O MODELOWANIU SPRĉĩYSTYCH PàYT NIEJEDNORODNYCH PERIODYCZNIE

Acta Sci. Pol. Architectura 15 (1) 2016, 3–14

O MODELOWANIU SPRĉĩYSTYCH PàYT NIEJEDNORODNYCH PERIODYCZNIE

Katarzyna Jeleniewicz, Wiesáaw Nagórko

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego – SGGW

Streszczenie. RozwaĪane w pracy konstrukcje budowlane są páytami, czyli trójwymiaro- wymi obiektami materialnymi, opisywanymi modelami dwuwymiarowymi, o pewnych charakterystycznych cechach. W przypadku páyt niejednorodnych periodycznie opis taki jest znacznie bardziej skomplikowany przez nieciągáe i silnie oscylujące wspóáczynniki wystĊpujące w równaniach modelowych. Celem pracy jest przedstawienie zwiĊzáego opisu pewnej metody modelowania homogenizacyjnego, czyli metody uĞredniania tych wspóá- czynników tak, by byáy zaleĪne tylko od parametru wielkoĞci mikrostruktury (Ğrednicy komórki periodycznoĞci). W wyniku zastosowania tej metody otrzymane równania statyki i dynamiki páyt mają wspóáczynniki staáe. Jako przykáad zastosowania modelu przedsta- wiono rozwiązanie zamkniĊte dla páyty przegubowo podpartej, niejednorodnej periodycz- nie w dwu kierunkach.

Sáowa kluczowe: páyty sprĊĪyste, oĞrodki periodyczne, homogenizacja nieasymptotyczna, drgania páyt zbrojonych

WSTĉP

Páyta jest ciaáem trójwymiarowym, ale opisywanym przez przemieszczenia, odksztaá- cenia i naprĊĪenia zaleĪne tylko od dwu zmiennych okreĞlonych na pewnej powierzchni w tym ciele, tzw. powierzchni Ğrodkowej. Oznacza to, Īe páytĊ, która ma gruboĞü, spro- wadza siĊ do páaskiego obszaru i tylko na tym obszarze są okreĞlane poszukiwane prze- mieszczenia (np. ugiĊcie lub naprĊĪenia).

PáytĊ moĪna wiĊc rozumieü jako pewien páaski obszar wraz z prostopadáymi do niej wáóknami materialnymi, które wyznaczają górną i dolną powierzchniĊ graniczną. Odle- gáoĞü miĊdzy górną i dolną powierzchnią moĪe byü zmienna. JeĞli jest staáa, to moĪna ją nazwaü gruboĞcią ciaáa i oznaczyü przez h. W tym przypadku powierzchnia, bĊdąca miej- Adres do korespondencji – Corresponding author: Katarzyna Jeleniewicz, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Katedra InĪynierii Budowlanej, ul. Nowoursynowska 159, 02-787 Warszawa, e-mail: katarzyna_jeleniewicz@sggw.pl

© Copyright by Wydawnictwo SGGW, Warszawa 2016

scem geometrycznym Ğrodków wáókien, moĪe byü przyjĊta za páaszczyznĊ Ğrodkową. Je- Īeli gruboĞü h jest daleko mniejsza od pozostaáych wymiarów charakterystycznych páyty, to takie ciaáo moĪna nazwaü páytą cienką. Zwykle przyjmuje siĊ, Īe stosunek gruboĞci do wymiaru charakterystycznego nie powinien byü wiĊkszy niĪ 1 : 10.

Próby opisania trójwymiarowego stanu odksztaácenia i naprĊĪenia páyty funkcjami okreĞlonymi na powierzchni Ğrodkowej byáy podjĊte przez A. Cauchyego i S. Poissona w latach 1828–1829. Propozycje przedstawione wtedy zawieraáy báĊdy i dopiero w 1850 roku G. Kirchhoff opublikowaá pracĊ, którą uznaje siĊ za początek teorii nazywanej dziĞ teorią Kirchhoffa lub Naviera-Kirchhoffa [Kirchhoff 1850].

