Przejście w dziedzinę ciśnień spiętrzenia

— pojawiające się mniejsze wartości δ dla optymalizacji z ograniczeniami świadczą o trud-nościach z minimalizacją funkcji o postaci (7.35);

— w pracy [158] opisano wyniki badań przepływu powietrza przez dwie dysze, dla któ-rych wyznaczono: β1 = 4,34 i β2 = 0,37 oraz β1 = 3,55 i β2 = 0,96 – w tabeli 66 pojawiają się ujemne wartości współczynnika β2 (przy optymalizacji bez ograniczeń) oraz warto-ści β1 dochodzące do kilkudziesięciu tysięcy (symbol F – duże wartości b i m).

7.6. Przejście w dziedzinę ciśnień spiętrzenia

Modele strumienia masy przedstawione w normach: ISO 6358 i ISO 6953 określone są w dziedzinie ciśnień statycznych. Przejście w dziedzinę ciśnień spiętrzenia, na przykład w celu symulacji komputerowej układu pneumatycznego, możliwe jest przy wykorzystaniu wzoru (4.16) wraz z algorytmem opisanym w punkcie 4.4 bądź modeli opisanych w punk-tach 7.3 (wszystkie o zmiennej wartości współczynników) i 7.4 (jeden współczynnik o sta-łej wartości, jeden o zmiennej). Wszystkie sposoby przejścia są równoważne i obarczone identyczną niedogodnością – koniecznością wielokrotnego iteracyjnego rozwiązywania równania (4.26). Innym podejściem może być zastosowanie wprost wzorów ze wspomnia-nych norm i tym samym zaakceptowanie błędów wynikających z utożsamienia ciśnień sta-tycznych i ciśnień spiętrzenia, bądź wykorzystanie modelu przedstawionego w punkcie 7.5 i zaakceptowanie błędów przejścia na ten model (tab. 7.6). Z utylitarnego punktu widzenia racjonalne wydaje się poszukiwanie takiego modelu strumienia masy, że:

— jego współczynniki miałyby stałą wartość;

— błędy przejścia na ten model byłyby akceptowalne i mniejsze od błędów wynikających z utożsamienia ciśnień spiętrzenia i ciśnień statycznych;

— koszty obliczeniowe byłyby niższe niż w przypadku iteracyjnego rozwiązywania rów-nania (4.26).

Zdecydowano się na zaproponowanie modelu o strukturze zbliżonej do struktury mo-delu przedstawionego w normie ISO 6953:

˙m=C_sp⋅ p₀

√

^T0⋅ρN⋅

√

^TN⋅ϕ_sp(ε) (7.36)

ϕ_sp(ε)=

{

^{g(10ε) gdy 0≤gdy bgdy aspsp<≤εε≤bε<a≤1spsp (7.37)}

gdzie g(ε) to funkcja mająca aproksymować funkcję ekspansji w zakresie przepływu pod-krytycznego.

Z porównania wzorów (7.36) i (4.16), po uproszczeniu i przekształceniu, otrzymuje się zależność o postaci:

C_sp

d²⋅ϕ(ε)= π

4⋅ρ_N⋅

√

^{R⋅TκN⋅M1⋅}

⁽

^{1+κ−12 ⋅M12}

⁾

^{2−2⋅κκ+1 (7.38)}

Zakładając, że czynnikiem jest powietrze i przepływ ma charakter krytyczny, wartość prze-wodności Csp można wyznaczyć z:

C_sp=269,62⋅10⁻⁵⋅d²⋅M_{1 max}⋅

(

^{1+ 0,2⋅M}1 max2

)

^{−3 (7.39)}

Wartość krytycznego stosunku ciśnień bsp należy wyznaczyć ze wzoru (4.24), utożsa-miając go z εK, natomiast wartość asp przyjąć równą wartości a.

Znając wartości Csp, bsp i asp, można wyznaczyć wymagany przebieg funkcji ekspansji φ(ε) w zakresie przepływu podkrytycznego (bsp ≤ ε ≤ asp) z zależności:

ϕ(ε)=269,62⋅10⁻⁵⋅d²

C_sp⋅M₁⋅

(

^1+0,2⋅M1

2

)

^{−3 (7.40)}

Potrzebne, we wzorach (7.39), (4.24) i (7.40), wartości M1 i M1max należy wyznaczyć z zależności (4.21) i (4.26).

Dobór funkcji aproksymującej g(ε) nie jest oczywisty. Przebadano różne postacie ta-kich funkcji, w tym sztuczne sieci neuronowe, przy różnej liczebności i rozkładzie punktów w zbiorze podlegającym aproksymacji. Ostatecznie zdecydowano się zaproponować trzy prototypy funkcji aproksymujących, których parametry wyznaczane są dla zbioru równo-miernie rozłożonych punktów przy rozdzielczości zbioru Δε = 0,01. W taki sposób dobrana rozdzielczość daje zbiory o liczności od kilku do kilkudziesięciu punktów, nie zwiększając nadmiernie złożoności obliczeniowej zadania.

