C Z Ę Ś Ć S Z Ó S T A '
S T A T Y K A B U D O W L I
T E E S C
M e c h a n i k a o g ó l n a . N a p is a ł in ż . d r.
M a k s y m ilja n T , H u h e r , p r o fe s o r p o l it e c h n ik i, "W arszawa
I . K in e m a ty k a (G e o in e tr ja r u c h u ) . 1009
XX. D y n a m ik a o g ó l n a ... 1018
I H . S t a t y k a ... 1047
I V . K i n e t y k a ...1060
S p r ę ż y s t o ś ć i w y t r z y m a ł o ś ć . N a p is a ł in ż . d r . M a k s y m il j ¡iii T . H u - b e r , p r o f. p o lit e c h n ik i, W a r s z a w a I . C zęść o g ó ln a . . . ...1079
T I. R o z c ią g a n ie i ś c is k a n ie . . . .1 1 0 5 I H . Ś c in a n ie i s k r ę c a n i e ...1111
TV. Z g i n a n i e ... 1116
V . P r a c a o d k s z t a ł c e n i a ... 1141
V I . P r ę ty z a k r z y w i o n e ...1150
V I I . P ł y t y ...1153
V I I I . W y b o c z e n ie ...1106
I X . W a ż n ie j s z e z ło ż o n e p r z y p a d k i z g ię c i a i w y b o c z e n i a ... 1174
S t a t y k a b u d o w l i . N a p is a l i: in ż . d r. J a n B o g u c k i, p r o fe s o r p o li- te c lm ik i, L w ó w ; in ż . d r. S te fa n B r y ła , p r o fe s o r p o lit e c h n ik i, L w ó w ; in ż . S t e fa n P a z ir s k i, L w ó w ; in ż . d r . M a k s y m ilja n T h u llie , p r o fe s o r p o lit e c h n ik i, L w ó w I . B e l k i s ta t y c z n ie w y z n a c z a ln e o ś c ia n c e p e łn e j (B r y ła ) . . . . 1185
I I . K r a t o w n ic e s ta t y c z n ie w y z n a - c z a ln e (iz o s ta ty c z n e ), B r y ł a . .1 2 1 0 I H . K r a to w n ic e p r z e str z e n n o ( B r y ła ) 1232 I V . P r z e s u n ię c ia k r a t o w n ic ( B r y ła ) . 1 2 3 8 V . N a p r ę ż e n ia d r u g o r z ę d n e w b e l k a c h k r a t o w y c h (B r y ła ) . . . . 1 2 4 9 V I . U s t r o je h ip e r a ta ty c z n e ( B r y ła , P a z ir s k i, T h u l l i e ) ... 1256
V n . B u d o w l e z ie m n e i m u r y o p o r o w e (B o g u c k i) ... 1323
V I I I . T e o r ja ż e lb e t u ( T h u llie ) . . . . 1 3 3 2 T a b l i c e ... 3379
P r z e p i s y d o t y c z ą c e o b l i c z e ń s t a - t y c z n y c h w b u d o w n i c t w i e l ą d o w e m ... . 1433
■W
Mechanika ogólna.
N a p is a ł
dr. inż. Maksymiljan T. Huber,
p r o fe s o r p o l it e c h n ik i, L w ó w .
I. Kinematyka (Geometrja ruchu).
A. R uch punk tu .
1. W stęp n e określenie. Mówimy, źe punkt M (lub wogóle ciało C) sie p o r u s z a , jeżeli z u p ł y w e m c z a s u i zmienia swoje położenie w p r z e s t r z e n i g e o m e t r y c z n e j , określonej danym u k ł a d e m o d n i e s i e n i a , lym układeni jest zwykle ląd stały naszej ziemi; niekiedy zaś inny układ, praktycznie niezmienny i poruszający się względem ziemi, jak np. pokład
’tatku, klatka windy, rama lokomotywy itp. Jakikolwiek układ odniesienia
* się zastąpić układem t r z e c h o s i s p ó ł r z ę d n y c h , zwykle prostokątnym, jj, :żenie punktu M określają wtedy jego s p ó ł r z e d n e p r o s t o k ą t n e
jyZ, albo p r o m i e ń — w e k t o r r, łączący początek układu O z punktem M ( r — OM), albo s p ó ł r z e d n e b i e g u n o w e itp.
Względne położenie dwu punktów M1 (a^, yu zx) i i\f2 (x2, y„, z3) wyznacza w e k t o r j o — Ma niezależnie od obranego układu osi spółrzędnych.
Symbol w zastępuje trzy rzuty wx = x u wy = y2 — i/j, M — zorientowanego w przestrzeni odcinka Mx Mlt co wyrażamy równaniem okre- ' ślającem:
W = {WX, Wy, WĄ.
j Jeżeli rozpatrywane położenia punktu M leżą na jednej f płaszczyźnie, to obierając ją za płaszczyznę X Y prostokąt- f nego układu spółrzędnych, określamy wektor My M^ =To I dwoma rzutami wx ,w tJ (fig. 1); czyli:
w — {10& wy} = \x * ~ x i> yt — yi }• Fig. i.
Podobnież widzimy z fig. 1, źe
r i = Jfi» 2/i}i r 3 — {x3, y,Ą.
to r ? w ™ md27 r u r ’ * 10 z a c h o d ,i » « e t o zw ią zek , k tó ry w y ra ia m y r ó w n a n i e m w e k -
w o g ó ln y m p r z y p a d k u w y r a ż a ją c e m z w i ę ź l e t o s a m o , c o tr z y r ó w n a n i a a l g e b r a i c z n e
W X = * 3 — w y = i l j ~ I f l i — Ą .
' P ^ w a d k n m o ż n a p o jm o W a ć flg . I j a k o r z u t u t w o r u t r ó j w y m ia r o w e g o n a
; p ła s z c z y z n ę X Y, o b r a n ą z a p ła s z c z y z n ą r y s u n k u .)
I 2. N iektóre pomocnicze pojęcia rachunku w ektorow ego. W me- r chauice mamy do czynienia z różnemi wielkościami (prędkość, przyspiesze- . nie, siła ltd.J, mającemi te same cechy matematyczne, co zorjentowany od
cinek Mi J/2 = w, czyli mającemi charakter w e k t o r a . Cechami temi są
/ ł a , P o d r ę c z u ik i n ż y n i e r s k i . V I . 60 }
1. w a r t o ś ć b e z w z g l ę d n a , określona liczbą mianowaną, 2. k i e r u n e k , określony prostą w przestrzeni i 3. z n a k albo z w r o t (kierunku), oznaczony strzałką odróżniającą zarazem p o c z ą t e k od k o ń c a wektora. Dany wektor może mieć znaczenie mechaniczne niezależne od umieszczenia początku wek- tora w przestrzeni ( we k t o r y s wo b o d n e ) , albo niezależne od umieszczenia początku wektora na jego prostej ( w e k t o r y n i e s w o b o d n e , związane, z pr os t ą) , albo WTeszcie może być związany ze swym punktem począt
kowym (wektor n i e s w o b o d n y , związany z p u n k t e m) . _ ■ Dla wszystkich tych wektorów określa się w ten sam sposób opęracje dodawania, odejmowania i mnożenia, które są uogólnieniem tak samo nazwanych operacyj wielkościami algebraicznemu
Tutaj określimy narazie tylko d o d a w a n i e i o d e j m o w a n i e dwu wektorów.
u = {«*, u-y, »*} i b 5= {bxi hu> *4 zapomocą schematu:
a ± l = { ą x ± d x, a,tJ± i r as ± b ,}•
Wektor s = a 4 b nazywa s-ię (geometryczną) s u mą , wektor d — a — b (geom.) r ó ż n i c ą wektorów a i b (fig. 2). Symbol a oznacza wektor przedstawiony tym samym odciukiem, co wektor a, lecz opatrzonym sir/..lilią
przeciwną (fig. 3). _ ____
(Geometryczna) s u m a s i l u k o l w i e k w e k t o r ó w (fig. 4) u>^ — Aj Ihi w l = ' £ 7?2, . =~AU 'B~ jest określona równaniem:
7= S w = { S i o i , i w y, z»,}'-
M echanika ogólna,
Wykreślnie otrzymujemy tę snmę, łącząc wektory-dodajniki (w dowolnym porządku) tak, aby koniec poprzedniego dodajnika był początkiem następnego
F i g , 2 . F i g . 3. F i g . 4.
