EGZAMIN poprawkowy - teoria, 9 III 2018, grupa A Imię i nazwisko: ...
Nr indeksu: ...
teoria 1 2 test 1 2 3 4 5 6 SUMA
Zadania teoretyczne (2 · 6 = 12 punktów)
Zadanie 1. Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość
n 1
+ 2n
2
+ 3n
3
+ . . . + nn n
= n2n−1.
Wskazówka: Proszę sprawdzić powyższą równość dla n = 5 (2 punkty).
Zadanie 2. Niech n będzie liczbą naturalną nieparzystą. Proszę uzasadnić, że liczba podzbiorów zbioru n-elementowego o nieparzystej liczbie elementów jest równa liczbie podzbiorów o parzystej liczbie elementów i wynosi 2n−1. Wskazówka: Proszę wykonać najpierw zadanie dla n = 5 (2 punkty).
1
Część testowa (6 · 2 = 12 punktów)
Proszę wpisać tylko odpowiedzi: tak lub nie. Poprawna odpowiedź na wszystkie podpunkty daje 2 punkty za zadanie, błąd choć w jednym z podpunktów oznacza punk ujemny. Za poprawną odpowiedź na dwa pytania z trzech i nie udzieleniu odpowiedzi na trzecie, można uzyskać 1 punkt. W każdym pytaniu może być dowolna liczba zdań prawdziwych – także 0. Uwaga: wartość oczekiwana liczby zdobytych punktów z testu przy losowym wpisywaniu odpowiedzi jest ujemna.
Zadanie 1. Która z równości jest poprawna:
(a) P4
k=02k = 30, (b) Pn+1
k=−nk = n2− 2n + 3, dla dowolnej liczby naturalnej n, (c) Pn
k=1(2k − 1) = n2, dla dowolnej liczby naturalnej n.
Zadanie 2. Wiadomo, że przynajmniej jedno ze zdarzeń A i B musi zajść, a ponadto P (A) = 3/4, P (B) = 4/5.
Wówczas
(a) P (A|B) < 1/2, (b) P (A|B) = 11/15,
(c) P (B|A) = 11/16.
Zadanie 3. Niech X, Y, Z będą zmiennymi losowymi, które przyjmują tylko skończenie wiele wartości. Które ze wzorów są zawsze prawdziwe
(a) E(X + 2Y + Z) = EX + 2EY + EZ,
(b) Var(X − Y ) = Var(X + Y ), jeśli zmienne X, Y są niezależne.
(c) E(X2) − (EX)2= Var X.
Zadanie 4. Następujące zdania dotyczą podzbiorów pewnego ustalonego zbioru Ω. Wskaż, które z poniższych zdań są prawdziwe.
(a) (A ∩ ∅) ∪ B = B.
(b) A ∩ B ⊆ A i A ⊆ A ∪ B.
(c) Jeśli A \ (A ∩ B) = ∅, to A = B.
Zadanie 5. Które ze wzorów są prawdziwe:
(a) 83 = 56,
(b) 206 + 2013 = 217, (c) 20181009 = 2.
Zadanie 6. Z talii 52 kart losujemy ze zwracaniem 5 kart. Rozważamy zmienne losowe: X = {liczba wyciągniętych pików}, Y = {liczba wyciągniętych kierów}, Z = {liczba wyciągniętych asów}. Wówczas
(a) para zmiennych losowych X, Y jest niezależna, (b) para zmiennych losowych X, Z jest niezależna,
(c) trójka zmiennych losowych X, Y, Z jest niezależna.
2
