Zadania z funkcji zespolonych

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska

Zadania z funkcji zespolonych

Janina Kotus

Spis tre´sci

1. Liczby zespolone - dzia lania i w lasno´sci Zad. 1–10

2. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomorficzno´s´c Zad. 11-19

3. Funkcje elementarne Zad. 20-32

4. Odwzorowania konforemne Zad. 33-49

5. Ca lki zespolone, twierdzenia ca lkowe Cauchy’ego Zad. 50-58

6. Szeregi Taylora Zad. 59-72

7. Szeregi Laurenta, klasyfikacja punkt´ow osobliwych Zad. 73-78

8. Ca lki rzeczywiste Zad. 79-99

9. Twierdzenie Rouch´e, zasada maksimum Zad. 100-110

1 Liczby zespolone - dzia lania i w lasno´sci

1. Wykona´c nastepuj_, ace dzia lania na liczbach zespolonych:_, (a) (1 + i)(2 + i) + (1 − i)(2 − i),

(b) (1 + 2i)(3 − i)(5 − 5i), (c) ¹⁺²ⁱ_3+i,

(d) ⁽¹⁺ⁱ⁾_(1−i)⁷4⁻¹−1.

Odpowiedzi: a) 2, b) 50, c) ¹₂ + ¹₂i, d) ⁷₅ −⁸₅i.

2. Udowodni´c r´owno´s´c |z + iw|²+ |w + iz|² = 2(|z|²+ |w|²) dla z, w ∈ C. Wywnioskowa´c stad, ˙ze |z + iw|_, ² ≤ 2(|z|²+ |w|²) dla z, w ∈ C.

3. Zapisa´c w postaci trygonometrycznej nastepuj_, ace liczby zespolone:_, (a) 2 + 2√

3i, (b) √

3 + i, (c) ¹⁻ⁱ

1+√ 3i, (d) −2 + 2√

3i, (e) −√

3 − i.

Odpowiedzi:

a) 4(cos(^π₃) + i sin(^π₃)), b) 2(cos(^π₆) + i sin(^π₆)),

c)

√ 2

2 (cos(^17π₁₂ ) + i sin(^17π₁₂)), d) 4(cos(^2π₃ ) + i sin(^2π₃ )),

e) 2(cos(^5π₆ ) + i sin(5^π₆)).

4. Korzystajac ze wzor´_, ow Moivre’a obliczy´c:

(a) (−1 +√ 3i)³⁰, (b) (1 + i)²⁰⁰⁵,

(c) 

−

√3

2 + ¹₂i2004

, (d) ⁽⁻²⁺²

√ 3i)¹⁶ (1+√

3i)⁷ , (e) ^(1+i)80

(√

3+i)¹⁸ + ^(1−i)80

(√ 3−i)¹⁸, (f) √⁴

−16, (g) √³

−i, (h) √⁶

1.

Odpowiedzi:

a) 2³,

b) 2¹⁰⁰²(−1 + i), c) 1,

d) 2²⁵(−1 + i√ 3), e) −2,

f) z₀ =√

2 + i√

2, z₁ = −√

2 + i√

2, z₂ = −√

2 − i√

2, z₃ =√

2 − i√ 2, g) z₀ = i, z₁ = −

√3

2 − i¹₂, z₂ =

√3 2 − i¹₂, h) z₀ = 1, z₁ = ¹₂+i

√ 3

2 , z₂ = −¹₂+i

√ 3

2 , z₃ = −1, z₄ = −¹₂−i

√ 3

2 , z₅ = ¹₂−i

√ 3 2 .

5. Obliczy´c:

(a) √

−8 − 6i, (b) √

3 − 4i, (c) √

−11 + 60i.

Odpowiedzi:

a) a1+ ib1 = −1 + i3, a2+ ib2 = 1 − i3, b) a₁+ ib₁ = −2 + i, a₂+ ib₂ = 2 − i,

c) a₁+ ib₁ = 5 + i6, a₂+ ib₂ = −5 − i6.

6. Rozwiaza´_, c w dziedzinie zespolonej r´ownania:

(a) z³ = 8i, (b) z⁴ = 16,

(c) z⁶+ 64 = 0, (d) (1 − i)⁴z⁴ = −1,

(e) |z| − z = 1 + 2i,

(f) (¯zz)²− z²+ ¯z²− 1 = 0, (g) z ¯z + (z − ¯z) = 3 + 2i, (h) z⁷− z⁴i + z³− i = 0,

(i) z⁶− z⁴+ 4z²− 4 = 0.