(w i e 1 o b o k we k t o r ó w ) . Wektor, który łączy początek utworzonego wielo- boku z jego końcem i tworzy b o k z a m y k a j ą c y wieloboku wektorów- dodajników, przedstawia sumę s — GDn1 zwaną niekiedy w e k t o r e m w y p a d k o w y m układu wly w2j . . . u>n \
Uwagi. S u m a g e o m e t r y c z n a p o d ło g a ( t a k ^ a m o j a k a lg e b r a ic z n a ) p r a w o m p r z e j n i o n - n o ś c i (a l) = b - \ - a ) i łą c z n o ś c i [ a -f- b -f- c - f- d — (a -f- &) -f' d ) = a Ą - (b -f- c (t) itd.]_
N ie k t ó r z y a u to r o w i© u w y d a t n ia j ą o p e r a c je w e k t o r a m i z a p o m o c ą o d m ie n n y c h z n a k ó w d o d a w a n ia i ’o d e j m o w a n ia . T e n s p o s ó b m o ż n a u s p r a w ie d liw ić j e d y n ie w z g lę d a m i d y d a k - t y c z n e m i, g d y ż k ła d ą c z n a k 4 - m ie d z y d w o m a w e k t o r a m i, z a z n a c z a m y to m s a m e m p o w y ż e j o k r e ś lo n e (g e o m e t r y c z n e ) d o d a w a n ie w e k t o r ó w . D o d a w a n ie z a ś i c h b e z w z g lę d n y c h w a r t o ś c i p r z e d s ta w ia m y p r z e z a lb o j a j- { " I M *
3. R ó ż n e sposoby p rz e d staw ie n ia ru c h u punktu. Najpierw nasuwa się sposób nom o g r a f i c z n y . W nim dana jest wykreślnie l i n ja , którą opisuje punkt podczas ruchu, zwana t o r e m punktu. Na torze tym (płaskim lub przestrzennym) oznaczamy przez O p u n k t p o c z ą t k o w y , w którym poruszający się punkt znajdował się w c h w i l i p o c z ą t k o w e j , a następnie oznaczamy liczbą 1, 2, 3 itd. miejsca zajęte przez ten punkt po jednej, dwu, trz e c h ... sekundach (minutach, goćLzinach itd., zależnie od dokła-
2
W y k res d rogi, — P rędkość.
1011
dności, z jaką ruch przedstawić chcemy i od wielkości przedziału czasu potrzebnego do opisania'całego-toru). Zamiast tego można na torze odmierzyć od punktu początkowego jedną, dwie, trzy. .. n jednostek długości i otrzymane w ten sposób miejsca oznaczyć liczbami określającemi Chwile t, w której się tam punkt znajdował.
• Te oznaczania liczbami punktów na torze zastępuje ¡s pewną korzyścią równanie
s = /00,
zwano równaniem ruchu. Tutaj oznacza s drogę, tj. długość toru mierzoną od punktu początkowego do miejsca zajętego przez punkt w chwili t. Przed
stawiwszy funkcję f ( t ) obrazem geometrycznym (fig. 5) mamy t. zw. w y k r e s dr ogi .
Dwa rysunki, tj. w y k r e s t o r u (przedsta
wiony w ogólnym przypadku rzutami prostokąt- nemi na dwie płaszczyzny) i w y k r e s d r o g i daje znpełny wykreślny obraz ruchu punktu.
Matematycznie określa się ruch punktu zwykle trzema równaniami
A ( 0 > y — / i i W . K g . 6 .
przedstawiającemi spółrzędne prostokątne po
ruszającego się punktu, albo też równoważnem z niemi jednem równaniem wektorowem
r ^ F ( ł ) ,
określającem promień-wektor tegoż punktu, wychodzący ze stałego punktu O, obranego w układzie odniesienia.
4. Różne rodzaje ruchu punktu rozróżniamy 1. według postaci toru:
r u c h p r o s t o l i n j o w y i k r z y w o l i n j o w y ; 2. według wykresu drogi:
r u c h j e d n o s t a j n y , gdy wykres drogi jest l i n j ą p r o s t ą , czyli droga s jest linjową funkcją czasu t, i ruch n i e j e d n o s t a j n y , czyli z mi e n n y , gdy wykres drogi jest l i n j ą k r z y w ą .
U w a g a . R o z p a t r y w a n i o r u c h u p u n k tu m a n ie t y lk o z n a c z e n ie t e o r e t y c z n e , p r z y g o t o w u ją c e d o s tu d jó w r u c h u c ia ł , l e c z t a k i e n a d e r w a ż n e z n a c z e n ie p r a k t y c z n e ; c z ę s to b o w ie m r u c h p u n k tu j e s t w y s t a r c z a j ą c y m o b r a z e m r u c h u c ia ł a n a w e t b a r d z o z ło ż o n e g o j a k n p . p o c ią g u k o le j o w e g o , j e ż e l i c h o d z i t y lk o o o b r a z o g ó l n y , p o t r z e b n y n p . p r z y s p o r z ą d z a n iu r o z k ła d u ja z d y itp . z a d a n ia c h . W t e d y m ó w im y z w y k l e o r u c h u c ia ła , m a ją c p r z y to m n a m y ś l i r u c h j e d n e g o s t o s o w n ie o b r a n e g o p u n k t u t e g o c ia ł a ; d a j m y n a to ś r o d k a p r z e d n ie j la ta r n i l o k o m o t y w y w p r z y p a d k u r u c h u p o c i ą g u k o l e j o w e g o .
5. P rę d k o ść śre d n ia i chw ilow a. W e k to r p rędkości. Gdy pociąg wyjeżdżający ze stacji A do drugiej B, odległej o 80 km, osiąga ją po 80 minutach, to mówimy, że jechał ze ś r e d n i ą p r ę d k o ś c i ą —
= 1 fcm/min. (jednego kilometra na minutę, czyli 60 km na godzinę, albo wreszcie 162/3 j»/sek, = )■ Oznaczywszy przez Sj i s2 długość drogi
3600 sek. f
mierzonej od początku łinji kolejowej do stacji A i U, zaś przez t1 i ia chwile wyjazdu ze stacji A i przyjazdu do B, widzimy, że ś r e d n i ą p r ę d k o ś ć vni określa równanie
Si — Si As
— ti A t ’ przyczem A s = s3— su A ¿ = f2 — t\-
Wogóle ma prędkość średnia różną wartość na rozmaitych odcinkach drogi. Jeżeli ta wartość jest s t a ł a bez względu na długość odcinka As, na
GB* 3
jego miejsce na torze i na odpowiadający przedział czasu A l, to ruch jest j e d n o s t a j n y . Jego równaniem jest s = s„ -j- c t.
W ogólnym przypadku ruchu z m i e n n e g o odpowiada przedziałowi czasu od chwili t do chwili f —j— A i średnia prędkość - j j , która się zmienia zaA s leżnie od t. Gdy A ii —>- 0 (czytaj: zdąża do zera), to
As d s hm _ _ = — - =» v
A t d t
nazywa się p r ę d k o ś c i ą c h w i l o w ą w odpowiadającem chwili t miejscu toru, albo krótko p r ę d k o ś c i ą w chwili t.
Gdy ruch jest prostolinjowy i określony równaniem s = /(f), to prędkość ma widocznie charakter wektora v leżącego na torze i skierowanego w stronę rosnących s, lub w stronę przeciwną, zależnie od tego czy pochodna d s jest dodatnia, czy też ujemna. Wektor v nazywa się w e k t o r o m p r ę d k o ś c i .
6. W ykres prędkości. Tak nazywamy geometryczny obraz równania v = <-JL Wykres prędkości przedstawia przeto k r z y w ą r ó ż n i c z k o wą dla wykresu drogi jako k r z y w e j c a ł k o w e j . Według wykresu prędkości rozróżniamy ruch j e d n o s t a j n i e z m i e n n y , którego wykres prędkości jest prostolinjowy od ruchu n i e j e d n o s t a j n i e z m i e n n e g o , którego wykres prędkości jest krzywolinjowy.
7. P rzyspieszen ie średnie i chwilowe. W ektor przyspieszenia.
Iloraz przyrostu prędkości t)2 — i>i — A v przez odpowiadający przedział czasu t„ — = Aż nazywamy p r z y s p i e s z e n i e m ś r e d n i e m ruchu w czasie At.
Dla ruchu jednostajnie zmiennego ma przyspieszenie średnie wartość stałą, niezależną od przedziału czasu. Wówczas
v = v0 -f- a t.
W ogólnym przypadku ruchu niejednostajnie zmiennego jest d v _ d^s _
d t d P
wartością przyspieszenia w c h w i l i t, określoną jako funkcja zmiennej t.
Dla ruchu prostolinjowego jest charakter wektorowy przyspieszenia od razu widoczny. Strzałka wektora przyspieszenia a jest skierowana zgodnie z v lub przeciwnie zależnie od tego czy v rośnie (przyśp. d o d a t n i e ) czy też maleje z upływem czasu (przyśp. u j e mn e ) .
