9. Estymacja przedziaªowa

Statystyka matematyczna (4 zas., 2011/2012)

9. Estymacja przedziaªowa

Zad. 9.1 Niech X1, . . . , X_nb¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu N(µ, σ0²), gdzie σ0 > 0 jest znane. Skonstruuj najkrótszy 100(1 − α)% przedziaª ufno±ci dla parametru µ.

Zad. 9.2 Niech X1, . . . , X_nb¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu U(0, θ), θ > 0. Zbuduj najkrótszy przedziaª ufno±ci dla θ na poziomie ufno±ci 1 − α, dla ustalonego α.

Zad. 9.3 Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu ujemnego wykªadni- czego E µ,¹_σ

o dystrybuancie

F_µ,σ(x) = 1 − exp



−x − µ σ



, x > µ.

Wiadomo, »e zmienne losowe X1:n i Pⁿ

i=1

(X_i− X_1:n)s¡ niezale»ne, oraz, »e

n

X

i=1

(X_i− X_1:n) ∼ Γ



n − 1, 1 σ

 .

Znajd¹ estymator przedziaªowy na poziomie ufno±ci 1 − α dla (a) parametru σ,

(b) parametru µ, gdy σ jest znana, (c) parametru µ, gdy σ nie jest znana.

Zad. 9.4 Niech X = (X1, . . . , X_m) i Y = (Y1, . . . , Y_n) b¦d¡ dwiema niezale»nymi pró- bami z rozkªadów N(µX, σ_X²)i N(µY, σ²_Y)odpowiednio. Poda¢ przedziaª ufno±ci na poziomie ufno±ci 1 − α dla σX²/σ_Y², przy zaªo»eniu, »e parametry µX i µY nie s¡

znane.

Zad. 9.5 Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Poiss(λ). Wiadomo,

»e 2√

X¯ jest asymptotycznie normalnym estymatorem wielko±ci 2√

λ. Wyznacz asymptotyczny przedziaª ufno±ci dla parametru λ na poziomie ufno±ci 1 − α.

Zad. 9.6 Skonstruowa¢ asymptotyczny przedziaª ufno±ci dla prawdopodobie«stwa suk- cesu θ w schemacie Bernoullego metod¡ stabilizacji wariancji.

1