MODELOWANIE WARSTWOWE NIEJEDNORODNYCH PàYT SPRĉĩYSTYCH

(1)

MODELOWANIE WARSTWOWE NIEJEDNORODNYCH PàYT SPRĉĩYSTYCH

¹

Jarosáaw ZieliĔski

Grupa PZU, Warszawa

Streszczenie. W pracy rozwiązano páyty niejednorodne warstwowo, obciąĪone w dowolny sposób na powierzchni górnej i dolnej. Zakáada siĊ, Īe páyta moĪe byü záoĪona z warstw zarówno ortotropowych, jak i izotropowych oraz Īe jej podziaá na warstwy moĪe byü niesymetryczny wzglĊdem powierzchni Ğrodkowej. Model zapewnia ciągáoĞü wielkoĞci statycznych i kinematycznych na powierzchniach po- dziaáu páyty na warstwy. Osiąga siĊ to przez wprowadzenie do opisu dodatkowych funkcji, zwanych korektorami. Funkcje te, wraz z przemieszczeniami powierzchni podziaáu oraz z zadanymi funkcjami opisującymi rozkáad przemieszczeĔ po gruboĞci páyty, sáuĪą do skonstruowania pewnej postaci wiĊzów narzuconych na jej trójwymiarowe przemieszczenia. MetodĊ zilustrowano przykáadami obliczeĔ numerycznych dla dwuwarstwowej páyty prostokątnej.

Sáowa kluczowe: páyty sprĊĪyste, páyty warstwowe, wiĊzy, modelowanie

WSTĉP

Badane w pracy obiekty materialne są sprĊĪystymi páytami niejednorodnymi, nieko- niecznie cienkimi. Analiza w ramach liniowej teorii sprĊĪystoĞci páyt traktowanych jako ciaáa trójwymiarowe jest skomplikowana, stąd potrzeba poszukiwania modeli uproszczo- nych. Znane uproszczone modele páyt to modele dwuwymiarowe, czyli takie, w których poszukiwane wielkoĞci odnosi siĊ nie do dowolnego punktu trójwymiarowej kon¿ guracji odniesienia, lecz do punktów pewnego dwuwymiarowego obszaru, zwanego powierzch- nią Ğrodkową páyty. Poszukiwane przemieszczenia, odksztaácenia czy naprĊĪenia w takim uproszczonym modelu zaleĪą nie od trzech, lecz od dwu zmiennych przestrzennych.

Celem pracy jest skonstruowanie takiego modelu páyty, który obejmowaáby takĪe páy- ty o Ğredniej gruboĞci i grube oraz by warunki brzegowe na górnej i dolnej powierzchni páyty byáy speánione w sposób Ğcisáy.

Adres do korespondencji – Corresponding author: Jarosáaw ZieliĔski, Mysiadáo, ul. Polnych Kwiatów 13/2, 05-500 Piaseczno, e-mail: zielinski.j@gazeta.pl

(2)

Punktem wyjĞcia do zrealizowania takiego celu jest opis páyty jako ciaáa trójwymia- rowego w ramach liniowej teorii sprĊĪystoĞci. Dla tak opisanych páyt wprowadza siĊ odpowiednie wiĊzy na przemieszczenia, wyraĪając je przez przemieszczenia nie jednej powierzchni Ğrodkowej páyty, lecz przez przemieszczenia powierzchni dzielących páytĊ na warstwy.

Zastosowanie metody wiĊzów wewnĊtrznych do konstruowania modeli uproszczo- nych w mechanice zaproponowaá w 1973 roku Cz. WoĨniak [WoĨniak 1973]. Metoda ta zostaáa rozwiniĊta w innych jego pracach [WoĨniak 1973, 1974, 1984, 1985]. Po 1973 roku zastosowaniem wiĊzów wewnĊtrznych w modelowaniu zjawisk mechanicznych zajmowali siĊ m.in. Mazur-ĝniady [1973, 1993] i Utkin [1975], którzy rozwaĪali modelowanie prĊtów. Warstwowym opisem páyt zajmowali siĊ: Matysiak i Nagórko [1977, 1988, 1989 1995], Nagórko [1976, 1983] oraz Nagórko i ZieliĔski [1998, 1999]. Báąd rozwiązaĔ przybliĪonych w mechanice ciaá z wiĊzami byá analizowany przez NagórkĊ [1974, 1981, 1982, 1993].