Odpowiedzi:

a) z0 =√

3 + i, z1 = −√

3 + i, z2 = −2, b) z₀ = 2, z₁ = 2i, z₂ = −2, z₄ = −2i,

c) z0 =√

3 + i, z1 = 2i, z2 = −√

3 + i, z3 = −√

3 − i, z4 = −2i, z5 =√ 3 − i, d) z₀ =

√2

2 , z₁ =

√2

2 i, z₂ = −

√2

2 , z₃ = −

√2 2 i, e) z = ³₂ − 2i,

f) z₀ = i, z₁ = −1, z₂ = 1, z₃ = −1, g) z₁ =√

2 + i, z₂ = −√ 2 + i, h) z0 = −

√ 3

2 + ¹₂i, z1 = −

√ 3

2 +¹₂i, z2 = i, z3 = −

√ 2 2 +

√ 2

2 i, z4 = −

√ 2 2 +

√ 2 2 i, z₅ = −

√2 2 −

√2

2 i, z₆ =

√2 2 −

√2 2 i

i) z₁ = 1, z₂ = −1, z₃ = 1 + i, z₄ = −1 + i, z₅ = −1 − i, z₆ = 1 − i.

7. Niech z₀bedzie pierwiastkiem wielomianu o wsp´_, o lczynnikach rzeczywistych. Udowodni´c,

˙ze ¯z₀ jest tak˙ze pierwiastkiem wielomianu W (z).

8. Znale´z´c pozosta le pierwiastki wielomianu w(z) = z⁴ − 4z³ + 4z² + 4z − 5 wiedzac, ˙ze_, z₀ = 2 − i jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Odpowied´z: z₁ = 2 + i, z₂ = i, z₃ = −1.

9. Znale´z´c pozosta le pierwiastki wielomianu w(z) = z⁴ − 4z³ + 6z² − 4z + 5 wiedzac, ˙ze_, z₀ = 2 + i jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Odpowied´z: z₁ = 2 − i, z₂ = i, z₃ = −1.

10. Zaznaczy´c na p laszczy´znie zespolonej zbiory:

(a) {(x, y) ∈ C : 1 < |z| < 4}, (b) {(x, y) ∈ C : Rez + 1 ≥ Imy},

(c) {(x, y) ∈ C : |z − 1 − 2i| =√ 5}, (d) {(x, y) ∈ C : |z − 2i| ≥ 1},

(e) {(x, y) ∈ C : |z − 2| < 9 ∧ |z + 2| < 9}, (f) {(x, y) ∈ C : |z − 1| < |z + 2|}.

Odpowiedzi:

a) pier´scie´n {(x, y) ∈ R² : 1 < x²+ y² < 4},

b) p´o lp laszczyzna z brzegiem {(x, y) ∈ R² : x + 1 ≥ y}, c) okrag {(x, y) ∈ R_, ² : (x − 1)²+ (y − 2)² = 5},

d) zewnetrze ko la wraz z okr_, egiem {(x, y) ∈ R_, ² : x²+ (y − 2)² ≥ 1},

e) cze´s´_, c wsp´olna dw´och k´o l {(x, y) ∈ R² : (x − 2)²+ y² < 9 ∧ (x + 2)²+ y² < 9}, f) p´olp laszczyzna z brzegiem {(x, y) ∈ R² : x ≥ 0}.

2 Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomor- ficzno´s´c

11. Znale´z´c cze´s´_, c rzeczywista i urojon_, a funkcji:_, (a) f (z) = z³+ i¯z²,

(b) f (z) = ^z+1_z−1. Odpowiedzi:

a) u(x, y) = x³− 3xy²+ 2xy, v(x, y) = 3x² − 2y² + x², b) u(x, y) = _(x−1)^x2+y2²+y⁺¹², v(x, y) = −_(x−1)^x+y2+y².

12. Dana jest cze´s´_, c rzeczywista u(x, y) i cze´s´_, c urojona v(x, y) funkcji zespolonej f . Przed- stawi´c te funkcj_, e jako funkcj_, e zmiennej zespolonej z:_,

(a) u(x, y) = x⁴− 6x²y²+ y⁴− x, v(x, y) = 4x³y − 4xy³− y, (b) u(x, y) = x²− y²+ x, v(x, y) = 2xy + y,

(c) u(x, y) = _x2+y^{x 2} + x, v(x, y) = _x2^−y+y² − y.