8. Najogólniejsze określenie w-ektora prędkości ruchu krzyw o
liniow ego. Gdy ruch ten przedstawia równanie r = F (t),
określajace promień-wektor r ’ako funkcję czasu i, to wektor prędkości średniej
— A r v’" “ T T
ma kierunek cięciwy łączącej punkt toru M, zajęty w chwili t, z punktem M', zajętym w chwili t -f- A t.
i. A r d r
Wektor lim -r— = -=—
A t d t
czyli i l o r a z r ó ż n i c z k o w y p r o m i e n i a - w e k t o r a w z g l ę d e m c z a s u o k r e ś l a w e k t o r p r ę d k o ś c i w c h w i l i t, styczny do toru w odpowia
dającem miejscu.
1 0 1 2 M echanika ogólna.
4
"Wykres prędkości. — Przyspieszenie. 1 0 1 3
T a d e f in ic ja j e s t w z g o d z ie a p o p r z e d n ią m n ie j o g ó ln ą , a lb o w ie m |t?| — == \ ~J[ •
9. Hodograf. N ajogólniejsze określenie w ektora przyspieszenia rnclin krzywolinjowego. Naturalnem uogólnieniem wykresu prędkości ruchu prostolinjowego jest dla ruchu krzywolinjowego
t. zw. h o d o g r a f , tj. krzywa utworzona przez końce wekto
rów prędkości, wykreślonych z obranego dowolnie stałego punktu początkowego, np. na fig. 6.
Jeżeli r — F (t) jest równaniem ruchu danego, to i - J f - F ( < )
jest równaniem odpowiadającego ruchu po hodografie.
P r ę d k o ś ć r u c h u po h o d o g r a f i e (jako wektor) d o _ d2 r _-
d t d t 2
o k r e ś l a z a r a z e m w e k t o r p r z y s p i e s z e n i a a d a n e g o r u c h u k r z y w o l i n j o w e g o .
Wektor przyspieszenia leży w płaszczyźnie ściśle stycznej do toru (gdy tor jest płaski w płaszczyźnie tego toru); jest wogóle nachylony do toru i zawsze skierowany ku wnętrzu jego wklęsłości.
10. P rzyspieszenie styczne i normalne. Wektor przyśpieszenia da się zawsze rozłożyć na sumę geometryczną dwu wektorów według schematu:
Pierwszy z nich at nazywa się p r z y s p i e s z e n i e m s t y c z n e m , gdyż leży na stycznej do toru, przyczem ma wartość i kierunek określony drugą pochodną łuku toru względem czasu, tj. ■ s Drugi zaś, czyli an nazywa się p r z y s p i e s z e n i e m n o r m a l n e m , czyli d o ś r o d k o w e m
, I?2 .
i ma wartość bezwzględną — , jeżeli p jest długością promienia krzywizny
P t
toru. Przytem ma kierunek wzdłuż normalnej głównej toru ku środkowi jego krzywizny:
d 2 s t>2
dt* ’ » p ’
W ruchu krzywolinjowym jednostajnym jest przyspieszenie styczne stole
. t>2
równe zeru, a całkowite przyspieszenie jest normalne i równa się —, Wogóle można powiedzieć, że p r z y s p i e s z e n i e s t y c z n e jest warun
kowane tylko zmianą w i e l k o ś c i p r ę d k o ś c i , zaś p r z y s p i e s z e n i e n o r ma 1 n e tylko zmianą k i e r u n k u p r ę d k o ś c i .
11. R zutow anie rucłlli. Rzut równoległy albo prostokątny poruszającego się punktu porusza się ną płaszczyźnie rzutów z prędkością i przyspieszeniem, które są odpowiednio rzutami prędkości i przyspieszenia ruchu danego.
Z trzech równań określających ruch punktu a: «=»'/, (tj. y — f% (t), z = / 3 (t)
przedstawia każde z osobna dla siebie ruch rzutu tegoż punktu na odpo
wiadającą oś. Prędkościami tych oddzielnych ruchów są rzuty prędkości ruchu danego, tj.
d X , d y d z , _ ,
* X - S J T =
1 0 1 4 M echanika ogólna.
Podobnież ma się rzecz z przyspieszeniami:
d2 x _ d 2 y _ d ? z
av= ~d¥' a‘ ~~Tt
12. Prosty rncli harmoniczny ( d r g a n i e h a r m o n i c z n e ) . Tak na
zywamy rzut ruchu jednostajnego po okręgu koła na oś leżącą w płasz
czyźnie tego koła (fig. 7). Licząc czas t od chwili przejścia punktu przez G a jego rzutu przez O’, mamy dla drogi s rzutu M ’ ró-
2 TT wnanie s = a sin ?, przyczom <p = t,
. 2 TT
a w ięc: s = a sin - t.
Promień koła a określa t. zw. a m p l i t u d o (obazemość) drgania, T zaś o k r e s drgania, tj. czas, w którym punkt M opisuje cały okrąg koła, a odpo
wiadający promień kąt 2“ . Wartość ■— — w nazywają c z ę s t o s c i ą d r g a n i a . (Jest to liczba pełnych drgań przypadająca na 2 - sekund. Inni autorowie nazywają częstością —, czyli liczbę pełnych drgań w jednej se-
V2
kundzie.) Oznaczywszy przez V prędkość ruchu po kole, a — przyspie
szenie (normalne) tego ruchu, mamy widocznie dla ruchu harmonicznego
2 TT . . V 2 . 2 u
jako rzutu: prędkość v = V cos - ^ r t, przyspieszenie p = -— sin — t.
To samo wyrażają równania:
d s 2 r. a d 2 s 4 r.2 a . 2 it . V = ~dt ~~ ~ ~ T ~ C0S T 5 P ~ d t 2 ~ T* 8m T
2 TC O f ~ •
zważywszy, że V — — r ysunku uwidoczniono także wykres drogi jako sinusoidę o długości fali — 2\
U w a g a . J e ż e l i c z a s m ie r z y m y n i e o d c h w i l i g d y k ą t tp = 0 , l e c z o d c h w i l i g d y k ą t cp =3 a , to r ó w n a n ie d r g a n ia h a r m o n ic z n e g o m a p o s t a ć o g ó ln ą
s — a s in (ct> 14- a ).
K ą t a n a z y w a s ię k ą t o m f a z y . J a k i e k o lw ie k d w a d r g a n ia h a r m o n ic z n e m o g ą siq r ó ż n ić 1. a m p l i t u d ą 2 . o k r e s e m lu b c z ę s t o ś c i ą i '3. f a z ą , tj. w a r t o ś c ią k ą ta a . S k o r o n p . w d w u d r g a n ia c h r ó w n o k ie r u n k o w y c h j e s t d la p ie r w s z e g o s = 0, a j e d n o c z e ś n ie d la d r u g ie g o 5= 4-0, t o m ó w im y ż e d r u g i r u c h w y p r z e d z a f a z ą p ie r w s z y o — , a lb o o ć w i e r ć o k r e s u .
I n n e p r z y k ła d y w k i n e t y c e .
B. R uch ciała szty w n e g o (u k ład u niezm iennego).
13. Ogólny ru c h ciała sztyw nego jest określony ruchem jego trzech punktów tworzących trójkąt. Tory tych punktów nazywają się k i e r o w n i c a m i ruchu. Każdy z tych punktów moży być obrany także zewnątrz ciała, byleby zachowywał niezmienne odległości od wszystkich punktów ciała.
W szczególności nazywamy ruch p o s t ę p o w y m , gdy trójkąt punktów nie zmienia podczas ruchu orjentacji w przestrzeni (odpowiadającej układowi odniesienia). Taki ruch jest zupełnie określony ruchem jednego punktu ciała.
Ruch postępowy może być k r z y w o l i n j o w y , jak np. ruch trzonu łączą
cego dwie korby równe i równoległe, albo p r o s t o l i n j o w y , zwany także p r z e s u n i ę c i e m (translatio).
Euch ciała sztyw nego. 1 0 1 5
Ruch postępowy krz^wolinjowy można sobie wyobrazić jako nieprzerwany ciąg p r z e s u n i ę ć c h w i l o w y c h , tj. przesunięć dokonanych w elementach czasu d t.
Ruch ciała nazywamy o b r o t o w y m (obrotem), . gdy z owych trzech punktów są dwa nieruchome. Te dwa punkty wyznaczają o 4 o b r o t u . Wszystkie punkty ciała nie leżące na osi obrotu opisują koła o promieniach r równych odległościom tych punktów od osi. Kąty, jakie jednocześnie opisują wszystkie te promienie, mają wśpólną wartość <p zwaną kątem obrotu ciała. Ruch obrotowy jest zatem zupełnie określony daną osią i kątem obrotu <p jako daną funkcją czasu.