Podsumowaniem prac z tego zakresu jest monogra¿ a Cz. WoĨniaka i M. Kleibera z 1982 roku „Nieliniowa mechanika konstrukcji” [WoĨniak i Kleiber 2006]. Tam teĪ moĪna znaleĨü obszerny wykaz literatury.

W latach dziewiĊüdziesiątych XX wieku Delyavskyy [1993, 1995] zastosowaá podob- ne podejĞcie do modelowania oĞrodków sprĊĪystych, stawiając jako cel gáówny w kon- struowanych modelach przybliĪonych Ğcisáe speánienie warunków brzegowych przez wprowadzenie tzw. korektorów. W tym podejĞciu parametry kinematyczne opisujące wiĊzy nie muszą mieü juĪ interpretacji ¿ zycznej i mogą byü zaleĪne miĊdzy sobą.

Modele z korektorami dla przemieszczeĔ, w których wykazano Ğcisáe speánienie wa- runków brzegowych dla belek i páyt ortotropowych, rozwaĪano w pracach M. Delavskyy- ego, M. Krawchuka, W. Nagórki, L. Onyszki [Delavskyy i in. 1999a, 2000b]. Zagadnienie czystego zginania páyt i belek o przekroju prostokątnym opisano w pracach M. Delavskyy- ego, M. Krawchuka, W. Nagórki i A. Podhoreckiego [Delavskyy i in. 1999b, 2002].

W pracy zastosowano metodĊ wiĊzów oraz modelowanie prowadzące do Ğcisáego speánienia warunków brzegowych z wykorzystaniem korektorów.

KONSTRUKCJA MODELU WARSTWOWEGO PàYT

Przyjmijmy kon¿ guracjĊ odniesienia páyty w postaci ȍ, , 2 2

§ h h· : 3 u ¨ ¸

2 2

x_D 3 D y ¨^§© h h¸^·¹. Przez Ȇ– i Ȇ+ oznaczymy odpowiednio powierzchniĊ dolną i górną páyty.

Konstrukcja warstwowego modelu dwuwymiarowego páyty oparta bĊdzie na jej dys- kretyzacji na warstwy. Podziaá na warstwy nie musi wynikaü z jej niejednorodnoĞci czy innych cech strukturalnych.

PáytĊ podzielimy páaszczyznami równolegáymi do páaszczyzny (x1, x2), przechodzącymi przez punkty y a_a, 0, 1, 2, ..., c₀, tak Īe ₀ ₁ ... ₀

2 ^c 2

h h

y y y

(rys. 1).

(3)

Otrzymane warstwy oznaczymy przez: : 3 u '_c _c, 1, c 2, ..., 1,c0 t gdzie ǻc = (yc–1, yc). Z kolei liczby hc = yc – yc–1 bĊdą gruboĞciami warstw. Skáadowe przemiesz- czeĔ c-tej warstwy oznaczymy przez:

1, , 2 1, , 2 1 2, , , 1, 2, 3

c

c c

k k k x x y

u u x x y u x x y k

{ : .

MODELOWANIE WARSTWOWE PàYT WiĊzy wewnĊtrzne

JeĪeli ciaáo materialne nie moĪe zająü w przestrzeni ¿ zycznej dowolnej kon¿ guracji bĊdącej obrazem wzajemnie jednoznacznego odwzorowania kon¿ guracji odniesienia, to mówimy, Īe na ciaáo dziaáają wiĊzy. Ograniczenia na dowolne poáoĪenie ciaáa w przestrzeni ¿ zycznej mogą byü spowodowane na przykáad warunkami podparcia ciaáa na brzegu lub ĞciĞliwoĞcią materiaáu. W pierwszym przypadku wiĊzy nazwiemy brzegowymi, a w drugim – wewnĊtrznymi. WiĊzy brzegowe nie odgrywają istotnej roli w modelowaniu, z tego powodu zajmiemy siĊ wiĊzami wewnĊtrznymi.

W przypadku modelowania warstwowego wiĊzy na przemieszczenia narzucimy w warstwie w postaci:

1, , 2 1, ; 2 3 1, , 2 1, 2

c c c c c c

i i j j

u x x y_D [ y v_D x x u x x y J y v x x (1) gdzie: i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., m oraz funkcje [ J są funkcjami ksztaátu, a funkcje _i^c, ^c_j v_D^ci,

cj

v są funkcjami poszukiwanymi i mogą byü zaleĪne miĊdzy sobą.