Podstawowymi zaáoĪeniami tej teorii są nastĊpujące hipotezy:

hipotezy kinematyczne

wáókna prostoliniowe páyty, normalne do páaszczyzny Ğrodkowej, przed odksztaá- ceniem pozostają proste i normalne do powierzchni Ğrodkowej páyty po odksztaá- ceniu,

wáókna te nie doznają wydáuĪeĔ,

páaszczyzna Ğrodkowa páyty nie ulega rozciąganiu podczas maáych ugiĊü, hipoteza statyczna

w páycie wystĊpuje páaski stan naprĊĪenia.

PrzyjĊte hipotezy okazaáy siĊ wewnĊtrznie sprzeczne, co doprowadziáo do sytuacji, w której zbudowane na ich podstawie równania i relacje modelowe nie mogą byü równo- czeĞnie speánione przez poszukiwane przemieszczenia i naprĊĪenia páyty.

W 2001 roku, w ramach serii „Mechanika techniczna”, ukazaáa siĊ w Wydawnictwie Naukowym PWN praca zbiorowa pod redakcją Cz. WoĨniaka „Mechanika sprĊĪystych páyt i powáok” [WoĨniak (red.) 2001], przedstawiająca bardzo obszerny przegląd metod modelowania oraz rozwiązywania zagadnieĔ brzegowych páyt i powáok. W monogra¿ i znajduje siĊ takĪe obszerna literatura na ten temat.

MODEL TRÓJWYMIAROWY PàYTY

Modelem albo teorią mechaniki nazywa siĊ pewien ukáad relacji okreĞlonych w klasie zbiorów bĊdących kombinacjami iloczynów kartezjaĔskich przestrzeni liczb rzeczywi- stych R, które moĪna zinterpretowaü w tych obszarach Ğwiata rzeczywistego, w których bada siĊ ruch, spoczynek lub odksztaácanie obiektów materialnych. Sam Ğwiat rzeczywi- sty utoĪsamiany jest z przestrzenią euklidesową R³ z kartezjaĔskim ukáadem wspóárzĊd- nych Ox₁x₂x₃, zwaną przestrzenią ¿ zyczną.

Rzeczywista páyta (rys. 1) bĊdzie wiĊc w modelu matematycznym obiektem abstrak- cyjnym, danym przez opis oparty na liczbach. Miejsce zajmowane przez páytĊ w prze- strzeni ¿ zycznej bĊdzie obszarem w R³, który oznaczono przez Ÿ. BĊdzie to kon¿ guracja odniesienia. PowierzchniĊ Ğrodkową páyty oznaczono przez Ȇ, a gruboĞü (dáugoĞü wáók- na materialnego) przez h. Kon¿ guracja odniesienia bĊdzie wiĊc iloczynem kartezjaĔskim powierzchni Ȇ przez odcinek dáugoĞci h: Ÿ = Ȇ × (–h/2, h/2). Punkty páyty oznaczono przez x = (x₁, x₂, x₃) Ÿ. Brzeg páyty, czyli brzeg obszaru Ÿ, oznaczono przez ˜Ÿ.

W podobny sposób wprowadza siĊ pojĊcia siá dziaáających na páytĊ, odksztaáceĔ i naprĊĪeĔ páyty.

1)

–

– –

2)

–

Niech na rozpatrywaną páytĊ na czĊĞci ˜₁Ÿ brzegu dziaáają siáy powierzchniowe:

p = [p_k(x, t)], k = 1, 2, 3, x  ˜₁Ÿ, t ¢t₀, t₁²,oraz siáy masowe: b = [b_k(x, t)], k = 1, 2, 3, w caáym Ÿ. W wyniku tych oddziaáywaĔ páyta odksztaáca siĊ, a punkty materialne prze- mieszczają. Oznaczono wektor przemieszczenia przez u = [u_k(x, t)], k = 1, 2, 3, x Ÿ, t  ¢t₀, t₁²

Związki geometryczne okreĞlające odksztaácenia ciaáa przyjĊto w postaci liniowej:

1 , , , , 1, 2, 3

kl 2 k l l k

İ u u k l (1)

gdzie uĪyto oznaczenia na pochodne _{k l}, ^k.

l

u u x w w

Związki konstytutywne (¿ zyczne), áączące odksztaácenia z naprĊĪeniami, przyjĊto w postaci:

kl klmn mn

ı B İ (2)

gdzie Bklmn = Bklmn(x) są funkcjami materiaáowymi speániającymi znane warunki.