Odpowiedzi:

a) f (z) = z⁴− z, b) f (z) = z²+ z, c) f (z) = ¹_z + ¯z.

13. Sprawdzi´c w jakich punktach z ∈ C nastepuj_, ace funkcje spe lniaj_, a warunki Cauchy’ego-_, Riemanna:

(a) f (z) = z², (b) zImz,

(c) f (z) = |z|²+ 2z, (d) f (z) = |z|.

Odpowiedzi:

a) f spe lnia warunki Cauchy’ego-Riemanna dla dowolnego z ∈ C,

b) f spe lnia warunki Cauchy’ego-Riemanna tylko dla z = 0, c) f spe lnia warunki Cauchy’ego-Riemanna tylko dla z = 0,

d) f nie spe lnia warunk´ow Cauchy’ego-Riemanna w ˙zadnym z ∈ C.

14. Zbada´c istnienie pochodnej funkcji f oraz znale´z´c jej pochodna w punktach w kt´_, orych istnieje:

(a) f (z) = zRez, (b) f (z) = z ¯z.

Odpowiedzi: wsp´olna dla (a) i (b) f ma pochodna tylko dla z = 0 i f_, ⁰(0) = 0.

15. Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji:

(a) f (z) = |z|²+ 2z, (b) f (z) = ¯z²,

(c) f (z) = (z²+ 1)|z|, (d) f (z) = |z| + 2z,

(e) f (z) = |z|²(z + 1).

Odpowiedzi: Wsp´olna dla (a)-(e) f nie jest holomorficzna w dowolnym punkcie z ∈ C.

16. Dla funkcji wymienionych w zadaniu 16 (a) policzy´c pochodne ^∂f_∂x oraz ^∂f_∂y,

(b) korzystajac z definicji policzy´_, c pochodna formaln_, a_, ^∂f_{∂ ¯z}, (c) w jakich punktach p laszczyzny istnieje f⁰(z),

(d) korzystajac z definicji policzy´_, c pochodna formaln_, a_, ^∂f_∂z, (e) zbada´c holomorficzo´s´c f .

Odpowiedzi:

a) Dla f (z) = |z|²+2z, ^∂f_∂x(x, y) = 2x+2, ^∂f_∂y(x, y) = 2y +i2, ^∂f_{∂ ¯z}(x, y) = x+iy, f⁰(z) istnieje tylko dla z₀ = 0 i f⁰(0) = 2.

b) Dla f (z) = ¯z², ^∂f_∂x(x, y) = 2x − 2yi, ^∂f_∂y(x, y) = −2y − 2xi,

∂f

∂ ¯z(x, y) = 2x − 2yi, f⁰(z) istnieje tylko dla z₀ = 0 i f⁰(0) = 0.

c) Dla f (z) = (z² + 1)|z| pochodne ^∂f_∂x(0, 0) i ^∂f_∂y(0, 0) nale˙zy policzy´c z definicji (nie istnieje ^∂f_∂x(0, 0) i ^∂f_∂x(0, 0)), dla pozosta lych punkt´ow:

∂f

∂x(x, y) = ^{2x(x2+y2)+x3)+i(−2y(x}√ ^{2+y2)−2x2y)}

x²+y² ,

∂f

∂y(x, y) = ^2y(x2+y2)+y3√^{+i(−2x(x2+y2)−2y2x)}

x²+y² ,

∂f

∂ ¯z(x, y) = ¹₂



5x³+6xy√²+i(y³−2x²y) x²+y²

 ,

f⁰(z) nie istnieje dla dowolnego punktu z ∈ C.

d) Dla f (z) = |z| + 2z pochodne ^∂f_∂x(0, 0) i ^∂f_∂y(0, 0) nale˙zy policzy´c z definicji (nie istnieje ^∂f_∂x(0, 0) i ^∂f_∂x(0, 0)), dla pozosta lych punkt´ow:

∂f

∂x(x, y) = √ ^x

x²+y² + 2,

∂f

∂y(x, y) = √ ^y

x²+y² + 2i,

∂f

∂ ¯z(x, y) = ¹₂



√x+iy x²+y²

 ,

f⁰(z) nie istnieje dla dowolnego punktu z ∈ C.

e) Dla f (z) = |z|²(z + 1), ^∂f_∂x(x, y) = 3x²+ y²+ 2x + i2xy,

∂f

∂y(x, y) = 2yx + 2y + i(x²+ 3y²),

∂f

∂ ¯z(x, y) = x²− y²+ x + i(2xy + y), f⁰(z) istnieje dla z = 0 i wynosi 0.

