Elementy pneumatyczne połączone równolegle

9.1.1. Procedura określania wypadkowych właściwości przepływowych

Strumień masy gazu przepływającego przez układ dwóch elementów pneumatycznych połączonych równolegle (rys. 9.1) równy jest:

m˙_w= ˙m₁+ ˙m₂ (9.1)

p₁ T₀

C₁, b₁, m₁, a₁ C_w, b_w, m_w, a_w

C₂, b₂, m₂, a₂

p₂

Rys. 9.1. Dwa elementy pneumatyczne połączone równolegle

Wypadkową przewodność dźwiękową Cw takiego układu można wyznaczyć, podsta-wiając wzór (2.48) do (9.1), przy założeniu, że przepływ w obu elementach (a tym samym w całym układzie) ma charakter krytyczny:

C_w⋅ p₁

√

^T0

⋅ρ_N⋅

√

^TN=C₁⋅ p₁

√

^T0

⋅ρ_N⋅

√

^TN+C₂⋅ p₁

√

^T0

⋅ρ_N⋅

√

^TN

Po uproszczeniu daje to:

C_w=C₁+C₂ (9.2)

Wypadkowy czopujący stosunek ciśnień aw jest osiągany w chwili, gdy przepływ w układzie zanika. Ma to miejsce, gdy przepływ zaniknie w obu połączonych elementach.

W takiej sytuacji, opierając się na definicji czopującego stosunku ciśnień, wartość aw moż-na wyzmoż-naczyć z:

a_w=max

(

^a1, a₂

)

^(9.3)

Przepływ w układzie połączonych równolegle elementów ma charakter krytyczny, gdy ma taki charakter w każdym z elementów. Wynika z tego, że rzeczywisty (definicyjny) wy-padkowy krytyczny stosunek ciśnień bw można wyznaczyć z zależności:

b_w=min

(

^b1,b₂

)

^(9.4)

Jednak, aby wyznaczyć wypadkowy krytyczny stosunek ciśnień bw i wypadkowy in-deks ekspansji mw zgodnie z normą ISO 6358 bądź ISO 6953 i ISO/WD 6358, konieczne jest powiązanie stosunku υ strumienia masy do krytycznego strumienia masy z odpowiada-jącym mu stosunkiem ciśnień η. Zależność taką uzyskuje się wprost z (9.1) porównując ilo-czyn υ i strumienia masy w warunkach przepływu krytycznego z sumą strumieni masy przepływających przez elementy przy założeniu, że η > bw wyznaczonego z (9.4). Po upro-szeniu i przekształceniu ma ona postać:

υ= C₁

C₁+C₂⋅Y (η, b_1,m_1,a₁)+ C₂

C₁+C₂⋅Y (η, b_2,m_2,a₂) (9.5) Wyznaczenie wypadkowych właściwości przepływowych (przewodności dźwiękowej Cw, krytycznego stosunku ciśnień bw, indeksu ekspansji mw, czopującego stosunku ciśnień aw) dwóch elementów pneumatycznych połączonych równolegle może być przeprowadzone następująco:

— dla znanych wartości C1 i C2 obliczyć wartość Cw z (9.2);

— dla znanych wartości a1 i a2 wyznaczyć wartość aw z (9.3);

— dla υi równego: 0,9; 0,8; 0,6 i 0,4 obliczyć cztery wartości ηi, rozwiązując równanie (9.5);

— dla znanych υi i ηi wyznaczyć wartości: bw oraz mw, minimalizując funkcję błędu (6.13).

9.1.2. Przykłady obliczeniowe

Dwa analizowane układy miały identyczną strukturę i składały się kolejno z: króćca wylotowego, krótkiego odcinka przewodu, zaworu pneumatycznego i długiego odcinka przewodu. Przeprowadzone eksperymenty polegały na opróżnianiu zbiornika o objętości V = 3,8∙10^-3 m³ przez pierwszy bądź drugi układ, a następnie przez oba jednocześnie.

Wy-9.1. Elementy pneumatyczne połączone równolegle 145 korzystując metody opisane w rozdziale 8, wyznaczono:

— dla układu „1”: C1 = 2,92∙10^-8 s∙m⁴/kg, b1 = 0,0 (b1 < 0,01), m1 = 0,697 oraz a1 = 1,0;

— dla układu „2”: C2 = 3,17∙10^-8 s∙m⁴/kg, b2 = 0,0 (b2 < 0,01), m2 = 0,705 oraz a2 = 1,0;

— dla układu równoległego „1+2”: C1+2 = 6,19∙10^-8 s∙m⁴/kg, b1+2 = 0,0 (gdyż wyliczono b1+2 < 0,01), m1+2 = 0,658 oraz a1+2 = 1,0.