PáytĊ opisaną relacjami (2) nazywa siĊ sprĊĪystą páytą anizotropową i niejednorodną.

W przypadku izotropowym funkcje materiaáowe Bklmn przyjmą postaü zaleĪną od dwu funkcji materiaáowych Ȝ(x), —(x), tzw. funkcji Lamégo (mogą to byü takĪe inne dwie sta- áe: moduá Younga i liczba Poissona, które áatwo przelicza siĊ z odpowiednich wzorów):

klmn kl mn km ln kn lm

B x Ȝ x į į ȝ x į į į į (3)

gdzie į_kl jest deltą Kroneckera.

Rys. 1. Páytowo-sáupowa konstrukcja budynku mieszkalnego wielorodzinnego Fig. 1. Slab-column structure of a multi-family building

W przypadku izotropii związki ¿ zyczne (2) przeksztaácają siĊ do postaci:

kl kl kl

ı x t ȝ x İ x t Ȝ x į e x t (4)

gdzie:e = İ₁₁ + İ₂₂ + İ₃₃.

Dla páyt jednorodnych w związkach (4), zamiast funkcji Ȝ(x), —(x), naleĪy przyjąü dwie staáe Lamégo: Ȝ(x) Ł Ȝ i —(x) Ł —.

Wprowadzone obciąĪenia zewnĊtrzne, przemieszczenia, odksztaácenia i naprĊĪenia wiąĪe siĊ ze sobą równaniami równowagi lub ruchu. Powiązanie to moĪe byü w postaci caákowej, jest to wtedy sformuáowanie globalne teorii páyt. Z tego sformuáowania global- nego wyprowadza siĊ związki lokalne w postaci:

a dla páyt jednorodnych i izotropowych w postaci:

, ,

k ll l lk k k

ȝu  ȝ Ȝ u  b ȡu (6)

gdzie ȡ jest gĊstoĞcią masy oraz

2 2^k .

k u

u t

w

 w

W przypadku równaĔ (5) lub (6) sformuáowano warunki brzegowe:

dla x ˜₁Ÿ ı_kln_l = p_k (7)

gdzie nl są skáadowymi wersora zewnĊtrznie normalnego do ˜1Ÿ,

dla x ˜₂Ÿ u_{k =} f_k (8)

oraz warunki początkowe:

dla t = t0

0 0

, = , ȍ

, = , ȍ

k k

k k

u t U x

u t G x







x x

x x

(9)

Dla tak opisanej páyty sprĊĪystej moĪna sformuáowaü nastĊpujący problem:

Dla danych siá masowych b, obciąĪeĔ zewnĊtrznych p, poáoĪenia U_k i prĊdkoĞci począt- kowej G_k páyty znaleĨü przemieszczenia u speániające równania (5) lub (6) oraz warunki brzegowe (7) i (8) i początkowe (9).

PowyĪsze relacje, opisujące páyty jako trójwymiarowe ciaáa sprĊĪyste, są wygodną podstawą do zbudowania modelu dwuwymiarowego páyt oraz do wery¿ kacji rozwiązaĔ uzyskanych w takim modelu.

KLASYCZNA TEORIA PàYT

Klasyczna teoria páyt Kirchhoffa oparta jest na podanych we WstĊpie zaáoĪeniach. Zaáo- Īenia te moĪna zapisaü w postaci ograniczeĔ (wiĊzów) w klasie przemieszczeĔ w postaci:

–

–

–

1 1 2 3 3 1 1 2

2 1 2 3 3 2 1 2

3 1 2 3 1 2

( , , , ) , ( , , )

( , , , ) , ( , , )

( , , , ) ( , , ) u x x x t x w x x t u x x x t x w x x t u x x x t w x x t



 (10)

gdzie funkcja w(x₁, x₂, t) jest ugiĊciem páyty.

