1 | | | | | | | | | | | Σ Σ | | Σ | Σ Σ Σ Σ Wojciech Szymaoski, Paweł Kędzior Algebra – Zadanie 2.21

1

Algebra – Zadanie 2.21

Wojciech Szymaoski, Paweł Kędzior

Treść zadania: Pokazad, że jeżeli p jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą |G| i H ≤ G,

|G : H|= p, to H G.

Rozwiązanie:

Skoro H ≤ G , to zdefiniujmy automorfizm Φ : G→

Σ

^[G:H] , który działa w następujący sposób : Φg(xH) = gxH, gdzie g ∈ G, xH ∈ G/H. Innymi słowy, jeśli podziałamy Φg na warstwy lewostronne G względem podgrupy H mnożąc g przez każdą warstwę to w wyniku otrzymamy permutację tych warstw. Przekształcenie Φ posiada jądro, które oznaczmy jako kerΦ. Wiemy, że ker Φ G.

Prawdą jest również, że ker^Φ ≤ H. Dlaczego?

Załóżmy, że tak nie jest, tzn. istnieje g ∈ ker ^{Φ ,} takie, że g H. Skoro g ∈ ker ^Φ to Φg(xH) = gxH=xH.

W szczególności Φg(H) = gH=H, ale skoro gH=H to znaczy, ze g ∈ H. Otrzymaliśmy sprzecznośd.

Zatem ker^Φ ≤ H.

Określmy teraz rzutowanie π: G → G/ker ^Φ wzorem π(g)=gker ^Φ. Zdefiniowaliśmy wcześniej automorfizm Φ : G →

Σ

^[G:H]. Korzystając z twierdzenia o homomorfizmie istnieje dokładnie jeden monomorfizm ψ: G/ker ^Φ →

Σ

^[G:H] . Skoro ψ jest monomorfizmem to |G:ker^Φ|=|imψ|.

Imψ ≤

Σ

^{[G:H] ,} a zatem z twierdzenia Lagrange'a |imψ|

|

|

Σ

^[G:H] |. Z założenia zadania |G : H|= p, a

więc |

Σ

[G:H] |=|

Σ

p|=p! . To oznacza, że |imψ|

|

p! , ale| G:ker Φ |=|imψ|, czyli |G:kerΦ|

|

p!

Z twierdzenia Lagrange'a |G|= |G:ker^Φ |·|ker^Φ| , a więc |G:ker^Φ|

|

|G|.

Niech |G:kerΦ|= … , gdzie ∀i ∈ {1,..,k} pⁱ – liczba pierwsza , ⁱ > 0.

Załóżmy, że istnieje i ∈ {1,..,k} takie, że pi<p . Wtedy oczywiście pⁱ

|

|G:ker Φ|. To oznacza, że pⁱ ||G|, bo |G:ker ^Φ| ||G|. Otrzymaliśmy sprzecznośd, bo p miało byd najmniejszą liczbą pierwszą

dzielącą |G|. Zatem ∀ⁱ ∈ {1,..,k} pⁱ p.

Załóżmy więc, że istnieje j ∈ {1,..,k} takie, że pj > p. Wtedy pj

|

|G:kerΦ|, z tego wynika, że pj

|

p! , bo |G:kerΦ|

|

p! . Otrzymaliśmy sprzecznośd , bo p^j – liczba pierwsza > p. Zatem ∀j ∈ {1,..,k} p^j ≤ p^. A więc |G:ker^Φ| = .

Załóżmy, że k >1. To oznacza, że

|

, czyli

|

|G:ker^Φ|. To oznacza, że

|

p! , bo

|G:kerΦ|

|

p! . Jeśli

|

p! to p

|

(p-1)! . Otrzymaliśmy sprzecznośd. Zatem |G:kerΦ| = p.

Z założenia zadania |G : H|= p, ale |G:ker^Φ| = p, czyli |G:ker^Φ|=|G : H| . To oznacza, że |ker^Φ|=|H|.

Wcześniej wykazaliśmy, że kerΦ ≤ H, z tego wynika, że kerΦ = H. A więc H G .