17. Niech f ∈ H(D(0, R)). Udowodni´c, ˙ze:

(a) je´sli f⁰(z) = 0 dla z ∈ D(0, R), to f = const, (b) je´sli |f (z)| = const dla z ∈ D(0, R), to f = const.

18. Pokaza´c, ˙ze twierdzenie o warto´sci ´sredniej nie zachodzi dla funkcji holomorficznych.

Odpowied´z Nale˙zy rozpatrze´c funkcje f (z) = z_, ³ oraz odcinek lacz_, acy punkty 1 oraz_, i.

19. Znale´z´c funkcje holomorficzna f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (a nast_, epnie zapisa´_, c ja w postaci_, zespolonej) wiedzac, ˙ze:_,

(a) u(x, y) = x²− y²+ xy,

(b) u(x, y) = x³+ 6x²y − 3xy²− 2y³, (c) u(x, y) = _x2+y^{x 2},

(d) u(x, y) = _(x^x2²+y^−y22)². Odpowiedzi:

a) v(x, y) = 2xy − ^x₂² + ^y₂² + c, f (z) = z²(1 −¹₂i) + ic,

b) v(x, y) = −2x³+ 3x²y + 6xy²− y³+ c, f (z) = (1 − 2i)z³+ ic, c) v(x, y) = −_x2+y^{y 2} + c, f (z) = ¹_z + ic,

d) v(x, y) = −_(x2^2xy+y²)² + c, f (z) = z⁻²+ ic.

3 Funkcje elementarne

20. Wykaza´c, ˙ze:

(a) sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, (b) cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y, (c) tan z = cos 2x+cosh 2y^{sin 2x} + icos 2x+cosh 2y^{sinh 2y} , (d) sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y,

(e) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y, (f) tanh z = cosh 2x+cos 2y^{sinh 2x} + icosh 2x+cos 2y^{sin 2y} .

Odpowiedzi:

a)

sin z =e^iz− e^−iz

2i = e^−y+ix− e^y−ix

2i = e^−y(cos x + i sin x) − e^y(cos x − i sin x) 2i

= cos x e^−y− e^y 2i



+ i sin x e^−y+ e^y 2i



= sin x cosh y + i cos x sinh y.

b)

cos z =e^iz + e^−iz

2 = e^−y(cos x + i sin x) + e^y(cos x − i sin x) 2

= cos x e^−y+ e^y 2



+ i sin x e^−y− e^y 2



= cos x cosh y − i sin x sinh y.

c)

tan z =sin x coth y + i cos x sinh y cos x coth y − i sin x sinh y

cos x coth y + i sin x sinh y cos x coth y + i sin x sinh y

=cos x sin x(cosh²y − sinh²y) + i sinh y cosh y cos²x cosh²y + sin²(cosh²y − 1)

= sin 2x

cos 2x + cosh 2y + i sinh 2y cos 2x + cosh 2y. d)

sinh z =e^z− e^−z

2 = e^x+iy− e^−(x+iy

2 = e^x(cos y + i sin y) − e^−x(cos y − i sin y) 2

= cos y e^x− e^−x 2



+ i sin y e^x+ e^−x 2



= sinh x cos y + i cosh x sin y.

e)

cos hz =e^z + e^−z

2 = e^x+iy+ e^−(x+iy

2 = e^x(cos y + i sin y) + e^−x(cos y − i sin y) 2

= cos y e^x+ e^−x 2



+ i sin y e^x+ e^−x 2



= cosh x cos y + i sin hx sin y.

f)

tanh z =sinh x cos y + i cosh x sin y

cosh x cos y + i sin hx sin y = sinh x cosh x + i sin y cos y cosh²x cos²y + sinh²x sin²y. Korzystajac z cos_, ²x = ¹₂(1 + cos 2x) i z cosh²x = ^{cosh 2x=1}₂

= sinh 2x + i sin 2y

cos 2y + cosh 2x = sinh 2x

cosh 2x + cos 2y + i sin 2y cosh 2x + cos 2y

21. Wykaza´c, ˙ze:

(a) | sin z| =p

sin²x + sinh²y, (b) | cos z| =p

cos²x + sinh²y, (c) | sinh z| =p

sinh²x + sin²y, (d) | cosh z| =p

sinh²x + cos²y.