Zakáada siĊ ponadto, Īe funkcje opisujące wáasnoĞci sprĊĪyste páyty powinny byü inne niĪ staáe sprĊĪystoĞci B_klmn. Te nowe funkcje B_ĮȕȖį, Į ȕ Ȗ į, , , 1, 2, zaleĪne juĪ od dwu zmiennych (okreĞlone na páaszczyĨnie Ğrodkowej), nazywane moduáami sztywno- Ğci, są równe:

2 33 33 2

3 3 3333

2

, , , , 1, 2

h

Įȕ Ȗį

ĮȕȖį ĮȕȖį

h

B B

B B x dx Į ȕ Ȗ į

 B

§ ·

¨  ¸

³ ¨ ¸

© ¹

(11)

gdzie: B_ĮȕȖį, , B_Įȕ33 B₃₃₃₃ są funkcjami materiaáowymi wystĊpującymi w równaniu (2).

Zestawione wyĪej zaáoĪenia są zaleĪne miĊdzy sobą, na przykáad przyjĊcie wiĊzów dla przemieszczeĔ determinuje juĪ wiĊzy dla naprĊĪeĔ. ZaáoĪenia te moĪna nawet tak dobraü, Īe bĊdą sprzeczne, na przykáad wiĊzy dla przemieszczeĔ i naprĊĪeĔ mogą byü takie, Īe zbiór naprĊĪeĔ zgodnych z wiĊzami i naprĊĪeĔ dopuszczalnych przez wiĊzy bĊdzie pusty [Nagórko 1989].

Relacją áączącą wprowadzone pojĊcia jest nastĊpujący związek globalny:

Ȇ ĮȕȖį Įȕ Ȗį Ȇ Ȇ

r V B w r rda p p rda

 

 

‰

ª º

  «³ ³  »

« »

¬ ¼ (12)

gdzie: V jest przestrzenią dopuszczalnych ugiĊü r: ȆoR, zgodnych z wiĊzami (10), p₊, p_– są obciąĪeniami powierzchni górnej i dolnej páyty.

Po zastosowaniu do związku (12) formalizmu wariacyjnego otrzymano równanie na ugiĊcie páyty cienkiej:

(B_ĮȕȖįw, ),_{Įȕ Ȗį}ȡhw p (13)

gdzie: p = p₊ + p_–.

Rozwiązanie równania (13), speániające odpowiednie warunki brzegowo-początko- we, jest rozwiązaniem Ğcisáym w ramach modelu klasycznego páyt. To Ğcisáe rozwiązanie (ugiĊcie páyty) bĊdzie rozwiązaniem przybliĪonym w modelu trójwymiarowym opisa- nym wczeĞniej, o ile zostanie zinterpretowane jako trójwymiarowe przemieszczenie páy- ty, z wykorzystaniem wiĊzów (10).

Równanie (13) znacznie siĊ upraszcza, gdy páyta jest jednorodna i izotropowa, i ma znaną postaü:

1111 1122 2222

, 2 , ,

Dw  Dw Dw ȡhw p (14)

gdzie:

3

12(1 2) D Eh

Ȟ jest sztywnoĞcią páyty, Ȟ – wspóáczynnikiem Poissona, E – modu- áem Younga, a h – gruboĞcią páyty.

W przypadku gdy páyta jest niejednorodna periodycznie model opisany równaniem (13) moĪna uproĞciü do postaci, w której wspóáczynniki równania nie bĊdą funkcjami BĮȕȖį, lecz staáymi. Metody prowadzące do takiego modelu to metody uĞredniania lub homo- genizacji.

W pracy zastosowano jedną z takich metod, tzn. metodĊ uĞredniania tolerancyjnego wprowadzoną do mechaniki przez Cz. WoĨniaka [WoĨniak 1983].

MODEL PàYT NIEJEDNORODNYCH PERIODYCZNIE

ZaáoĪono, Īe páyta jest niejednorodna periodycznie oraz Īe elementem powtarzają- cym siĊ – komórką periodycznoĞci – jest odcinek dáugoĞci l₁, ǻ { (0, l₁) – periodycznoĞü w jednym kierunku, lub prostokąt o wymiarach l₁, l₂, ǻ = (0, l₁) × (0, l₂) – periodycznoĞü w dwu kierunkach. W takich przypadkach powierzchnia Ğrodkowa páyty Ȇ bĊdzie po- dzielona – w pierwszym przypadku na warstwy ǻ × (0, L₂), a w drugim na prostokąty.