BĊdziemy zmierzaü do tego, by kaĪda warstwa byáa opisana przez piĊü niezaleĪnych funkcji okreĞlonych w Ȇ, które oznaczymy przez w_D^c, w^c, , = 1, 2.f_D^c D Pozostaáe funkcje, zwane korektorami, bĊdą tak dobrane, by byáy speánione warunki ciągáoĞci prze- mieszczeĔ i naprĊĪeĔ na powierzchniach podziaáu páyty na warstwy. Funkcje te zostaną okreĞlone jednoznacznie przez poszukiwane funkcje w_D^c, , .w^c f_D^c

W tej sytuacji dla wiĊzów (1) przyjmiemy n = 6, m = 2 oraz

0 ; ; 0 5 1 , ; , ; ,16 2 2 26 2 1

c c c c c c c c c c

v_D { w_D v { w v_D { f _D v { f v { f (2) x

y

:

yc-1

0

2 h

2

h

: hc

Rys. 1. Podziaá páyty na warstwy Fig. 1. Division of the plate into layers

(4)

Niech ponadto

3 1, ; 4 2,

c c c c

v_D v _D v_D v _D (3)

WprowadĨmy takĪe zaleĪnoĞci miĊdzy funkcjami ksztaátu:

6^c 5^c; 1^c 3^c ; 2^c 4^c

[ [ J [ ^c J [ ^c (4)

gdzie dla dowolnej funkcji g przez gƍ oznaczono pochodną g po y.

UwzglĊdniając warunki (2)–(4), wiĊzy (1) moĪna zapisaü nastĊpująco:

1 1 2 0 1 1 2 1 11 1 2 2 12 1 2

3 1 1 1 2 4 2 1 1 2 5 1 1 2 2 1 2

, , , , ,

, , , , , , ( , )

c c c c c c c

u x x y y w x x y v x x y v x x

y v x x y v x x y f f x x

[ [ [

2 1 2 0 2 1 2 1 21 1 2 2 22 1 2

3 1 2 1 2 4 2 2 1 2 5 1 2 2 1 1 2

, , , , ,

, , , , , , ,

c c c c c c c

u x x y y w x x y v x x y v x x

y v x x y v x x y f f x x

[ [ [

(5)

^'

3^c 1, 2, 0^c ^c 1, , , 2 3^c 1^c 1 2 4^c 2^c 1 2

u x x y J y w x x [ y v x x [ y v x x

WiĊzy (5) opisują przemieszczenia warstwy ȍ^c páyty za pomocą piĊciu poszukiwa- nych funkcji w_D^c, , ,w f^c _D^c szeĞciu korektorów v_D^c1, v_D^c2, v_D^c, = 1, 2D oraz siedmiu funkcji ksztaátu J [ [ i = 1, 2, ..., 5.0^c, , ,0^c i^c

W dalszym ciągu wyznaczymy zaleĪnoĞci miĊdzy korektorani i funkcjami poszukiwanymi oraz okreĞlimy funkcje ksztaátu. Równania skonstruowane w ten sposób dla pola przemieszczeĔ, po podstawieniu do odksztaáceĔ i naprĊĪeĔ, doprowadzą do równaĔ na niewiadome w_D^c, , ,w f^c _D^c które uzyskamy, korzystając ze związków kon- stytu tywnych postaci ³ 12 6 1 2 2 1 13 5 1 3 3 1

1 , ; , , ; , , ;

kk kl l l

l B u B u u B u u

V

¦

V V

23 B u4 2 3, u3 2, ,

V gdzie Bklmn są staáymi (funkcjami) materiaáowymi oraz Bkkll =

= Bkl,B2323 = B4, B1313 = B5, B1212 = B6. W przypadku izotropowym staáe materiaáowe są równe Bkk = Ȝ +2ȝ, Bkl = Ȝ, k z l, B₄ = B5 = B6 = ȝ, Ȝ > 0, ȝ > 0.

