenia są metody zamiany impulsu na bardziej

skomplikowany front falowy

Mapowanie częstości czasowych na częstości przestrzenne

• Impuls femtosekundowy ma widmo

obejmujące znaczącą część widma optycznego

– Dla długości fali 1550 nm impuls 100 fs ma widmo o szerokości 5% częstości średniej, zaś impuls 10 fs ma widmo o szerokości 50%

• Tak szeroki widma pozwalają powszechnym elementom dyfrakcyjnym (np. siatkom)

wprowadzać znaczący rozkład częstości

czasowych skutkując możliwością mapowania częstości czasowych w pozycje przestrzenne.

Mapowanie

• Rozważmy siatkę transmisyjną o stałej Λ

• Oświetlona falą płaską tworzy pod kątem θ₂ obraz dyfrakcyjny pierwszego rzędu

 

  

₂ sin ₁ sin

Mapowanie

• Jeśli do siatki dodamy soczewkę tak, że siatka znajdzie się w jej pierwszym ognisku a

płaszczyzna obserwacji (ekran) w drugim ognisku uzyskamy mapowanie kątów propagacji (a więc częstości czasowej lub długości fali) w pozycje na ekranie

1 0

0 1

2 1 2

sin

sin sin





 



 



f x

x f f f

f x



 

 







 



Układ kształtowania impulsu

• Maska w płaszczyźnie widmowej (ognisku soczewki) pozwala

modyfikować składowe spektralne impulsu. Filtr może modyfikować amplitudę lub fazę (lub obie wielkości) poszczególnych skłądowych spektralnych. Można także użyć SLMa aby dynamicznie

modyfikować front falowy w czasie.

• Jeśli obie soczewki są identyczne sygnał ma powiększenie równe 1

Zastosowania kształtowania impulsów

• Optyka nieliniowa

• Spektroskopia femtosekundowa

• Ultraszybkie oddziaływania laser-materiał

• Telekomunikacja

– CDMA

– Kompensacja dyspersji falowodowej

Code Division Multiple Access CDMA

• Generacja i dekodowanie sygnałów CDMA polega na przyporządkowaniu każdemu użytkownikowi na

wieloosobowym kanale komunikacyjnym unikalnego sygnału zakodowanego tak, że jest on idealnie ortogonalny do

sygnałów przyporządkowanych innym użytkownikom.

• Ortogonalność pozwala każdemu użytkownikowi wysłać

wiadomość do innego użytkownika używając specyficznego zakodowanego frontu falowego odpowiedniego dla odbiorcy.

• Oryginalna wiadomość zawiera sekwencję ultrakrótkich impulsów z binarnym 1 gdy impuls jest w danym oknie czasowym i binarnym 0 gdy go nie ma. Każda jedynka jest kodowana metodami kodowania spektralnego w

rozbudowany front falowy odpowiedni dla zamierzonego odbiorcy.

CDMA

• Zazwyczaj używa się sekwencji kodów

zawierających impulsy w

fazach 0 i π

• Każdy odbiorca ma unikalny

kod spektralny

Holografia spektralna

• Z pomocą technik kształtowania ultrakrótkich impulsów możliwy jest zapis hologramu

przestrzennego czasowego frontu falowego sygnału. Używa się do tego impulsu

femtosekundowego jako fali odniesienia i potem rekonstruuje front falowy przez

adresowanie hologramu femtosekundową próbką lub impulsem odtwarzającym

Zapis hologramu spektralnego

• Impuls odniesienia jest ultrakrótki

więc ma szerokie stosunkowo

jednorodne

widmo spektralne

• Sygnałowy front falowy ma złożone widmo, które jest właściwą treścią zapisu

Rekonstrukcja sygnałów

• Powstają 3 fronty falowe:

– Kombinacja impulsu odtwarzającego i

autokorelacji impulsu odtwarzającego

– Front falowy tożsamy z sygnałowym

– Front falowy tożsamy z sygnałem

odwróconym w czasie

• Ograniczając aperturę soczewki możemy wybrać tylko jeden z tych sygnałów

Arrayed Waveguide Gratings (AWG)

• AWG służy do multipleksowania i

demultipleksowania sygnałów o różnych częstościach czasowych

• Składa się z wielu elementów:

– Światłowody do przesyłania sygnałów optycznych – Sprzęgacze gwiazdowe do wwirowywania i

odwirowywania sygnałów optycznych

– Siatki światłowodowe do kontroli dyspersji spektralnej

Zintegrowane falowody optyzcne

• W optyce zintegrowanej posługujemy się najczęściej płytkami drukowanymi, a więc ścieżkami (falowodami) o przekroju prostokątnym.