Pierwsza pochodna kąta obrotu --- — co nazywa się p r ę d k o ś c i ą ką- t o wą , druga zaś, tj. -^TT “ 'TTS- = E P ™ y a P i e 8 z e n i e m k a t o w e m .
CL t d u
Wartość prędkości (linjowej) punktu ciała obracającego się, leżącego w odległości r ód osi obrotu, daje równanie
v =■>■ <n = r —d o5—-.
d t
Przyśpieszenie styczne tegoż punktu określa równanie d u) , d 2 ®
at = r ~ d T ~ ~ r ~ d W ~ r h przyśpieszenie normalne zaś
.,2
O g ó l n y r u c h c h w i l o w y c i a ł a da się zastąpić zespołem przesu
nięcia chwilowego z obrotem chwilowym na nieskończenie wiele sposobow.
W każdym zespole jest kierunek osi obrotu ten sam, a tylko kierunki prze
sunięcia są różne. Pomiędzy temi zespołami zachodzi tylko jeden, w którym kierunek przesunięcia jest równoległy do osi obrotu. Taki ruch nazywa się s k r ę t e m (ruchem śrubowym).
Jakikolwiek ruch chwilowy ciała da się wywołać skrętem chwilowym.
P r z e m in ie c ie i o b r ó t s ą p r z e to m c h a m i e le m e n ta r n y m i, d o k t ó r y c h w s z e lk ie in n e r u c h y c ia t a sp ro w a d zić! m o ż n a . P r z c s u n ią c le d a nią o a d t o p o j m o w a ć j a k o o b r ó t o k o ł o o s i le ż ą c e j w n i e s k o ń c z o n o ś c i z p r ę d k o ś c ią k ą t o w ą n ie s k o ń c z e n ie m a łą .
14. R u ch rów noległy do płaszczyzny stałej, zwany także ruchem po s u w i s t y m , albo p ł a s k i m , jest wyznaczony ruchem dwu punktów ciała A \ B (fig. 8) obranych w tej płaszczyźnie (płaszczyzna ruchu, albo płasz
czyzna kierująca).
Po czasie ń i zajmie odcinek A B położenie A ' IV. To położenie łatwo osiągnąć obrotem odcinka A B około osi p r o s t o p a d ł e j do płaszczyzny ruchu.
.Jej ślad C znajdujemy jako punkt przecięcia się symetralnych dla odcinków A A ' i B B ' (fig. 8). Przebieg rzeczywistego ruchu ciała między dwoma rozpatiywanemi położeniami różni się wogóle od powyższego obrotu, gdyż drogi A A ' i B B ' mogą się różnić od łuków kół zakreślonych ze środka C.
Skoro jednakże przedział czasu, A t zdąża do 0 a wraz z nim i wektory przemieszczeń A A ' i B B ', to rzeczywisty ruch chwilowy zlewa się z obro
tem chwilowym. A zatem:
O g ó l n y r u c h p o s u w i s t y m o ż n a u w a ż a ć z a n i e p r z e r w a n y s z e r e g o b r o t ó w c h w i l o w y c h o k o ł o c o r a z t o n o w y c h os i c h w i l o w y c h p r o s t o p a d ł y c h do p ł a s z c z y z n y k i e r u j ą c e j .
Znając tory dwu punktów ciała A i B, leżących na płaszczyźnie kie
rującej, znajdujemy dla każdego położenia A B odpowiadający ś r o d e k c h w i l o w y C (ślad osi chwilowej na płaszczyźnie kierującej), jako punkt
7
1 0 1 6 M echanika ogólna.
F | g . 9.
przecięcia się prostopadłych A C i B C do prędkości chwilowych oba pnnk- tów (fig-, 9), czyli do stycznych obu torów w odpowiadających punktach,
V V
Przytem jest •'* * • — ~ prędkości kątowej obrotu chwilowego. Miej
scem geometrycznem środków chwilowych C (zwanych także „biegunami“) na płaszczyźnie kierującej jako stałej płaszczyźnie odniesienia jest krzywa [Cj zwana c e n t r o d j ą s t a ł ą , albo c e n t r o d j ą w p r z e s t r z e n i (do której
ruch ciała odnosimy). Skoro w porusza- jącem się ciele oznaczymy punkty C. to otrzymamy krzywą [i71] nieruchomą względem ciała a więc poruszającą się wraz z niem. Jest to c e n t r o d j ą r u c h o ma , albo centrodją c i a ł a .
Skoro w punktach Pj, P2, . . . układu poruszającego się równolegle do pła
szczyzny (fig. 10) wykreślimy wektory prędkości vu v2, . . . i obrócimy je o kąt prosty taki, iż padną na promienie łączące środek chwilowy C z punk
tami Pj, Ps, . „ , to_otrzymujemy t. zw. p r ę d k o ś c i „ p r o s t o p a d ł e “ lub „obrócone“ (t>j), (» ,)___
K o ń c e p r ę dk o ś c i p r os to p a d ł y c h t w o r z ą w i e l o b o k p o d o b n y i p o d o b n i e p o ł o ż o n y do w i e l o b o k u p u n k t ó w P j , P 2 . . . ze ś r o d k i e m p o d o b i e ń s t w a w C.
Kreśląc z dowolnie obranego początku O (fig. 10) wektory prędkości (rzeczywistych lub obróconych) punktów Pl7 P2, . . . otrzymujemy wielokąt utworzony z końców A u A s, . . . podobny do wielokąta Plt P2, ___ Otrzy
many przytem rysunek nazywa się p l a n e m p r ę d k o ś c i i oddaje ważne usługi przy kreśleniu planu przesunięć dla kratownic.
15. W ektor obrotu chw ilow ego u> i składanie obrotów. Stan ruchu ciała obracającego się w chwili t około pewnej osi jest zupełnie określony wektorem <u związanym z tą osią, którego długość wyraża liczbową wartość prędkości kątowej iu, a strzałka jest umieszczona tak, ażeby można było znaleźć kierunek obrotu według następującej umowy:
Skoro pomyślanego obserwatora zwiążemy z wektorem u> tak, aby strzałka wektora wskazywała od stóp ku głowie, to obserwator stwierdzi pod stopami obrót ciała zgodny z obrotem wskazówek na tarczy zegarowej. (Patrząc przed siebie widzi ruch punktów ciała od ręki lewej ku prawej.)
U w a g a . W n i e k t ó r y c h k s ią ż k a c h p r z y ję ło u m o w ę o d w r o tn ą , c o o c z y w i ś c i e p r o w a d z i d o o d w r ó c e n ia s tr z a łk i w e k t o r a ai o k r e ś la j ą c e g o o b r ó t d a n y .
Często ciało bierze udział jedno
cześnie w dwu obrotach chwilo
wych, jeżeli np. należy do dwu układów odniesienia, z których jeden obraca się względem drugiego.
(Np. wirnik prądnicy w wagonie tramwajowym obraca się względem wagonu, a wagon jadący w łuku obraca się względem ziemi. Osi obu obrotów przecinają się pod kątem prostym). Dwa obroty chwi
lowe określone wektorami prędkości kątowych w, i u>2 około osi przecinających się w punkcie A (fig. 11) są równoważne obrotowi chwilowemu z prędkością kątową
8
F i g . U .
(O = tOj -]- Ct>2
około osi przechodzącej przez tenże punkt A (i leżący z tamtemi w jednej płaszczyźnie). S k ł a d a n i e obrotów chwilowych sprowadza się w ten sposób do geometrycznego dodawania wektorów prędkości kątowych (podobnie jak składanie sił). Odwrotnie każdy obrót chwilowy można rozłożyć na obroty składowe około obi przecinających się, czyli zastąpić dany obrót chwilowy nu obrotami ajj i ui2, byleby powyższe równanie było spełnione.
D o w ó d p o le g a n a o k a z a n iu , żo d o w o ln y p u n k t c ia ł a jV n a p r o s te j w e k t o r a ot o tr z y m u je o d o b r o t ó w cot i cot o d p o w ia d a ja c e p r ę d k o ś c i o r ó w n y c h w a r t o ś c ia c h b e z w z g lę d n y c h r, w , i r2 o>2, a w p r o s t p r z c c iw n y o h k ie r u n k a c h , k t ó r e z a te m Biq z n o s z ą . P r o s ta A N j e s t p r z e to o s ią o b r o t u w y p a d k o w e g o it d .
D w a o b r o t y c h w i l o w e o k o ł o os i r ó w n o l e g ł y c h , określone wek
torami prędkości kątowych oij i iu2, dają obrót «wypadkowy z prędkością kątową u> = toj + oj2 zależnie od tego czy obroty są zgodne, czy też prze
ciwne. Wektor obrotu wypadkowego <u znajduje się tak samo jak wypadkowa sił równoległych.
