ruch układu pod wpływem danych sił czynnych. Np:
O b r ó t c i a ł a s z t y w n e g o o k o ł o s t a ł e j os i z pmninięciem tarcia w łożyskach pod wpływem jakichkolwiek sił czynnych Przy chwilowej prędkości kątowej w i momencie bezwładności 1 wzgledem osi obrotu, jest
wartością energji kinetycznej tego ciała. Stosując zasadę pracy dla nieskoń
czenie małego przyrostu energji kinetycznej w czasie d t , otrzymujemy ^ zważywszy, źe praca reakcyj łożysk i sił wewnętrznych jest równa zeru,
I to cZu) = 9)ł to dł1
jeżeli S Momoś oznacza ogólny moment sił czynnych wzgledem osi obrotu. Stąd
¿to 3K i ;
czyli przyśpieszenie kątowe równa sie ilorazowi z momentu sił czynnych względem osi obrotu przez moment bezwładności ciała względem tejże osi.
9S. Z asada d’A lem b erta sprowadza zagadnienie ruchu układu mate- rjaliiego pod wpływem danych sił działających do zagadnienia równowagi na podstawie następującego rozumowania: Siły zewnętrzne i J(., działające na punkty m i układu materjalnego, nie wywołują wogóle takich przyśpieszeń
■ tych punktów, jakieby zachodziły, gdyby te punkty j«(. były swobodne i zupełnie nieżależue od innych punktów materjalnych układu. Atoli w mysi zasadniczych praw dynamiki można traktować każdy z punktów układu jako swobodny, ale pozostający pod wpływem nie tylko danej siły i ' , lecz także pewnej siły W { zastępującej więzy nałożone punktowi m i i siły (wewnętrzne), któremi działają nań inne punkty materjabie układu. Obie to siły udzielają punktowi m- przyspieszenia <t.. To przyspieszenie rzeczywiste dałoby się oczywiście znieść działaniem na punkt mi siły fikcyjnej B {- = —- ))i.a ., Nazywamy ją s i ł ą (albo o p o r e m) b e z w ł a d n o ś c i . W każdem przeto położeniu poruszającego się układu materjalnego (fikcyjne) siły bezwładności równoważą się z siłami zewnętrznemi, o ile siły wewnę
trzne same sie nawzajem znoszą. Tak się rzecz ma w przypadku ciała sztywnego lub układu ciał sztywnych połączonych ze sobą przegubami bez tarcia, niciami nierozciągliwemi itp. W innych przypadkach należy do sił zewnętrznych oddzielnych punktów materjalnych układu zaliczyć nadto te sity wewnętrzne, których praca przygotowana jest rożna od zera.
Zasadę d’Alemberta wyrażamy przy pomocy zasady prac przygotowanych równaniem:
G3
1 0 7 2 M echanika ogólna.
Zasada ru c h u środka m asy i zasada pól. 1 0 7 3
(je ż e li 1 — M r i ) n a z y w a s ią d ł u g o ś c i ą s p r o w a d z o n ą d a n e g o w a h a d ła fiz y c z n e g o a lb o w ie m o k r e s j e g o p e łn e g o w a h n ie m a (p r zy b a r d z o m a ły m k ą c i e a m p litu d y a ) w y r a ż a s ię w zorom :
- i - j .
P r z y p o m o c y t w ie r d z e n ia z t e o r j i m o m e n t ó w b e z w ła d n o ś c i I? = x I0 Ą - M a * ła t w o d o w ie ś ć , ż e z a w ie s iw s z y w a h a d ło n a o s i r ó w n o le g łe j d o p ie r w o tn e j i p r z e c h o d z ą c e j p r z e z ś r o d e k w a h n ie n ia 0 o tr z y m u je m y z n o w u t e n s a m c z a s w a h n io n ia , c h o c ia ż z m i e n i ła s ią o d l e g ło ś ć środk a c ię ż k o ś c i o d o s i o b r o tu .
Z w a r u n k ó w r ó w n o w a g i s ił b e z w ła d n o ś c i z c ię ż k o ś c ią i r e a k c ja m i o s i o b r o tu n i e tru dno ter a z w y z n a c z y ć t e o s ta t n ie .
