AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie
OLIMPIADA ”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2009/10 MATEMATYKA - ETAP III
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW 1. Rozwiaι˙z r´ownanie
(x2+ 1)sin 2x+cos 2x = 1.
2. Jakie najwieιksze pole powierzchni bocznej mo˙ze mie´c sto˙zek obrotowy, w kt´orym obw´od przekroju osiowego ma d lugo´s´c C ?
3. Zbadaj wzajemne po lo˙zenie okreιg´ow:
o1 : x2 + y2− 4x − 2y − 45 = 0, o2 : x2+ y2+ 2y − 97 = 0.
4. Oblicz graniceι ciaιgu, kt´orego n-ty wyraz jest r´owny an= 1
3n+ 2n + 3
3n+ 2n + 9
3n+ 2n + . . . + 3n 3n+ 2n.
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. W ostros lupie prawid lowym o´smiokaιtnym kraweιd´z podstawy ma d lugo´s´c a, a kaιt nachylenia ´sciany bocznej do podstawy ma miareι α. Wysoko´s´c ostros lupa podzielono na n odcink´ow r´ownej d lugo´sci i przez punkty podzia lu poprowadzono p laszczyzny r´ownoleg le do podstawy, dzielaιc w ten spos´ob ostros lup na n”warstw”. Zak ladajaιc,
˙ze n ≥ 3, oblicz objeιto´s´c drugiej warstwy (liczaιc od podstawy).
6. Dany jest n-elementowy zbi´or S. Ze zbioru wszystkich podzbior´ow zbioru S losu- jemy kolejno ze zwracaniem dwa zbiory (prawdopodobie´nstwo wylosowania ka˙zdego zbioru jest jednakowe). Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n
A : przynajmniej jeden z wylosowanych zbior´ow jest zbiorem pustym, B : ka˙zdy z wylosowanych zbior´ow ma dok ladnie n − 1 element´ow, C : wylosowane zbiory saι roz laιczne.
Wyniki zapisz w najprostszej postaci.
7. Dla jakich warto´sci parametru p r´ownanie (p − 3)(9 − 4√
5)x− (2p + 6)(√
5 − 2)x+ p + 2 = 0 ma dok ladnie jeden pierwiastek ?
