Algebra liniowa I Matematyka Kolokwium II,
Zestaw I
semestr zimowy 2017/2018
1. Czy podzbiór W jest podprzestrzeni a przestrzeni wektorowej R
4(R), je»eli
(a) W = {x, y, z, t) ∈ R
4| y = 2x − z} ; (b) W = {x, y, z, t) ∈ R
4| x · y = 0} .
2. Zbadaj, dla jakich warto±ci parametru a wektory (1, 1, −1), (1, 2, 0), (0, a, −1) s a liniowo niezale»ne w przestrzeni R
3(R).
3. W przestrzeni wektorowej R
3(R) sprawd¹, czy zachodzi rów- no±¢ W
1= W
2, je»eli
W
1= Lin ((1, 1, 2), (3, 1, 7)), W
2= Lin ((2, 0, 5), (4, 6, 7)).
4. Niech dana b edzie podprzestrze« przestrzeni R
3(R)
W = {(s + r − 2t, s + 2r − 2t, −s + r + 2t) | s, r, t ∈ R}.
Podaj baz e i wymiar podprzestrzeni W .
5. W przestrzeni wektorowej R
4(R) zbadaj liniow a niezale»no±¢
wektorów u = (1, 0, 1, 1), v = (2, 2, 2, 0), w = (−1, 2, 3, 1).
Wyznacz podprzestrze« generowan a przez wektory u, v i w, okre±l jej wymiar i podaj przykªad jej dopeªnienia algebra- icznego.
1