Odpowiedzi:

a)

| sin z| = q

sin²x cosh²y + cos²x sinh²y = q

sin²x cosh²y + (1 − sin²x) sinh²y

= q

sin²x cosh²y − sin²x sinh²y = q

sin²x + sinh²y.

b)

| cos z| = q

cos²x cosh²y + sin²x sinh²y = q

cos²x cosh²y + (1 − cos²x) sinh²y

= q

cos²x(cosh²y − sinh²y) + sinh²y = q

cos²x + sinh²y.

c)

| sinh z| = q

sinh²x cos²y + cosh²x sinh²y = q

sinh²x(1 − sin²y) + cosh²x sin²y

= q

sin²y(cosh²y − sinh²x + sinh²x = q

sin²y + sinh²x.

d)

| cosh z| = q

cosh²x cos²y + sinh²x sin²y = q

cosh²x cos²y + sinh²x(1 − cos²y

= q

(cosh²x − sinh²x) cos²y + sinh²x = q

cos²y + sinh²x.

22. Wykaza´c, ˙ze nastepuj_, ace funkcje s_, a okresowe:_, (a) sinz, cosz o okresie T = 2π,

(b) tgz, ctgz o okresie T = π, (c) chz, shz o okresie T = 2πi.

Odpowied´z:

• np. dla

sin(z + 2π) = sin(x + iy + 2π) = sin(x + 2π) cosh y + i cos(x + 2π) sinh y

= sin(x) cosh y + i cos(x) sinh y = sin z.

• np. dla

cosh(z + 2πi) = cosh x cos(y + 2π) + i sin hx sin(y + 2π)

= cosh x cos y + i sin hx sin y = cosh z.

23. Wykaza´c, ˙ze dla z ∈ C:

(a) cosiz = chz, (b) shz = −ish(iz),

(c) cos²z + sin²z = 1, (d) ch²z − sh²z = 1,

(e) sin¯z = sin(z), (f) cos¯z = cos(z), (g) cos(−z) = cos z, (h) sin(−z) = −sinz,

(i) cos(z₁+ z₂) = cosz₁cosz₂− sinz₁sinz₂, (j) sin(z₁+ z₂) = sinz₁cosz₂+ cosz₁sinz₂.

24. Korzystajac z definicji pochodnej formalnej_, ^∂f_{∂ ¯z} udowodni´c, ˙ze funkcje sinz, cosz tgz, ctgz, shz, chz, thz, cthz sa holomorficzne w swojej dziedzinie._,

Odpowied´z: Poka˙zemy jak udowodni´c, ˙ze funkcja sinh z jest holomorficzna dla ka˙zdego z ∈ C. Wiemy, ˙ze f jest holomorficzna w C, je´sli ^∂f_{∂ ¯z} = 0 dla ka˙zdego z ∈ C.

∂sinh

∂ ¯z =1 2

 ∂sinh

∂x + i∂sinh

∂y



=1

2(cosh x cos y + i sinh x sin y + i(−sinhx sin y + i cosh x cos y))

=1

2(cosh x cos y − cosh x cos y + i(sinh x sin y − sinh x sin y)) = 0 + i0.

25. Wyprowadzi´c wz´or na pochodne funkcji sinz, cosz, tgz, ctgz, shz, chz, thz, cthz.

26. Wykaza´c, ˙ze funkcje odwrotne do f. trygonometrycznych i hiperbolicznych wyra˙zaja si_, e_, nastepuj_, acymi wzorami:_,

(a) arcsinz = −iln(iz +√

1 − z²), (b) arccosz = −iln(z +√

z²− 1), (c) arctgz = _2i¹ln ^1+iz_1−iz
,

(d) arcctgz = −_2i¹ln ^iz+1_iz−1
, (e) arcshz = ln(z +√

z²+ 1), (f) arcchz = ln(z +√

z²− 1), (g) arcthz = ¹₂ln ^1+z_1−z
,

(h) arccthz = ¹₂ln ^z+1_z−1
.