O kaĪdej warstwie i kaĪdym prostokącie zaáoĪono, Īe są identyczne materiaáowo, tzn. gdyby dokonaü translacji warstwy na warstwĊ lub prostokąta na prostokąt, to otrzymano by identyczny oĞrodek niejednorodny (opisany tymi samymi funkcjami materiaáowymi).

Kolejnym zaáoĪeniem jest to, Īe warstwy i prostokąty w páycie są konglomera- tem róĪnych skáadników jednorodnych. Ukáad tych skáadników opisano nastĊpują- co: w przypadku warstw odcinek ǻ = (0, l₁) podzielony jest na czĊĞci ǻ^a{ǻ( )x₁^a

1 1

1 1

( , )

2 2

a l a l

x  x  , gdzie 1 ¹, 1, 2, ..., 0

2

a l

x a a a . Warstwa ǻ × (0, L₂) skáada siĊ wiĊc z lamin ǻ^a × (0, L2), a = 1, 2, ..., a0, których jest w warstwie a0.

Analogicznie prostokąt podzielony jest na czĊĞci ǻ^ab{ǻ( ,x x₁^a ₂^b), gdzie x₁^a okreĞlone jest jak poprzednio, a ₂ ², 1, 2, ..., ₀

2

b l

x b b b . àatwo zauwaĪyü, Īe punkty x₁^a są punkta- mi Ğrodkowymi czĊĞci ǻ^a, a ( ,x x₁^a ₂^b) – punktami Ğrodkowymi czĊĞci ǻ^ab (czyli punktami przeciĊcia prostych dzielących krawĊdzie prostokąta na poáowĊ).

O czĊĞciach ǻ^a komórki periodycznoĞci zaáoĪono, Īe są jednorodne, co oznacza, Īe:

ǻ_a const; ǻ^a const

a a

ĮȕȖį ĮȕȖį

B B ȡ (15)

i analogicznie dla ǻ^ab:

ǻ_ab const; ǻ^ab const

ab ab

ĮȕȖį ĮȕȖį

B B ȡ (16)

Równanie ruchu páyt (13) jest takĪe równaniem ruchu dla opisanych tutaj páyt nie- jednorodnych periodycznie. JednakĪe zgodnie z zaleĪnoĞciami (15) i (16) wystĊpujące

w nim wspóáczynniki są nieciągáe i szybko zmieniające wartoĞci na maáych przedziaáach okreĞlonoĞci, gdy komórek periodycznoĞci jest duĪo.

Skonstruowano model, w którym wspóáczynniki (15) i (16) bĊdą uĞrednione. UĞred- nienie to bĊdzie zachowywaü wpáyw struktury niejednorodnoĞci na rozwiązanie oraz roz- wiązania bĊdą zaleĪeü od wymiaru komórki podstawowej.

Istotnym elementem modelowania tolerancyjnego jest rozkáad poszukiwanych wiel- koĞci (tutaj ugiĊcia páyty) na dwa skáadniki:

1 2 1 2 1 2 1 2

( , , ) ( , , ) ^A( , ) ^A( , , )

w x x t u x x t h x x v x x t (17)

gdzie: ( ,x x_{1 2}) Ȇ,  t t t_{0 1}, , = 1, 2, 3, ..., .A N

W rozkáadzie tym funkcje u i v^A są funkcjami poszukiwanymi (jest ich teraz 1 + N) i interpretuje siĊ je odpowiednio jako ugiĊcie uĞrednione oraz À uktuacje opisujące wpáyw niejednorodnoĞci páyty na ugiĊcie. Funkcje h^A są znanymi, periodycznymi i oscylującymi funkcjami ksztaátu. O funkcjach tych zaáoĪono, Īe są znane, bezwymiarowe i przyjmują wartoĞü rzĊdu wymiaru komórki.

