Lista treningowa przed sprawdzianem

Lista treningowa przed sprawdzianem

Nie stresuj się zbytnio sprawdzianem, ale przejrzyj poniższe zadania i zo- bacz, czy potrafisz je zrobić. Poza zadaniami podobnymi do poniższych może się pojawić kilka przykładów trudniejszych i nietypowych, ale będą one (przy- najmniej w większości) opcjonalne.

Przekaż tą listę zainteresowanym znajomym.

Osoby mające mało punktów mogą napisać kilka zadań z poniższych na kart- ce i oddać przed sprawdzianem.

Pozdrawiam serdecznie i życzę dużo radości i piękna w rozpoczynającym się roku,

MP 1. Przypomnienie:

(a) Powiedz co to znaczy podzielić liczbę całkowitą n przez k.

(b) Podaj definicję względnej pierwszości liczb a i b.

(c) Czy iloraz dwóch liczb względnie pierwszych może być całkowity?

Kiedy? Czy w przeciwnym wypadku (dwie liczby nie są względnie pierwsze) iloraz może być całkowity?

(d) Sformułuj ZIM (Zasadę Indukcji Matematycznej) w najogólniejszej jak potrafisz wersji.

2. Podaj wszystkie liczby x, które spełniają:

x ≡ 17 (mod 101).

3. Znajdź cyfrę jedności liczb: 2⁵²⁰, 3⁷¹, 9¹²³⁴⁴⁵.

4. Policz x (nieujemny, najmniejszy możliwy) w równaniach:

496 · 2173 ≡ x (mod 7), 2¹⁰⁰⁰+ 3¹⁰⁰⁰+ 5¹⁰⁰⁰≡ x (mod 9).

5. Jakie reszty modulo 9 dają kwadraty liczb całkowitych?

6. Policz resztę z dzielenia liczby 9^20082009 przez 7.

7. Pewna liczba przy dzieleniu przez 13 daje resztę 12. Jaką resztę dają jej potęgi przy dzieleniu przez 7?

8. Czy istnieją rozwiązania całkowite poniższych równań? Jeśli tak, znajdź jakieś.

(a) 11x + 3y = 1, (b) 7x + 24y = 1, (c) 15x + 21y = 1,

1

(d) 15x + 21y = 3, (e) 15x + 21y = 5.

9. Jakie liczby x spełniają układ kongruencji:

(a) x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), (b) x ≡ 6 (mod 7), x ≡ 10 (mod 11),

(c) x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 5 (mod 8), (d) x ≡ 11 (mod 15), x ≡ 33 (mod 35),

(e) x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 4 (mod 5).

10. Udowodnij, że x ≡ 7 (mod 15) ⇔ x ≡ 2 (mod 5) i x ≡ 1 (mod 3).

11. Jakim (prostszym) kongruencjom jest równoważne przystawanie x ≡ 17 (mod 120)?

12. Policz: liczbę dzielników, ich sumę oraz iloczyn (opcjonalnie) liczb:

(a) 16, (b) 45,

(c) 2⁷· 5⁸⁹,

(d) 3⁷⁷· 11¹²³· 13⁶⁵· 64⁵, (e) p^a₁¹· p^a₂²· . . . p^a_nⁿ, gdzie

p1, p2. . . pn - liczby pierwsze; a1, a2, . . . an - liczby naturalne.

13. Udowodnij indukcyjnie, że dla każdego n prawdziwe są wzory:

(a) 1 · 1! + 2 · 2! + ... + n · n! = (n + 1)! − 1,

(b) (11+5¹)+(22+5²)+(33+5³)+...+(11·n+5ⁿ) = ¹₄ 22n²+ 22n + 5ⁿ⁺¹− 5
. 14. Udowodnij (indukcyjnie), że ciąg zadany równościami:

a₁= 1, a_n+1= 3a_n+ 2, n = 1, 2, . . . wyraża się wzorem

bn= 2 · 3ⁿ− 1.

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl www.math.uni.wroc.pl/e preisner

2