• Ponieważ geometria takiego falowodu jest bardziej skomplikowana używa się tu parametru zwanego efektywną stała propagacji β_eff, która zależy od

geometrii współczynnika załamania, polaryzacji światła i częstości spektralnej światła

Zintegrowane sprzęgacze gwiazdowe

• Celem sprzęgaczy gwiazdowych jest rozkład

części sygnału pojawiających się w każdym porcie wejściowym do wszystkich portów wyjściowych (odwirowanie) i zebranie części sygnału z każdego portu wejściowego w każdym porcie wyjściowym (wwirowanie)

• Dla pewnych zastosowań może być 1 port wejściowy i N portów wyjściowych w innych odwrotnie, najczęściej jednak sprzęgacz jest symetryczny NxN

Sprzęgacz gwiazdowy

• Sprzęgacz zawiera stosunkowo szeroki ale pionowo cienki

światłowód planarny (tzw.

światłowód płytowy) z

zakrzywionymi krawędziami do których doczepione są

wejściowe i wyjściowe światłowody planarne

• Krawędzie są łukami koła o środku na przecięciu osi i

przeciwległej krawędzi (układ konfokalny)

Sprzęgacz gwiazdowy

• W takim układzie optycznym dyfrakcja przy

przybliżeniu przyosiowym wskazuje na zależność między polami na tych powierzchniach w postaci transformaty Fouriera

• Jeśli na lewej powierzchni podane jest pole U(ξ) do na prawej zostanie stworzone pole U(x) zgodnie z

zależnością:

• Jednakże pola te mierzone są na prostych równoległych i przechodzących przez środki krzywizn krawędzi

 









  



 

 



d e

U f

i x e

U

f x i i f

~2 2 ~

~

Sprzęgacz gwiazdowy

• Zakładając, że ma końcu jednego z falowodów wejściowych znajdzie się sygnał o przekroju

gaussowskim (ograniczony funkcją rectus), sygnał na krawędzi wyjściowej będzie splotem funkcji sincus (transformata rectusa) i profilu gaussowskiego

(transformata gaussa).

• Szerokość kanału wyjściowego musi być na tyle mała aby rozłożyć widmo na wszystkie kanały wyjściowe.

• Sygnały z różnych kanałów wejściowych zazwyczaj nie są wzajemnie koherentne, jednakże światło z jednego kanału można uznać za koherentne

Siatka falowodowa

• Siatka w wolnej przestrzeni ugina światło w (ujemnym) rzędzie ugięcia

• Kierunek ugięcia zależy od długości fali

• Istnieje wiele rzędów ugięcia

Siatka falowodowa

• Siatka światłowodowa składa się z

światłowodów o rosnącej o ΔL (między dwoma sąsiednimi) długości

 ^{ }  ^{  L}

 sin 

sin 

AWG

• Celem jest zmiana wyjścia przez zmianę długości fali światła

• Załóżmy, że na centralnym wejściu pierwszego sprzęgacza będzie sygnał λ₀ zaś AWG jest tak zaprojektowane, aby ten sygnał stał się sygnałem wyjściowym na centralnym wyjściu drugiego sprzęgacza

• Jeżeli zmienimy długość fali przesunie się położenie sygnału w drugim sprzęgaczu

 

 

 





s s

g

n m f n

Lf x n

0



AWG

• Jeśli zakres przestrzenny krawędzi wyjściowej będzie odpowiedni po wyjściu (na skutek

zmiany długości fali) sygnału poza zakres w jednym rzędzie ugięcia na drugim końcu

pojawia się kolejny rząd ugięcia siatki światłowodowej

Zastosowania AWG

• Multipleksery i demultipleksery gęstych sygnałów WDM

• Unikalna możliwość przestawiania sygnałów o różnych długościach fal przychodzących w

różnych kanałach wejściowych tworząc kanały wyjściowe każdy z różną kombinacją sygnałów z różnych kanałów wejściowch.

Multipleksacja i demultipleksacja

Router spektralny

λ₀(0)  λ₀(0) λ₀ (1)  λ₀(-1) λ₁ (0)  λ₁(-1)

λ₀ (2)+ λ₁ (2)  λ₀(-2)+ λ₁ (-3 +2)

Router spektralny