O funkcjach u i v^A zaáoĪono ponadto, Īe są wolnozmienne, tzn. odpowiednio regular- ne, i ich zmiennoĞü jest taka, Īe w obrĊbie komórki periodycznoĞci funkcje i ich pochod- ne do odpowiedniego rzĊdu moĪna uznaü za staáe, z pewną tolerancją.

Tolerancyjne uĞrednianie funkcji okreĞlonych dla Ȇ zde¿ niowano nastĊpująco:

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2

2 2

( , ) 1 ( ( , ) )

l l

x x

l l

x x

f x x f y y dy dy

l l

 

 

³ ³ (18)

Dla rozpatrywanych páyt przyjĊto funkcjonaá w postaci:

2 ( )2 1 , ,

2 2 ^{ĮȕȖį Įȕ Ȗį}

P IJ ȡ w  B w w pw (19)

gdzie IJ jest parametrem.

Podstawiając do funkcjonaáu (19) dekompozycjĊ dla ugiĊcia páyt (17) oraz uĞrednia- jąc go zgodnie z równaniem (18), otrzymano równania modelowe jako równania Eulera- -Lagrange’a tego uĞrednionego funkcjonaáu:

, ,

, 0

A A

ĮȕȖį ĮȕȖį Įȕ Įȕ

A AB B

Įȕ Įȕ

ȡ u B u E v p

E u E v

 





(20)

gdzie ¢ȡ² i ¢B_ĮȕȖį² są uĞrednioną gĊstoĞcią masy i uĞrednionymi funkcjami materiaáowymi:

ab ab

ab ab

ĮȕȖį ĮȕȖį

ȡ Ș ȡ

B Ș B (21)

oraz Ș^ab = Ș_1aȘ_2b; ₁ ¹ ₂ ²

1 2

a; b

a l b l

Ș Ș

l l .

Pozostaáe wspóáczynniki są równe:

,

, ,

A A abA ab

Įȕ ĮȕȖį Ȗį Ȗį ĮȕȖį

AB A B abAB ab

ĮȕȖį Įȕ Ȗį ĮȕȖį ĮȕȖį

E B h Ș B

E B h h Ș B

{

{ (22)

gdzie:

ǻ ǻ

1 2 1 2

1 1

ǻ; , , ǻ

ab ab

abAB A B abAB A B

ĮȕȖį Įȕ Ȗį

Ș h h d Ș h h d

l l ³³ l l ³³ .

W przypadku gdy macierz E^AB bĊdzie macierzą nieosobliwą, wtedy z równania (20)2

moĪna wyznaczyü À uktuacje v^A:

( ) 1 ,

A AB B

Įȕ Įȕ

v  E ^ E u (23)

gdzie: (E^AB)^–1 jest macierzą odwrotną do E^AB, A, B = 1, 2, ..., N, Į, ȕ = 1, 2.

Podstawiając À uktuacje (23) do równania (20)₁ otrzymano:

0 ,

ĮȕȖį ĮȕȖį

ȡ u E u p (24)

gdzie:

0 ^A( ^AB) 1 ^B

ĮȕȖį ĮȕȖį Įȕ Ȗį

E B E E ^ E (25)

WielkoĞci zde¿ niowane równaniem (25) są efektywnymi moduáami sztywnoĞci otrzy- manymi w wyniku uĞredniania tolerancyjnego.

Równanie (24) ma postaü analogiczną do znanego równania na ugiĊcie páyty, z tym Īe wystĊpują w nim nie moduáy sztywnoĞci BĮȕȖį (które są funkcjami), lecz efektywne moduáy sztywnoĞci, które są staáe. Moduáy te nie są postulowane, lecz wyliczone, o ile znane są funkcje ksztaátu.

Równanie (22) opisuje dynamikĊ páyt niejednorodnych periodycznie.

Zagadnienia dynamiczne páyt niejednorodnych byáy analizowane w wielu pracach. TĊ samą technikĊ homogenizacyjną zastosowano na przykáad w pracach: Michalak [2000, 2004] oraz JĊdrysiak [2001, 2006].

PRZYKàAD DRGAē PàYTY PERIODYCZNIE NIEJEDNORODNEJ W DWÓCH KIERUNKACH

Jako przykáad rozpatrzono páytĊ periodyczną w dwóch kierunkach, przegubowo pod- partą na wszystkich krawĊdziach. Zbadano drgania wáasne takiej páyty.

