U(nie)jednorodnianie nierówności
Bartłomiej BZDĘGA
W całym artykule stosujemy oznaczenia X = (x1, . . . , xn) oraz
19
W skazó wkido
zadań
1.
Po ujednorodnieniu
otrzymamy )> +c +b )(a +ca +bc (ab
9abc ,co
się średnią wnościmiędzy aharmoniczną. donieró adza sprow arytmetyczną
2.
Wcelu ujednorodnienia
lewą
stronę ,a przezabc pomnożyć nierówności
praw
ą skorzystać .Następnie +ca +bc przezab
znieró wności
+y x2 2
> x+y 2 x+y
.
3.
Zapisać +bc a
=a (a +b +c )+
=( bc +b a )(a +c
) wność ymi orzystaćnieró Wyk . 2 x+y dwiemaanalogiczn xy6 równościami. √ wrazz
4.
Po ujednorodnieniu
mamy
wykazać 3 > 2 +c 2 +b 2 nierówność a
abc(a √ +b +c ).
Możnato wność nieró stronami arytmetyczną dając zrobić,do międzyśrednią
igeometryczną
2+ 4a
+c2 b26
6 √ >
8 a
2 b
2 c
orazdwie nierówności
analogiczne. = +c +b Przyjąća 5.
12
iudo wodnić,
że p
a 1−
>2 a
dla0 a
<a
1 <
oraz 2
analogiczniedla ic b .
6.
Przyjąćw arunek +b a +c
=1
.Wtedy an
= b+c an 1−
=a a
+a n
+a n+1
+. n+2
..
Korzysta jącdla
k>
n>
1z
nierówności k p
+bk ak
+ck 3
a+b+ >
c
,otrzymam 3
y
k a
k +b
k +c
1 3k >
.T −1
ęostatnią
nierówność wystarczyzsumo
wać
dla .. ,. +2 ,n +1 n =n, k
7.
Znów przyjąć,że
+b a +c
=1
. wykazaćdla wnościamimiędzy sięnieró otęgowymi, Posługując średnimip
k>
n
nierówności
n
p
+bn an
+cn 3
k (a
k +b
k +c )6
k+1 6a
k+1 +b
k+1 +c izsumo wać je.
aX= (ax1, ax2, . . . , axn). Będziemy pisać F (X) dla oznaczenia wyrażenia, w którym występują zmienne x1, x2, . . . , xn. Zbiór Rn+stanowią te X, w których x1, . . . , xn>0.
Stopniem jednomianu J(X) = xk11. . . xknn nazywamy liczbę d = k1+ . . . + kn. Równość J(aX) = adJ(X) jest podstawą do uogólnienia pojęcia stopnia: jeśli istnieje takie d, że dla każdego a > 0 zachodzi równość F (aX) = adF(X), to wyrażenie F nazywamy jednorodnym, a liczbę d – jego stopniem. Zauważmy, że dla każdego d możemy powiedzieć, że wyrażenie zerowe ma stopień d.
Nierówność N (X), w której występują zmienne x1, . . . , xn, nazywamy jednorodną, jeśli obie jej strony są wyrażeniami jednorodnymi tego samego stopnia.
Załóżmy, że nierówność N (X) jest pod pewnym warunkiem W równoważna
jednorodnej nierówności N∗(X), przy czym warunek W ma postać F1(X) = F2(X), w której F1i F2są jednorodnymi wyrażeniami różnych stopni, które przyjmują wyłącznie dodatnie wartości. Jest wówczas jasne, że jeśli N∗(X) zachodzi dla wszystkich X ∈ Rn+, to N (X) zachodzi dla wszystkich X ∈ Rn+spełniających warunek W.
Takie postępowanie spotykamy dość często – za pomocą danego warunku W ujednorodniamy nierówność po to, by ją wykazać w postaci jednorodnej. Dzięki powyższemu twierdzeniu ten ostatni krok można wykonać już bez korzystania z warunku W. Taką metodą rozwiązujemy zadania 1–4, a także zadanie 5 z kącika nr 5.
Mniej oczywiste i dość zaskakujące jest to, że ta implikacja działa również w drugą stronę: jeśli N (X) zachodzi dla wszystkich X ∈ Rn+ spełniających warunek W, to N∗(X) zachodzi dla wszystkich X ∈ Rn+.
Dla dowodu ustalmy dowolne X ∈ Rn+oraz połóżmy r = F1(X)/F2(X)
i a = r1/(d2−d1) (d1i d2są stopniami odpowiednio F1 i F2). Otrzymujemy wtedy równości
F1(aX) = ad1F1(X) = ad1rF2(X) = ad1ra−d2F2(aX) = F2(aX),
czyli zachodzi warunek W. Z tego wynika, że nierówności N (aX), N∗(aX) i N∗(X) są równoważne, co kończy dowód wobec dowolności X.
Konsekwencją tego faktu jest to, że przy dowodzeniu nierówności jednorodnej dodatnich zmiennych możemy dodatkowo przyjąć dowolny warunek W mający wyżej opisaną postać. Można to poćwiczyć na zadaniach 5–7.
Zadania
1. Wykazać, że jeśli liczby a, b, c > 0 spełniają warunek abc = a + b + c, to ab+ bc + ca > 9.
2. Liczby dodatnie a, b i c spełniają równość ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a2+ b2
ab(a + b)+ b2+ c2
bc(b + c)+ c2+ a2 ca(c + a) > 1.
3. Liczby dodatnie a, b i c spełniają warunek a + b + c = 1. Dowieść, że√ a+ bc +√
b+ ca +√
c+ ab 6 2.
4. Udowodnić, że jeśli iloczyn liczb dodatnich a, b, c jest równy 1, to a2+ b2+ c2> a + b + c.
5. Wykazać, że dla a, b, c > 0 prawdziwa jest nierówność
r a
a+ 2b + 2c+
r b
2a + b + 2c+
r c
2a + 2b + c> 1.
6. Udowodnić, że dla liczb dodatnich a, b i c oraz liczby całkowitej n > 0 zachodzi nierówność
an b+ c + bn
c+ a+ cn a+ b > 3
2
a+ b + c 3
n−1
.
7. Dowieść, że dla liczb dodatnich a, b i c oraz liczby całkowitej n > 0 zachodzi nierówność
an+1
b+ c + bn+1
c+ a+ cn+1 a+ b >
an b+ c+ bn
c+ a+ cn a+ b
n
ran+ bn+ cn
3 .