Pierwszą z proponowanych funkcji jest wielomian 6 stopnia o postaci:

g(ε)=

∑

i=0 6

z_i⋅εⁱ (7.41)

Tabela 7.7 Rezultaty przyjęcia funkcji aproksymującej o postaci (7.41)

SYMBOL

wg tab. 7.5 εK [-] δm99 [%] δmax99 [%] δm95 [%] δmax95 [%]

A

0,1823

1,35 18,11 0,76 3,63

B 1,10 15,58 0,59 3,23

C 0,31 6,18 0,12 1,64

D

0,5470

1,57 21,97 0,85 3,14

E 1,33 19,82 0,67 2,61

F 0,46 9,77 0,12 0,56

G

0,8204

1,23 7,84 0,58 1,22

H 1,13 7,42 0,51 1,10

J 0,25 2,30 0,07 0,15

7.6. Przejście w dziedzinę ciśnień spiętrzenia 129 Rezultaty zastosowania funkcji o takiej postaci zestawiono w tabeli 7.7 (oznaczenia zgodne z tabelą 7.6). Zbiór, na którym testowano uzyskane funkcje aproksymujące był dziesięcio-krotnie liczniejszy (rozdzielczość Δε = 0,001) niż zbiór wykorzystany do aproksymacji.

Druga proponowana funkcja aproksymująca ma strukturę:

g (ε)=β₁⋅

[

¹⁻

⁽

^{aεsp−b−bspsp}

⁾

²

]

^{β2 (7.42)}

Rezultaty zastosowania funkcji o takiej postaci zestawiono w tabeli 7.8.

Tabela 7.8 Rezultaty przyjęcia funkcji aproksymującej o postaci (7.42)

SYMBOL

wg tab. 7.5 εK [-] δm99 [%] δmax99 [%] δm95 [%] δmax95 [%]

A

0,1823

0,19 1,37 0,17 0,34

B 0,07 0,26 0,06 0,11

C 0,81 6,03 0,72 1,83

D

0,5470

0,19 0,36 0,19 0,36

E 0,55 1,81 0,53 0,89

F 1,25 7,85 1,07 2,98

G

0,8204

1,51 2,97 1,52 2,86

H 1,90 3,78 1,90 3,61

J 1,79 3,69 1,64 3,69

Tabela 7.9 Rezultaty przyjęcia funkcji aproksymującej o postaci (7.43)

SYMBOL

wg tab. 7.5 εK [-] δm99 [%] δmax99 [%] δm95 [%] δmax95 [%]

A

0,1823

0,02 1,50 0,01 0,11

B 0,03 1,51 0,01 0,11

C 0,02 1,65 > 0,01 0,06

D

0,5470

0,05 1,53 0,01 0,11

E 0,05 1,52 0,01 0,11

F 0,03 1,27 0,01 0,03

G

0,8204

0,13 1,56 0,04 0,12

H 0,13 1,54 0,04 0,12

J 0,14 1,40 0,05 0,19

Trzecią propozycją jest funkcja sklejana funkcji liniowych (interpolacja odcinkami) o postaci:

g(ε)=ϕ_sp(ε_i)−ϕ_sp(ε_{i +1})

ε_i−ε_i+1 ⋅(ε−ε_i)+ϕ_sp(ε_i) gdyε_i≤ε<ε_i+1 (7.43) Wyniki dla tej funkcji przedstawiono w (tab. 7.9).

Analizując uzyskane wyniki (tab. 7.7, 7.8 i 7.9) oraz wyniki dla innych badanych po-staci funkcji aproksymującej (nie prezentowane w tym rozdziale), na tle wykresów ilustru-jących skutki utożsamiania ciśnień statycznych i ciśnień spiętrzenia dla modelu podanego w normie ISO 6953 (rys. 6.8) można zaproponować, aby prowadząc obliczenia w dziedzi-nie ciśdziedzi-nień spiętrzenia z wykorzystadziedzi-niem modelu z ISO 6358 bądź z ISO 6953, korzystać z modelu strumienia masy opisanego wzorami (7.36) i (7.37) z funkcją aproksymującą o postaci (7.43). Zastosowanie tejże funkcji przy rozdzielczości zbioru Δε = 0,01 wymaga minimalnych nakładów obliczeniowych na etapie przygotowania modelu w porównaniu z wielokrotnym iteracyjnym rozwiązywaniem równania (4.26) w trakcie długotrwałych ob-liczeń symulacyjnych napędu pneumatycznego. Nieznacznie zwiększając nakłady oblicze-niowe (poprzez zwiększenie rozdzielczości Δε całego bądź części zbioru), można dowolnie sterować dokładnością aproksymacji. Również na etapie wykorzystania powyższa funkcja ma minimalistyczne wymagania dotyczące zasobów komputera: czasu dostępu do danych (indeksowana tablica liczb) i pamięci operacyjnej (kilka kB).

