Zadania z tematu „Ciągłość funkcji”

Zadania z tematu „Ciągłość funkcji”

Zbadać ciągłość funkcji

:

f ( x )= { ^{−2 x x}

²

⁻

²

^{− x−2 x +1} dla x≠−1 i x≠ 1 2 1 dla x=−1 lub x=2

Rozwiązanie:

1. Badamy ciągłość w punkcie x=1

.

lim

x →−1

−2 x

²

− x +1

x

²

− x−2 = [ ^{0 0} ] ⁼

x →−1

^lim

−2 ( x +1 ) ( x−0,5 )

( x+1 ) ( x−2 ) ⁼

x →−1

^lim

−2 x+ 1

x−2 =− 3

3 =−1

Wartość funkcji dla x=1 odczytujemy bezpośrednio

z jej przepisu, nie da się jej obliczyć z wzoru,

który w tym przypadku traci sens f (−1 )=1≠ lim

x →−1f (x )

Zatem funkcja

nie jest

ciągła w punkcie x=1

2. Badamy ciągłość w punkcie x=2

lim

x →2

−2 x

²

− x+1

x

²

− x −2 = [ ^{−9 0} ]

W tej sytuacji musimy znać znak mianownika, aby określić granicę. W mianowniku jest funkcja kwadratowa, która dla x=2 przybiera wartość zero..

lim

x → 2⁺

−2 x

²

− x +1

x

²

− x +2 = [ ^{−9 0}

⁺

] ^=−∞

lim

x → 2⁻

−2 x

²

− x +1

x

²

− x +2 = [ ^{−9 0}

⁻

] ^{=+ ∞}

Wykres funkcji z mianownika zamieszczono obok, to jest łatwy sposób na określenie znaku mianownika.

Zatem granica badanej funkcji w punkcie x=2 nie istnieje, więc funkcja nie może być w tym punkcie ciągła

.

Zerowanie licznika i mianownika przy podstawieniu x=1 oznacza, że licznik i mianownik można rozłożyć na czynniki i jeden z tych czynników będzie się powtarzał

-1 2

3.Poza punktami x=-1 i x=2 funkcja ta stanowi przykład funkcji wymiernej,

zaś zbiór

(−∞ ;−1)∪(−1;2 )∪(2;+∞ )

jest jej naturalną dziedziną, toteż funkcja jest ciągła w tym zbiorze.

Wzorując się na rozwiązanym powyżej przykładzie wykonaj poniższe polecenia:

1. Zbadaj ciągłość funkcji

:

f ( x )= { ^x

²

^{−8 x+15 x−5 2 dla x=5 dla x ≠5}

2. Zbadaj ciągłość funkcji

:

f ( x )= { ^{3 x x}

²²

^{−5 x +4 −2 x−1} dla x≠4 i x≠1

−4

3 dla x =4 lub x=1

3. Zbadaj ciągłość funkcji

:

f ( x )= { ^x

²

^{−5 x+6 x}

³

⁻⁸ dla x≠2 i x≠3 12 dla x=2 lub x=3

Wskazówka:

Przy obliczaniu granicy funkcji przy x zmierzającym do 2 napotykamy na symbol nieoznaczony [0/0]. Podobnie jak to miało miejsce w wyżej omówionym przykładzie należy rozłożyć licznik i mianownik na czynniki, z tym, nie skorzystamy tu już z „Państwa ulubionej delty”, bo nie można jej liczyć dla wielomianu 3. stopnia. Trzeba sobie z rozkładem poradzić inaczej, dysponujecie dwoma narzędziami do rozwikłania tego problemu.

4. Zbadaj ciągłość funkcji

:

f ( x )= { ^x

³

^{−3 x x}

²

^{−4 x+3}

²

^{+ 3 x−1} dla x≠1 i x≠3 0 dla x=1 lub x=3

Zbadaj ciągłość funkcji opisanej wzorem i naszkicuj jej wykres

g( x )= { |2−x| dla x ∈⟨ 0 ; 4 )

− x

²

+ 8 x−14 dla x∈⟨ 4 ;+∞ ) 1

x dla x ∈(−∞ ; 0)

Rozwiązanie :

Funkcje tworzące sklejenie są funkcjami elementarnymi, więc są ciągłe wewnątrz przedziałów

(−∞ ;0), (0;4) oraz (4;+∞)

. Należy zbadać ciągłość w punktach sklejenia czyli dla x=4 oraz x=0.

1. Badam ciągłość dla x=0. Z lewej strony punktu x=0 funkcja jest określona wzorem:

1 x

_z

prawej

| 2−x|

więc zasadne jest obliczanie granic jednostronnych. I tak:

lim

x → 0⁻

1

x = [ ^{0 1}

⁻

] ^=−∞

nie ma więc szans na pełną ciągłość dla x=0.

lim

x → 0⁺

| 2−x|=|2−0|=2= g( 0 )

więc funkcja jest prawostronnie ciągładla x=0.

2. Badam ciągłość dla x=4

lim

x → 4⁻

|2−x|=|2−4|=2=g( 4 ) lim

x → 4⁺

(− x

²

+ 8 x−14 )=−16+32−14=2=g( 4 )

Zatem granice jednostronne i wartość funkcji są równe, co świadczy o ciągłości funkcji w punkcie x-4

6)Zbadaj ciągłość funkcji opisanej poniższym wzorem i naszkicuj jej wykres.

g( x )= { ^x

²

dla x∈(−∞ ; 0 ) x +1 dla x∈⟨1 ;+∞ ) 2

^x

dla x ∈⟨0 ; 1 )

7)Zbadaj ciągłość funkcji g i naszkicuj jej wykres.

g( x )= { 2 x+ 4 dla x ∈(−∞ ;−2 )

− x

²

+ 4 dla x ∈⟨−2; 2 ⟩ 2

^x−1

dla x∈( 2 ;+∞ )

2 4

8)Zbadaj ciągłość funkcji g i naszkicuj jej wykres.

g( x )= { ^| 6−x |dla x ∈⟨ 0 ; 6 )

−6

x−1 dla x ∈(−∞ ; 0)∪⟨ 6 ;+∞ )

opracowanie autorskie dr E. Badach