Warunki brzegowe przyjĊto w postaci:

2

1 1 1

12

0 oraz u 0 przy 0 i

u x x L

x w w

2

2 2 2

22

0 oraz u 0 przy 0 i

u x x L

x w w

natomiast warunki początkowe bĊdą analogiczne jak w pracy Kaliskiego [1966]:

1 2 0 1 2 0 1 2

1 2

1 2 0 0 1 2

2ʌ 2ʌ

( , , 0) ( , ) (1 cos )(1 cos )

( , , )_t ( , ) 0

u x x u x x c x x

L L

u x x t v x x

 



gdzie: przez c₀ oznaczono początkową, dostatecznie maáą wartoĞü ugiĊcia w Ğrodku páyty, natomiast przez v₀ – prĊdkoĞü przemieszczania siĊ powierzchni Ğrodkowej páyty w chwili t = 0.

Do rozwiązania równania ruchu (24) analizowanej páyty zastosowano metodĊ Navie- ra. Po wyznaczeniu uĞrednionego ugiĊcia ze wzoru (23) wyznaczono À uktuacje i podsta- wiono je do wzoru (17), otrzymując:

1 2 0 1 2 1 1 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

w x x t w x x t w x x t

gdzie: w₀ jest rozwiązaniem podanym przez Kaliskiego [1966] dla páyt jednorodnych, natomiast w₁ jest rozwiązaniem otrzymanym przez Jeleniewicz [2014], które opisuje wpáyw niejednorodnoĞci periodycznej.

Funkcje h1(x1) ksztaátu przyjĊto w tym przykáadzie w postaci:

2 1 1 1 1 1

1 1

2 1 1 1 1 1 1 1

2 , 0, ( ) 2

2 , ,

2

c x x l x l

h x l

c x l x l x l

­ § ·

 

° ¨ ¸

° © ¹

®°°¯   ¨§© ·¸¹

FunkcjĊ h2 = h2(x2) zde¿ niowano analogicznie do h1 = h1(x1), zastĊpując x1 przez x2, l1 przez l2 raz c2 przez c2. Staáe c2 i c2 są rzĊdu l². Funkcje h^A, A = 1, 2, są bezwymiarowe, periodyczne i oscylujące.

W celu gra¿ cznego przedstawienia otrzymanych rozwiązaĔ analitycznych przyjĊto nastĊpujące parametry páyty: wymiary boków L1 = L2 = 4 m, gruboĞü h = 0,15 m oraz wymiary komórki periodycznoĞci l1 = l2 = 0,3 m, staáe materiaáowe: E1 = 27 · 10⁹ Pa, v₁ = 0,2, _{ȡ1 2200 kg m˜} ^3, E₂ = 190 · 10⁹ Pa, v₂ = 0,29, ȡ₂ 7900 kg m˜ ^3.

Rysunek 2 przedstawia drgania punktu Ğrodkowego páyty o wspóárzĊdnych (x₁, x₂) =

= (2, 2) w przedziale czasu od 1 do 2 sekund.

Rysunek 3 pokazuje ugiĊcia páyty dla czĊstoĞci koáowych: Ȧ₁₁ (rys. 3a), Ȧ₃₁ (rys. 3b), Ȧ₃₃ (rys. 3c), Ȧ₁₅ (rys. 3d), Ȧ₅₅ (rys. 3e).

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 t s

0.015 0.010 0.005 0.005 0.010 0.015w m

Rys. 2. Drgania punktu Ğrodkowego páyty Fig. 2. Vibration of central point of a plate

a

b

c

d

W powyĪszych rysunkach zmienne nasycenie kolorem związane jest z wielkoĞcią ugiĊcia (im jaĞniejszy kolor, tym wyĪej poáoĪony punkt).