Rozdział

8

PROCEDURY PRZETWARZANIA DANYCH DLA METOD ZBIORNIKOWYCH

Najpopularniejszymi metodami wyznaczania wartości współczynników przepływu są metody pośrednie zbiornikowe (patrz punkt 2.4.1). Nie są one jednak wykorzystywane do wyznaczania wartości współczynników zdefiniowanych w obowiązujących normach:

ISO 6358 [48], ISO 6953 [49] i PN-EN 60534 [122]. Próbą ich wykorzystania do wyzna-czania wartości tychże współczynników są metody alternatywne opisane w punkcie 2.4.3.

Jednak metody te bądź są skrzyżowaniem metod zbiornikowych i bezpośrednich, bądź umożliwiają wyznaczenie wartości współczynników niezgodnych z tymi zdefiniowanymi w ISO 6358 i ISO 6953 – na przykład utożsamiają ciśnienia statyczne i ciśnienia spiętrze-nia lub ignorują wpływ rur pomiarowych ciśnień na wynik pomiaru.

W niniejszym rozdziale sformułowano wymagania, jakie winno spełniać stanowisko pomiarowe oraz zaproponowano autorskie procedury przetwarzania danych pomiarowych umożliwiające zastosowanie metod pośrednich zbiornikowych do wyznaczenia wartości współczynników przepływu możliwie zgodnie z ideą norm: ISO 6358, PN-EN 60534 oraz ISO 6953 i ISO/WD 6358 [55].

8.1. Wymagania stawiane stanowisku pomiarowemu

Immanentną częścią wszystkich metod pomiarowych pośrednich są procedury prze-twarzania danych pomiarowych umożliwiające wyznaczenie wartości interesujących nas wielkości na podstawie wartości (lub ich przebiegów) wielkości pomierzonych.

Procedury przetwarzania proponowane w niniejszym rozdziale mogą być wykorzysta-ne do danych pomiarowych uzyskanych na dowolnym stanowisku: przy izotermicznym bądź adiabatycznym opróżnianiu zbiornika, jak również przy napełnianiu zbiornika podci-śnieniowego (patrz punkt 2.4.1 oraz [28, 36, 69, 70, 89, 92]). Niezbędne są jednak pewne drobne modyfikacje wynikające z założeń przyjętych przy tworzeniu tychże procedur:

— wypływ powietrza ze zbiornika (rys. 8.1) bądź dopływ powietrza z otoczenia następuje przez dyszę dobrze zaokrągloną – możliwe jest założenie, że przepływ na odcinku od źródła ciśnienia do rury zasilającej jest izentropowy;

— rura zasilająca ma stałą średnicę d i długość od 6∙d do 10∙d (w proponowanych procedu-rach założono długość 10∙d) – możliwe jest założenie, że przepływ przez rurę odbywa się bez wymiany ciepła z otoczeniem (przepływ adiabatyczny).

Możliwym wydaje się zastosowanie nawet znacznie dłuższej rury zasilającej, lecz nie jest to zalecane. Wydłużanie rury zasilającej może:

— spowodować odejście od założonego przepływu adiabatycznego – nie wydaje się to istotnym problemem, gdyż odejście to jest nieznaczne (patrz punkt 5.2) i zawsze można zastosować izolację cieplną;

— utrudnić wyznaczenie wartości szukanych współczynników, szczególnie dla elementów o małej wartości krytycznego stosunku ciśnień b;

— istotnie zmienić charakter przepływu w rurze dolotowej pomiaru ciśnienia – dysza zbieżna poprzedzająca rurę zasilającą przyczynia się do znacznego skrócenia odcinka wlotowego (patrz punkt 5.4). W efekcie tego, przy długiej rurze zasilającej, przepływ na wlocie do rury dolotowej pomiaru ciśnienia byłby zawsze przepływem turbulentnym w pełni rozwiniętym, gdy w większości stanowisk zgodnych z przytaczanymi normami przepływ ten nie jest w pełni rozwinięty. Różny charakter przepływu w rurze dolotowej pomiaru ciśnienia powoduje zmianę jej pomierzonej oporności.

p₀ T₀ V ZBIORNIK

M₃ p03

T₀ d

m˙ p_a

10d

M₂ BADANY ELEMENT M1

p₀₁ T0

d

Rys. 8.1. Schemat stanowiska do wyznaczania wartości współczynników przepływu metodą opróżniania zbiornika