Odpowiedz:

a) Niech w = sin z = ^eiz−e_2i^−iz. Podstawiamy t = e^iz, wtedy

w = t − ¹_t

2 ⇒ t²− 2wti − 1 = 0 ⇒ t = wi +√

−w²+ 1 ⇒ z = −i ln(wi +√

1 − w²).

b) w = cos z = ^eiz+e_2i^−iz. Podstawiamy t = e^iz, wtedy w = t + ¹_t

2 ⇒ t²− 2wti + 1 = 0 ⇒ t = wi +√

w²− 1 ⇒ z = −i ln(w +√

w²− 1).

c) w = _{cos z}^{sin z} = _i(e^eiziz^−e+e^−iz−iz). Podstawiamy t = e^iz, wtedy

w = t²− 1

it²+ 1 ⇒ t² = 1 + wi

1 − wi ⇒ z = 1

2iln 1 + wi 1 − wi

 . d) Analogicznie w pozosta lych przypadkach.

27. Jakimi wzorami wyra˙zaja si_, e:_,

(a) pochodne funkcji zdefiniowanych w poprzednim zadaniu?

(b) pochodna funkcji potegowej f (z) = z_, ^µ? Odpowied´z:

a) Wiemy, ˙ze arcsinz = −i ln(iz +√

1 − z²). Zatem (arcsinz)⁰ = 1

√1 − z², b) (arccosz)⁰ = ^√−1

1−z², c) (arctanz)⁰ = _1+z¹2, d) (arccotanz)⁰ = −_1+z¹ 2,

e) (arcsinhz)⁰ = ^{√ 1}

1+z², f) (arccoshz)⁰ = ^√1

z²−1, g) (arctanhz)⁰ = _1−z¹2. h) (z^µ)⁰ = µz^µ−1.

28. Obliczy´c warto´s´c wyra˙ze´n:

(a) e^iπ4, cosi, sin(1 + i), tg(2 − i),

(b) ln1, ln(−1), ln(1 + i), znale´z´c warto´sc g l´owna ln(1 + i_, √ 3), (c) iⁱ, 1^α+iβ.

Odpowiedzi:

a) e^iπ4 =

√ 2 2 + i

√ 2

2 , cos i = cosh 1, sin(1 + i) = sin 1 cosh 1 + i sin 1 cosh 1.

b) ln 1 = 2kπi, k ∈ Z, ln(−1) = (2k+1)πi, k ∈ Z, ln(1+i) = ¹₂+(2kπ+^π₄
i, k ∈ Z, warto´s´c g l´owna ln(1 + i√

3) = ln 2 + i^π₃. c) iⁱ = e^−π2+2kπ, k ∈ Z, 1^α+iβ = e^−β2kπ, k ∈ Z.

29. Rozwiaza´_, c r´ownania:

(a) cosz = 4, (b) sinz = −2i,

(c) (z⁴− 1) sin πz = 0, (d) (z⁶+ 1)chz = 0,

(e) Wykaza´c, ˙ze tan(z) 6= ±i dla ka˙zdego z ∈ C.

Odpowiedzi:

a) z_2n = 2nπ + i ln(2 −√

3) ∨ z_2n= 2nπ + i ln(2 +√

3), n ∈ Z.

b) z_2n = (2n + 1)π + i ln(2 +√

5) ∨ z_2n = 2nπ + i ln(−2 +√

5), n ∈ Z.

c) z₀ = 1, z₁ = i, z₂ = −1, z₃ = −i oraz w_m = m, m ∈ Z.

d) z₀ =

√ 3

2 + i¹₂, z₁ = i, z₂ = −

√ 3

2 + i¹₂, z₃ = z₀ = −

√ 3 2 − i¹₂ z4 = −i, z5 =

√ 3

2 − i¹₂, wm = (k +¹₂)π, k ∈ Z.

30. Znale´z´c funkcje holomorficzna f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (a nast_, epnie zapisa´_, c ja w postaci_, zespolonej) wiedzac, ˙ze_,

(a) v(x, y) = arctg(^y_x), x > 0, (b) u(x, y) = ln(x²+ y²),

(c) u(x, y) = e^x(x cos y − y sin x),

(d) v(x, y) = e^x(y cos y + x sin y) + x + y, (e) u(x, y) = e^−x(x cos y + y sin y),

(f) v(x, y) = e^−x(y cos y − x sin y), (g) u(x, y) = x sin xchy − cos xychy,

(h) v(x, y) = sin xychy + x cos xshy, (i) u(x, y) = x cos xchy + sin xyshy, (j) v(x, y) = cos xychy − x sin xshy, (k) u(x, y) = xshx cos y − chxy sin y,

(l) v(x, y) = shxy cos y + xchx sin y, (m) u(x, y) = xchx cos y − y]x sin y,

(n) v(x, y) = ychx cos y + xshx sin y.

