Jak rozkładają się liczby?
Arkadiusz Męcel 10 października 2008r.
Treść referatu była pewnym rozszerzeniem zagadnień omawianych na Warsztatach w Krakowie (2008r.).
Pewnych zagadnień nie omówiłem w pełnej ogólności. O niektórych nie wspomniałem nic. Pomysłałem więc, że przypomnę je tu krótko i podam pomocną bibliografię (wszystko można znaleźć w Internecie).
1. Jednoznaczność rozkładu na ideały pierwsze jest cechą jedynie niektórych dziedzin całkowitości. W oryginalnych pracach Dedekinda znajdują się warunki konieczne do istnienia rozkładu. Są to:
• noetherowskość,
• normalność,
• każdy ideał pierwszy jest maksymalny.
Takie pierścienie nazywamy dziedzinami Dedekinda. W XX wieku Emmy Noether pokazała, że dziedziny określone przez 3 powyższe warunki to jedyne takie, w których zachodzi jednoznaczność rozkładu na ideały pierwsze. W ten sposób koło się zamyka. Poniżej zamieszczam dwa linki. Jeden do ogólnego skryptu z algebraicznej teorii liczb, gdzie zagadnienia te są omówione aż nazbyt dokładnie, drugi zaś do tłumaczenia pracy Dedekinda z 1871r., tej właśnie, w której pojawiają się ideały (warto przeczytać kilkustronicowe wprowadzenie od Tłumacza).
• http://www.jmilne.org/math/
• http://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/ideals71.pdf
2. W pewnym momencie podałem śmieszny przykładzik dotyczący ’dokładania dzielników pierwszych’
(do liczb przystających 1 modulo 4). Wspomniałem, że pochodzi on od Hilberta. Nie znam historii jego powstania, ale wiem skąd go wziąłem. Oto link do bardzo pouczającego wykładu (jego tytuł jest słynnym cytatem z E. Noether):
• http://www.math.udel.edu/ lazebnik/papers/SeminarLecture110405.pdf
3. Ktoś chciałby zobaczyć jakikolwiek dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata w przypadku szczegól- nym? Gorąco polecam poniższy link (uważny czytelnik dostrzeże na tej stronie jedną uwagę ode mnie!):
• http://fermatslasttheoremindex.blogspot.com/2006/10/overview.html
4. Jeżeli czujecie niedosyt związany z poprzednim linkiem i chcecie: więcej historii i znacznie więcej matematyki, jest tylko jedno źródło, które mogę polecić:
• EDWARDS H.M., Fermat’s Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number The- ory, Springer, New York (1977).
1
5. Ten link jest trochę ’nie na temat’, dotyczy on bowiem niezwykłej historii Sophie Germain. Wyobraź- cie sobie, że ta wielka kobieta musiała ukrywać się pod męskim pseudonimem, by móc opublikować swoje przełomowe prace z WTF. Więcej o tym, jak również interesujące wstawki o Gaussie (i jego rzekomej niechęci do tegoż wielkiego problemu) tutaj:
• http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/germain.html
6. A może spodobała się Wam własność, którą posiadają pierścienie o grupie klas rzędu niewiększego niż 2? Jest to twierdzenie Carlitza z 1960 roku. Jak wspomniałem, Władysław Narkiewicz z Wro- cławia postawił problem otwarty: znaleźć arytmetyczną prezentację własności pierścieni, których grupa klas ma rząd większy od 2. Jeden ze znaczących wyników w tej kwestii uzyskał Alfred Czogała.
Poniżej podaję kilka tytułów, które pomogą ogarnąć to zagadnienie i zobaczyć jakieś dowody.
• CHAPMANN S., GLAZ S. Non-Noetherian Commutative Ring Theory, Springer, New York (2000), chapter 6.
• NARKIEWICZ W., Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer, New York (2004), chapter 9.
• CZOGAŁA A., Arithmetical chararcterization of algebraic number fields with small class num- ber.Math. Zeit., 176, 247-253. (1981).