W przypadku, gdy badany jest element typu wypływowego, to rozumiany jest on jako szeregowe połączenie rury dolotowej pomiaru ciśnienia, króćca dolotowego oraz właściwe-go elementu badanewłaściwe-go. W przypadku elementu typu przepływowewłaściwe-go dołączane są dodatko-wo, na jego wypływie, króciec wylotowy i rura wylotowa pomiaru ciśnienia. Od tej chwili element taki traktowany jest jako element wypływowy. Świadomie pominięto dołączenie do elementu przepływowego końcowej rury wylotowej – komentarz i wpływ na wartości mierzonych współczynników opisano w punkcie 8.4. Rozmiary dołączanych króćców przy-łączeniowych oraz średnica wewnętrzna d (identyczna jak rury zasilającej) i długości rur dolotowej i wylotowej wynikają z odpowiednich norm. Długość rury dolotowej mierzona jest od punktu pomiaru ciśnienia na dopływie gazu do króćca wlotowego; długość rury wy-lotowej mierzona jest od króćca wylotowego do punktu pomiaru ciśnienia na wypływie gazu. W realizacjach technicznych rura dolotowa powinna tworzyć całość z rurą zasilającą (rys. 8.1).

8.2. Procedury przetwarzania danych pomiarowych 133

8.2. Procedury przetwarzania danych pomiarowych

Chociaż proponowane w niniejszym rozdziale procedury przetwarzania mogą być za-stosowane do danych pomiarowych uzyskanych na różnych stanowiskach, to dla jasności dalszego wywodu przyjęto, że pomiary wykonano na stanowisku o strukturze przedstawio-nej na rysunku 8.1 podczas procesu opróżniania zbiornika.

Wyznaczanie wartości współczynników przepływu w rozumieniu normy ISO 6358 bądź ISO 6953, bądź PN-EN 60534 rozpoczyna się od wykonania eksperymentów pomia-rowych na odpowiednio skonfigurowanych stanowiskach (z uwzględnieniem wymagań po-danych w punkcie 8.1) i zgodnie z zaleceniami podanymi, na przykład, w [28, 36, 69, 70, 89, 92]. Na podstawie uzyskanych przebiegów wartości ciśnienia w zbiorniku w funkcji czasu możliwe jest zidentyfikowanie (patrz punkt 2.4.1) przebiegu wartości współczynnika (bądź współczynników) przepływu w funkcji stosunku ciśnień spiętrzenia ε = pa/p0.

W proponowanej procedurze przyjęto, że strumień masy gazu wyrażony jest wzorem (4.16), identyfikowanym współczynnikiem przepływu jest liczba Macha M3 (rys. 8.1) na wlocie do rury zasilającej, a pole przekroju strugi w (4.16) to f = π∙d²/4. W efekcie obliczeń uzyskuje się przebieg wartości M3 w funkcji ε. Jednak, aby wyznaczyć właściwości prze-pływowe jedynie elementu badanego niezbędna jest znajomość przebiegu wartości liczby Macha M1 na wlocie do tego elementu (na wylocie z rury zasilającej – rys. 8.1) w funkcji stosunku ciśnień spiętrzenia ε1 = pa/p01. Zakładając, że: przepływ przez rurę zasilającą jest adiabatyczny, czynnikiem jest powietrze, długość rury zasilającej równa jest 10∙d, a średnia wartość współczynnika strat liniowych rury zasilającej równa jest λs, na podstawie (5.1) i (5.2), powiązano wartości M3 i M1 równaniem:

1−M₁²

M₁² +1,2⋅ln

(

^{1+0,2⋅M1,2⋅M1212}

)

^{=1−MM3232+1,2⋅ln}

(

^{1 +0,2⋅M1,2⋅M3232}

)

^{−14⋅λs (8.1)}

Porównując strumienie masy na wlocie i wylocie z rury zasilającej, po uproszczeniu, moż-na zapisać:

p₀₃⋅M₃⋅

(

^1+κ−12 ⋅M₃²

)

^{2−2⋅κκ+ 1=p01⋅M1⋅}

(

^{1+ κ−1}2 ⋅M₁²

)

^{2−2⋅κκ+ 1}

Ponieważ przepływ przez dyszę jest izentropowy, to prawdziwe jest p0 = p03. Wykorzystu-jąc definicję stosunku ciśnień spiętrzenia oraz zakładaWykorzystu-jąc, że czynnikiem jest powietrze, otrzymano ostatecznie:

ε₁=ε⋅M₁

M₃⋅

(

^{1+ 0,2⋅M1+ 0,2⋅M3212}

)

^{3 (8.2)}

Zależności (8.1) i (8.2) umożliwiają przeliczenie przebiegu M3 w funkcji ε na przebieg M1

w funkcji ε1.

