2 Wzórnaliczbęprzekątnychwn − kącie nN ϵ ,n≥ 3 n n − 3 2 = 3 ∙n n n − 3 2 2 = = = = 90 15 ∙ 122 1802 n n − 3 15 ( 15 − 3 )

Temat: Wielokąty. Podstawowe własności.

Łamana – figura geometryczna utworzona z ciągu odcinków (zwanych jej bokami) w taki sposób, że:

- żadne dwa następujące po sobie odcinki nie leżą na jednej prostej,

- wierzchołek będący końcem pierwszego odcinka jest początkiem drugiego odcinka, wierzchołek będący końcem drugiego – początkiem trzeciego i tak dalej.

Figurę, która jest łamaną, da się narysować bez odrywania długopisu od kartki tak, aby nie rysować długopisem więcej niż raz po danym odcinku.

Jeśli wierzchołek będący początkiem pierwszego boku jest jednocześnie z końcem ostatniego, to łamaną nazywa się zamkniętą; w przeciwnym razie mówi się, że łamana jest otwarta.

Jeżeli odcinki łamanej nie przecinają się (nie mają punktów wspólnych poza wierzchołkami), to łamaną nazywa się zwyczajną.

Wielokątem nazywamy figurę ograniczoną, wyciętą z płaszczyzny przez łamaną zwyczajną zamkniętą, wraz z tą łamaną.

Wielokąt, który ma n boków nazywamy n- bokiem lub n- kątem.

Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki i nie będący bokiem.

WAŻNE!

Jeśli n – liczba boków wielokąta, to:

n( n−3)

2 Wzór na liczbę przekątnych w n−kącie (n N ϵ , n ≥3 )

Zadanie 1

Wyznacz liczbę przekątnych piętnastokąta

To że figura jest piętnastokątem mówi nam, że ma piętnaście kątów i piętnaście boków. Więc n=15

Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych wielokąta, do którego za n podstawiamy liczbę 15:

n( n−3)

2 = 15(15−3)

2 = 15 ∙12 2 = 180

2 =90

Zadanie 2

W jakim wielokącie liczba przekątnych jest trzy razy większa od liczby boków?

Liczba przekątnych jest trzy razy większa od liczby boków wielokąta.

Za liczbę przekątnych podstawiamy wzór za pomocą którego wyliczymy liczbę przekątnych, a za liczbę boków podstawiamy n.

n( n−3)

2 =3 ∙ n

n-3=6 n=6+3 n=9

Kąt wewnętrzny wielokąta to kąt, leżący wewnątrz figury.(na rys. kolor zielony) Kąt zewnętrzny, to kąt przyległy do kąta wewnętrznego (na rys. kolor czerwony)

WAŻNE!

Jeśli n – liczba boków wielokąta, to:

180 °∙ ( n−2 )

Wzór na sumę kątów wewnętrznychwielokąta wypukłego(n N ϵ ,n>2)

W dowolnym wielokącie suma kątów zewnętrznych jest stała i wynosi 720^o.

Zadanie 3

Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych dwunastokąta.

To że figura jest dwunastokątem oznacza, że ma ona 12 boków. Czyli n=12.

Korzystamy ze wzoru na sumę kątów wewnętrznych wielokąta, do którego za n podstawiamy liczbę 12

180 °∙ ( n−2 ) =180 °∙ ( 12−2 ) =180 ° ∙10=1800 °

Wielokąt foremny to taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość wszystkie kąty są równe.

Zadanie 4

Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego.

Obliczmy najpierw sumę miar wszystkich kątów wewnętrznych osiemnastokąta.

Korzystamy ze wzoru na sumę kątów wewnętrznych wielokąta, do którego za n podstawiamy liczbę 18

180 °∙ ( n−2 ) =180 °∙ ( 18−2 ) =180° ∙ 16=2880 °

Ponieważ osiemnastokąt ma osiemnaście jednakowych kątó, to żeby policzyć miarę jednego z nich należy sumę jego wszystkich kątów wewnętrznych podzielić przez osiemnaście:

2880 °:18=160°

Odp.: Miara jednego kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego wynosi 160^o. Zadanie 5

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego o n-bokach ma miarę 150^o. Miarę jednego kąta wewnętrznego wielokąta foremnego policzymy dzieląc sumę wszystkich kątów wewnętrznych, przez ilość boków wielokąta.

180 ° ∙(n−2)

n =150 °/∙n 180 °∙ (n−2 )=150 °n 180 °n−360 °=150 °n 180 °n−150 °n=360 ° 30 °n=360 °/: 30°

n=12

Odp.: Wielokąt ten to dwunastokąt.