16. Z m iana u kładu odniesienia. R ucli w zględny. Dla obserwatora na płynącym statku TFjako układzie odniesienia przedstawia się ruch jakiego
kolwiek ciała, np. piłki, inaczej, aniżeli dla obserwatora stojącego na brzegn, czyli na ziemi jako układzie odniesienia U. Często wypada znając pręd
kość vw i przyśpieszenie an punktu ciała względem układu W, wyznaczyć prędkość vb i przyśpieszenie ab w odniesieniu do układu U lub nawzajem.
Dla wygody nazywamy często (zapożyczając się z dynamiki) układ U ukła
dem „ b e z w z g l ę d n y m “, zaś W układem „ w z g l ę d n y m “, jakkolwiek ze stanowiska kinematyki są oba układy równouprawnione i mogą zamienić
swoje role.
Kuch chwilowy w układzie W (statku) względem U (ziemi) jest wogóle złożony z przesunięcia z prędkością vg i obrotu w. Wskutek tego każdy punkt n i e r u c h o m y w układzie W (względem statku) porusza się względem TJ (ziemi) z prędkością vu i przyspieszeniem au, które wyznaczamy według prawideł powyżej wymienionych. Nazywamy je p r ę d k o ś c i ą u n o s z e n i a vu i p r z y s p i o s z e n i e m u n o s z e n i a au. Każdemu przeto położeniu punktu M względem układu U odpowiadają pewne wartości prędkości i przyśpie
szenia unoszenia v(( i a , obok jednoczesnych wartości prędkości i przyśpie
szenia względnego vw i aw. Od nich zależą wartości prędkości vb i przy
śpieszenia ab w układzie U w sposób przedstawiony wzorami:
które wyrażają twierdzenia:
I. P r ę d k o ś ć b e z w z g l ę d n a p u n k t u j e s t s u m ą g e o m e t r y c z n ą p r ę d k o ś c i w z g l ę d n e j i p r ę d k o ś c i u n o s z e n i a .
II. P r z y s p i e s z e n i e b e z w z g l ę d n e p u n k t u j e s t s u m ą g e o m e t r y c z n ą p r z y s p i e s z e n i a w z g l ę d n e g o , p r z y s p i e s z e n i a u n o s z e n i a i p r z y s p i e s z e n i a O o r i o l i s ’ a, zwanego także dodatkowem.
Przyśpieszenie Coriolis’a ma wartość bezwzględną ac ~ 2 vw w ńa ( V w)>
a kierunek prostopadły do vw i do w tak, aby wektory vw, iu i o£ tworzyły w tym porządku układ prawy (tj, odpowiadający kolejno rozstawionym przestrzennie trzem palcom prawej ręki, począwszy od wielkiego; fig. 12).
S kładanie obrotów . Buch w zględny. 1 0 1 7
9
1 0 1 8 M echanika ogólna.
Z równań powyższych wynika nawzajem :
“^ # + ( - »11)1 aw = ab + (— a J - \ - ( — ac), czyli słowami :
I. P r ę d k o ś ć w z g l ę d n a j e s t
~7 s u m ą g e o m e t r y c z n ą ( w y p a d k o wą ) p r ę d k o ś c i b e z w z g l ę d n e j i. p r z e c i w n i e w z i ę t e j p r ę d k o ś c i u n o s z e n i a .
II. P r z y s p i e s z e n i e w z g l ę d n e
„ 2 j e s t s u m ą g e o m e t r y c z n ą (wy
p a d k o w ą ) p r z y s p i e s z e n i a bez
w z g l ę d n e g o , p r z e c i w n i e wz i ę t e g o p r z y s p i e s z e n i a u n o s z e n i a i p r z e c i w n i e w z i ę t e g o p r z y s p i e s z e n i a C o r io li s ’a.
II. Dynamika ogólna.
A. P o d s ta w y dynam iki.
17. Jednostki podstawowe. Wszelkie wielkości mechaniczne dają się wyrazić jednostkami d ł u g o ś c i c z a s u i ma s y . W t. zw. c e n t y m e t r o - g r a m o - s e k u n d o v y m układzie jednostek (skrót C. G. S.) jest:
a) Jednostką długości c e n t y m e t r (cm) określony jako jedna setna dłu
gości wzorca metrowego przechowywanego w Sèvres pod Paryżem (przy temperaturze 0° C i normalnem ciśnieniu barometrycznem).
b) Jednostką czasu jest s e k u n d a (sk) c z a s u ś r e d n i e go, wyznaczonego pośrednio przez obserwacje astronomiczne. Te obserwacje określają bez
pośrednio czas gwiazdowy, którego sekunda (s) jest nieco mniejsza od (sk), a mianowicie:
1 (s) = 0,99726957 (sk).
Nawzajem jest 1 (sk) = 1,00273972 (s).
c) Jednostką rnaBy jest m a s a j e d n e g o g r a m a (g*), określona jako
>/IOOO masy jednego kilograma (kg*), czyli masy wzorca kilogramowego ze stopu platyny z irydem, przechowywanego w Sèvres pod .Paryżem.
(Ostatnia masa jest z wielkiem przybliżeniem równa masie 1000 cm3 czystej wody przy 4° C.)
Obok układu jednostek C. G. S. używa się jeszcze, zwłaszcza w mechanice technicznej, u k ł a d u t e c h n i c z n e g o , który ma te same jednostki długości i czasu, co układ C. G. S. (fizykalny) ; natomiast trzecią jednostką podstawową jest w nim nie jednostka masy, lecz j e d n o s t k a si ł y.
Techniczną jednostką siły jest s i ł a j e d n e g o k i l o g r a m a (kg), .okre
ślona naciskiem, jaki wywiera na podstawę c i ę ż a r jednego kilograma spoczywającego w Paryżu, czyli siła ciężkości działająca na masę jednego kilograma w Paryżu.
P r z e jś c ie o d j e d n o s t k i s i ł y d o j e d n o s t k i m a s y w u k ła d z ie t e c h n ic z n y m i o d w r o t n e
■w u k ł a d z ie O. G . S . b ę d z ie o m ó w io n o w n a s t ę p n y m u ste.pie.
18. P ierw sze podstawowe prawo dynamiki wyraża się równaniem d (ntv) T>
dt “ ’ '
w którem oznacza m masę punktu materjalnego, v jego prędkość, a P siłę nań działającą. Wektor ni v nazywa się* i l o ś c i ą r u c h u , albo p ę d e m punktu materjalnego. A zatem słowami: P o c h o d n a p ę d u p u n k t u m a t e r j a l n e g o w z g l ę d e m c z a s u r ó w n a s i ę s i l e w y w o ł u j ą c e j z m i a n ę p ę d u .
1 0
P o d s t a w y d y n a m ik i. 1019
To wysłowienie stwierdza już charakter wektorowy siły P. Według trze
ciego z założeń w ust. 2 jest masa m stałą, a równanie przybiera postać zwykle stosowaną:
m . ^ = P\ (masa X przyspieszenie = sile)
albo po rozłożeniu wektorów na trzy składowe w kierunkach osi X , 1', %'■
d v x d * x <łl’y d*y „ dp:
m ~ d t ^ m T ? = x ' ,mi j r m d i = Y ' '"i w r w ^
P i e r w s z e p r a w o p o z w a l a w i e l k o ś c i s i ł m ie r z y ć p r z y ś p ie s z e n ia m i, j a k ic h to s i ł y u d z ie la ją j e d n e m u i t e m u s a m e m u p u n k t o w i m a te r ja ln e m u . Z d r u g ie j s tr o n y m a ją c d a n ą s iłą o k r e ś lo n ą s t a t y c z n ie , n p . n a t ę ż e n ie m p o la s il , m o ż e m y p r z y p o m o c y p ie r w s z e g o p r a w a zualeź<5 p r z y ś p ie s z e n ie , j a k ie g o s ił a u d z i e li p u n k t o w i m a te r ja ln e m u o m a sie m . N a k o n ie c p ie r w s z e p r a w o o k r e ś la j e d n o s tk ą s i ł y w' u k ł a d z ie O. G . S ., z a ś je d n o s tk ą m a s y w u k ła d z ie te c h n ic z n y m , a m ia n o w ic i e :
W u k ła d z ie C. G . S . j e s t j e d n o s t k ą s i ł y d y n a , t . j . s ił a , k t ó r a m a s ie j e d n e g o g r a m a u d z ie la p r z y s p ie s z e n ia r ó w n e g o j e d n o s t c e , t . j . 1 cm /sk1.