8.2.1. Wyznaczanie wartości C i b w rozumieniu ISO 6358

Proponuje się następującą procedurę wyznaczania wartości przewodności dźwiękowej C i krytycznego stosunku ciśnień b w rozumieniu normy ISO 6358, dla znanego przebiegu

wartości liczby Macha M3 w funkcji stosunku ciśnień spiętrzenia ε:

— wyznaczyć maksymalną wartość liczby Macha M3max jako średnią algebraiczną z warto-ści odczytanych dla prostoliniowego fragmentu przebiegu (przepływ krytyczny);

— dla wyznaczonej wartości M3max oraz znanej wartości λs obliczyć wartość M1max z (8.1);

— dla obliczonej wartości M1max i znanej wartości średnicy wewnętrznej rury zasilającej d (rys. 8.1) wyznaczyć wartość C ze wzoru (4.19);

— dla znanej wartości M3max oraz υ równego około: 0,8, 0,6, 0,4 i 0,2 obliczyć cztery war-tości M3i ze wzoru (4.28);

— dla znanej wartości M1max oraz tych samych wartości υi obliczyć cztery wartości M1i ze wzoru (4.28);

— dla każdej wartości M3i odczytać odpowiadającą jej wartość εi;

— dla każdego zestawu wartości M3i, M1i i εi obliczyć wartość ε1i ze wzoru (8.2);

— dla każdej pary wartości ε1i oraz M1i wyliczyć wartość ηi ze wzoru (4.23);

— dla każdej pary wartości υi oraz ηi wyliczyć wartość bi ze wzoru (5.16);

— obliczyć wartość b jako średnią arytmetyczną z czterech wartości bi.

8.2.2. Wyznaczanie wartości C, b, m i a w rozumieniu ISO 6953 i ISO/WD 6358 Proponowana w niniejszej pracy procedura wyznaczania wartości przewodności dźwiękowej C, krytycznego stosunku ciśnień b, indeksu ekspansji m oraz czopującego sto-sunku ciśnień a w rozumieniu normy ISO 6953 i przy uwzględnieniu wytycznych z doku-mentu ISO/WD 6358, dla znanego przebiegu wartości liczby Macha M3 w funkcji stosunku ciśnień spiętrzenia ε, jest następująca:

— wyznaczyć maksymalną wartość liczby Macha M3max jako średnią algebraiczną z warto-ści odczytanych dla prostoliniowego fragmentu przebiegu (przepływ krytyczny);

— dla wyznaczonej wartości M3max oraz znanej średniej wartości współczynnika strat linio-wych rury zasilajacej λs obliczyć wartość M1max z (8.1);

— dla obliczonej wartości M1max i znanej wartości średnicy wewnętrznej rury zasilającej d (rys. 8.1) wyznaczyć wartość C ze wzoru (4.19);

— dla znanej wartości M3max oraz υ równego około: 0,9, 0,8, 0,6 i 0,4 obliczyć cztery war-tości M3i ze wzoru (4.28);

— dla znanej wartości M1max oraz tych samych wartości υi obliczyć cztery wartości M1i ze wzoru (4.28);

— dla każdej wartości M3i odczytać odpowiadającą jej wartość εi;

— dla każdego zestawu wartości M3i, M1i i εi obliczyć wartość ε1i ze wzoru (8.2);

— dla każdej pary wartości ε1i oraz M1i wyliczyć wartość ηi ze wzoru (4.23);

— przyjąć wartość a = 1; jeżeli w element pneumatyczny wbudowany jest zawór zwrotny, to wówczas:

–dla υ = 0,05 wyznaczyć wartość ηa analogicznie jak wartości ηi; –przyjąć a = ηa;

— dla znanych ηi, υi i a obliczyć średnie wartości b i m minimalizując funkcję błędu o po-staci (5.13).

Chcąc wyznaczyć definicyjną a nie wynikającą z metodyki pomiarowej opisanej w doku-mencie roboczym [55] wartość czopującego stosunku ciśnień a należy odczytać wartość ε odpowiadającą M3 = 0 i przyjąć a = ε.

8.2. Procedury przetwarzania danych pomiarowych 135

8.2.3. Wyznaczanie wartości KV i xT w rozumieniu PN-EN 60534 Podstawiając (2.44) do (2.31) i porównując z (4.17) otrzymuje się:

K_V

3600⋅

√

^{Δpρdefdef⋅}

^√

^{Tp01⋅R⋅Y ( x)= f1⋅}

^√

^pT10⋅

^√

^Rκ⋅M1⋅

^√

^{1+ κ−12 ⋅M12}

Dla funkcji ekspansji Y(x) o postaci (2.45) w zakresie przepływu podkrytycznego, przyjmu-jąc za PN-EN 60534, że współczynnik ekspansji (2.43) y = 1 oraz korzystaprzyjmu-jąc z definicji x (2.41), można zapisać:

K_V=900⋅π⋅d²⋅

√

^{(1−η)⋅ρκ⋅Δpdefdef⋅M1⋅}

^√

^{1+ κ−12 ⋅M12 (8.3)}

gdzie zgodnie z PN-EN 60534 statyczny stosunek ciśnień powinien być η ≥ 0,98. Dla wa-runków definicyjnych ρdef = 1000 kg/m³ i Δpdef = 100000 Pa oraz powietrza jako medium (κ = 1,4), wzór (8.3) przyjmuje postać:

K_V=33455⋅d²⋅M₁⋅

√

^{1+ 0,2⋅M(1−η) 12 (8.4)}

W podobny sposób, dla Y(x) o postaci (2.45), lecz w zakresie przepływu krytycznego, wy-prowadzono:

x_T=

(

^{1350⋅πK⋅dV2}

)

^{2⋅Fκ⋅Δpκ⋅ρdefdef⋅}

⁽

^{M1 max2 + κ−12 ⋅M1 max4}

⁾

^(8.5)

Po podstawieniu wartości definicyjnych oraz powietrza jako medium (κ = 1,4 oraz Fκ = 1) otrzymano:

x_T=2,5182⋅10⁹⋅d⁴

K_V²⋅

(

^M1 max2 +0,2⋅M_{1 max}⁴

)

(8.6) Proponowana tutaj procedura wyznaczania wartości współczynnika wymiarowego KV

oraz współczynnika względnego spadku ciśnienia xT w rozumieniu normy PN-EN 60534, dla znanego przebiegu wartości liczby Macha M3 w funkcji stosunku ciśnień spiętrzenia ε, jest następująca:

— wyznaczyć maksymalną wartość liczby Macha M3max jako średnią algebraiczną z warto-ści odczytanych dla prostoliniowego fragmentu przebiegu (przepływ krytyczny);

— dla wyznaczonej wartości M3max oraz znanej wartości λ obliczyć wartość M1max z (8.1);

— wykorzystując krzywoliniowy fragment przebiegu M3 oraz zależności (8.1), (8.2) i (4.23), wyznaczyć przebieg M1 w funkcji stosunku ciśnień statycznych η w zakresie przepływu podkrytycznego;

— korzystając z wyznaczonego przebiegu odczytać wartość M1 dla η ≥ 0,98;

— dla znanych wartości η, M1, i d obliczyć wartość KV ze wzoru (8.4);

— dla znanych wartości KV, M1max i d obliczyć wartość xT ze wzoru (8.6).

Chcąc trzymać się wytycznych normy PN-EN 60534, wartość współczynnika wymia-rowego KV powinna zostać wyznaczona co najmniej czterokrotnie. Jeżeli uzyskane wartości

nie różnią się więcej niż o 2%, wówczas za wyznaczoną wartość KV uznaje się średnią alge-braiczną z tych wartości; w przypadku większych różnic testy należy powtórzyć.

8.3. Przykłady obliczeniowe

Zgodnie z wymaganiami sformułowanymi w punkcie 8.1 przeprowadzono serię ekspe-rymentów numerycznych polegających na symulacji procesu adiabatycznego opróżniania zbiornika o objętości V = 25 dm³. We wszystkich eksperymentach przyjęto ciśnienie po-czątkowe powietrza w zbiorniku równe p0 = 10⁶ Pa, jego temperatura początkowa równa jest T0 = 293,15 K, a stałe ciśnienie w przestrzeni do której następuje wypływ wynosi pa = 1,01⁵ Pa. Obiektem badań był opornik pneumatyczny o przewodności dźwiękowej C = 2,55∙10^-8 s∙m⁴/kg, krytycznym stosunku ciśnień b = 0,471, indeksie ekspansji m = 0,500 i czopującym stosunku ciśnień a = 1,00. Obiekt podłączono do rury dolotowej o wewnętrz-nej średnicy d = 9 mm, całkowitej długości 13∙d i średnim współczynniku strat liniowych λs = 0,012. W kolejnych eksperymentach obiekt potraktowano jako:

— element wypływowy badany zgodnie z ideą norm [48] i [55] – brak rury wylotowej po-miaru ciśnienia;

— element przepływowy badany zgodnie z ideą norm [48] i [55] – rura wylotowa pomiaru ciśnienia o długości 10∙d;

— element przepływowy badany zgodnie z ideą normy [122] – rura wylotowa pomiaru ci-śnienia o długości 6∙d.

We wszystkich przypadkach, do wyznaczenia przebiegu wartości liczby Macha M3

(rys. 8.1) w funkcji stosunku ciśnień ε, wykorzystano autorski program FCC v. 5.0 [89].

Ponieważ uzyskane przebiegi wartości p0, a tym samym przebiegi wartości M3, jedynie nie-znacznie się różniły, to w poniżej prezentowanych przykładach obliczeniowych posłużono się zestawieniami tabelarycznymi, a nie wykresami – wykresy w punkcie 8.3.1 zamieszczo-no jedynie w celach poglądowych.

8.3.1. Przykład A – element wypływowy

W niniejszym przykładzie badany opornik pneumatyczny został potraktowany jako element wypływowy. Według norm [48] i [55] w takim przypadku rura dolotowa pomiaru ciśnienia na długość 3∙d i brak jest rury wylotowej pomiaru ciśnienia.

