(b) a n = 3 n−5 , dla dowolnego n ≥ 0.

Matematyka Dyskretna - Funkcje tworz¡ce

Zadanie 1. Wyznacz funkcje tworz¡ce generowane przez nast¦puj¡ce ci¡gi:

(a) a n = 9 ⁿ⁻² , dla dowolnego n ≥ 4, a 0 = 15, a 1 = −3, a 2 = 0, a 3 = 7.

(b) a n = 3 ⁿ⁻⁵ , dla dowolnego n ≥ 0.

(c) a n = 2 ⁿ⁺³ , dla dowolnego n ≥ 3, a 0 = 2, a ₁ = 5, a ₂ = 1.

(d) a n = (−2) ²ⁿ⁻¹ , dla dowolnego n ≥ 2, a 0 = 0, a 1 = 10.

(e) a n = 4(−1) ⁿ⁺¹ , dla dowolnego n ≥ 2, a 0 = −2, a 1 = 3.

(f)

a _n =



 

 

10n dla n = 0, 1

(−2) ⁿ dla pozostaªych n nieparzystych 0 dla pozostaªych n parzystych . (g)

a n =

( (−5)

dla n parzystych 0 dla pozostaªych n . (h)

a n =

( (−5)

dla n ≥ 3, nieparzystych 0 dla pozostaªych n . (i)

a n =



 

 

3n dla n = 4

(−5)

dla n 6= 4, parzystych 0 dla pozostaªych n . (j) a n = n5 ⁿ dla dowolnego n ≥ 0.

(k) a n = n7 ⁿ⁺⁴ , dla dowolnego n ≥ 3, a 0 = 5, a 1 = 0, a 2 = −3.

(l) a n = n ² 7 ⁿ⁺¹ dla dowolnego n ≥ 0.

(m) a n = _n! ¹ , dla dowolnego n ≥ 2, a 0 = 11, a 1 = 2.

(n) a n = _n ¹ , dla dowolnego n ≥ 3, a 0 = 11, a 1 = 2, a 2 = −2.

(o) a k = H _k , , dla dowolnego k ≥ 2, a 0 = 1, a = 5 (wykorzysta¢ wzór udowodniony na wykªadzie).

(p) a k = kH _k , , dla dowolnego k ≥ 1.

(q) a k = k ² H k , dla dowolnego k ≥ 1.

Zadanie 2. Wyznacz ci¡gi generuj¡ce poni»sze funkcje tworz¡ce:

(a) 5 + z + _1−4z ^2z

. (b) _1−5z ^z + 7 + 6z + z ⁴ .

(c) _1−5z ⁵

^z

.

1

(d) _2−6z ^z

+ z ³ + 12.

(e) _1−3z ^48z + 2 + z.

(f) 1 + z ² + _1−2z ^z

. (g) (1 + z) ³ + _1+2z ¹ .

(h) _2+4z ^z − (z ² + 1)(z + 1)(z − 1).

(i) _(1−2z) ¹

.

(j) _(1−2z) ¹

+ (z + 3) ² . (k) _1−3z ¹

.

(l) _(1−3z) ¹

.

(m) ln(1 − z) + z + 5.

(n) 15 − 6z + 8z ² + e ^z . (o) _(1−2z) ⁴

.

(p) _(1−z) ¹ e ^z . (q) (2 + z) ² e ^z .

(r) (1 − z) ² ln _1−z ¹ .

2