Oznaczmy naprĊĪenia na brzegu warstwy ȍ^c, c = 2, ..., c0 – 1, c0 > 1, w nastĊpujący sposób:

^1, ^{, 1}

3 1, , 2 1 3 1, ;2 3 1, , 2 3 1, 2

c c c c c c

k x x yc sk x x k x x yc sk x x

V V (6)

NaprĊĪenia s^c_k^1,^c,s_k^{c c}^,¹ są nieznanymi siáami wspóádziaáania warstw odpowiednio:

ȍ^c–1, ȍ^c i ȍ^c+1. Dla c = 1 i c = c₀ naprĊĪenia ⁰

0

1_k3 x x1, , 2 y0 i _k^c3 x x1, , 2 y_c

V V są równe

zadanym obciąĪeniom na dolnej i górnej powierzchni páyty:

^{0 0}

0,1 , 1

1, , 2 _l _k 1 2; ^{c c} 1, , 2 _l _k 1 2

kl kl

s x x n q x x s x x n p x x (7)

gdzie n_l,n_l są skáadowymi wersora zewnĊtrznie normalnego odpowiednio powierzchni górnej i dolnej páyty.

(5)

WyraĨmy teraz naprĊĪenia V_D^c3, = 1, 2, = 1, 2, ..., D c c0, w warstwie ȍ^c przez przemieszczenia, przyjmując liniowe związki geometryczne.

Podstawiając przemieszczenia (5) do związków konstytutywnych oraz zakáadając dla y = y_c–1

^[²^c ^'^y^c¹ ⁰ i wykorzystując równanie (6)₁, otrzymamy:

' ' '

1, 5 0 1 1 5 1 1 1 2 2 1 1 11

13

0 1 1

, ,

,

c c c c c c c c c c

c c c

c c

c

s B y w y f f y v

y w

[ [ [

J

ª

«¬

º¼

(8)

' ' '

1, 4 0 1 2 5 1 1 2 2 1 1 1 21

23

0 1 2

, ,

,

c c c c c c c c c c

c c c

c c

c

s B y w y f f y v

y w

[ [ [

J

ª

«¬

º¼

JeĪeli

^[¹^c ^'^y^c¹ ^z ^0, wtedy z równaĔ (8) moĪna wyznaczyü korektory v11^c ,v21^c :

' '

1, 0 1 1 5 1 1 1 2 2 0 1 1

13

11 '

1 1

, , ,

c c c c c c c c c

c c c

c

c c

s y w y f f y w

v

y

[ [ J

[

(9)

' '

1, 0 1 2 5 1 1 2 2 1 0 1 2

23

21 '

1 1

, , ,

c c c c c c c c c

c c c

c

c c

s y w y f f y w

v

y

[ [ J

[

gdzie

1, 1,

1, 13 1, 23

13 23 0

5 4

, , 2, 3, ...,

c c c c

c c

s s

s s c c

B B

PostĊpując podobnie z naprĊĪeniami dla y = yc oraz wykorzystując naprĊĪenia (6)2, otrzymamy kolejne dwa korektory:

' '

, 1 0 1 5 1 1 2 2 0 1

13

12 '

2

, , ,

c c c c c c c c c

c c c

c

c c

s y w y f f y w

v

y

[ [ J

[

(10)

' '

, 1 0 2 5 1 2 2 1 0 2

23

22 '

2

, , ,

c c c c c c c c c

c c c

c

c c

s y w y f f y w

v

y

[ [ J

[

gdzie zaáoĪono, Īe

^[¹^c ^'

^y^c ⁰^oraz

^[²^c ^'

^y^c ^z⁰^.

(6)

Gdy c = c0, to we wzorach (10) naleĪy za s_D^c⁰₃^1,^c⁰ podstawiü odpowiednio ₁ ¹₀

5 c

p p

B ,

0 2 2

4 c

p p

B .

Podstawiając przemieszczenia (5) do V , dla y = y₃₃^c c–1, c = 1, 2, ..., c0, zgodnie ze wzorem (6)1, oraz przyjmując

[3^c ^''

y_c1 z0, po podstawieniu korektorów (10), moĪna wyznaczyü korektor v1^c:

^ ^{^}

1, '

1 '' 33 0 1 31 0 1 1 1 5 1 1 11 2 21

3 1

' '

1 1 1,

13 1 0 1 1 1 0 1 11 5 1 1 11 2 21

'

1 1

32 0 1 2 2 5 1 1 22 2 1

1 , , ,

, , , , ,

, , ,

c c c c c c c c c c c

c c c

c c

c

c c c c c c c c c c

c c c

c c

c c c c c c

c c

v s y w B y w y f f

y

y s y w y w y f f

y

B y w y f f

J [ [

[

[ [ J [

[

[ [

ª º½°

«¬ »¼°¾¿

^

2

' '