PODSUMOWANIE

Praca poĞwiĊcona jest sprĊĪystym páytom niejednorodnym, które opisano najpierw jako ciaáa trójwymiarowe, a nastĊpnie w uproszczonej postaci páaskiego kontinuum materialnego. W przypadku periodycznej niejednorodnoĞci przedstawiono nowy model dwuwymiarowy, w którym páyty opisywane są nie tylko ugiĊciem, ale takĪe pewnymi nowymi niewiadomymi – À uktuacjami, które pozwalają, mimo uĞrednienia wáasnoĞci

¿ zycznych, zachowaü wpáyw niejednorodnoĞci na ugiĊcie.

Wykazano, Īe w modelu zhomogenizowanym ukáad równaĔ na ugiĊcie i À uktuacje moĪna zredukowaü do jednego równania, analogicznego do klasycznego równania na ugiĊcie, w którym wystĊpują nowe staáe materiaáowe. Staáe te moĪna w modelu wyzna- czyü z odpowiednich procedur. Przedstawiony model pozwala badaü nie tylko drgania wáasne, ale takĪe drgania wymuszone i fale.

PIĝMIENNICTWO

Jeleniewicz, K. (2014). Drgania konstrukcji sprĊĪystych wzmocnionych prĊtami. Praca doktorska.

SGGW, Warszawa.

JĊdrysiak, J. (2001). Dispersion models of thin periodic plates. Theory and applications. Sci. Bul.

àódĨ Tech. Univ., 872, Series: Sci. Trans, 289, àódĨ.

JĊdrysiak, J. (2006). Vibrations of thin periodic plates under moving loads. In: Selected Topics in the Mechanics of Inhomogeneous Media. Ed. Cz. WoĨniak, R. ĝwitka, M. Kuczma, Zielona Góra, 113–131.

Kaliski, S. (1966). Drgania i fale w ciaáach staáych. PWN, Warszawa.

Kirchhoff, G. (1850). Uber das Gleichgewicht und die Bewegund einer elastischen Scheibe. J.

Reine u. Angew. Math. (Crelle Journal), 40, 1, 55–88.

Michalak, B. (2000). Vibration of plates with initial geometrical periodical imperfections interacted with a periodic elastic foundation. Arch. Appl. Mech., 70, 508–518.

Michalak, B. (2004). Stability of composite plates with non-uniform distribution of constituents. J.

Theor. Appl. Mech., 42, 281–297.

Nagórko, W. (1989). Modele powierzchniowe i mikrolokalne páyt sprĊĪystych. UW, Warszawa.

Rys. 3. UgiĊcie páyty dla róĪnych czĊstoĞci koáowych w chwili t = 1 Fig. 3. The plate deÀ ection for different angular frequencies at time t = 1

e

WoĨniak, Cz., (1983). Tolerance and fuzziness in problems of mechanics. Archive of Applied Me- chanics, 35, 567–578.

WoĨniak, Cz., red. (2001). Mechanika techniczna. Mechanika sprĊĪystych páyt i powáok. Wydaw- nictwo Naukowe PWN, Warszawa.

WoĨniak, Cz., red. (2010). Mathematical modelling and analysis in continuum mechanics of micro- structured media. Wydawnictwo Politechniki ĝląskiej, Gliwice.

MODELLING OF PERIODICALLY HETEROGENEOUS ELASTIC PLATES

Abstract. The building structures considered in the paper are plates. Plates are three-di- mensional material objects, which are described by two-dimensional models. Plates have some speci¿ c qualities. Two-dimensional models, where displacements, deformations and stresses are described by two-variable functions. These functions are determined in a plate’s mid-surface. In case of periodically heterogeneous plates the two-dimensional description is much more dif¿ cult due to the fact of a non-linear and oscillating coef¿ cients present in the model equations. The aim of the paper is to provide a brief description of a homogenous modeling method, i.e. the method of averaging those coef¿ cients to make them dependent the diameter of a basic cell only. By the use of that method static and dynamic equations result in constant coef¿ cients. As an example, using this described model, we submitted the precise result for a simply supported plate which is periodically heterogeneous in two dimensions.

Key words: elastic plate, periodic media, non-asymptotic homogenization, vibrations of reinforced plate

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 21.03.2016

Cytowanie: Jeleniewicz, K., Nagórko, W. (2016). O modelowaniu sprĊĪystych páyt niejednorod- nych periodycznie. Acta Sci. Pol. Architectura, 15 (1), 3–14.