99. Z asada rncliu śro d k a m asy i zasad a pól, czyli za sa d a m om entów ilości ruchu (pędów ). Siły wewnętrzne jakiegokolwiek układu materjalnego nie wpływają na ruch środka masy tego układu, który odbywa się tak, jak ruch punktu materjalnego o masie (M = S >»f.) równej całej masie układu pvd działaniem wszystkich sił zewnętrznych P{ układu przeniesionych do środka masy.
albo A = £ 1 7 ;
jeżeli Mpa =fcE»i. vl (r0,v 0 promień wektor i prędkość środka masy układu).
Dowód wynika /. dodania równań ruchu wszystkich punktów materjalnych układu, ponieważ suma sił wewnętrznych równa się zeru. Podobnież uwzględniając, że geometryczna sama momentów sił wewnętrznych układu jest dla każdego środka momentów 0 równa zeru, znajdujemy łatwo ró
wnanie :
■Ą— S Mom0 m. Vj = £ Mom0 1).
d t j f
Dla wygody wysłowienia t. zw. z a s a d y p ó l wyrażonej powyŻBzem ró
wnaniem, nazwiemy sumę geometryczne momentów ilości ruchu względem punktu O, czyli -2 Mom0 m,■ »,■ = K , k r ę t e m układu. A zatem:
Dla dowolnie obranego pmiktu przestrzeni O jest prędkość zmiany (po
chodna względem czasu) krętu jakiegokolwiek układu materjalnego (ge
ometrycznie) równa ogólnemu momentowi sił zewnętrznych tegoż układu.
Posługując się metodą analityczną otrzymujemy z po
wyższego równania wektorowego trzy następujące:
i
T S (•"■T T - *<■
T r i ” S < 1 I ' “ T‘#(i v<
i d y i d X i\ _
17 P
~ d T ~ V i~ d t I ~~
^ \ ~~ “Wyrażenia w nawiasach po lewej stronie mają proste znaczenie kinematyczne, albowiem przedstawiają po
dwójne prędkości wycinkowe rzutów punktów mi na odpowiadające płasz
czyzny spółrzędnych (fig. 110). Tem się tłumaczy nazwa „zasady pól“.
100. Szczególne p rzy p a d k i i p rzy k ła d y za sto so w a n ia za sa d y ruchn
• środka m asy i zasad y pól. Pierwsza zasada, wyrażona drugiem z równań na początku art. 99, daje się także wysłowić w postaci: Prędkość zmiany pędu jakiegokolwiek układu materjalnego równa się wypadkowej sił ze
wnętrznych układu. (Przez pęd układa rozumiemy przytem sumę 2 m i o■
B r y la , Podręcznik inżynierski. VI. 70 ^
1 0 7 4 M echanika ogólna.
równą M«0, tj. pędowi całej masy skupionej w środku masy i poruszającej się z prędkością tego środka.)
W przypadku gdy niema sił zewnętrznych, albo gdy £ P. — 0, jest M va — stałej, czyli środek masy układu porusza się jednostajnie i prosto
liniowo, albo w szczególności jest w spoczynku.
X iz y kłady. 1. Dwa ciała o masach 1/; x 1/jj są w ruchu postępowym prostolinjowym ze stalemi prędkościami v1 i v2.~ To dowodzi, że siły ze
wnętrzne na nie działające albo się znoszą, albo" też ich niema wcale. Skoro te ciała podczas ruchu się zderzą, to powstają między niemi wewnetrzne siły uderzenia, które sprawią, że ich prędkości staną" się inno po rozłączeniu się obu ciał w przypadku uderzenia (choćby częściowo) sprężystego. * Ozna
czywszy je przez iflj i w, mamy według zasady ruchu środka masy:
Mi -J- Ma v2 — Mi Wi -|- l i , iot .
W szczególnym przypadku zderzenia prostego i środkowego otrzymujemy zamiast powyższego równania wektorego równauic algebraiczne:
Mi Vi -)- M., ns ==! Mi to! - f - l / 2 ws .
_ “■ Środek masy bomby rzuconej t. zw. miotaczem min opisuje z po
minięciem wpływu oporu powietrza parabolę. Po wybuchu bomby w po
wietrzu poruszają się odłamki, w- różnych kierunkach, ale tak, że ich wspólny środek masy opisuje dalej parabolę do chwili, w której jeden lub więcej z odłamków uderzy o przeszkodę, czyli do chwili pojawienia się nowej siły zewnętrznej obok siły ciężkości.