Wyznaczone wartości nie są nominalnie zgodne z wartościami współczynników opisanych w normach ISO 6953 i ISO/WD 6358, gdyż stanowisko pomiarowe nie odpowiada idei tych norm. Nie ma to jednak wpływu na prowadzoną dalej analizę.

Wypadkowe właściwości przepływowe układu składającego się z równolegle połączonych układów „1” i „2” uzyskano, wykorzystując algorytm podany w punkcie 9.1.1:

— dla znanych wartości C1 i C2 z (9.2) obliczono wartość Cw = 6,09∙10^-8 s∙m⁴/kg;

— dla a1 = a2 = 1 z (9.3) wyznaczono aw = 1;

— rozwiązując równanie (9.5) dla czterech wartości υi wyznaczono odpowiadające im war-tości ηi (tab. 9.1);

— dla znanych υi i ηi, minimalizując (6.13), wyznaczono wartości bw = 0 i mw = 0,701.

Względna różnica wartości przewodności dźwiękowych: uzyskanej w efekcie eksperymen-tu C1+2 i w efekcie obliczeń Cw jest mniejsza od 1,48%; względna różnica wartości indek-sów ekspansji m1+2 i mw nie przekracza wartości 6,51%.

Tabela 9.1 Wartości ν oraz odpowiadające im wartości η

νi ηi Wartości ν oraz odpowiadające im wartości η

νi ηi V = 16∙10^-3 m³. Badano opór przepływu przez dwa walcowe oporniki pneumatyczne o wy-miarach Φ4×4 oraz Φ6×6 mocowane bezpośrednio w ściance zbiornika. W efekcie przepro-wadzonych eksperymentów wyznaczono:

— dla opornika Φ4×4: C1 = 2,13∙10^-8 s∙m⁴/kg, b1 = 0,570, m1 = 0,510 oraz a1 = 1,0;

— dla opornika Φ6×6: C2 = 3,76∙10^-8 s∙m⁴/kg, b2 = 0,630, m2 = 0,540 oraz a2 = 1,0;

— dla układu równoległego: CR = 5,86∙10^-8 s∙m⁴/kg, bR = 0,609, mR = 0,531 oraz aR = 1,0.

Wypadkowe właściwości przepływowe układu składającego się z dwóch równolegle połą-czonych oporników uzyskano podobnie jak w poprzednim przykładzie:

— dla znanych wartości C1 i C2 z (9.2) obliczono wartość Cw = 5,89∙10^-8 s∙m⁴/kg;

— dla a1 = a2 = 1 z (9.3) wyznaczono aw = 1;

— rozwiązując równanie (9.5), dla czterech wartości υi wyznaczono odpowiadające im wartości ηi (tab. 9.2);

— dla znanych υi i ηi, minimalizując (6.13), wyznaczono wartości bw = 0,609 i mw = 0,701.

Względna różnica wartości przewodności dźwiękowych: uzyskanej w efekcie eksperymen-tu CR i w efekcie obliczeń Cw jest mniejsza od 0,51%; wartości krytycznych stosunków ci-śnień bR i bw są równe, a względna różnica wartości indeksów ekspansji mR i mw nie prze-kracza wartości 0,36%.

W drugim z analizowanych przykładów uzyskano bardzo wysoką zgodność wyników zastosowania zaproponowanego algorytmu z wynikami eksperymentu. W przykładzie pierwszym zgodność ta jest mniejsza. Przyczyny tego należy upatrywać w trudności wy-znaczenia wartości przewodności dźwiękowej Cw z danych pomiarowych w przypadku, gdy krytyczny stosunek ciśnień bw jest bliski wartości 0,0. Wyznaczenie zawyżonej wartości Cw

zawsze skutkuje wyliczeniem zawyżonej wartości mw. Z taką sytuacją, jak wynika z warto-ści wyznaczonych oraz wyliczonych współczynników dla układu równoległego, mogliśmy mieć do czynienia w pierwszym z przykładów.

9.1.3. Ocena dokładności wzoru (2.105) stosowanego wraz ze wzorem (2.104) Wzór (2.105), stosowany wraz ze wzorem (2.104), służy do wyznaczania wartości wy-padkowego krytycznego stosunku ciśnień bw połączonych równolegle oporników pneuma-tycznych, których właściwości przepływowe określono zgodnie z normą ISO 6358. Ma to następujące konsekwencje:

— we wzorach (9.3) i (9.5) zawsze m1 = m2 = 0,5 oraz a1 = a2 = 1;

— w algorytmie podanym w punkcie 9.1.1 wartości ηi wyznaczane są dla υi równego kolej-no: 0,8; 0,6; 0,4 i 0,2;

— wartość bw wyznaczana jest jako średnia z czterech wartości bi wyliczonych z (5.16).