Odpowiedzi:

a) u(x, y) = Re(ln z), b) v(x, y) = Im(ln z), c) u(x, y) = Re(ze^z) d) v(x, y) = Im(ze^z),

e) u(x, y) = Re(ze^−z), f) v(x, y) = Im(ze^−z), g) u(x, y) = Re(z sin z), h) v(x, y) = Im(z sin z), i) u(x, y) = Re(z cos z), j) v(x, y) = Im(z cos z), k) u(x, y) = Re(z sinh z),

l) v(x, y) = Im(z sinh z), m) u(x, y) = Im(z cosh z),

n) v(x, y) = Im(z cosh z).

31. Wykaza´c, ˙ze gdy w pewnym obszarze istnieje jedna ga la´_,z jednoznaczna pierwiastka √ⁿ z, to istnieje dok ladnie n takich ga lezi, czym one si_, e r´_, o˙znia?_,

32. Znale´z´c obrazy prostych x = const oraz y = const:

(a) przy odwzorowaniu f (z) = sinz, (b) przy odwzorowaniu f (z) = tgz.

Odpowiedzi:

a) Obrazami prostych x = const 6= 0 sa ga l_, ezie hiperboli o r´_, ownaniu

 u²

sin²x − v² cos²x



= 1,

za´s obrazami prostych y = const 6= 0 sa p´_, o lelipsy o r´ownaniu u²

1

4(e^y+ e^−y) + v²

1

4(e^y + e^−y) = 1.

Hiperbole sa ortogalne do elips._,

b) Obrazami prostych x = const 6= 0 jest pek hiperboliczny okr_, eg´_, ow



u +cos 2x sin 2x



+ v² = 1 sin 2x

przechodzacych przez w = ±i, za´s obrazami prostych y = const 6= 0 jest p_, ek_, eliptyczny okreg´_, ow

u²+



v − cosh 2y sinh 2y



= 1

sinh 2y, wzgledem kt´_, orych punkty w = ±i sa symetryczne._,

4 Odwzorowania konforemne

33. Znale´z´c obraz obszaru D = {z ∈ C : |z| < 1} przy homografii f (z) = ^z−i_z+i. Odpowied´z

Szukamy odwzorowania odwrotnego do w(z) = ^z−i_z+i. Homografia odwrotna ma posta´c z(w) = −iw + i

w − 1.

Aby znale´z´c obraz obszaru D nale˙zy w r´ownaniu opisujacym D w miejsce z wstawi´_, c r´ownanie homografii odwrotnej.

f (D) = D⁰ ={w ∈ C :    

iw + i w − 1    

< 1}

={w ∈ C : |w − (−1)| < |w − 1|}

={w ∈ C : Rew < 0}.

Jest to lewa p´o lp laszczyzna.

34. Znale´z´c obraz obszaru D = {z ∈ C : |z − i| < √

2 ∧ |z + i| < √

2} przy homografii f (z) = ^z−1_z+1.

Odpowied´z

Obszar D jest cze´sci_, a wp´_, olna dw´_, och k´o l. Szukamy odwzorowania odwrotnego do w(z) =

z−1

z+1. Homografia odwrotna ma posta´c

z(w) = −w − 1 w − 1 . Aby znale´z´c obraz obszaru D₁ = {z ∈ C : |z − i| < √

2 nale˙zy w r´ownaniu opisujacym_, D₁ w miejsce z wstawi´c r´ownanie homografii odwrotnej.

f (D₁) = D₁⁰ ={w ∈ C :    

−w − 1 w − 1 − i

<√ 2}

={w ∈ C : |w − i| < |w − 1|}

={w ∈ C : Imw > Rew}.

Postepujemy analogicznie dla D_{, 2} = {z ∈ C : |z + i| <√ 2}

f (D2) = D₂⁰ ={w ∈ C :    

−w − 1 w − 1 + i

<√ 2}

={w ∈ C : |w − (−i)| < |w − 1|}

={w ∈ C : Imw < −Rew}.

Zatem

f (D) = f (D₁) ∩ f (D₂) = {w ∈ C : Imw > Rew ∧ Imw < −Rew}.

35. Udowodni´c, ˙ze homografia zachowuje dwustosunek punkt´ow w − w1

w − w₂ : w3− w₁

w₃− w₂ = z − z1

z − z₂ : z3− z₁ z₃− z₂.