Kręt układu K — ~£, Mom0 mi vi ma wogóle wartość zależną od obioru punktu odniesienia O, chyba, że spełnia się warunek 2 «1, ^ = 0. Tak sic ma rzecz przedewszystkiem wtedy, gdy środek masy układu jest w spo
czynku, albo też gdy ruch danego układu materjałnego odnosimy do układu . spółrzędnych połączonego niezmiennie z owym środkiem masy.
Obliczenie krętu ciała sztywnegojjrzy jego obrocie chwilowym około osi X (fig- 111) z prędkością kątową <u = tu i, daje
jeżeli I x, O., T)y oznaczają odpowiednio moment bezwładności względem j
osi A' i momenty zboczenia względem osi X , Y oraz X , Z układu spółrzędnych, do którego początku O odnosimy kręt., Ten kręt nie leży przeto wogółe na !
osi obrotu z wyjątkiem ważnego szczególnego przypadku, gdy oś obrotu jest jedną z głównych osi bezwładności.
s*-Wówczas jest
W ogólnym_przypadku można jeszcze inaczej przed- 1 stawić wektor K, rozłożywszy obrót chwilowy z
pręd-Fig. lii. kością kątową u> na trzy obroty około głównych osi bez
władności ciała (wzajemnie prostopadłych), przecinających się na danej osi obrotu, według schematu:
Ul == tOj oj2 tu3.
Wtedy jest
K = Tj tuj -j- / 2 ujj. -{- Ts iu3,
przyczem /, , / 3 oznaczają odpowiadające momenty bezwładności.
6 6
U derzenie. 1 0 7 5
Skoro kręt ciała obracającego się około osi x, nic będącej osią główną, odniesiony do środka O obranego na tej osi, rzutujemy na też oś, to war-
| tością rzutu, czyli składowej krętu w kierunku x jest K ' — I cu.
W przypadku ustalonej osi obrotu otrzymujemy z zasady pól odrazu równanie ruchu obrotowego I - =■ SI.
Kręt jakiegokolwiek układu materjalnego, odniesiony do jego środka
| masy jako początku bezwzględnego układu osi spółrzędnych jest s t a ł y m, jeżeli ogólny moment sił zewnętrznych względem tego środka jest stole równy zeru. Płaszczyzna prostopadła do krętu nazywa się wówczas p ł a s z -
| c z yz ną n i e z m i e n n ą .
P r z y k ł a d y , l . Z ie m ia n a s z a z a c h o w u j e s ię z w i e lk ie m p r z y b liż e n ie m j a k c ia ł o s z ty w n e, obraoajq.ee s ią o k o ł o g łó w n e j o s i b e z w ła d n o ś c i p r z e c h o d z ą c e j p r z e z je j ś r o d e k m a s y . I Jej k ręt I w m u s i b y ć p r z e to s ta ły m i n ie z a le ż n y m o d s ił w e w n ę t r z n y c h . J e ż o li z a ś s t y g n ie cie z ie m i w y w o łu j e je j k u r c z e n ie s ię , i c o z a te m i d z ie z m n ie j s z a n ie m o m e n t u b e z w ła d n o ści I , to m u s i o d p o w ie d n io z w i ę k s z y ć s ię p r ę d k o ś ć k ą t o w a je j o b r o tu , a b y I w pozostało H a łe m . T e m u p r z e c iw d z ia ła p o n ie k ą d .s p a d a ją c y n a z ie m ię p y ł k o s m ic z n y , który z w ię k s z a I .
