III. Ścinanie i skręcanie
47. Przypadek Ogólny. Jeżeli płaszczyzna pary zginającej nie prze
chodzi przez jedną z głównych osi bezwładności przekroju, czyli gdy środek oheiążenia P nie trafia żadnej z tych osi Y i Z (fig. 172), lecz ma spół- rzędne (u, o), to moment zginający P . e rozkładamy na dwa momenty jMj = P ■ u i My - - P . v zginające odpowiednio w płaszczyznach X Y ' l X Z , a naprężenie a w dowolnym punkcie przekroju o spółrzędnych (y , z) obli
czamy według zasady superpozycji jako sumę:
P . Mz , ¥ y . I> , P . H , 1>V
5 F + J y Z F + | g V + J y ~'
Ponieważ J t = F J = F i ^ i, odpowiadające ramiona bez
władności), przgto:
F i g . 171.
F ig . 168. F i g . 172.
F i g . 169
■y
1 2 7
1 1 3 6 Sprężystość i w ytrzym ałość.
T
' U -'J
Kładąc cj =■ 0, otrzymujemy równanie odpowiadającej linji obojętnej:
i } »„
Ta linia wyznacza na osiach Y i Z od cin k i---, --- :—, a zatem
** U V
ze względu na środek przekroju 0 leży po przeciwnej stronie niż środek obciążenia (w, v) i to tem bliżej O, im większe u i v, czyli im większe c.
Równanie Culmannowskiej elipsy bezwładności przekroju ma postać:
V + v
Z obu ostatnich równań łatwo odczytać następujące prawidła:
1. K i e r u n e k l i n j i o b o j ę t n e j j e s t s p r z ę ż o n y z k i e r u n k i e m m i m o ś r o d u o b c i ą ż e n i a ze w z g l ę d u n a e l i p s ę b e z w ł a d n o ś c i p r z e k r o j u .
2. G d y ś r o d e k o b c i ą ż e n i a z n a j d u j e s i ę na o b w o d z i e Cul m a n n o w s k i e j e l i p s y b e z w ł a d n o ś c i , to o d p o w i a d a j ą c a l i nj a o b o j ę t n a j e s t s t y c z n a do e l i p s y w p u n k c i e l e ż ą c y m ua p r z e c i w l e g ł y m k o ń c u ś r e d n i c y 2p.
3. Gd y ś r o d e k o b c i ą ż e n i a P o d d a ł a ( zbl i ża) s i ę od ś r o d k a p r z e k r o j u 0 po p r o s t e j , p r z e c h o d z ą c e j p r z e z O, to o d p o w i a d a j ą c a l i n j a o b o j ę t n a p o r u s z a si ę r ó w n o l e g l e i z b l i ż a do ( o d d a l a od) O t a k, ż e K O . O P — s t a ł ej = p2 ( K jest punktem prze
cięcia linji obojętnej z prostą OP, zaś p połową średnicy elipsy leżącej na OP).
Zważywszy, że taki sam związek {KO . O P — p2) zachodzi między punk
tem P jako b i e g u n e m , a prostą l jako b i e g u n o w ą , przecinającą średnicę 0 kierunku OP w punkcie K, przy czem jednak K i P leżą po tej samej stronie środka elipsy O, nazywamy linję obojętną p r z e c i w b i e g u n o w ą punktu F 1 nawzajem ten punkt p r z e c i w b i e g u n e m dla owej linji. Przenosząc znane z geometrji twierdzenie o biegunach i biegunowych krzywych rzędu drugiego do środka obciążenia i linji obojętnej jako przeciwbieguna i przeciw- biegunowej, otrzymujemy prawidła następujące:
1. K a ż d e m u p u n k t o w i p ł a s z c z y z n y p r z e k r o j u , u w a ż a n e m u z a ś r o d e k o b c i ą ż e n i a , o d p o w i a d a j a k o oś o b o j ę t n a p r z e c i w- b i e g u n o w a t e g o p u n k t u w z g l ę d e m C u l m a n n o w s k i e j e l i p s y b e z w ł a d n o ś c i ; n a w z a j e m k a ż d e j d o w o l n e j p r o s t e j n a p ł a s z c z y ź n i e p r z e k r o j u , u w a ż a n e j z a oś o b o j ę t n ą o d p o w i a d a prze- c i w b i e g u n t e j p r o s t e j j a k o ś r o d e k o b c i ą ż e n i a .