1 1 1,

23 2 0 1 2 2 0 1 22 5 1 1 22 2 12

'

1 1

, , , , ,

c

c c c c c c c c c c

c c c

c c

y s y w y w y f f

y

[ [ J [

[

½°°½

ª º

«¬ »¼°°¾¾¿¿

(11)

gdzie ponadto zaáoĪono ^[²^c

^y^c¹ ^[³^c

^y^c¹ ^[⁴^c

^y^c¹

^[⁴^c ^''

^y^c¹ ⁰^oraz

1,

1, 33

33

33 c c c c

c

s s

B

, c = 1, 2, ..., c0 i s₃₃^0,1 q₃.

W podobny sposób otrzymamy korektor v2c dla powierzchni górnej

y yc

:

^ ^{^}

^

, 1 '

2 '' 33 0 31 0 1 1 5 1 11 2 21

4

' '

2 , 1

13 1 0 1 1 0 11 5 1 11 2 21

' 2

32 0 2 2 5 1 22 2 12

2 ,

' 23 2

1 , , ,

, , , , ,

, , ,

c c c c c c c c c c c

c c c

c c

c

c c c c c c c c c c

c c c

c c

c c c c c c

c c

c

c c c

c c

v s y w B y w y f f

y

y s y w y w y f f

y

B y w y f f

y s

y

J [ [

[

[ [ J [

[

[ [

½°

ª º

«¬ »¼°¾¿

¹^,²

^[⁰^c ^'

^{y w}^c ^{2 2}^c^, ^J⁰^c

^{y w}^c ^c^,²²

^[⁵^c ^'

^y^c

^f¹^c^,²² ^f^{2 12}^c^,

^½^°°^½

ª º¾¾

« »

¬ ¼°°¿¿

(12)

(7)

gdzie zaáoĪono ^[¹^c

^y^c ^[³^c

^y^c ^[⁴^c

^y^c

^[³^c ^''

^y^c ⁰^,

^[^c ^''

^y^c ^z⁰ oraz oznaczono

0 0 0 0

0 , 1

, 1 33

33

33 c c c c

c

s s

B

, s₃₃^{c c}⁰^,⁰¹ p₃.

Podstawiając wyliczone korektory (9)–(12) do przemieszczeĔ (5), otrzymamy:

0

1 2 1 2 1 2

3 4

1 1 2 2 1 2

11 22

1 1 1 2 2 2 1 2

011 022

11 1 2 22 1 2

311 322

1 11 1 2 1 22 1 2

412 2

, , , , ,

, , , ,

u x x yc A y w x x A y w x x

A y f x x A y f x x

A y w x x A y w x x

A y f x x A y f x x

A y f

D W D W

D W D W D

D W D W

W D W D

D W D W

W D W D

D W D W

W D W D

D W D W

W D W D

D W

W

12 1 2

0 11 22

3 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

011 022

11 1 2 22 1 2

311 322 412

1 11 1 2 1 22 1 2 2 12 1 2

, ,

, , , , , , ,

, , , ,

, , , , , ,

c

x x

u x x y A y w x x A y w x x A y w x x

A y w x x A y w x x

A y f x x A y f x x A y f x x

D

W W W

W W

W W W

(13)

gdzie W c 1, ,c c1.

W równaniach (13) indeks D przyjmuje dla D = 1 wartoĞü 2, a dla D = 2 wartoĞü 1, natomiast macierze A, których skáadniki są wspóáczynnikami przy funkcjach wD, w, fD

oraz ich pochodnych, są kombinacjami funkcji ksztaátu i staáych materiaáowych. Są one zde¿ niowane w pracy ZieliĔskiego [2006], tutaj zostaną okreĞlone dla páyty dwuwarstwowej.