2. T r a tw ę p ły w a j ą c ą n a s p o k o j n e j w o d z ie m o ż n a o b r ó c ić d o k o ł a o s i p io n o w e j o d o w o ln y k ą t b e z u ż y c ia w i o s e ł i t p , m a sz e r u ją c p o to r z e z a m k n ię t y m n a t r a t w ie w ty m sa m y m kieru nku. W n a jp r o s ts z y m p r z y p a d k u k o l i s t e g o <• to r u o b s a d z o n e g o r ó w n o m ie r n ie z a ło g ą i m aszerującą z e s ta łą p r ę d k o ś c ią k ą t o w ą ( b e z w z g lę d n ą ) o k o ł o ś r o d k a m a s y tr a tw y o s ią g a m y 'je j o b r ó t w k ie r u n k u * p r z e c iw n y m z p r ę d k o ś c ią k ą t o w ą o u ; k t ó r y t r w a t a k długo, aż z a ło g a s ta n ie . A lb o w ie m k r ę t t r a t w y o m o m e n c ie b e z w ła d n o ś c i 7, b y ł n a p o - r czątku r ó w n y z e r u , a w i ę c p o d c z a s m a r s z u m u s ia ło b y ć / , oj, -{- / a co2 — 0 (z p o m in ię c ie m
n ie zn a cz n e g o o p o r u r u c h u ) . S tą d ła tw o o b lic z y ć z d a n e g o cu,.
C. Uderzenie.
101. Określenia i pomocnicze twierdzenia z dynamiki. Uderzenie i zachodzi,- gdy poruszające się dwa ciała stałe zetkną się podczas ruchu w ten
|r sposób, że każde z nich stanowi przeszkodę dla ruchu drugiego. Uderzenie z mi e ni a zatem ruch obu ciał, a zmianę tą określa — w myśl zasad dyna
miki — s i ł a u d e r z e n i a . Ta siła powstaje w miejscu stykania się ciał, i działa nie dłużej jak trwa zetknięcie się. Czas jej działania nazywa się t r wa n i e m u d e r z e n i a i bywa zwykle bardzo krótki. W ciągu tego czasn i siła uderzenia P rośnie od zera do pewnego maximum, a następnie maleje
| aż do zera. Jej działanie mierzy najdogodnej t. zw.
t + 7 impuls siły = II =
j
I ‘d t,t
\ jeżeli t oznacza trwanie uderzenia, a tchwilę początkową. Wektor d11 = P d t
\ nazywa się i m p u l s e m c h w i l o w y m , albo elementarnym.
Jeżeli siła P działa na punkt materjalny o masie m, to stosownie do
; punktu 3. jest — ,
J P d t — d ( m r )
i a stąd przez całkowanie w przedziale czasu t : m v' — m v =
J
P d t — II,czyli: G e o m e t r y c z n y p r z y r o s t p ę d u (ilości ruchu) p u n k t u m a t e r j a l n e g o r ó w n a s i ę i m p u l s o w i o d p o w i a d a j ą c e j s i ł y.
To twierdzenie pozostaje ważnem dla ciała skończonego, jeżeli ruch ciała był postępowym na początku działania siły a impuls tej siły przechodzi przez środek masy ciała.
70
* 6 71 0 7 6 M echanika ogólna.
Impuls sity uderzenia można przeto mierzyć wielkością przyrostu pędu jaki ona wywołuje. Wielkość zaś samejf siły uderzenia zależy od trwania t i jest tem większa, im t jest krótsze. Średnia wartość siły uderzenia jes bowiem równa ilorazowi z impulsu 11 przez trwanie t.
Jeżeli w początkowej chwili uderzenia ciała dotykają się ścianami regularnie zakrzywionemu, to wspólna normalna w punkcie zetknięcia sif tych ścian nazywa się n o r m a l n ą u d e r z e n i a (osią uderzenia).
Uderzenie nazywa się ś r o d k o w e m lub m i m o ś r o d k o w e m (dla je dnego z obu ciał) stosownie do tego czy normalna uderzenia przechodi lub nie przez środek masy ciała. Uderzenie nazywamy nadto p r o s t e m M;
u k o ś n e m (dla jednego z obu ciał) zależnie od tego, czy prędkość śridla masy tego ciała jest równoległa, czy też nachylona (lo normalnej uderzeniu Ponieważ siły uderzenia są dla układu złożonego z obu ciał siłami ive|
wnętrznemi, przeto uderzenie nie może zmienić wartości geometrycznej Suim' pędów obu ciał. Skoro te ciała o masach W i j i h i2 poruszały się przed ude-j rżeniem postępowo z prędkościami v, i ¿>3, a po uderzeniu (również posifrl powo) z prędkościami w1 i U'2 j wówczas
Ui -}- nh va — Mi Wj -|- »¡2 li’»
bez względu na własności fizykalne obu ciał.
