• Nie Znaleziono Wyników

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zawody stopnia drugiego (9 stycznia 2010 r.)

1. Danych jest 21 liczb rzeczywistych. Wiadomo, że suma każ- dych jedenastu spośród tych liczb jest większa od sumy pozo- stałych dziesięciu. Wykaż, że wszystkie te liczby są dodatnie.

2. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym

< ) BAD = < ) ABC = 60

◦

oraz CD < BC .

Na boku BC tego trapezu wybrano taki punkt E, że EB = CD.

Wykaż, że BD = AE.

3. Wyznacz wszystkie takie dodatnie liczby całkowite n, dla których obie liczby

n

2

+ n + 1 oraz n

2

+ n + 3 są pierwsze.

4. Na przyjęciu spotkało się sześć osób. Okazało się, że każda z nich ma wśród pozostałych dokładnie trzech znajomych. Wy- każ, że pewne cztery z tych osób mogą usiąść przy okrągłym stole w taki sposób, aby każda z nich siedziała pomiędzy swoimi dwoma znajomymi.

5. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda kra- wędź boczna jest prostopadła do którejś krawędzi podstawy?

Odpowiedź uzasadnij.

Uwaga:

Proste prostopadłe w przestrzeni nie muszą się przecinać.

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 60.30 KB )

Powiązane dokumenty

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Czy istnieje taki wielościan wypukły, który ma nieparzystą liczbę ścian i w którego każdym wierzchołku schodzi się parzysta liczba krawędzi..

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

1. Każda drużyna rozegrała z każdą inną dokładnie jeden mecz. Po turnieju okazało się, że suma punktów zdobytych przez wszystkie drużyny wynosi 41. Wykaż, że ist- nieją

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Adresy Komitetów Okręgowych, informacje o kwalifikacji do zawodów stopnia drugiego, zadania z poprzednich edycji OMG oraz inne informacje można znaleźć na stronie internetowej

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Oznaczmy przez P punkt przecięcia prostych BC i AD. Wówczas z równości kątów danych w treści zadania wynika, że trójkąty ABP i DCP są równoboczne.. Na przyjęciu spotkało

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Czy istnieje wielościan wypukły mający dokładnie 100 ścian, z których przynajmniej jedna jest 99-kątem i taki, że w każdym jego wierzchołku zbiegają się dokładnie

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Jeśli b oznacza jakąkolwiek inną napisaną liczbę dodatnią, to zgodnie z warunkami zadania napisana została także liczba a + b, która jest większa od a.. Stąd wniosek, że

IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zawody stopnia pierwszego Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów polegają na rozwiązywaniu przez uczniów siedmiu zadań.. Uczestnicy mogą korzystać z książek, konsultować się

IV Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Czy istnieje taki wielościan wypukły, który ma nieparzystą liczbę krawędzi i którego każda ściana ma parzystą liczbę bo- ków..