P o n ie w a ż s i ł a j e d n e g o k ilo g r a m a ( ja k o c ią ż a r ) u d z io la m a sie j e d n e g o k ilo g r a m a w P a r y ż u p r z y s p ie s z e n ia 9 8 0 ,0 6 5 cm /sk1, p r z e to t a s a m a s ił a u d z ie liła b y m a s ie je d n e g o g r a n ia p r z y s p ie s z e n ia 9 8 0 6 6 5 a n /s k 1; c z y li t e c h n ic z n a j e d n o s t k a s ił y
1 k g = 980 666 d y n .' N a o d w r ó t 1 d y n a = — i — k g = 1 ,0197 . 1 0 — 0 k g .
you odo
( W z w y k ł y c h r a c h u n k a c h t e c h n ic z n y c h w y s t a r c z a p r z y ją ć w p r z y b liż e n iu l k g = s
= 0 ,9 8 1 . 1 0 ° d y n i 1 d y n a = 3 ,0 2 . 1 0 ® k g .)
P r z y r z e c z y w is t e m m ie r z e n iu s i ł c ią ż a r a m i t r z e b a p a m ią t a ć , ż e c ią ż a r je d n e j i tej sa m e j m a sy z m ie n ia s ią z a le ż n ie o d s z e r o k o ś c i g e o g r a fic z n e j m i w z n ie s ie n ia n a d p o z io m m o rz a h . Z a le ż n o ś ć tą o k r e ś la w z ó r d la p r z y s p ie s z e n ia c ią ż k o s c i g , k t ó r y m a p o s t a ć :
g = 0 ,8 0 6 0 5 6 — 0 ,0 2 5 028 c o s 2 cp — 0 ,0 0 0 003 - /«,
p r z y c z e m h j e s t w y r a ż o n e w m e t r a c h , z a ś g w m /s k 1.
S tą d w y p a d a d la p o z io m u m o r z a n a r ó w n ik u sff0 = 9 ,7 8 1 m /s i3 ; n a b ie g u n a c h ^Tqqo =
= 9 ,8 3 1 m /s k 7 ; d la ś r o d k o w e j P o l s k i o k r ą g ło g p — 9 ,8 1 m fsk?, a w ią c o k o ł o 2% Q m n ie j n iż n a b ie g u n a c h , a 3°/oo w ią c e j n iż n a r ó w n ik u .
Z a p o m o c ą w a ż e n ia n a z w y k ł y c h w a g a c h d ź w i g n i o w y c h z n a jd u je m y n i e c i ą ż a r c ia ła , l e c z j e g o m a s ą w y r a ż o n ą w k g * . W u ta r ty m s p o s o b ie w y r a ż a n ia s i ę : „ C ia ło w a ż y x k i l o g r a m ó w “ t k w i w ła ś c iw ie z d a n ie : „ C ia ło m a m a są 2; k ilo g r a m ó w (kg * )u, j e ż e l i w y lc lu cz j-m y z a s to s o w a n ie w a g s p r ę ż y n o w y c h . C ią ża r t e g o ż c i a ł a w u k ła d z ie C. G . S . b ą d z ie r ó w n y
1000 x . g d y n ( j e ż e li g w y r a z im y w e m /s k s).
T e n sa m c ią ż a r w y r a ż o n y w j e d n o s t k a c h t e c h n ic z n y c h r ó w n a s i ę , b io r ą c ś c i ś l e :
ł P a r y ż
z a ś z b łą d e m n ie p r z e k r a c z a ją c y m w ż a d n e m m ie j s c u p o w ie r z c h n i z ie m i. . . x ( k g ) . N a t o m ia s t m a sa n a s z e g o c ia ła w y r a ż a s ią w u k ła d z ie C . G . S . j a k o x (k g * ), a lb o 1000 X ( g * ), z a ś w u k ła d z ie t e c h n ic z n y m ś c iś l e j a k o
— (k g . c m 1 s k 2), 0 8 0 ,6 6 5 g P a r y ż
a w p r z y b liż e n iu n a jc z ą ś c ie j w y s t a r c z a j ą c e m :
Z p o w y ż s z e g o w id a ć , j a k p o ż y te c z n e m j e s t o d r ó ż n ie n ie g w ia z d k ą j e d n o s t e k m a s y g * i kg * u k ła d u C. G . S . , n a z y w a n y c h n a n ie s z c z ą ś c ie t e m i e a m e m i w y r a z a m i, c o j e d n o s t k i e iły u k ł a d u t e c h n ic z n e g o . J e s t t o n ie r a z p o w o d e m f a ta ln y c h n ie p o r o z u m ie ń , z w ła s z c z a n p o c z ą tk u ją c y c h .
19. Drugie podstaw owe prawo dynamiki wyraża, że jakkolwiek siły I \ , P2, . . . działające na dany punkt mateijalny można zastąpić wypad
kową R , która jest ich sumą geometryczną, czyli
11
1 0 2 0 M echanika ogólna.
To prawo stanowi zarazem punkt wyjścia statyki. (Prawo składania sił.) (Zasada niezależności działania sił.)
20. T rzecie podstaw ow e prawo dynam iki brzmi w lapidamem wy
słowieniu: D z i a ł a n i e j e s t r ó w n e i w p r o s t p r z e c i w n e o d d z i a ł y w a n i u . Znaczy to, że sile P określającej działanie, punktu materjalnego na punkt materjalny mt towarzyszy zawsze siła — P, przedstawiająca działanie Wij na wi2, praczem kierunki obu sit leżą na prostej m.,.
T. z w. p r a w o b e z w ł a d n o ś c i , które Newton postawił na czele dyna
miki jako wysnute z doświadczenia, mieści się już w pierwszem podstawo- wem prawie jako przypadek szczególny jego zastosowania. Skoro bowiem P — 0, to m v — stałej, czyli punkt materjalny, na który żadne siły nie działają, porusza się jednostajnie i prostolinjowo (oczywiście w bezwzglę
dnym układzie odniesienia). To samo zachodzi widocznie i wtedy, gdy siły działające na punkt materjalny się nawzajem znoszą, czyli są w równowadze.
21. Zasada w zględności mechaniki klasycznej opiewa: Skoro znaj
dziemy jeden bezwzględny układ odniesienia, to każdy układ poruszający się względem niego prostolinjowo i jednostajnie jest również układem bez
względnym. We wszystkich tych układach są ważne podstawowe prawa dynamiki, a więc i prawo bezwładności. O żadnym z tych układów nie można twierdzić, że jest w bezwzględnym spoczynku, albo w,bez względnym ruchu. Wszystkie są równouprawnione w dynamice. Dlatego tradycyjna nazwa: „układ bezwzględny“ nie jest stosowna i ustępuje nowszej: „układ inercjalny (bezwładnościowy)“. Za taki układ można uważać z bardzo wielką ścisłością układ gwiazd stałych. Wobec tego ziemia obracająca się względem tego układu nie jest, biorąc ściśle, układem inercjalnym, jakkolwiek w bardzo wielu zadaniach mechaniki technicznej można ją z dostatecznem przy
bliżeniem traktować jako taki układ. Natomiast układ spółrzędnych o po
czątku w środku ziemi i osiach równoległych do osi układu związanego z gwiazdami stałemi ma z bardzo znacznem przybliżeniem ceehy układu bezwładnościowego. Względem tego układu obraca się ziemia ze stałą pręd
kością kątową
“ ^ 24. 60. 60 (s) = 2 4. 60 . 60 . 0,99727 (sk) = 0,0000' 2921 ^ B. Ś ro d e k m asy.
22. Określenie środka masy. Środek ciężkości. Ciała materjalne traktujemy w mechanice bądź to jako układy oddzielnych punktów mate- rjalnych, bądź też jako bryły geometryczne wypełnione materją ciągłą.
W pierwszym modelu określamy położenia punktów mateijalnych o masach
?n-i, nu, .. . promieniami — wektorami r,, r s, . . . wychodzącemi z obranego punktu O w układzie odniesienia, w drugim zaś określamy położenie do
wolnego elementu masy d M = [i d V (¡j. gęstość, d V objętość elementu) jego promieniem-wektorem r zmieniającym się w sposób ciągły od punktu do punktu ciała. Ś r o d k i e m m a s y ciała nazywamy punkt S wyznaczony promieniem-wektorem r a — O S zapomocą równania:
M r 0 mm m1 »h >'i -f- ■ ■ ■ f=Ś2 mi r (, albo M rg — J /• d M, w którem 3 / oznacza masę całego ciała. To równanie czytamy: M o m e n t m a s y c a ł e g o c i a ł a s k u p i o n e j w p u n k c i e S w z g l ę d e m d o w o l n i e o b r a n e g o p u n k t u s t a ł e g o 0 r ó w n a s i ę s u m i e g e o m e t r y c z n e j m o m e n t ó w m a s w s z y s t k i c h p u n k t ó w m a t e r j a l n y c h c i a ł a w z g l ę d e m t e g o ż p u n k t u .