Natomiast całkowita energja kinetyczna obu ciał po uderzeniu jest góle mniejsza od takiejże energji przed uderzeniem. W idealnym przypadk równości energij przed i po uderzeniu mówimy o uderzeniu doskonal i ! s p r ę ż y s t e m .
W dobrem przybliżeniu mamy z takiem uderzeniem do czynienia w przj padku zderzenia się przetaczanych ostrożnie na stacji wagonów kolejowyci;
albo w przypadku kul bilardowych z kości słoniowej.
102. Uderzenie środkow e i prosto. Jeżeli np. kula o masie ni! i pręłj kości »! zderzy się z kulą o masie nu i prędkości t;„ (fig. 112), to poi:
wpływem nacisku (siły) uderzenia w miejscu zetknięcia się nastąpi spłaszczeni' obu ciał rosnące aż do chwili zrównania się ich prędkości. Wspólną wartość li
tych prędkości po pierwszym „akcie“ uderzenia określa równanie pędów.i W „akcie“ drugim wzajemny nacisk obu ciał maleje aż do zera. Impuls 1!.!
tego nacisku zmienia pęd M i , u na m, wj i nu u na »i, 10,. Oznaczywszjl przez ITj impuls nacisku (siły) uderzenia w akcie pierwszym, mamy:
«H l'i ■)- >»2 0* =* (nh “1-»»*) u = nii >°i m2 u’i
llj — «i, (;;, — u) — m2 (u — v2) ; 1I2 = nii (« — wi) — »»2 (ivz — »)■
Gdy llj = II2, to uderzenie nazywamy doskonale sprężystem; gdy 112 ==C
— doskonale niesprężystem(czyliplastyczuem). WogólejestII, > Il3, astosunrll 1 i2/ilx nazywamy sp ó ł c z y n n i k i e m u d e r z e n i a h. Jego wielkość określi
równanie: , , . :
k = (i/;2 — Wi)! (v, — v2).
Strata energji wskutek uderzenia wyraża się wzorem:
x etr - ( i - k 2) ...,
8tr 2 nii + ms
z którego czytamy, że największa strata zachodzi dla k = 0, tj. przy ude
rzeniu doskonale niespreżystem; zaś dla k — 1. (uderzenie doskonale sprężysto) jest strata równa 0.
W pierwszym przypadku da się strata przedstawić w formie:
= y mi (»1 — «)* + V ’" 2 — wyrażającej t. zw. twierdzenie Carnofa.
6 8
P r o s te p r z y p a d k i u d e r z e n ia . 1077.
103. U derzenie p ro ste m iinośrodkow e. Przy założeniu upraszczającem, że płaszczyzna, przechodząca przez normalną uderzenia i środek masy ciała jest prostopadła do jego głównej cen
Jednoczesną prędkość u0środka S% i prędkość kątową w obrotu dają wzory:
7łli (vi — e
Ciało spoczywające i swobodne uderzone mimośrodkowo wzdłuż prostej prostopadłej do jednej z głównych centralnych oai bezwładności obraca się na fig. 114, obracające się (przed uderzeniem) z prędkościami kątowemi U)2 i u>2
6 9
Ot1*
F i g . 1 1 4 .
około osi Oi i Oj. A więc prędkości miejsca są: Vi ='»*t <d,, vt — r t »(I- Po pierwszym akcie uderzenia będzie wspólna prędkością tego miejsca:
>»l'.»l+ >»»'*!! • . .
, I l , I iu = ---—r~— ;— , jeżeli >«,' — —
j»i' V »Y*
zaś odpowiadającemi prędkościami kątowemi będą:
u , u
U)i = — , io2 ---
rl r2
Uderzenie wywołuje w tym przypadku wogóle oddziaływanie uderzeni^
(wstrząśnienia) w łożyskach osi. Z p. 104 wynika jednak, że te oddziaływani!;
znikną pod warunkiem, aby normalna uderzenia trafiała t. zw. środek udej rżenia, identyczny ze środkiem wahnienia ciała rozpatrywanego jako wahadl na danej osi obrotu. Jeżeli zatem r<> — e -(- , to oś 0 2 nie dozna wstrzsl śnień wskutek uderzenia w A.