Równania modelu warstwowego

W celu wyznaczenia równaĔ na poszukiwane funkcje w w f^c, _D^c, _D^c, dla c = 2, 3, ..., c0 – 1, c0 > 2, scaákujemy naprĊĪenia otrzymane ze wzorów (13), zgodnie ze wzorami na siáy przekrojowe

3

3 3 x

x

N_DD V_DDdx

³

^:

3 3 3 3

12 12 3; 3 3; 3 3; 12 12 3 3

x x x x

N V dx Q_D V_D dx M_DD V_DD x dx M V x dx

³ ³ ³ ³

przyjmując dla dowolnej macierzy A nastĊpujące oznaczenia:

1 1

, .

c c

y y

dy y dy

{ {

³

^A ^a

³

^A ^b

(8)

Dla przykáadu siáy przekrojowe M₁₂^c bĊdą równe:

^

01 02 0111 0112 0221 0222 1

12 6 12 1112 1222 1 2

2 111 112 221 222 31 32 41

2 1 1 112 2 122 1 12 2 11

42 3111 3112 3222 3221

2 22 1 1112 1 1

, , , ,

, , , , ,

, , ,

c c

M B b b w b b w b b w b w

b w b b w b b w b b f b f

b f b b f b b f

W W W W

W W W W W W W

W W W W W

W W W W W W W W

W W W

W W W W W

²²²

^b^W⁴¹²² ^b^W⁴¹²¹

^f^{2 1122}^W^,

`

Postaü pozostaáych siá zostaáa wyznaczona w pracy ZieliĔskiego [2006].

Podstawiając wyliczone siáy przekrojowe do równaĔ:

, 0; , 3 0; , 0

N_{DE E} r_D Q_{D D} r M_{DE E} Q_D m_D

gdzie r_k V_k3

h/ 2

V_k3

h/ 2 ,m_D x3V_D3

h/ 2

x3V_D3

h/ 2 , otrzymamy ukáad równaĔ opisujący wewnĊtrzne warstwy páyty c = 2, 3, ..., c0 – 1. Jest to ukáad ⁵

^c⁰ ²

równaĔ na niewiadome w f^c, _D^c,D 1, 2,c 2, 3, ...,c₀ 1.

Równania dla pierwszej i ostatniej warstwy

c 1,c0

otrzymamy analogicznie, z tym Īe siáy przekrojowe naleĪy tutaj wyliczyü, podstawiając do przemieszczeĔ korektory z zadanymi obciąĪeniami powierzchni górnej i dolnej warstwy.

Funkcje ksztaátu

W opisanej konstrukcji modelu warstwowego naáoĪono dotychczas nastĊpujące warunki na funkcje ksztaátu:

2 1 1 1 1 2

' ' ' '

2 1 1 1 1 2

' '

3 1 3 1 3 4

'' ' ''

4 1 3 1 3 4

' ''

4 1 3

''

4 1 4

0 0 0 0

0 0

c c c c

c c

y y y y

y y

[ [ [ [

[ [

z z

z z (14)

Warunki te sformuáowane są jedynie dla funkcji [ [ [ [ . Przyjmijmy wiĊc te ₁^c, ₂^c, ₃^c, ₄^c funkcje w postaci wielomianów:

2 4 3 2

1 1 1 1 3 3 3 3 3 3

2 4 3 2

2 2 2 2 4 4 4 4 4 4

c c

y c y b y a y e y d y c y b y a

[ [

(15)

gdzie wspóáczynniki ai, bi, ci, dj, ej, i = 1, 2, 3, 4, j = 3, 4, nie są znane. WystĊpujące w wa- runkach (14) nierównoĞci zapiszemy w postaci

^[¹^c ^'

^y^c¹

^[²^c ^'

^y^c

^[³^c ^''

^y^c¹

^[⁴^c ^''

^y^c ¹^.

(9)

Zadanie znalezienia wspóáczynników wystĊpujących w funkcjach (15) sprowadzimy do rozwiązania ukáadu równaĔ algebraicznych postaci

a · w = m

utworzonego z warunków (14) bez uwzglĊdniania nierównoĞci:

^'

1^c y_c1 0; 2^c y_c 0; 3^c y_c1 0; 4^c y_c 0

[ z [ z [ z [ z (16)

Wyznaczając z równania a · w = m wspóáczynniki w i podstawiając je do [ [ [ ₁^c, ₂^c, ₃^c,

4c

[ oraz oznaczając

yc yc1

hc, otrzymamy:

2 2 2 2

1 2 1 1

4 3 2 2 2 3 3

3 2 1 1 1 1

4 3 2 2 3 2 3

4 2 1 1 1 1 1 1

1 1

2 ; 2

2 2

1 3 3 3

6

1 3 3 3

6

c c

c c c c

c c

c

c c c c c c c c c c

c

c c c c c c c c c c

c

y y y y y y y y y y

h h

y y y y y y y y y y y y y y y

h

y y y y y y y y y y y y y y y

h

[ [

[

ª º

¬ ¼

ª º

¬ ¼

(17)

