Algebra 2, kolokwium 1, zestaw a Wrocªaw, 30 kwietnia 2010
1. Sprawd¹, »e zbiór V = {(x2+ 1)p(x) + xq(x) : p, q ∈ R2[x]} jest podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej R4[x]. Znajd¹ baz¦ przestrzeni V i podaj jej wymiar.
2. Wektory ~u,~v, ~w s¡ liniowo niezale»ne. Co mo»na powiedzie¢ o liniowej zale»no±ci wektorów 2~u + ~v, 2~v + ~w, 2~w + ~u?
3. Okre±l liczb¦ rozwi¡za« podanego ukªadu równa« w zale»no±ci od warto±ci parametru p:
x + (p − 1)y = p px + (1 − p)y = 1 p2x + (p − 1)y = p
Mateusz Kwa±nicki
Algebra 2, kolokwium 1, zestaw b Wrocªaw, 30 kwietnia 2010
1. Sprawd¹, »e zbiór V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} jest podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej R3. Znajd¹ baz¦
przestrzeni V i podaj jej wymiar.
2. Zbadaj liniow¡ zale»no±¢ wektorów 1 + x + x2+ x3+ x4, 1 − x + x2− x3+ x4, 1 + x + x2, x2+ x3+ x4, x + 2x2+ x3 w przestrzeni R[x].
3. Okre±l liczb¦ rozwi¡za« podanego ukªadu równa« w zale»no±ci od warto±ci parametru p:
x + py = −p
px + y = p
(2p + 1)x − (2p + 1)y = p
Mateusz Kwa±nicki
Algebra 2, kolokwium 1, zestaw a Wrocªaw, 30 kwietnia 2010
1. Sprawd¹, »e zbiór V = {(x2+ 1)p(x) + xq(x) : p, q ∈ R2[x]} jest podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej R4[x]. Znajd¹ baz¦ przestrzeni V i podaj jej wymiar.
2. Wektory ~u,~v, ~w s¡ liniowo niezale»ne. Co mo»na powiedzie¢ o liniowej zale»no±ci wektorów 2~u + ~v, 2~v + ~w, 2~w + ~u?
3. Okre±l liczb¦ rozwi¡za« podanego ukªadu równa« w zale»no±ci od warto±ci parametru p:
x + (p − 1)y = p px + (1 − p)y = 1 p2x + (p − 1)y = p
Mateusz Kwa±nicki
Algebra 2, kolokwium 1, zestaw b Wrocªaw, 30 kwietnia 2010
1. Sprawd¹, »e zbiór V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} jest podprzestrzeni¡ przestrzeni liniowej R3. Znajd¹ baz¦
przestrzeni V i podaj jej wymiar.
2. Zbadaj liniow¡ zale»no±¢ wektorów 1 + x + x2+ x3+ x4, 1 − x + x2− x3+ x4, 1 + x + x2, x2+ x3+ x4, x + 2x2+ x3 w przestrzeni R[x].
3. Okre±l liczb¦ rozwi¡za« podanego ukªadu równa« w zale»no±ci od warto±ci parametru p:
x + py = −p
px + y = p
(2p + 1)x − (2p + 1)y = p
Mateusz Kwa±nicki