1 0 7 8 M eohanika ogólna.
L I T E R A T U R A .
-4. W j ę z y k u p o ls k im .
1. A u te n r ie t h E . : M e c h a n i k a t e c h n i c z n a . P r z e k ł. z n ie r a . S t . P a t s c h k e ’g o . War e z a w a 1910.
2 . C z o p o w s k i H . : M e c h a n i k a t e o r e t y c z n a . W a r s z a w a 1011 i 191Ü.
3 . F r a n k o J . N . : M e c h a n i k a t e o r e t y c z n a . W a r s z a w a 1889.
4 . K u c h a r z e w s k i F . : M o c h a n i k a w s w y m r o z w ó j u h i s t o r y c z n y m . W a r s z a w a 1921(
6 . B o u th J . : S t a t y k a t o o r e t y c z n a . P r z e k ł. z a n g . Z . S t r a s z e w ic z a . W a r s z a w a 191tj 6 . S t r a s z e w ic z Z . : N a u k a o r u c h u . W a r s z a w a 1918.
B . W j ę z y k a c h o b c y c h .
7 . A p p e ll P .: C o u r s d e M é c a n i q u e r a t i o n e l l e . I I . w y d . P a r y ż 1905.
8 . A p p e ll P . & D a u t h e v i ll e S . ; P r é c i s d o M é c a n i q u e r a t i o n e l l e . P a r y ż 1910.
9 . A p p e ll P . : T r a i t é d e M é c a n i q u e r a t i o n e l l e . W y d . I I . 3 t. P a r y ż 1 9 02 — 1909.
10. B o u lig a n d G .: P r é c i s d o M é c a n i q u e r a t i o n e l l e . P a r y ż 192o.
1 1. L o v e A . E . H . : T h e o r e t i c a l M e c h a n i c s . I I . w y d . C a m b r id g e 1 9 0 6 . ( T a k ż e w przi*;
k ła d z ie n ie m ie c k im H . P o ls t e r ’a . 1 9 2 0 . S p r in g e r ).
1 2 . P e r r y J . : A p p l i e d M e c h a n i c s . L o n d y n 1 9 0 7 . ( T a k ż e w p r z e k ła d z ie n ie m ie ck in ; B . ö c h i c k ’a . 1908. T e u b n e r ).
13. B o u tb K. J . : B i g i d D y n a m i c s . 2 Łom y. W y d . V I I . L o n d y n 1 9 0 5 . ( T a k ż e w prze-j k ła d z ie n ie m ie c k im A . S c h e p p ’a. 1 8 9 8 . T e u b n e r ).
14. A u te n r ie t h E . & E n s s lin M .: T e c h n i s c h e M e c h a n i k . 19 2 2. S p r in g e r .
15 . F ö p p l A . : V o r l e s u n g o n ü b e r t e c h n i s c h e M e c h a n i k , ti t o m ó w . 19 0 0 — 19C5.
T e u b n e r .
1 0 . H a m e i G .: E l e m e n t a r e M e c h a n i k . 1912. T e u b n e r .
1 7 . H e lm h o lt z H . : D v n a m i k d i s k r e t e r M a s s e n p u n k t e . L ip s k 1898. J . A . B artt 18. P la u c k M .: E i n f ü h r u n g i n d i e a l l g e m e i n e M e c h a n i k . I I . w y d . L ip s k 1920
H ir z e l.
1 9 . P ö s c h l T h .: L e h r b u c h d e r t e c h n i s c h e n M o c h a n ' i k . 1923. S p r in g e r . 2 0 . T a l lq n is t H j . : L c h r b u c h d e r t e c h n i s c h e n M e c h a n i k . 2 t o m y . H e ls in g f o r s 1905*
2 1 . E n c y k lo p ä d ie d e r M a th e m a tis c h e n W is s e n s c h a f te n . B d . I V . M e c h a n i k . 4 tonij- 19 0 1— 190S. T e u b n e r .
2 2 . K ir p ic z e w W . L . : B i e s i e d y o m e c h a n i k i e ( r o s s .). P e t e r s b u r g 1 9 0 7 .