36. Udowodni´c, ˙ze dla dowolnych trzech r´o˙znych punkt´ow z₁, z₂, z₃ ∈ C i trzech r´o˙znych warto´sci w₁, w₂, w₃ ∈ C istnieje dok ladnie jedna homografia f taka, ˙ze f(zi) = w_i, i = 1, 2, 3.

37. Znale´z´c homografie, kt´_, ora przekszta lca zbi´or D = {z ∈ C : |z − 2| = 1} na D1 = {z ∈ C : Imz = 0} i taka, ˙ze punktom 1, 2 + i, 2 − i odpowiadaj_, a punkty −1, 0, 1._,

Odpowied´z

Korzystamy z faktu, ˙ze homografia zachowuje dwustosunek punkt´ow, czyli w − w1

w − w₂ : w3− w1

w₃− w₂ = z − z1

z − z₂ : z3− z1

z₃− z₂. w + 1

w − 0 : 1 + 1

1 − 0 = z − 1

z − (2 + i) : 2 − i − 1 2 − i − (2 + i). Skad po przekszta lceniach otrzymamy posta´_, c szukanej homografii

w = −(1 + i)z + (1 + 3i) (−3 + i)z + (3 − 3i).

38. Znale´z´c og´olna posta´_, c homografii przekszta lcajacej g´_, orna p´_, o lp laszczyzne na ko lo jed-_, nostkowe.

Odpowied´z

Wybierzmy punkt a taki, ˙ze Ima > 0. Punktem symetrycznym do niego wzgledem_, brzegu, czyli osi OX jest punkt ¯a. Szukana homografia musi przekszta lci´c punkt a na punkt nale˙zacy do D(0, 1). Mo˙zemy przyj_, a´_,c, ˙ze f (a) = 0. Wtedy homografia f punkt ¯a musi przekszta lci´c na punkt symetryczny wzgledem 0 czyli na ∞._, Zatem f (a) = 0, f (¯a) = ∞. Stad mo˙zemy napisa´_, c f (z) = k^z−a_z−¯a Poka˙zemy, ˙ze k = e^iφ. Poniewa˙z f przekszta lca o´s OX na okrag jednostkowy, to |f (1)| = 1. Korzystaj_, ac_,

z tego dostaniemy 1 = |f (1)| = |k|

^1−a_1−¯a

. Nale˙zy zauwa˙zy´c, ˙ze z − a = ¯z − ¯a, wiec_, 1 − a = 1 − ¯a. Stad_, 

^1−a_1−¯a 

 = 1 i w konsekwencji |k| = 1, czyli k = e^iφ. Szukane homografie maja nast_, epuj_, ac_, a posta´_, c

f (z) = e^iφz − a

z − ¯a, Ima > 0, φ ∈ [0, 2π).

39. Znale´z´c og´olna posta´_, c homografii przekszta lcajacej ko lo jednostkowe na siebie._, Odpowied´z

Szukane homografie maja nast_, epuj_, ac_, a posta´_, c f (z) = e^iφz − a

z − ¯a, a ∈ D(0, 1), φ ∈ [0, 2π).

40. Znale´z´c odwzorowanie konforemne f (z), kt´ore przekszta lca ko lo jednostkowe na siebie i takie, ˙ze:

(a) f (¹₄) = 0 i Argf⁰(¹₄) = ^π₂, (b) f (¹₂) = 0 i Argf⁰(¹₂) = ^π₂.

Odpowiedzi:

a) f (z) = e^{iφ/2 4z−1}_4−z , b) f (z) = e^{iφ/2 2z−1}_2−z .

41. Znale´z´c odwzorowanie konforemne f (z), kt´ore przekszta lca obszar D = {z ∈ C : |z| > 1} na obszar D¹ = {z ∈ C : Imz < Rez}.

Odpowied´z

Najpierw zastosujemy f₁(z) = ¹_z. Ta homografia przekszta lci D = {z ∈ C : |z| > 1}

na D⁰ = {z ∈ C : |z| < 1}. Nastepnie zastosujemy homografi_, e f_{, 2}(z), odwrotna do tej,_, kt´ora przekszta lca g´orna p´_, o lp laszczyzne na ko lo jednostkowe. Ma ona posta´_, c

f₂(z) = ¯aw − e^iφa

w − e^iφ , φ ∈ [0, 2π).

Mo˙zemy podstawi´c np. a = ₂ⁱ. Wtedy f₂(z) = −₂ⁱ 

w−+e^iφ w−e^iφ



. Szukane odwzorowanie ma posta´c f₂◦ f₁.