2. Gd y ś r o d e k o b c i ą ż e n i a p o r u s z a s i ę n a d o w o l n e j pr os t e j , t o o d p o w i e d n i a oś o b o j ę t n a o b r a c a si ę o k o ł o p r z e c i w b i e g u n a t e j p r o s t e j i n a w z a j e m :
3. G d y oś o b o j ę t n a o b r a c a s i ę o k o ł o d o w o l n e g o p u n k t u , t o o d p o w i e d n i ś r o d e k o b c i ą ż e n i a p o r u s z a s i ę n a p r z e c i w- b i e g u n o w e j t e g o ż p u n k t u .
48. R dzeń czyli jądro p rz e k ro ju . Tak nazywamy miejsce geometryczne wszystkich środków obciążenia, które w danym przekroju wywołują naprę
żenia tego samego znaku. Ażeby tedy znaleźć dowolną liczbę punktów kon
turu rdzenia, kreślimy dla przekroju Culmannowską elipsę bezwładności i do
wolną liczbę prostych nie przecinających przekroju, lecz mających z jego
1 2 8
Rdzeli (jądro) przekroju. 1 1 3 7
konturem przynajmniej jeden pnnkt wspólny. Wyznaczywszy na podstawie związku K O . O P — p2 przeciwbieguny tych prostych mamy tyleż punktów konturu rdzenia.
Jeżeli kontur przekroju jest wielobokiem wypukłym, to każdemu bokowi jako linji obojętnej odpowiada punkt jako wierzchołek wielokątnego konturu rdzenia.
Jeżeli kontur przekroju jest wklęsły miedzy punktami A i B (fig. 173), to łączymy je prostą A B , a odpowiadający jej przeciwhiegun c jest wierz
chołkiem konturu rdzenia.
Wykreślenie Culmannowskiej elipsy bezwładności nie jest koniecznie potrzebne do konstrukcji rdzenia. Można ją oprzeć na równaniu linji obojętnej w postaci odcin
kowej ■
i + f - 1’
• o " O
h V
przyczem 0 = --- , c — --- •
u v
Przedłużywszy np. prostą A B aż do F i g . 1 74.
przeciecia się z osiami bezwładności
Y i Z, znajdujemy odcinki 6 i c, a z nich obliczamy lub wyznaczamy wy- kreślnie zapomocą znanej konstrukcji (fig. 174):
; __ j j
~ b ’ ' ~ c
49. W y z n ac ze n ie n a p rę żeń sk rajn y c h p rz y ukośnem zginaniu przy pom ocy rd z e n ia przedstawia się w nadzwyczaj prosty sposób.
Płasz-B r y ł a , P o d r ę c z n ik in ż y n ie r s k i. V I . 7 4 ^
1 1 3 8 SpręzyBŁo&S 1 wytrzym ałość.
czyzna obciążenia, wywołującego zgięcie, wyznacza dwa promienie rdzenia 0 Ki — k-! i O Kn — h2 (fig. 174 a). Naprężenia we włóknie skrajnem, leźącem po przeciwnej stronie punktu K (względem 0), określa wzór:
\ v 0l — F k ,
1 podobnież dla punktu K 2. Wzór powyższy prowadzi do uogólnienia wiel
kości geometrycznej zwanej modułem przekroju W, którą w przypadku prostego zgięcia określa się jako iloraz momentu bezwładności przez od
ległość włókna skrajnego od osi obojętnej. Teraz zaś mamy:
Wl = F k 1, W2 = F k 3,
c z y l i m o d u ł p r z e k r o j u p r z y z g i n a n i u r ó w n a s i ę i l o c z y n o w i p o l a p r z e k r o j u p r z e z o d p o w i a d a j ą c y p r o m i e ń r d z e n i a ,
50. Przypadek przekrojów nieprzeno-
szącyck ciągnień. W szwach słupa murowanego bez zaprawy nie mogą oczywiście powstać cią
gnienia, chociażby środek obciążenia leżał poza rdzeniem przekroju [nie wychodząc zarazem z wnętrza figury (obwiedniej) przekroju ze względu na ogólne warunki równo
wagi]. Każdemu środkowi obciążenia P odpowiada i w tym przypadku jedno
znacznie określona oś obo
jętna, jeżeli również przyj
miemy linjowe prawo roz
kładu ciśnień, jako naj
prostsze i prawdopodobnie najczęściej wrielce zbliżone do rzeczywistości. Atoli wy
znaczenie osi obojętnej dla
danego środka obciążenia nie da się ująć w ogólne i proste prawidła, podobne do podanych powyżej w przypadku zdolności przekroju do prze-, noszenia tak ciągnień jak i ciśnień. Natomiast bardzo łatwo rozwiązać za
danie odwrotne, tj. znaleźć ś r o d e k o b c i ą ż e n i a , odpowiadający danej osi oboj ę t n ej.