1 2
O kreślenie i własności śro d k a masy. 1 0 2 1
Łatwo się przekonać, że położenie, środka masy określonego powyższem równaniem nie zależy od obioru początku O promieni wektorów.
Przy stosowaniu metody analitycznej określamy środek masy spółrzę- dnemi x 0, y0, czyli odległościami środka S od płaszczyzn, spółrzędnych.
Zamiast powyższego równania mamy następujące trzy równania amalityczne : M x 0 = j»i Xi -1- m-i x-, -f- . . . = 5 mi x (\ albo = j x d M M y 0 = vh ÿi -j-m2 y2 + . . . = ï m; yi ; „ * = J y d M M z 0 = wij -f- m2 -)- . . . — 2 m i z{ ; „ = j z d M
Iloczyny m ( x (, ni/J/f itd. nazywamy momentami mas m( względem płasz
czyzny Y Z, Z X itd.
Z postaci równań określających wynika, że środek m a s y j e s t z a r a z e m ś r o d k i e m s i ł z g o d n i e r ó w n o l e g ł y c h i p r o p o r c j o n a l n y c h w z g l ę d e m mas m {. Takiemi siłami są w pierwszem, zwykle bardzo wiel- kiem przybliżeniu siły ciężkości, działające na ciała, z któremi technika ma do czynienia. Dlatego środek masy zlewa się praktycznie ze środkiem cięż
kości i bywa nazywany tem mianem.
W łasności k in e ty c z n e śro d k a m asy. Różniczkując równania okre
ślające środek masy względem czasu otrzymujemy:
d r 0 „ d r { r0 „ d'! r {
M ~dT “ mi dt ’ M di8 “ .¿J di2 ’ albo
M!>0 = 2 m( v. ; M p 0 = = 2 mt
czyli słowami : Pęd (ilość rnchu) całej masy ciała skupionej w środku masy równa się sumie geometrycznej pędów wszystkich punktów materjalnych (cząstek) ciała.
Siła bezwładności (M p„) całej masy ciała skupionej w środku masy równa się sumie geometrycznej (2 m tpj) sił bezwładności wszystkich cząstek ciała.
T e b a r d z o o g ó ln e t w ie r d z e n ia n a d a j ą z n a c z e n ie k o n k r e t n e ( fiz y k a ln e ) m a te m a ty c z n e j f ik c j i p u n k tu m a te r j a ln e g o . D r u g ie z n i c li t łu m a c z y n a d t o j a s n o , d la c z e g o w w i e lu k s ią ż k a c h , z w ła s z c z a a n g i e ls k i c h , n a z y w a j ą ś r o d e k m a sy „ ś r o d k ie m b e z w ła d n o ś c i“ .
24. Inne ogólne w łasności środka masy.
a) Jeżeli dla obrauego początku promieni-wektorów O (dla obranej płaszczyzny spółrzędnych np. Y Z ) jest 2 m ( r ( — 0 (jest 1 m( x i = 0), to w tym punkcie (na tej płaszczyźnie) leży środek masy.
b) Jeżeli wszystkie punkty matejjalne danego układu punktów mate- ryalnych leżą na jednej płaszczyźnie (lub prostej), to na tej płaszczyźnie (prostej) leży środek masy tego układu.
c) Jeżeli dany układ punktów materjalnych (ciało) podzielimy na części o masach Mlt M2, . . . i znajdziemy środki mas S lt Ślt . . . każdej części, to środek masy całego układu o masie M — + il/a -J- . . . jest zarazem środkiem masy układu punktów materyalnych o masach , 3/2, . . . umiesz
czonych w Ą , Ą , . . .
d) Jeżeli układ punktów materjalnych posiada płaszczyznę, oś lub środek s^metrji,. to na nich leży środek masy układu.
25. Ś rodek m asy cial jednolitych (jednorodnych). Gęstość u takich ciał (wyrażona w g*/em3) jest stałą, wskutek czego równanie określające środek masy nuraszcza się i po podstawieniu M — jaK, d M = ¡x d V (przy- czem V oznacza objętość) przybiera postać:
V r t = j r d - Y .
1 0 2 2 M echanika ogólna.
Z tego widać, że środek masy -okładów mateijalnych jednolitych jest zupełnie określony ich postacią geometryczną. Obok ciał trójwymiarowych rozważamy często w mechanice dwuwymiarowe p o w i e r z c h n i e ma t e - r j a l n e i jednowymiarowe l i n j e m a t e r j a l n e . Oznaczywszy przez d S element powierzchni (jego pole), a przez d ł element długości linji, mamy wzory dla wyznaczenia środka masy w przypadku jednolitości:
8 1'0 — / r d S \ l ) \ = ' f r d ł.
i> t
Wszystkie te równania oraz odpowiadające im rówrnania analityczne dają się ująć w wysłowienie:
Moment całości skupionej w szukanym środku masy równa się sumie geometrycznej, (lub algebraicznej) momentów wszystkich części elementarnych względem tego samego dowolnie obranego punktu (lub płaszczyzny).
26. W yznaczenie śro d k a m asy w przypadkach praktycznych uła
twiają własności podane w ust. 24, a nadto twierdzenie: Jeżeli dany układ materjalny da się podzielić na części, których środki masy leżą na jednej prostej lub na jednej płaszczyźnie, to na tej prostej lub tej płaszczyźnie musi leżeć środek masy układu.
W p r z y p a d k u c i a ł lu b p o w ie r z o ta n i j e d n o lit y c h p r o w a d z i c z ę s t o d o c e lu p o d z ia ł n a e le m e n ty o r ó w n e j m a s ie , k tó r y c h ś r o d k i a;t z n a n o . W te n sp o s ó b s p r o w a d z a m y s z u k a n ie ś r o d k a m a s y c ia ł a d o s z u k a n ia ś r o d k a m a s y p o w ie r z c h n i j e d n o lit e j , w k tó r ej le ż a o w e ś r o d k i e le m e n t ó w ; z a ś s z u k a n ie ś r o d k a m a s y p o w ie r z c h n i m a te r ia ln e j d o s z u k a n ia ś r o d k a m a s y l i n j i j e d n o lit e j .
Wyznaczanie środka masy w zagadnieniach praktycznych odbywa się rachunkiem, wykreślnie lub doświadczalnie. Metoda wykreślna jest wskazana zwłaszcza dla figur i linij płaskich nieokreślonych analitycznie, lecz danych na rysunku. Metodo doświadczalną stosujemy do ciał rzeczywistych w postaci złożonej, np. samolotów, bądź to dla ominięcia żmudnego rachunku, bądź też dla jego sprawdzenia, W tym celu zawieszamy ciało na stosownem cię
gnie. Po ustalenia równowagi musi prosta oś napiętego cięgna trafiać środek ciężkości, a więc i środek masy. Wieszając ciało -w innym _ punkcie znaj
dujemy znowu prostą, zajmującą inne położenie względem ciała, na której leży środek masy. Obie proste połączone niezmiennie z ciałem wyznaczają zatem środek masy swoim punktem przecięcia się.
Z pośród s p o s o b ó w w y k r e ś 1 n y c h są najprostsze dwa następujące:
a) Mając np. znaleźć środek masy jednolitej krzywej A B (fig. 13) dzielimy ją na r ó w n e części dość małe, aby je można traktować w przybliżeniu jako odcinki proste i przy
jąć środki masy w połowie ich długości. Z dowolnie obra
nego punktu O prowadzimy promienie-wektory 1, 2, 3, . . ., które sumujemy geometrycznie rozpoczynając od jakiego
kolwiek punktu Q (fig. 18). Znaleziona suma Q I) jest wi
docznie równa «-krotne
mu promieniowi-wektorowi środka masy ?-0 = O 8, jeżeli n jest liczbą części, (w naszym przypadku 7).
Gdyby sumowanie nie mieściło sio na płaszczyź
nie rysunku, to zamiast Fig. 13. dodawać' całe wektory
1, 2, 3, . . . można doda-
.ć ?n-te części, czyli zmniejszyć skalę lysunku (o) łH-krotnie. WówTCzas bedzie szukane r« - 0 S — —— Q D.
n
1 4
W yzuaczauio środka masy. 1 0 2 3
b) Chcąc znaleźć środek masy figury płaskiej jednolitej czyli ś r o d e k p o l a (powierzchni) tej figury (fig. 14) dzielimy ją prostemi równoległemi na paski, których pola i środki są z dostateczną dokładnością znane. W tych środkach wyobrażamy sobie siły 1,2,3, . . . równoległe i proporcjonalne względem pól pasków. Kreśląc wielobok sznurowy tych sił znajdujemy liujo działania wypadkowej R, na której musi leżeć szukauy środek masy.