NieuwzglĊdnione warunki (16) są speánione, gdyĪ z równaĔ (17) otrzymujemy:

^'

1 1 ; 2 ; 3 1 ; 4

2 2 6 6

c c c c c c c c

c c c c

h h h h

y y y y

[ [ [ [

Pozostaáe funkcje, na które nie sformuáowano zadanych warunków, przyjĊto w postaci:

²

³

0^c y y 1; 0^c y y 2; 5^c y y y

J [ [ (18)

Konstrukcja modelu – podsumowanie

Skonstruowany model warstwowy páyt charakteryzuje siĊ tym, Īe otrzymany w nim ukáad równaĔ róĪniczkowych, cząstkowych jest ukáadem o staáych wspóáczynnikach. Po- szukiwane funkcje okreĞlone są w obszarze dwuwymiarowym, a warunki obciąĪeniowe na powierzchni górnej i dolnej páyty są speánione w sposób Ğcisáy.

Z drugiej jednak strony równania modelowe są takie, Īe wypisanie ich nawet dla kil- ku warstw jest uciąĪliwe, gdyĪ wystĊpuje w nich duĪa liczba wspóáczynników o bardzo rozbudowanej postaci (np. we wzorach na przemieszczenia (13) wystĊpuje 88 wspóá- czynników macierzowych A, z których najbardziej rozbudowany jest sumą 16 iloczynów kombinacji funkcji ksztaátu i staáych materiaáowych). Wyznaczenie tych wspóáczynni- ków prowadzi do duĪej liczby prostych operacji rachunkowych, dlatego model ten staje siĊ wygodny i uĪyteczny dopiero po zastosowaniu metod komputerowych.

Do rozwiązywania zagadnieĔ brzegowych w opracowanym modelu zastosowano pa- kiet MATHEMATICA w wersji 5.0 (nr licencji: L 4611-5501), w ramach którego skon- struowano wáasny program.

(10)

ROZWIĄZANIE DLA PàYTY DWUWARSTWOWEJ

PáytĊ prostokątną, dla której kon¿ guracja odniesienia jest równa a a₁, ₂ u b b₁, ₂ u 2 2,

u h h , podzielimy na dwie warstwy páaszczyzną y = y1, gdzie y1 jest dowolnym

punktem z przedziaáu , 2 2

§h h·

¨ ¸

© ¹. GruboĞci warstw oznaczymy przez h1 i h2, tak wiĊc h = h1 + h2. Poszukiwanymi funkcjami bĊdą tutaj w w^c, _D^c, f_D^c, D c 1, 2. Rozpatrzy- my przypadek páyty jednorodnej oraz przypadek páyty niejednorodnej warstwowo.

ZaáóĪmy, Īe páyta jest obciąĪona na górnej powierzchni obciąĪeniem [0, 0, p3], oraz na dolnej powierzchni obciąĪeniem [0, 0, q3].

RozwiąĪemy najpierw ukáad równaĔ w przypadku obciąĪenia páyty tylko na górnej powierzchni ₃ ₀sin x¹sin x²

p p

a b

S S

.

BĊdziemy poszukiwaü rozwiązaĔ w postaci:

1 2 1 2

1 2 0 1 1 2 1

1 2 1 2

2 1 2 2 1 1 2 3

1 2

2 1 2 4

, sin sin ; , cos sin ;

, sin cos ; , sin sin ;

, cos cos , 1, 2

c c c c

c c

x x x x

w x x w x x

a b a b

x x x x

w x x f x x

a b a b

x x

f x x c

a b

S S S S

K K

S S S S

K K

S S

K

Przyjmijmy a b 2, h₁ h₂ 0,05, E₁ E₂ 20 10 , ⁶ Q Q₁ ₂ 0,15, p₀ 10, a nastĊpnie wyznaczmy wartoĞci wspóáczynników K_i^c, i 0, 1, 2, 3, 4. I tak:

1 6 2 6 1 6 2 6

0 0 1 1

1 6 2 6 1 6 2 6

2 2 3 3

1 2 6

4 4

243, 441 10 ; 2, 441 10 ; 4,963 10 ; 243, 441 10 ; 4,963 10 ; 4, 2141 10 ; 466,077 10 ; 243, 441 10 ; 0; 3, 441 10

K K K K

K K

Wykresy ugiĊcia páyty przedstawiono na rysunku 2.