Celem przeprowadzenia analizy, wzór (2.105) przekształcono do postaci:

b_w=1−

( ^√

^{1−bα α1++1}

^√

^{1−b1 2}

)

²

a wzór (9.5) do postaci:

υ= αα +1⋅Y (η , b₁)+ 1

α +1⋅Y (η , b₂) gdzie w obu wzorach:

α =C₁ C₂

Następnie dla α równego kolejno: 1, 5, 10 i 20 (wartości α < 1 pominięto ze względu na sy-metrię zadania) oraz kombinacji b1 i b2 przyjmujących kolejno wartości: 0,0; 0,2; 0,4; 0,6;

0,8 i 0,999 (dla zdefiniowanego α zadanie nie jest symetryczne względem b) wyliczono wartość błędu względnego zdefiniowanego jako:

δ_b=b_w2.105−b_w9.1.1 b_{w 9.1.1} ⋅100 %

gdzie bw2.105 to wartość bw wyznaczona ze wzoru (2.105), a bw9.1.1 to wartość bw wyznaczona zgodnie z algorytmem podanym w punkcie 9.1.1. Całość wyników zestawiono w tabeli 9.3.

9.1. Elementy pneumatyczne połączone równolegle 147

Tabela 9.3 Zestawienie wyliczonych wartości błędu względnego δb [%]

b1 [-]

↓ b2 [-]→ 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 0,999

α = 1

0,000 0,00 1,07 2,24 3,62 6,58 17,53

0,200 1,07 0,00 0,48 1,59 3,54 13,50

0,400 2,24 0,48 0,00 0,40 1,68 9,75

0,600 3,62 1,59 0,40 0,00 0,49 6,23

0,800 6,58 3,54 1,68 0,49 0,00 2,94

0,999 17,53 13,50 9,75 6,23 2,94 0,00

α = 5

0,000 0,00 2,04 5,17 11,49 27,72 107,78

0,200 0,31 0,00 0,43 2,42 10,58 69,83

0,400 0,55 0,17 0,00 0,37 3,35 43,68

0,600 0,68 0,40 0,14 0,00 0,55 24,61

0,800 0,62 0,49 0,33 0,14 0,00 10,17

0,999 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00

α = 10

0,000 0,00 2,30 6,08 14,43 35,12 227,62

0,200 0,16 0,00 0,29 1,91 9,43 118,66

0,400 0,28 0,10 0,00 0,25 2,63 64,63

0,600 0,33 0,20 0,08 0,00 0,38 32,60

0,800 0,28 0,22 0,16 0,07 0,00 11,87

0,999 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

α = 20

0,000 0,00 2,45 6,65 16,33 40,28 440,02

0,200 0,08 0,00 0,17 1,25 6,79 162,24

0,400 0,14 0,05 0,00 0,14 1,69 75,83

0,600 0,16 0,10 0,04 0,00 0,23 34,44

0,800 0,13 0,11 0,08 0,04 0,00 11,24

0,999 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Jeżeli wartości krytycznych stosunków ciśnień łączonych elementów są równe (b1 = b2), to wartości bw wyznaczone oboma sposobami też są równe. Największe różnice pojawiają się dla dużej wartości α przy małej wartości b1 i dużej wartości b2. Maksymalną

wartość δb = 440,02% wyznaczono dla α = 20, b1 = 0,0 i b2 = 0,999. W praktycznie realizo-wanych układach z reguły α ≤ 5 i b ≤ 0,6. Dla takich warunków uzyskano maksymalną wartość δb = 11,49%. Wartości δb przekładają się na wartości błędu względnego wyznacza-nego strumienia masy δm. Dla α = 20 i b ≤ 0,999 wartość δm ≤ 125,76%; dla α = 5 i b ≤ 0,6 wartość δm ≤ 1,04%; dla C1/C2 = 1 i b ≤ 0,6 wartość δm ≤ 0,07%.

Na podstawie przeprowadzonej analizy można stwierdzić, że:

— wzór (2.105) można stosować przy minimalnych błędach wyznaczanego strumienia masy płynącego przez układ równolegle połączonych elementów, gdy stosunek przewodności dźwiękowych tych elementów C1/C2 ≤ 5 (przy założeniu, że C1 > C2), a ich krytyczne sto-sunki ciśnień b ≤ 0,6;

— z punktu widzenia projektowania układu pneumatycznego wzór (2.105) ma tę nieko-rzystną własność, że jego zastosowanie zawyża wartość wyliczanego strumienia masy przepływającego przez układ. W efekcie tego istnieje możliwość dobrania elementów o właściwościach przepływowych, uniemożliwiających spełnienie wymagań stawianych przed układem.

Kończąc, warto zwrócić uwagę, że wzór (2.104) – z którym sprzężony jest wzór (2.105) – tożsamy jest z zależnością (9.2).

W dokumencie Modele strumienia powietrza w pneumatyce (Stron 144-149)