rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008)
13. Estymacja przedziałowa
1. W losowo wybranej grupie 10 samochodów marki Skoda przeprowadzono badanie zużycia benzyny. Okazało się, że średnie zużycie benzyny (w l/100 km) dla tej grupy wyniosło 8,1.
Zakładając, że badana cecha ma rozkład normalny o odchyleniu standardowym równym 0,8, wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie ufności 99%.
2. Zważono 10 torebek z nasionami nasturcji i otrzymano następujące wyniki (w gramach):
7 8 9 9 10 10 11 11 12 13. Na podstawie powyższych wyników, na pozio- mie ufności 0,9, skonstruować przedział ufności dla średniej wagi torebek z nasionami.
Zakładamy, że rozkład wagi torebek jest normalny.
3. W centrali telefonicznej dokonano 17 pomiarów długości rozmów w ciągu pewnego dnia i otrzymano (w min): ¯x = 5, 48, ˆs = 1, 16. Przy założeniu, że długości rozmów mają rozkład normalny wyznaczyć przedział ufności dla średniej długości rozmowy na poziomie ufności 0,95.
4. Zmierzono średnice 51 drzew wybranych losowo w lesie sosnowym i otrzymano średnią średnicę równą 37,3 cm oraz wariancję z próby s2 = 13, 5 cm2. Zakładając, że średnice drzew mają rozkłady normalne, wyznaczyć 90% przedział ufności dla wartości oczekiwanej średnicy drzewa w tym lesie.
5. W pewnej przychodni lekarskiej wśród losowo wybranych 980 osób poddanych prześwie- tleniu małoobrazkowemu stwierdzono zmiany chorobowe u 10 z nich. Na poziomie ufności 0,95 wyznaczyć przedział ufności dla frakcji osób chorych wśród wszystkich osób obsłu- giwanych przez tę przychodnię.
6. Obliczyć niezbędną liczbę pomiarów, jaką należy wykonać w celu wyznaczenia 95% prze- działu ufności o długości nie przekraczającej 0,08 mm dla wartości przeciętnej grubości tkaniny, wiedząc, że cecha ta ma rozkład normalny o odchyleniu standardowym 0,1 mm.
7. W celu wyznaczenia wartości przeciętnej długości drogi hamowania samochodu przepro- wadzono 12 prób i otrzymano odchylenie standardowe s = 1, 33. Zakładając, że droga hamowania ma rozkład normalny, zbadać, czy liczba prób jest wystarczająca do znale- zienia 90% przedziału ufności dla wartości przeciętnej o długości nie większej niż 0,5 m.
Jeśli nie, jaką liczbę prób należy jeszcze przeprowadzić?
8. Jak liczna powinna być próba, jeżeli przy współczynniku ufności 0,99 chcemy oszacować, jaka część gospodarstw wiejskich posiada przynajmniej jedną żniwiarkę? Z poprzednich badań wiadomo, że frakcja ta wynosiła 0,4. Zakładamy, że błąd szacunku nie powinien być większy niż 0,01.
9. Jak liczna powinna być próba, aby na poziomie ufności 0,95 ustalić procent wyrobów wadliwych, zakładając, że błąd oszacowania powinien być równy 0,03?
10. Z jakim prawdopodobieństwem oczekiwać można, że przedział liczbowy [52, 8%, 67, 2%]
będzie jednym z wielu, które określą odsetek studentów uczęszczających na wykłady profesora X, jeżeli na losowo wybranym wykładzie, prowadzonym przez tego profesora w zeszłym semestrze stwierdzono obecność 303 studentów na 500 zapisanych?
1