Przez powtórzenie tej konstrukcji dla innego, najlepiej prostopadłego do poprzedniego kierunku prostych podziału i sił pomocniczych, otrzymujemy drugą prostą, na której leży środek masy figur}', w punkcie przecięcia się z poprzednią.
O w a g a . N i e k i e d y o k a z u je s ie k o r z y s tn e m w p r o w a d z e n ie f ik c y j n y c h m as (o b ję t o ś c i, p ó l itp .) u jo m n y o h , c z y li u w a ż a n ie d a n e g o c ia ł a z a r ó ż n ic ą d w u i n n y c h . "W ów czas n a le ż y w r a c h u n k u u w z g l ę d n i ć z m ia n ę z n a k u w m o m e n ta c h m a s u j e m n y c h , a w k o n s t r u k c ji w y k r e ś ln r j o d w r ó c ić o d p o w ia d a ją c e k ie r u n k i p o m o c n ic z y c h s ił r ó w n o le g ły c h .
27. P ołożenie śro d k a m asy najw ażniejszych technicznie linij, po
w ierzchni i ciał jednolitych. (W tekście i na rysunkach oznaczaSśrodek masy.) O d c i n e k p r o s t e j : S leży w połowie odcinka.
O b w ó d t r ó j k ą t a : S leży w środku koła wpisanego w trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków alt a2 i as danego trójkąta.
Odległością S od boku trójkąta a, jest
hi « 2 - j - (h
^ 2 (li -J" (t<2 —j- (¿3
jeżeli Aj oznacza wysokość odpowiadającą at jako podstawie.
Ob wó d r ó w n o l e g ł o b o k u : S leży w punkcie przecięcia się przekątnych.
Ł u k k o ł a (fig. 15): S n a dwusiecznej kąta środkowego 2 a w odległości , , ,, , , cięciwa A B >• sin u
od środka koła x s = r — = ¿ rć '« ’ (przyczem arc a = r. «7180°).
P ł a s k i ł u k j a k i e j k o l w i e k k r z y w e j regularnie w jedną stronę zakrzywionej (fig.,16): Odległość S od cięciwy, J/, - co -=- />. Ezut prosto
kątny na cięciwę (S ') połowi ją w przybliżeniu, jakkolwiek rzut wierzchołka luku C dość znacznie zbacza od ¡jrodka cięciwy.
W z ó r p r z y b liż o n y d a je y s z n a d w y ż k ą k tó r a n p . d la ł u k u k o ł o w e g o 60° j e s t m n ie j s z a o d 0 ,6 % , z a ś d la łu k u 90° n i e d o c h o d z i d o 1,1% .
P o l e t r ó j k ą t a : 8 leży w punk
cie przecięcia się linij środkowych (łączących środki boków z prze-
ciwległemi wierzchołkami). Odle- Fig: 16. Fig. 10. głość S od boku równa się jednej
trzeciej odpowiadającej wysokości trójkąta. Jeżeli x u a;2, y3, x3) ji3) z 3 są spółrzędiiemi prostokątnemi trzech wierzchołków trójkąta, to spółrzędne środka masy przedstawiają wzory:
a | j = y (a?, + a-» + x 3), y s = Y (j/l + y<i + y i), «s = y < k
P o l e r ó w n o l e g ł o b o k u : S w punkcie przecięcia się przekątnych.
P o l e t r a p e z u : 1. S leży na linji środkowej t. j. prostej łączącej środki boków równoległych a i b (fig. 17). Odległościami S od tychże boków są:
h —{—2 b 2 a -|- b
!“ 3 ct —J— & ’ l,J 3 a - \-b '
1 5
1 0 2 4 M echanika ogólna.
Stad konstrukcja: Na przedłużeniach boków równoległych odcinamy B E — a, C F = b. Prosta JE .F wyznacza ¿i na M N . 2. Dzielimy trapez na dwa trójkąty (fig. 18) o środkach masy & \iS 3. Prosta Ą S t przecina M N vrS.
Odciętą x g punktu S w ukośnokątnym układzie spółrzędnych o osi x na i) i osi Y na O A określa wzór:
P o l e c z w o r o k ą t a (fig. 19): S jest zarazem środkiem masy trójkąta A CF, którego jednym bokiem jest przekątna A C , a wierzchołkiem przeciw
ległym punkt F znaleziony na drugiej przekątnej tak, aby było F I ! — D E.
mujemy S.
J e ż e l i j e d n a z p r z e k ą tn y c h j e s t BpoJo w i o n ą d r u g ą , ło n a te j d r u g ie j m u s i l e ż e ć ¿ 'c z w o r o k ą ta .
P o l e w i e l o k ą t a : Jeżeli y( (i =* 1, 2. 3 , . . . n) oznaczają spółrzędne prostokątne kolejno po sobie następujących wierzchołków W t wielokąta (jednospójnego), przyczem kierunek obiegu jest zgodny z kierunkiem obrotu zapomocą którego oś X zajmie położenie osi Y na drodze najkrótszej, to rozłożywszy wielokąt na trójkąty prostemi poprowadzonemi z początku spół- rzędnych mamy:
D la s k r ó c e n ia r a c h u n k u o b ie r a m y z w y k l e p o c z ą t e k s p ó łT z ę d n y c h 0 n a j e d n y m z -wierz
c h o ł k ó w . T o s a m o c z y n im y p r z y z a s to s o w a n iu s p o s o b u w y k r e ś l n e g o p r z y p o m o o y w i e lo - b o k u s z n u r o w e g o , p o d o b n ie j a k w u s t . 11, I I . A ż e b y p r z y te m d l* -w yg o d y u n i k n ą ć t r ó jk ą tó w o p o la c h u je m u y o h , trz e b a o b r a ć 0 ta k , a b y o b ie g 0 W { W t- -j- l u w s z y s t k ic h t r ó j k ą t ó w z g o d n y .
F i g . 17. F i g . 18.
1 a24 - a J 4 - & s X» ~ ~ Z ¿ + b ''
Łącząc zatem środek A C, czyli G z F i odcinając G S — — G F, otrzy-
* = 1 i — n
A'ys
= 2
t+
y<+ ^ +
1y¡~x<y<+0
Xn+ 1 1 &¡ + i 8ii identyczne z ' ą i yx.
albo x s —
Środki m asy pól. 1 0 2 5
W y c i n e k p
k o l i s t y : x s 4 V 2 3 tt O d c i n e k k o ł a (fig. 21): x,
¿¡5>G- — 0 ,4 2 4 ir. W y c i n e k ć wi e r ć -
0,6002 r. W y c i n e k 60°: x s — — — 0,6366r.
C3
12 A 3 A
przyezein pole odcinka A — ’/a r 2(arc 2 a — sin 2 a).
W y c i n e k p i e r ś c i e n i a k o ł o w e g o (fig. 22).
2 i i3 — r s sin* ;3 M 9 7 2 | ! _ - ^ s i na
3 ' arc 2 o. — sin 2 a
3 ' i i2 — >• arc a a (o)
P o l e o g r a n i c z o n e ł u k i e m ' k o ł a i d w i e m a s t y c z n e m i (fig. 23).
r sin c lter2 a Odległość 5 od środka koła a; = —
s 3 tg o. — arc a
W y c i n e k i o d c i n e k e l i p s y (fig. 24): Spółrzędne środka masy znaj
dujemy najprościej uważając elipsę za rzut koła o promieniu a, nachylonego
F i g . 1 9 . F i g . 2 1 . F i g . 2 3 . F i g . 2 3 .
do płaszczyzny elipsy pod kątem a, dla którego cos a = — . Rachunek można ct
zastąpić konstrukcją wykreślną uwidocznioną na rysunku, a polegającą na pokrewieństwie elipsy z kołem. Wogóle są środki masy dwu figur pozosta
jących do siebie w stosunku pokrewieństwa punktami odpowiadającemi sobie nawzajem.
¿,2
P a r a b o l a y 2 — 2p x — — x (fig. 25) dzieli prostokąt utworzony ze spółraędnych a & na pola o środkach S i S '. Pierwszy ma spółrzędne
drugi zaś
7 s a ,
7io a,
y, = %
■b.
F i g . 2 4 .
S H 1 .JL
F i g . 28. F i g . 26.
O d c i n e k p a r a b o l i (fig. 26): S leży na prostej łączącej środek cięciwy C z punktem styczności O równoległej do niej stycznej do paraboli (ta prosta ma kierunek osi paraboli), przyczem
Ś & = | C C , czyli yy = ~ h.
B r y ł a f P o d r ę c z n ik in ż y n ie r s k i. V I . 67 17
