• Nie Znaleziono Wyników

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zawody trzeciego stopnia (16 marca 2013 r.)

1. Liczby całkowite a, b, c spełniają warunek a+b+c = bc. Udo- wodnij, że liczba (a + b)(a + c) jest podzielna przez 4.

2. Na przyjęciu spotkało się 99 osób. Wiadomo, że wśród każ- dych trzech osób można wskazać taką, która zna dwie pozostałe osoby z tej trójki. Wykaż, że pewna osoba zna wszystkie inne osoby obecne na przyjęciu.

Uwaga. Przyjmujemy, że jeśli osoba A zna osobę B, to osoba B zna osobę A.

3. Dany jest trójkąt ABC, w którym < ) ACB = 120

◦

. Punkt M jest środkiem boku AB. Na odcinkach AC i BC wybrano od- powiednio takie punkty P i Q, że AP = P Q = QB . Wykaż, że

< ) P M Q = 90

◦

.

4. Liczby a, b, c, d są większe od 2. Wykaż, że co najmniej dwie spośród liczb

ab

c , bc

d , cd

a , da b są większe od 2.

5. Czy istnieje taki wielościan wypukły, który ma nieparzystą

liczbę ścian i w którego każdym wierzchołku schodzi się parzysta

liczba krawędzi? Odpowiedź uzasadnij.

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 146.95 KB )

Powiązane dokumenty

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Czy na powierzchni każdego czworościanu można wskazać ta- kie cztery punkty, które są wierzchołkami kwadratu i z których żadne dwa nie leżą na jednej ścianie tego

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Po turnieju wszyscy zawodnicy usiedli przy okrągłym stole w taki sposób, że każdy zawodnik wygrał z osobą siedzącą obok niego z jego lewej strony.. Dany jest czworościan

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Po turnieju wszyscy zawodnicy usiedli przy okrągłym stole w taki sposób, że każdy zawodnik wygrał z osobą siedzącą obok niego z jego lewej strony.. , A n−1 spełnia

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Wyznacz liczbę trójkątów równo- ramiennych, których wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami danego

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Adresy Komitetów Okręgowych, informacje o kwalifikacji do zawodów stopnia drugiego, zadania z poprzednich edycji OMG oraz inne informacje można znaleźć na stronie internetowej

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Wy- każ, że pewne cztery z tych osób mogą usiąść przy okrągłym stole w taki sposób, aby każda z nich siedziała pomiędzy swoimi dwoma znajomymi.. Czy istnieje taki

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Oznaczmy przez P punkt przecięcia prostych BC i AD. Wówczas z równości kątów danych w treści zadania wynika, że trójkąty ABP i DCP są równoboczne.. Na przyjęciu spotkało

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Czy istnieje wielościan wypukły mający dokładnie 100 ścian, z których przynajmniej jedna jest 99-kątem i taki, że w każdym jego wierzchołku zbiegają się dokładnie