Ich wzajemną zależność można określić w następujący sposób: Po
myślmy sobie (fig. 175) figurę przekroju w takiem położeniu, aby jej część F', narażona na ciśnienie, była zanurzona w płynie aż po oś obojętną N N 1 ',
wówczas ś r o d e k n a p o r u h y d r o s t a t y c z n e g o na F' jest zarazem ś r o d k i e m o b c i ą ż e n i a P .
[Ten środek jest zarazem ś r o d k i e m w a h n i e n i a jednolitej ciężkiej figury F ' , obracalnej około poziomo ustawionej osi N N 1].
Odległość f j nśrodka P od osi N N ' określa wtedy równanie
J n (moment bezwładności ściskanej części przekroju względem N 1 S V )
r,,‘ S n (moment statyczny ściskanej części przekroju wzgledem N N ') To równanie wystarcza do rozwiązania zadania w przypadku, gdy oś obo
jętna jest prostopadła do osi symetrji przekroju jak np.:
A . W przekroju prostokątnym obciążonym siłą osi P na osi symetrji
(fig. 176) w odległości d < -5- b od boku h, leży odpowiadająca oś obojętna O
N N 1w odległości — 2 d od P . Szerokość ściskanej strefy =*=3 d. Skrajne
ciśnienie:
1 3 0
P rzekroje ule przenoszące oiąguieii. 1 1 3 9
jeżeli a0' oznacza średnią wartość ciśnienia w tej strefie. Ta wartość jest p
widocznie większa od co = -y^-j “ i 1* średniej wartości ciśnienia w całym przekroju.
B. I n n e p r z y p a d k i . 1.) Oś o b o j ę t n a o d c i n a t r ó j k ą t j a k o p r z e k r ó j „ s k u t e c z n y “. Jeżeli środek obciążenia P (fig. 177) leży dość
F i g . 177.
blisko wierzchołka W, w którym się schodzą dwa proste boki W B i W S , ograniczające przekrój, wtedy łatwo znaleźć ściśle odpowiadającą oś obojętną zapomocą konstrukcji następującej:
Prowadzimy z P prostą P P ' (| S W i P T " |! B W , odcinamy W N ' =
«= 4 P P " «= i u i W N " — P P ' — 4 v.
Prosta N ' N " jest szukaną osią obojętną, o ile punkty N 1 i N " wypa
dają na odpowiadających bokach, a nie na ich przedłużeniach. Największe ciśnienie aw w wierzchołku W :
2.
żenią, odcinamy A K —
i łączymy JC z O- Następnie obliczamy długość odcinka x Q z wzoru, 3 x 1i — x t 4
a° ~ T ' x 1a — x 23
i wstawiamy ten odcinek między proste A B i N N ' równolegle do Xy i Jego pnnkt przecięcia się z prostą K O jest szukanym środkiem obciążenia P.
Czasami dogodniej obliczyć i odmierzyć wielkość u o z wzoru:
3 ¡/i - ' i4 * » 4
1 1 4 0 Spręiysto&S i w ytrzym ałość. do przecięcia się z przedłużeniem A C skrajnego boku w‘ieloboku w punkcie G.
■ Pan,k tu , wykradamy bok zamykający G E I J tak, aby pola A G E
E n e r g ja p o t e n o ja ln a p r ę tó w p rbB tych. 1141 skutecznego i wyznaczamy następnie środek ciężkości tego pola S Wy
stawiwszy w tym punkcie rzędną o5, otrzymamy o1 z wykresu linjowego K L M .
U w a g a . G d y ś r o d e k o b c iij ź e n ia n lo leż y n a o s i s y m e t r ji p r z e k r o ju , to o d p o w ia d a ją c ą o ś o b o ję tn ą m o ż o a z n a lo ź ć ty lk o p r z e z p r ó b y .