Strzaáka ugiĊcia wynosi tutaj odpowiednio: dla powierzchni górnej u₃ 0,000249169, wewnĊtrznej u^1,2₃ 0,000241191, dolnej u₃ 0,000232913, oraz ugiĊcia otrzymanego w ramach teorii Kirhhoffa-Love’a: u₃^K 0,000251927. Widaü wiĊc, Īe najbliĪsze roz- wiązania klasycznego jest ugiĊcie powierzchni górnej i róĪnica miĊdzy nimi wynosi 1%.

Otrzymane rozwiązania pozwalają wyznaczyü naprĊĪenia. Na wykresach 3a, b przedstawiono rozkáad naprĊĪeĔ Vkk w Ğrodku páyty. Wyliczone naprĊĪenia na powierzchni górnej, wewnĊtrznej i dolnej páyty wyznaczają rozkáad liniowy.

Z kolei na rysunku 4a przedstawiono rozkáad naprĊĪeĔ V12 w punkcie (0, 0), a na rysunku 4b – naprĊĪenia V₁₃ w punkcie 0,

2

§ b·

¨ ¸

§a ·

¨ ¸

(11)

Rys. 2. Wykresy ugiĊcia páyty

Fig. 2. Graphs of the deflection of the plate

0.5 1 1.5 2 x1 x2=b_€€€€

2

-0.00025 -0.0002 -0.00015 -0.0001 -0.00005

u3

u₃^K u₃⁺ u₃^1,2 u3-

Legenda

0 y

340.154

1022.54 -365.179

s11=s22

0.05

-0.05

0 y

-4.975

0 -10

s33

0.05

-0.05 Rys. 3. Rozkáad naprĊĪeĔ: a – V₁₁ = s₁₁, V₂₂ = s₂₂, b – V₃₃ = s₃₃

Fig. 3. Distribution of stresses: a – V11 = s11, V22 = s22, b – V33 = s33

a b

Rozkáad naprĊĪenia V33 (rys. 3b) ilustruje dokáadne speánienie warunków brzegowych na dolnej i górnej powierzchni páyty. Z kolei na rysunkach 3a oraz 4a i 4b zgodnie z ocze- kiwaniem widaü, Īe naprĊĪenia V13 i V23 są znacznie mniejsze od V11, V22 i V12.

W przypadku páyt dwuwarstwowych niejednorodnych, dla których wáasnoĞci pierw- szej warstwy są opisane wielkoĞciami E1 = 30 · 10⁶, v1 = 0,15 oraz drugiej – wielkoĞciami E2 = 20 · 10⁶, v2 = 0,15, przy h1 = h2, wykres przemieszczeĔ u3 przedstawiono na rysunku 5. Maksymalne ugiĊcie zmniejszyáo siĊ tutaj w stosunku do ugiĊcia páyty jednowar- stwowej i wynosi u₃ 20,5658 10 ⁵, u₃^1,2 19,9086 10 ⁵, u₃ 19,2267 10 ⁵.

(12)

0.5 1 1.5 2

x2x1=a

€€€€2

-0.0002 -0.00015 -0.0001 -0.00005 u3

u3+ u31,2 u₃^- Legenda

Rys. 5. Wykresy przemieszczeĔ u3 páyty

Fig. 5. Graphs of the displacements u3 of the plate

Wykresy naprĊĪenia Vkk, V12, VD3 dla tego przypadku przedstawiono na rysunku 6.

Wykresy naprĊĪeĔ Vk3, k = 1, 2, 3 nie zmieniáy swego charakteru, natomiast wykresy VDE, D = E = 1, 2 nie są juĪ liniowe po gruboĞci páyty oraz doznają skoku na powierzchniach podziaáu páyty na warstwy.

0 y

-755.79 -252.068

269.054

s12

0.05

-0.05

0 y

0 -47.875

0

s13, s23

0.05

-0.05

a b

Rys. 4. Rozkáad naprĊĪeĔ: a – V12 = s12, b – V13 = s13, V23 = s23

Fig. 4. Distribution of stresses: a – V12 = s12, b – V13 = s13, V23 = s23