W celu wyznaczenia wartości współczynników badanego opornika pneumatycznego traktowanego jak element wypływowy, kolejno wykonano:

— na podstawie przebiegu wartości ciśnienia p0 w zbiorniku (rys. 8.2a) zidentyfikowano przebieg wartości M3 w funkcji ε (rys. 8.2a);

— z przebiegu M3 w funkcji ε wyznaczono M3max = 0,11653;

— dla λs = 0,012 wyliczono z (8.1) M1max = 0,11667;

— dla d = 0,009 m z (4.19) obliczono C = 2,5514∙10^-8 s∙m⁴/kg;

— korzystając z (4.28), (8.2) i (4.23) wyznaczono wartości M3i, M1i, εi, ε1i i ηi (tab. 8.1);

— wyznaczając wartość krytycznego stosunku ciśnień b zgodnie z ISO 6358:

–korzystając ze wzoru (5.16) wyznaczono wartości bi (tab. 8.1 – wiersze 2 do 5);

–obliczono średnią wartość b = 0,46858;

8.3. Przykłady obliczeniowe 137

— wyznaczając wartości krytycznego stosunku ciśnień b, indeksu ekspansji m oraz czopu-jącego stosunku ciśnień a w rozumieniu ISO 6953, przy zastosowaniu wytycznych z ISO/WD 6358 [55]:

–przyjęto wartość a = 1;

–wykorzystując algorytm Social Cognitive Optimisation, dokonano minimalizacji funkcji błędu o postaci (5.13) dla danych zebranych w tabeli 8.1, wiersze 1 do 4, otrzymując b = 0,47080 i m = 0,50086;

— wyznaczając wartości współczynnika wymiarowego KV i współczynnika xT w rozumie-niu normy PN-EN 60534:

–zignorowano różnice długości rur, dolotowej i wylotowej wynikające z normy [122];

–z przebiegu M1 w funkcji η, dla η = 0,98024 odczytano M1 = 0,03152;

–dla d = 0,009 m z (8.4) obliczono KV = 0,60775 m³/h (ANR);

–wykorzystując (8.6), obliczono xT = 0,61058.

Po zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących, jako wyznaczone przyjęto wartości:

— według ISO 6358: C = 2,55∙10^-8 s∙m⁴/kg i b = 0,469;

Rys. 8.2. Przykład A – przebieg wartości ciśnienia p0 w zbiorniku (a) oraz zidentyfikowany przebieg wartości liczby Macha M3 (b)

Tabela 8.1 Zestawienie wyników pośrednich obliczeń – przykład A

Nr νi M3i εi M1i ε1i ηi bi

1 0,90030 0,10497 0,69489 0,10507 0,69553 0,70092 —

2 0,80025 0,09334 0,78248 0,09341 0,78309 0,78789 0,47017 3 0,60055 0,07010 0,89027 0,07013 0,89063 0,89370 0,46960 4 0,40090 0,04682 0,95384 0,04683 0,95397 0,95543 0,46863 5 0,19948 0,02330 0,98866 0,02330 0,98889 0,98927 0,46593

8.3.2. Przykład B – element przepływowy

W niniejszym przykładzie badany opornik pneumatyczny został potraktowany jako element przepływowy. Oznacza to, że zgodnie z [48] i [55], do układu z przykładu A dołą-czono rurę wylotową pomiaru ciśnienia o długości 10∙d.

Chcąc wyznaczyć wartości współczynników przepływu dla tego opornika jako ele-mentu przepływowego, kolejno wykonano:

— na podstawie przebiegu wartości p0 zidentyfikowano przebieg wartości M3 w funkcji ε;

— z przebiegu M3 w funkcji ε wyznaczono M3max = 0,11647;

— dla λs = 0,012 wyliczono z (8.1) M1max = 0,11661;

— dla d = 0,009 m z (4.19) obliczono C = 2,5501∙10^-8 s∙m⁴/kg;

— korzystając ze wzorów (4.28), (8.2) i (4.23) wyznaczono wartości M3i, M1i, εi, ε1i i ηi

(tab. 8.2);

Tabela 8.2 Zestawienie wyników pośrednich obliczeń – przykład B

Nr νi M3i εi M1i ε1i ηi bi

1 0,8999942 0,10487 0,68322 0,10497 0,68387 0,68916 —

2 0,7999567 0,09326 0,77447 0,09333 0,77500 0,77973 0,44925 3 0,6002397 0,07002 0,88632 0,07005 0,88671 0,88976 0,44928 4 0,3995224 0,04663 0,95247 0,04664 0,95264 0,95409 0,44870 5 0,2003828 0,02340 0,98850 0,02340 0,98839 0,98877 0,44636

— wyznaczając wartość krytycznego stosunku ciśnień b zgodnie z ISO 6358:

–korzystając ze wzoru (5.16) wyznaczono wartości bi (tab. 8.2 – wiersze 2 do 5);

–obliczono średnią wartość b = 0,44840;

— wyznaczając wartości krytycznego stosunku ciśnień b, indeksu ekspansji m oraz czopu-jącego stosunku ciśnień a w rozumieniu ISO 6953, przy zastosowaniu wytycznych z ISO/WD 6358:

–przyjęto wartość a = 1;

–dokonano minimalizacji funkcji błędu o postaci (5.13) dla danych zebranych w tabeli 8.2, wiersze 1 do 4, otrzymując b = 0,44946 i m = 0,50026;

— wyznaczając wartości współczynnika wymiarowego KV i współczynnika xT w rozumie-niu normy PN-EN 60534:

–zignorowano różnice długości rur: dolotowej i wylotowej wynikające z normy [122];

–z przebiegu M1 w funkcji η, dla η = 0,98002 odczytano M1 = 0,03112;

–dla d = 0,009 m z (8.4) obliczono KV = 0,59658 m³/h (ANR);

–wykorzystując (8.6), obliczono xT = 0,63292.

Po zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących, przyjęto jako wyznaczone wartości:

— według ISO 6358: C = 2,55∙10^-8 s∙m⁴/kg i b = 0,448;

— według ISO 6953: C = 2,55∙10^-8 s∙m⁴/kg, b = 0,449, m = 0,500 i a = 1;

— według PN-EN 60534: KV = 0,597 m³/h (ANR) i xT = 0,633.

8.3. Przykłady obliczeniowe 139

8.3.3. Przykład C – rura wylotowa pomiaru ciśnienia o długości 6∙d

Norma PN-EN 60534 przewiduje wykonywanie pomiarów jedynie dla elementów przepływowych. Zgodnie z nią, rura dolotowa pomiaru ciśnienia na długość 2∙d, a rura wy-lotowa pomiaru ciśnienia 6∙d. Wynika z tego, że wartości KV i xT obliczone w punktach 8.3.1 i 8.3.2 nie zostały wyznaczone zgodnie z ideą tejże normy. Celem uzyskania takiej zgodności, należy do opornika traktowanego jako element wypływowy (punkt 8.3.1) dołą-czyć rurę o długości 6∙d oraz, w przyjętym stanowisku, skrócić rurę dolotową pomiaru ci-śnienia z 3∙d do 2∙d. W proponowanej procedurze obliczeniowej wymagany efekt skrócenia (przy jednoczesnym wydłużeniu rury zasilającej z 10∙d do 11∙d) można w łatwy sposób zre-alizować, zmieniając we wzorze (8.1) wartość współczynnika znajdującego się przy λs

z 14,0 na 15,4.

W celu wyznaczenia wartości współczynnika wymiarowego KV i współczynnika xT

w rozumieniu normy PN-EN 60534, kolejno wykonano:

— na podstawie przebiegu wartości p0 zidentyfikowano przebieg wartości M3 w funkcji ε;

— z przebiegu M3 w funkcji ε wyznaczono M3max = 0,11647;

— dla λs = 0,012 wyliczono z (8.1), po zmianie wartości współczynnika z 14,0 na 15,4, M1max = 0,11662;

— wykorzystując (8.1), (8.2) i (4.23) wyznaczono fragment przebiegu M1 w funkcji η i dla η = 0,98011 odczytano M1 = 0,03106;

— dla d = 0,009 m z (8.4) obliczono KV = 0,59689 m³/h (ANR);

— wykorzystując (8.6), obliczono xT = 0,63240.

Po zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących, jako wyznaczone przyjęto wartości:

— współczynnik wymiarowy KV = 0,597 m³/h (ANR);

— współczynnik xT = 0,632.

8.3.4. Komentarz do obliczeń

W trakcie obróbki danych pomiarowych pochodzących z eksperymentu zbiornikowe-go (punkt 2.4.1), celem zidentyfikowania przebiegu wartości liczby Macha M3 w funkcji stosunku ciśnień spiętrzenia ε, wykorzystywane są metody numeryczne: całkowania rów-nań różniczkowych i optymalizacji. W przypadku obliczeń prezentowanych w niniejszej pracy były to odpowiednio: metoda Fehlberga czwartego rzędu i bezgradientowa metoda Hooke-Jeevesa [89]. W celu przejścia z przebiegu wartości M3 w funkcji ε na przebieg M1

w funkcji ε1 konieczne jest rozwiązanie równania nieliniowego (8.1) – tutaj zastosowano tak zwaną regułę falsi.

Zastosowanie metod numerycznych prowadzi do dwojakiego rodzaju błędów:

— błędów odcięcia wynikających z zastosowania w procedurze numerycznej przybliżenia oryginalnego zagadnienia w sposób zmieniający jego właściwości matematyczne;

— błędów zaokrąglenia będących skutkiem stosowania liczb zmiennoprzecinkowych, któ-rych reprezentacja w pamięci komputera jest ograniczona.

Zauważono, analizując uzyskane przebiegi wartości liczby Macha M1 w funkcji stosunku

Zauważono, analizując uzyskane przebiegi wartości liczby Macha M1 w funkcji stosunku

W dokumencie Modele strumienia powietrza w pneumatyce (Stron 128-0)